2022-2023學(xué)年北師大版高一下數(shù)學(xué)：正弦定理和余弦定理（附答案解析）

2022-2023學(xué)年北師大版高一下數(shù)學(xué)：正弦定理和余弦定理

一.選擇題（共8小題）

1.（2021秋?南崗區(qū)校級(jí)期末）若已知ANBC的周長為9,且小b：c=3：2：4,則COSC

的值為（）

A.-?B.?C.-2D.2

4433

2.（2021秋?思明區(qū)校級(jí)期中）在aNBC中，內(nèi)角4,B,C的對邊分別是α,b,c,若/+房

=c1+absmC,且asinBcosC+csinBcosAX?b，貝Utan^等于（）

A.3B.-XC.3或」D.-3或工

333

3.（2021秋?平頂山期中）已知aZBC的角4B,C所對的邊分別為α,b.c,b=我,a

=1,B=22L,則C=（）

3

A.√5B.2C.√3D.3

4.（2020?洛陽三模）已知銳角三角形AZBC的內(nèi)角Z,B,C的對邊分別為α,6,c.且6

=2t∕sin8,則cos8+sinC的取值范圍為（）

A.（0,√3]B.（1,√3]C.（返,3）D.（?,返）

2222

5.（2015春?銀川校級(jí)期末）AABC中,若=_?,則該三角形一定是（）

cosBCosA

A.等腰三角形但不是直角三角形

B.直角三角形但不是等腰三角形

C.等腰直角三角形

D.等腰三角形或直角三角形

6.（2021秋?會(huì)寧縣期末）在AZBC中，角/,B,C所對的邊分別為α,b,C.若α=√w

8=45°,C=I5°,則b=（）

A.?θ.B.√9C.

3√2D.√6

2

7.（2021秋?民樂縣校級(jí)期中）如圖，在4/8C中，BD=DC=?,AC=M,^DAC=30

°,N/OC為銳角，貝∣J∕8=()

BDC

第1頁（共18頁）

A.√3B.√7C.2√2D.2√3

8.（2021秋?焦作期中）在平面凸四邊形48CD中，NBAD=105°,N∕8C=60°,ZCAD

=45°,NCBD=I5°,/8=3,則C￡>=（）

A.B.3C.3√2D.3√3

2

二.填空題（共4小題）

9.（2021秋?信陽期中）在三角形48C中，已知α,b,C分別為角4,B,C的對邊，A^-,

3

h-c=?,廬+/=13,。在BC上，?hS^ABD=cS^ACD,則8。的長為.

10.（2021秋?荷澤期中）在448C中，角4,B,C所對的邊分別為α,b,c,若48邊上

的高為工c，當(dāng)紅2W?得最大值時(shí)的SinC=.

3sinBsinA

11.（2021秋?洛陽期中）在4/8C中，a,b,C分別為三個(gè)內(nèi)角/,B,C的對邊，CeoS3+

（2a+b）cosC=O,若4/8C的外接圓面積為π,則α+6的最大值是.

12.（2021秋?湖北期中）若G為4/8C的重心，BGLCG,則COSN的最小值為.

三.解答題（共4小題）

13.（2021秋?新鄉(xiāng)期中）如圖，在4/8C中，NACB=JL,BC=瓜延長/8至。，使

2

得N∕OC=N.

6

（1）若BD=2,求4/8C的面積；

（2）求ABCO面積的取值范圍.

14.（2021秋?鼓樓區(qū)校級(jí)期中）在①三邊長成等差數(shù)列，②三邊長為連續(xù)奇數(shù)，③C2+402

=4廬，這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，若問題中的三角形存在，求出CoSC

的值；若問題中的三角形不存在，說明理由.

問題：是否存在44δC,它的內(nèi)角4,B,C對邊分別是a,b,c,且a<6<c,C=2∕,

15.（2021秋?虹口區(qū)校級(jí)期中）2021年10月13日第18號(hào)臺(tái)風(fēng)“圓規(guī)”在海南某地登陸，

最大風(fēng)力達(dá)到12級(jí).路邊一棵參天大樹在樹干某點(diǎn)8處被臺(tái)風(fēng)折斷且形成120°角，樹

尖C著地處與樹根/1相距10米，樹根與樹尖著地處恰好在路的兩側(cè)，設(shè)NOB=。（A,

B,C三點(diǎn)所在平面與地面垂直，樹干粗度忽略不計(jì)）.

第2頁（共18頁）

（1）若。=45°,求折斷前樹的高度（結(jié)果保留一位小數(shù)）；

（2）問一輛寬2米，高2.5米的救援車能否從此處通過？并說明理由.

