貴州省貴陽市2023屆高三下學(xué)期適應(yīng)性考試（一）數(shù)學(xué)（理）試題（解析版）

貴陽市2023年高三適應(yīng)性考試(一)理科數(shù)學(xué)

第I卷(選擇題共60分)

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合

題目要求的.

1.集合A="!/"},集合8={-3,-2,-1,1,2,3},則Ar5=()

A.{2,3}B.{-2,-1,1,2,3)

C.{-3,—2,2,3}D.{-3,3}

K答案Uc

R解析D

K樣解D解不等式可求得集合A,由交集定義可得結(jié)果.

K詳析D由f≥4得：x≤-2^x≥2,即A=(YO,-2][2,?+w),

.?.AB={-3,-2,2,3}?

故選：C.

2.已知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)(l-2i)2的共枕復(fù)數(shù)的虛部為()

A.4iB.-3C.4D.-4

R答案HC

K解析，

R祥解2利用復(fù)數(shù)乘方運算得到(l-2i)2=-3-4i,從而得到(l-2i)2的共輒復(fù)數(shù)及其虛部.

R詳析H(l-2i)2=l-4i+4i2=l-4-4i=-3-4i,

故復(fù)數(shù)(1-2i)2的共癰復(fù)數(shù)為-3+4i,故共朝復(fù)數(shù)的虛部為4.

故選：C

3.在一場跳水比賽中，7位裁判給某選手打分從低到高依次為X],8.1,8.4,8.5,9.0,9.5,X7(x7≤lθ),

若去掉一個最高分芻和一個最低分為后的平均分與不去掉的平均分相同，那么最低分為的值不可能是()

A.7.7B.7.8C.7.9D.8.0

R答案HD

R解析』

K祥解X根據(jù)所給條件可得出方■!也■=8.7,再由孫々的范圍驗證選項即可得解.

8.1+8.4+8.5+9.0+9.5

K詳析Il因為去掉最高分與最低分后平均分為=8.7,

5

耳匚Λ∣+8.1+8.4+8.5+9.0+9.5+/Q?

所以-------------------------------=0.7，

7

解得號=8.7,

由于得分按照從低到高的順序排列的，故玉≤8.1,9.5≤x2≤10,

當(dāng)玉=7.7時，%2=9.7,滿足上述條件，故A錯誤；當(dāng)玉=7.8時，X2=9.6,滿足上述條件，故B錯誤；

當(dāng)％=7.9時，X2=9.5,滿足上述條件，故C錯誤；當(dāng)x∣=8.0時，々=9.4,不滿足上述條件，故D正

確.

故選：D

4.等差數(shù)列｛α,,｝中，G2+α4+2a7=12,則數(shù)列｛α,,｝的前9項之和為（）

A.24B.27C.48D.54

K答案，B

K解析H

R祥解11根據(jù)等差數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)求出4+為，再根據(jù)等差數(shù)列求和公式計算可得.

K詳析D解：在等差數(shù)列｛4｝中，4+4+2%=12,則4+%=2%

所以。2+。4+。6+=12,又4+%=。2+。8=。4+4，

所以4+〃9=6,

所以Sg==27.

故選：B

5.香農(nóng)-威納指數(shù)（H）是生態(tài)學(xué)中衡量群落中生物多樣性的一個指數(shù)，其計算公式是”=-￡化?l0g2Pi,

Z=I

其中〃是該群落中生物的種數(shù)，Pi為第i個物種在群落中的比例，下表為某個只有甲、乙、丙三個種群的群落

中各種群個體數(shù)量統(tǒng)計表，根據(jù)表中數(shù)據(jù)，該群落的香農(nóng)-威納指數(shù)值為（）

物種甲乙丙合計

個體數(shù)量300150150600

K答案》A

K解析』

K祥解1根據(jù)已知公式和對數(shù)運算直接計算求解即可.

(300300÷^×log,150

R詳析員由題意知：H=-×log------F

160026006002600

TT

6.如圖，在,.A6C中，AB=6,AC=3,ZBAC=—,BD=2DC,則A3?AO=()

K答案，D

K解析》

K祥解』由BD=2DC可得AD=∣AB+-AC則

(12Al22

AB-AD=AB?-AB+-AC?=-AB+-ABAC,代入化簡即可得出R答案』.

R詳析》由BO=20?？傻茫篋C=；BC,

111?

所以AC—A。=—BC=-(AC—A8),所以AD=—AB+—AC,

33、'33

(12>122

ABAD=AB?-AB+-AC?=-AB+-ABAC,

133J33

TT

因為AB=6,AC=3,NBAC=',

2

I-221

所以ABAQ=—AB+—A8?AC=±x36=12.

333

故選：D.

7.棱錐的內(nèi)切球半徑H=W1,其中腺，S分別為該棱錐的體積和表面積，如圖為某三棱錐的三視圖,

〉錐Itt

若每個視圖都是直角邊長為1的等腰直角形，則該三棱錐內(nèi)切球半徑為（）

K答案XC

K解析H

"羊解H由三視圖還原三棱錐，求得棱錐表面積和體積后，代入公式即可求得內(nèi)切球半徑.

K詳析D由三視圖可還原三棱錐如下圖所示，

其中，平面ABC,ABJ.AC,AB=AC=PA=I,

^P-ABC=?ABC,PA=IX5XlXlXI=—,

棱錐表面積S=3SAβc+5pβc=3×∣×lχl+∣×√2×√2×^=^y5.

?

213-√3

???該棱錐的內(nèi)切球半徑Ro=#=彳Tk?

2

故選：C.

8.“一筆畫”游戲是指要求經(jīng)過所有路線且節(jié)點可以多次經(jīng)過，但連接節(jié)點間的路線不能重復(fù)畫的游戲，

下圖是某一局“一筆畫”游戲的圖形，其中A,B,C為節(jié)點，若研究發(fā)現(xiàn)本局游戲只能以A為起點C為終點

或者以C為起點A為終點完成，那么完成該圖“一筆畫”的方法數(shù)為（）

A.6種B.12種C.24種D.30種

K答案HC

K解析H

K祥解』采用分步乘法可計算得到以A為起點，C為終點的方法數(shù)，再利用分類加法計數(shù)原理求得結(jié)果.

K詳析D以A為起點時，三條路線依次連接即可到達B點，共有3x2=6種選擇；自8連接到C時，在C

右側(cè)可順時針連接或逆時針連接，共有2種選擇，

以A為起點，。為終點時，共有6x2=12種方法；

同理可知：以。為起點，A為終點時，共有12種方法；

完成該圖“一筆畫”的方法數(shù)為12+12=24種.

故選：C.

22

9.以雙曲線5-5=13>0/>0）的實軸為直徑的圓與該雙曲線的漸近線分別交于A,B,C,。四點，若

CTb2

四邊形ABC。的面積為瓜2,則該雙曲線的離心率為（）

A.百或2B.2或氈C.空D.√3

33

K答案，B

R解析H

b2

K樣解D先由雙曲線與圓的對稱性得到SABCD=仇％,再將打=一/代入X；+常=/,從而得到X=幺,

ClC

為=效，進而結(jié)合SABCD=Ga2得到關(guān)于c的齊次方程，由此轉(zhuǎn)化為關(guān)于雙曲線離心率e的方程即可

c

得解.

K詳析Il依題意，根據(jù)雙曲線與圓的對稱性，可得四邊形ABCD為矩形，如圖,

2

不放設(shè)點4(??,X))(Xo>0,%>0)位于第一象限，則SABCD=?×2%=4x0y0,

尤2V?bb

因為雙曲線^一齊=l(α>6>0)的漸近線方程為y=±2χ,則為=,%，

22

以雙曲線工一二=l(ɑ>?>0)的實軸為直徑的圓的方程為x2+y2=a2,則片+y；=/,

ab

將‘°=3"°代入耳+￥="'得片+J)片=",

則ɑ.x；=",即】W=",所以x；=冬，則Xo=幺，故%=藝，

aaCcc

又SABCQ=802，所以4x0%=G/,則4x幺X或=6/,則4Q∕?=?，

所以16a1b1=3c4,貝IJl6。~(c?一。~)=3c4,即3c4—16tz2c2+16c∕=0,

，24

所以3又下一16乂=+16=0,即3/一16/+16=()，解得/=4或/=彳，

aa-3

因e>l,所以e=2或e=拽.