16.（2021?未央?yún)^(qū)校級(jí)模擬）在aZBC中，內(nèi)角1、B、C的對邊分別為α,b,c已知6

CcosA~2cosC)=(2c-a)cosB.

(1)求負(fù)遞?的值；

sinC

(2)若COS8=JL,b=2,求4Z3C的面積S.

4

第3頁（共18頁）

2022-2023學(xué)年北師大版高一下數(shù)學(xué)：正弦定理和余弦定理

參考答案與試題解析

一.選擇題（共8小題）

I.（2021秋?南崗區(qū)校級(jí)期末）若已知4/8C的周長為9,且a：b：c=3：2：4,則CoSC

的值為（）

A.-?B.?C.-2D.2

4433

【考點(diǎn)】余弦定理.

【專題】解三角形.

【分析】根據(jù)三角形周長及三邊之比，利用比例的性質(zhì)求出三邊長，利用余弦定理表示

出CoSC,將三邊長代入即可求出COSC的值.

【解答】解：根據(jù)題意設(shè)α=3Lb=2k,c=4%,則有3A+2什44=9,

解得：k-?,

?*?U~396=2,c=4,

則CoSC=?2應(yīng)9+4-16=,?.

2ab124

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了余弦定理，熟練掌握余弦定理是解本題的關(guān)鍵.

2.（2021秋?思明區(qū)校級(jí)期中）在aNBC中，內(nèi)角4,B,C的對邊分別是α,b,c,若公+房

=c2+α6sinC,且αsinBCoSC+csinBCCISA=^^^b,則tart4等于（）

A.3B.」C.3或-AD.-3或工

333

【考點(diǎn)】余弦定理；正弦定理.

【專題】函數(shù)思想；綜合法；三角函數(shù)的求值；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】依題意，可求得tanC=2,ta∏β=l,利用誘導(dǎo)公式及兩角和的正切可求得tag

=-tan（C+B）的值，得到答案.

【解答】解：在4/8C中，?.?α2+y=c2+α∕>sinC=c2+2"cosC,

?'?tanC=2>1,

.?.c∈（―,2L）；

42

第4頁（共18頁）

又αsin8cosC+csinBcosA=.卜

由正弦定理得：sin∕sin8cosC+sinCsin8cos∕=Y?sin8,又sin8>0,

_2

.*.SilVICoSC+sinCcos/=sin8=2Z^,

2

.?.8=JL或2ZL（舍去），

44

??tan5=1,

/.tanA--tan（C+5）=-tarK，+tanE，=_._≤Ξtl—=3,

1-tanCtanB1-2×1

故選:A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查正弦定理與余弦定理的應(yīng)用，考查誘導(dǎo)公式及兩角和的正切，考查運(yùn)

算求解能力，屬于中檔題.

3.（2021秋?平頂山期中）已知aZBC的角/,B,C所對的邊分別為α,b.c,b=初,α

=1,B=22L,則C=（）

3

A.√5B.2C.√3D.3

【考點(diǎn)】余弦定理.

【專題】計(jì)算題：轉(zhuǎn)化思想；綜合法；解三角形；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】利用余弦定理列出關(guān)系式，將6=√7,α=l,8=2ZL代入即可求出C的值.

3

【解答】解：?.?b=√7α=1,8=等，

/.由余弦定理得fe2=α2÷c2-2αccos8,

即7=12+C2-2X1XCXCoS^2L,

3

解得c=2或C=-3（舍去負(fù)值）.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了余弦定理，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握余弦定理是解本題

的關(guān)鍵.

4.（2020?洛陽三模）已知銳角三角形ANBC的內(nèi)角N,B,C的對邊分別為0,6,c.且6

=2αsinS,則COS8+sinC的取值范圍為（）

A.（0,√3]B.（1,√3]C.（返,旦）D.（?,返）

2222

【考點(diǎn)】正弦定理.

第5頁（共18頁）

【專題】整體思想；綜合法；解三角形；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】由已知結(jié)合正弦定理進(jìn)行化簡可求SirL4,進(jìn)而可求4,結(jié)合銳角三角的條件可

求8的范圍，然后結(jié)合和差角公式及輔助角公式進(jìn)行化簡后結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求

解.

【解答】解:因?yàn)?=2αsinB,

由正弦定理可得，SirLβ=2sinJsiαδ,

因?yàn)镾irLSWO,

故sin√l=A,

2

因?yàn)椤盀殇J角，故N=2L,

6

（1

0<B<-∣-π

由題意可得，，Lk.，

0<-?--B<y∏

uN

解可得,-I-π<B<?-π,

32

則COS?S+sinC=cos8+sin（且L_R）,

6

=c°s8+∕°s8+亨SinB

^√3.r3_

~^^sιnB÷^cosB

=心in<B+∣π）C亭，∣?）?