3

故選：B

10.函數(shù)/(X)=Asin(∕x+。)[A>O,tυ>O,∣^∣<^j的部分圖象如圖所示，則下列關(guān)于函數(shù)y=∕(χ)的說

法正確的是()

①/（X）的圖象關(guān)于直線X=-r對稱

4

②Ax）的圖象關(guān)于點[―/。卜稱

③將函數(shù)y=2sin[2xq）的圖象向左平移T個單位長度得到函數(shù)/3的圖象

π~?L

④若方程/（X）=M在-5,0上有兩個不相等的實數(shù)根，則優(yōu)的取值范圍是（-2,-6]

A.①④B.②④C.③④D.②③

K答案XB

R解析，

K祥解』根據(jù)圖象求出函數(shù)的K解析》式，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，逐次判斷各選項即可得到結(jié)論.

K詳析D解：由函數(shù)的圖象可得A=2,由'?0=三一解得口=2,

4ω312

兀）JTTT

—,2,所以2x—+0=2E+—，keZ,

（12）122

又IeI<]，得9=∣^,所以函數(shù)/（x）=2sin（2x+g）,

當(dāng)X=—￡時，/（χ）=0,即Ax）的圖象關(guān)于點（一0）對稱，故②正確；

將函數(shù)y=2sin（2xq）的圖象向左平移叁個單位長度得到y(tǒng)=2sin[2（x+，q=-2sin^2%--ξ^,

故③錯誤;

當(dāng)Xe，wιj2x+rι^τ'?

令2x+?^?∈——,解得XE~~∑>~'~rτ>I?B?sinf2x+-j∈—1,——,即/(x)∈[—2,—6],

??JX*4JL4y?Z乙

令2尤+g∈—T1，解得XE--y5O，此時Sin2x+g)∈—l,?^-,即/(x)∈[-2,6],

?乙?L乙??J乙

jr5兀5兀

所以/(χ)在一]，一五上單調(diào)遞減，在一石?,o上單調(diào)遞增，

兀兀

因為方程/(X)=相在一于0上有兩個不相等的實數(shù)根，即y=∕(χ)與丁=加在一萬,O上有兩個交點,

所以機4一2,—j?,故④正確；

故選：B

11.如圖，在三棱錐A—BCD中，平面A6。，平面BCD,ZkSCO是邊長為2省的等邊三角形，

AB=AD=I,則該幾何體外接球表面積為()

A.20πB.8πC.28πD.48π

K答案UA

K解析D

K樣解》設(shè)AABO外心為。2，外心為。1,DB中點為E,過外心分別作平面/WE),平面BC。垂

線，則垂線交點O為外接球球心.后利用正弦定理可得43CD,Z?ABZ)外接圓半徑｛，&,又注意到四邊

222

形UEQ。為矩形，則外接球半徑R=^O2B-?DB+O1B-

K詳析D設(shè)zλA5D外心為仇，CD外心為Q,DB中點為E.

因OE1DB,QEu平面Ber),平面ABr)J_平面BCO,

平面AβE>C平面JBCZ)=30,則。|石_1平面43￡),又02￡：(=平面人身〉

則QELOzE.過。2，。Ι分別作平面ABD,平面BCD垂線，則垂線交點O為外接球球心,

BD

則四邊形。2Eq。為矩形.△§CZ)外接圓半徑4=OIB2.

/'*2sin600

又因AB=AD=2，BD=2√3>則NBAD=120°.故ZVtBD外接圓半徑

22

又OOi=O2E=yJθ2B-EB=√4-3=1.

又Oa，平面BCO,BaU平面BCD,則。

故外接球半徑R=OB=JOO：+Bo:=√4+1=√5.

故外接球表面積4πR2=20π.

故選：A

Kr點石成金D結(jié)論1點石成金」：本題涉及底面與側(cè)面垂直的三棱錐的外接球.設(shè)底面與側(cè)面外接圓半徑為

2

4,。底面與側(cè)面公共棱長度為/,則外接球半徑∕?=rl+√---

12.已知正實數(shù)α,b,c,若絲=Lln1，b>e,則。力,c的大小關(guān)系為()

bcc

A.a>c>bB.a>b>c

C.b>c>aD.h>a>c

K答案XD

K解析H

1?γ?

R祥解》根據(jù)已知關(guān)系式的特征可構(gòu)造函數(shù)/(力=丁，利用導(dǎo)數(shù)可求得了(χ)單調(diào)性，并確定了(χ)的

圖象，根據(jù)電@>蛇=一比〉0,結(jié)合圖象可確定α,Ac的大小關(guān)系.

abc

K詳析D令〃X)=叱，則/(X)=上空，

XX

，當(dāng)Xe(0,e)時，∕<x)>O;當(dāng)x∈(e,+∞)時，∕,(x)<O;

?/(χ)在(0,e)上單調(diào)遞增，在(e,+8)上單調(diào)遞減，.?.f(χ)gχ="e)=L

又/(I)=0,當(dāng)x〉l時，/(x)>0恒成立，可得/(x)圖象如下圖所示，

Inb1,1Inc?Inc_C,

----=-ln-=-?——>0,——<0,.?.0<c<1：

h---cccc

綜上所述：b>a>c.

故選：D.

Kr點石成金D關(guān)鍵點［點石成金J；本題考查構(gòu)造函數(shù)比較函數(shù)值大小的問題，解題關(guān)鍵是能夠根據(jù)已知

關(guān)系式的結(jié)構(gòu)特征，準確構(gòu)造函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)值大小關(guān)系的比較問題，從而利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的

單調(diào)性和圖象來進行求解.

第∏卷(非選擇題共90分)

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分.

13.函數(shù)/(x)=In(X+1)+2x-1在點(0,-1)處的切線方程為.

K答案』y=3x-l

K解析H

R祥解》求出導(dǎo)函數(shù)，再求得了'(0),從而可求得其切線方程.

K詳析D由/(x)=In(X+l)+2x-l得f?x)^J-+2,

x+1

所以/'(0)=3,又/(O)=T,

即(0,—1)為切點，所以切線方程為y+l=3(x-0),即y=3x-l.

故K答案』為：y=3x-l.

14.正實數(shù)α,人滿足44+8=446,則α+48的最小值為.

25

K答案X-##6.25

4

R解析，

K祥解》根據(jù)。+助=(α+4b)[∕+*),利用基本不等式即可求得結(jié)果.

?"=1,

K詳析Xa>0,Z?>0,4a+b=4ab,

b4。

.,/.,f117ab17.Iab25.=2時取等號),

a+4h=（a+4b}λ?—H-----=-------1----F—≥----F2∕---------（當(dāng)z且a僅lr當(dāng)1α=6

v?b4a）4ba4?bΛa44

即α+4b的最小值為一.

4

25

故K答案H為：√.

4

15.趙爽是我國漢代數(shù)學(xué)家，他在注解《周髀算經(jīng)》時給出的“趙爽弦圖”被選為第24屆國際數(shù)學(xué)家大會的

會徽.如圖所示，“趙爽弦”圖中的大正方形ABC。是由4個全等的直角三角形和小正方形A用GA拼成，現(xiàn)

連接Aq,當(dāng)正方形A用GA的邊長為1且其面積與正方形ABCO的面積之比為1：5時，CoSNoAR=

10

R解析』

K祥解》根據(jù)圖形，由面積可得出直角三角的三邊長，求出角的三角函數(shù)，利用

cosNDADl=cos(ZZ)Λ41-ZA1AD1)求解.

K詳析》由題意得，S正方形ABCD二5,故直角三角形斜邊AB為石，

設(shè)直角三角形中較短直角邊長為心，如圖中B用=加，則較長直角邊長為m+1,

如圖中ABi=∕n+l,

則由勾股定理可得加2++1)2=(6)2,解得加=],

2_2石.1

.?.sinZZMA1忑=可,CoSNoA41=者=彳,

TT

AAi=AiDi,.?.ZTA1AD1=—,

cosZDAD1=cos(ZDAA1-ZΛ1AD1)=cosZDAA1cosZ-AxADx÷sinZDAA1?sinZΛ1AD1

2Λχ√2+2^χ√2

5252

3√10

10

故K答案H為：士何

10

16.拋物線E:y2=4x,圓M:犬+、2一4%一2丁+4=0,直線/過圓心M且與拋物線E交于A,8與圓

M交于C,。.若IACRB。|,則

?CD?

K答案』立1林L莊

22

R解析H

R祥解】設(shè)直線/的方程為X=沖+2-加，由題意可知圓〃的圓心為弦AB的中點，據(jù)此聯(lián)立直線與拋

物線方程，由根與系數(shù)的關(guān)系即可求出加，再由弦長公式即可得解.

K詳析D由M=Y+y2-4χ-2y+4=0可得(x-2y+(y-1)2=1,

故圓心M(2,l),半徑R=I,

因為直線/過圓心M且IACR80,所以∣CD∣=2,?MA?^MB?,即M為AB的中點,

顯然，直線/斜率為0時，不符合題意，設(shè)直線/的方程為X=陽+2-m，

Λ

y2=4x一1

聯(lián)立｛,消兀得y-4my+4m-8=0,

X=ιny^2-m

X2

設(shè)A(Xl，y↑),B(2,y2),由A=(-4m)-4(4m-8)=32>O,

所以X+必=4加,χ%=4加-8,

由M為AB的中點可知，4〃?=2,即，〃=!，

2

22

所以14Bl=√I+∕w?yl-y21=Jl+??J(M+%『-4月%=與Xλ∕2-4×(2-8)

=—×2√7=√35,

2

∣Aθ∣√35

所以

∣CD∣-^2-

故K答案』為：Y羽

2

三、解答題：第17至21題每題12分，第22、23題為選考題，各10分.解答應(yīng)寫出文字說明，

證明過程或演算步驟.

7

17.已知等比數(shù)列｛凡｝的前〃項和為S“，S3=-,且6,24,4%成等差數(shù)列.

（1）證明數(shù)列｛S,-2｝是等比數(shù)列;

（2）若b,=nar,,求數(shù)列也｝前〃項和7；.

K答案》（1）證明見K解析》

（2）7；=4—（〃+2＞出

K解析D

S-21

R祥解Il（I）依題意得到關(guān)于卬、4的方程組，求出％、q,再根據(jù)求和公式得到s“，再證明f!-c=工

七一22

即可；

（2）由（1）可得,利用錯位相減法求和即可.

K小問1詳析工

7

｛〃”｝是等比數(shù)列，且S3=4+%+/=q+aq+Q]/=I①，

又％、2出、4%成等差數(shù)列，??.4々2=。]+4。3，???4q4=ɑ]+4q/②,

q=l

聯(lián)立①②解得,I,

Q=-

2

數(shù)列｛S“-2｝是公比為T的等比數(shù)列.

K小問2詳析』

(\

，所以==

(2

+咱②,

+(H-I)-

2

整理得7；=4_(n+2)(〈)

18.2022年9月3日至2022年10月8日，因為疫情，貴陽市部分高中學(xué)生只能居家學(xué)習(xí)，為了監(jiān)測居家學(xué)

習(xí)效果，某校在恢復(fù)正常教學(xué)后舉行了一次考試，在考試中，發(fā)現(xiàn)學(xué)生總體成績相較疫情前成績有明顯

下降，為了解學(xué)生成績下降的原因，學(xué)校進行了問卷調(diào)查，從問卷中隨機抽取了200份學(xué)生問卷，發(fā)現(xiàn)其

中有96名學(xué)生成績下降，在這些成績下降的學(xué)生中有54名學(xué)生屬于“長時間使用手機娛樂”（每天使用手機

娛樂2個小時以上)的學(xué)生.

(1)根據(jù)以上信息，完成下面的2x2列聯(lián)表，并判斷能否有99.5%把握認為“成績下降”與“長時間使用手機

娛樂”有關(guān)？

長時間使用手機娛樂非長時間使用手機娛樂合計

成績下降

成績未下降

合計90200

(2)在被抽取的200名學(xué)生中“長時間使用手機娛樂”且“成績未下降”的女生有12人，現(xiàn)從“長時間使用手

機娛樂”且“成績未下降”的學(xué)生中按性別分層抽樣抽取6人，再從這6人中隨機抽取3人訪該，記被抽取到

的3名學(xué)生中女生人數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望E(X).

n(ad-bc)2

參考公式：K-其中〃=a+Z?+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(∕?+d)

P(K2>%)0.150.100.050.0250.0100.0050.001

k。2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

K答案11(1)2x2列聯(lián)表見K解析%有99.5%把握認為“學(xué)習(xí)成績下降”與“長時間使用手機娛樂”有

關(guān)

(2)分布列見K解析》1.

K解析H

K祥解II(I)由題意列出2x2列聯(lián)表，計算《2,即可得出結(jié)論；

(2)女生被抽到得的人數(shù)X可取0,1,2,根據(jù)古典概型分別計算概率，列出分布列，求出期望.

小問1詳析》

2x2列聯(lián)表如下：

長時間使用手機娛樂非長時間使用手機娛樂合計

成績下降544296

成績未下降3668104

合計90IIO200

_n(ad-be)2_200×(54×68-42×36)2

i?2——XV.44〉

(α+b)(c+d)(α+c)S+d)90×110×96×104

二有99.5%把握認為“學(xué)習(xí)成績下降”與“長時間使用手機娛樂”有關(guān).

K小問2詳析R

(2)在抽取的6人中，女生有6χU?=2人，男生有6x絲=4人,

3636

則這6人中隨機抽取3人進一步訪談，女生被抽到得的人數(shù)X可取0,1,2,

p(x=。)=詈=M>(χτ=等L

.?.X的分布列為:

XO12

?3?

P

555

131

.?.E(X)=0×-+l×-+2×-=l.

555

19.如圖(1),在梯形ABC。中，ADHBC,AD±AB,AD=2AB=2BC,E為AO中點，現(xiàn)沿BE

將，AHE折起，如圖(2),其中EG分別是BE,AC的中點.

(1)(2)

(1)求證：FG_L平面ACD；

(2)若AB=AC=0，求二面角3-AC-D的余弦值.

K答案D(1)證明見K解析Il

⑵一逅

3

K解析』

K祥解》(1)取AD中點H,易證得四邊形EFG”為平行四邊形，從而得到FG//EH,利用等腰三角形

三線合一性質(zhì)可分別得到FGA.AC,EH±AD,結(jié)合平行關(guān)系和線面垂直的判定可證得結(jié)論；

(2)根據(jù)長度關(guān)系可證得ARBE,WC兩兩互相垂直，則以F為坐標(biāo)原點建立空間直角坐標(biāo)系，利用二面

角的向量求法可求得結(jié)果.

R小問1詳析】

取AO中點〃，連接CE,AF,FC,EH,GH,

E為Ao中點，AD=2BC，..DE=BC,又DE//BC,

四邊形BCDE為平行四邊形，.?.BE"C0,BE=CD,

（26,“分別為4。,40中點，，6”〃8,GH=LCD,

2

又F為BE中點、，：.EF∕∕CD,EF=^CD,EFHGH,EF=GH,

四邊形EFGH為平行四邊形，；.FGHEH；

AE=DE,”為AD中點，.?.EH±AD,..FGYAD-,

.AEHBC,AE=AB=BC=-AD,ΛB,4）,二四邊形AfiCE為正方形，

2

.?.AF=FC..-.FGlAC,又ACAD=A,ACAoU平面AC。，

,EGl■平面ACD.

K小問2詳析』

由（1）知：CE=AB=-AD,AClCD,又BE"CD,..BELFC-,

2

AB=AE,F為BE中點、,.?AF±BE,

AF=FC=^BE=AB2+AE2=1,AC=√2>:.AF2+FC2=AC2，

.?,AFlFC,又BEFC=F,BE,FCu平面BCDE,r.AF，平面BCoE,

以尸為坐標(biāo)原點，3E,FC,FN正方向為x,V,z軸，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,

則B(l,0,0),A(O,O,1),C(O,1,O),F(0,0,0),Gm

.??AB=(1,0,-1).AC=(0,1,-1),FG=(Om

設(shè)平面ABC的法向量〃=(X,y,z),

ABn=x-z=0/

二.J,令X=1,解得：y=z=lf.?.∕7=(1,1,1)；

AC?n=y-z=0

FG，平面ACD,???平面ACD的一個法向量為FG=Iθ,?,?

∣FG?n∣

.,.∣cos<FG,n>|=1__旦

由圖形知：二面角B—AC—。為鈍二面角，???二面角8—AC—。的余弦值為—逅

3

22

&yVv

20.已知-1,--三點中有兩點在橢圓。：二+二=l（α＞人＞0）上，橢圓C的

2）Crb-

右頂點為A,過右焦點的直線/與C交于點M,N,當(dāng)/垂直于X軸時IMNl=J5.

（1）求橢圓C的方程;

（2）若直線A區(qū)與y軸交于P點，直線AN與y軸交于。點，在X軸是否存在定點s,使得對?QS=o,

若存在，求出點S,若不存在，說明理由.

r2

K答案H(I)—+/=1

2.

(2)在X軸上存在定點S(JΣ+l,0)或S(-下-1,0)，使得PS?QS=O

R解析』

R祥解》(1)根據(jù)對稱性可得點l,?,-l,-?在橢圓上，再由∣ΛflV∣=當(dāng)?shù)玫椒匠探M，解得“、

b,即可得解；

(2)設(shè)存在定點S",0),過右焦點(1,0)的直線/的方程為X=根)，+1,且與曲線C的交點分別為M(N,X),

N(Λ,%),聯(lián)立直線與橢圓方程，消元、列出韋達定理，設(shè)直線＜w：y=—2?(χ-血)，求出P點坐

2Xj-√Z

標(biāo)，同理可得。點坐標(biāo)，根據(jù)PS?QS=O求出r的值，即可得解.

K小問1詳析』

J1佝f?毋

根據(jù)橢圓的對稱性可知,點E在橢圓上,

2222?2?>2

對于0+*?=l,令X=C得與+*=1，解得y=±生，所以IMNl='二，

11

1

7+，a=V∑

則《

”二夜8=1

.a

丫2

.?.橢圓。的方程為二+y2=ι.

2

K小問2詳析』

解：設(shè)存在定點SQ,0),設(shè)過右焦點(1,0)的直線/的方程為X=Wy+1,且與曲線C的交點分別為

Λ∕(%,,χ),N(X2,%)，

%=陽+1

聯(lián)立《2n(>+2)y2+2my-1=0,

X21

一+v=l

2^

2m7

則由韋達定理有：乂+%=

m2+2m2+2

由C的標(biāo)準方程得A(√Σ,0卜

設(shè)直線/∕W:y=-^-y=(x-λ∕2)

x1-√2

同理，設(shè)直線/"Ni=-?α-j5),當(dāng)X=O時，

「

x72IJC2-√2)

2

PS.po=t+-___肛乂____=f+-________?________

1-(加y+1-7∑)(加%+1-逝)

_2

=?2+6~4V2?/一(3+20)=0,解得∕=±(1+√2),

故在X軸上存在定點S(√Σ+1,0)或S(-√2-1,0).使得PS?QS=0.

?1/1A2

21.已知函數(shù)/(x)=αln(x-l)+-χ2+l,g(x)=/(X)+------X-I.

4ev12J

(1)當(dāng)α=-1時，求函數(shù)/S)的極值；

(2)若任意χ,χ2w(l,釬)且玉都有g(shù)-)-g(xJLl成立,求實數(shù)。的取值范圍.

X2—%,

R答案D(1)極小值為2,無極大值

^1

(2)—,+∞

e^

K解析H

K祥解D(1)求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即可得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值；

(2)不妨令玉<彳2，則問題等價于g(t?-92g(%)-%，令G(x)=g(x)-x,只需證明G(X)在(l,+x>)

單調(diào)遞增，問題等價于G'(x)20在x〉l時恒成立，參變分離得到α≥-1,x∈(l,-÷w),再構(gòu)造函數(shù)，

利用導(dǎo)數(shù)求出W的最大值，即可得解.

e

K小問1詳析』

解：當(dāng)a=—1時，/(x)=ZX2+1—ln(x—1),Xe(l,+∞).

則/'(X)=!x----,令/'(X)=0,解得X=—1或x=2,

2X-I

又因為x>l,所以x=2.

列表如下：

X(L2)2(2,+∞)

/'(X)—O+

f(x)單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增

因為函數(shù)f(χ)在區(qū)間(1,2)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(2,+8)上單調(diào)遞增，所以Ax)有極小值/(2)=2,無極大

值.

K小問2詳析?

1/1λ2?

解：因為g(x)=f(x)+------X-I,/(%)=βln(x-l)+-x2+1,

e`U)4

所以g(x)=aln(x-l)+」+x,x∈(l,+∞),

若對任意不/，e(l,-w))且不≠4,g(w)-gaj>1恒成立

不妨令玉<龍2，則g"Jg("J2]。且伍〉8⑷之”)

%2一%

Og(Z)F*(%)-%，

令G(x)^g(x)-x,只需證明G(X)在(1,+8)單調(diào)遞增，

因為G(X)=g(?)?ln(?-l)+?,貝!]G,(x)--------)

e?x-1e'

所以--------≥0在x>1時恒成立，即