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正弦定理在求解三角形中的應(yīng)用，還考查了和差角公式在三角

化簡求值中的應(yīng)用，屬于中檔試題.

5.（2015春?銀川校級(jí)期末）Z?∕8C中，若」_則該三角形一定是（）

cosBCosA

A.等腰三角形但不是直角三角形

B.直角三角形但不是等腰三角形

C.等腰直角三角形

D.等腰三角形或直角三角形

【考點(diǎn)】正弦定理.

【專題】解三角形.

第6頁（共18頁）

【分析】已知等式變形后，利用正弦定理化簡，再利用二倍角的正弦函數(shù)公式化簡，即

可確定出三角形形狀.

【解答】解：由己知等式變形得：αcos∕=bcos?S,

利用正弦定理化簡得：SiiVlCoS∕=sin8cos8,即sin2Z=sin28.

.?.2∕=28或2∕+2B=180°，

."=3或4+3=90°,

則4/8C為等腰三角形或直角三角形.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了正弦定理，以及二倍角的正弦函數(shù)公式，熟練掌握正弦定理是解本

題的關(guān)鍵.

6.（2021秋?會(huì)寧縣期末）在aNBC中，角N,B,C所對的邊分別為α,b,c.若。=√W

8=45°,C=75°,則6=()

A.后B.√2C..?2.D.√β

22

【考點(diǎn)】正弦定理.

【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；解三角形；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】先根據(jù)三角形內(nèi)角和求得4進(jìn)而利用正弦定理求得6.

【解答】解：由題意可知，4=180°-45°-75°=60°,

由正弦定理可知」b

sinAsinB

所以z)=a?sinB

sinA

2

故選:B.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正弦定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

7.（2021秋?民樂縣校級(jí)期中）如圖，在4/8C中，BD=DC=?,AC=43,ND4C=30

°,NNDC為銳角，貝∣J/8=（）

BD

A.√3B.√7C.2√2D.2√3

第7頁（共18頁）

【考點(diǎn)】三角形中的幾何計(jì)算；正弦定理.

【專題】計(jì)算題：轉(zhuǎn)化思想；綜合法：解三角形：邏輯推理；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】利用已知條件推出/CLOC,然后求解/5即可.

【解答】解：如圖，在4/8C中，BD=DC=I,AC=M，ND4C=30°,N40C為銳

角，

可得tan3O°=8L=叫所以NCJLOC,

3√3AC

二角形/C8是直角二角形，BC-1?)

所以/8=??22+(Λ∕3)2=々'

故選：B.

BD

【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形的解法，三角形中的幾何計(jì)算，是中檔題.

8.(2021秋?焦作期中)在平面凸四邊形N8CZ)中，ZBAD=?05o,ZABC=GO0,ZCAD

=45°,NCBD=I5°,48=3,則Cz)=()

A.B.3C.3√2D.3√3

【考點(diǎn)】三角形中的幾何計(jì)算；正弦定理.

【專題】計(jì)算題；方程思想；綜合法；解三角形；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】利用正、余弦定理解三角形，即可求CZX

【解答】解：由題設(shè)，得如下示意圖，

易知：Z?∕8C為等邊三角形且N∕O8=30°,NDoC=I5：

所以，由正弦定理，

在AADB中，一蛆—=~??_得AD=3五

sin300sin450

在D中，—絲L=——過二一=__?0--'

sin300sinl050Sin450

而Sinlo5°=sin(60o+45o)=VθjV∑,

4

所以40=3(愿-1),

DO=3我）,

第8頁(共18頁)

則CO=3(2-√3).

在ACOO中，CD2=CO2+DO2-2CO?DO?cos75a=9.

所以CD=3,

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

二.填空題（共4小題）

9.（2021秋?信陽期中）在三角形/8C中，己知α,b,C分別為角4B,C的對邊，A=-,

_3

b-c=l,b2+c2^13,。在BC上，且6SJBO=CS則8。的長為_冬￡_.

5

【考點(diǎn)】三角形中的幾何計(jì)算；余弦定理.

【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；解三角形；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】由已知可得b=3,￠=2,根據(jù)余弦定理求出再由bS^BD=CSJCD，可得毀N?,

~CD3

然后求出BD.

【解答】解：因?yàn)?-c=l,?2+c2=13,所以6=3,c=2,

在三角形Z3C中，由余弦定理有a2=h2+c2-2hccosA,

所以α=J13-12cos專=*，

又因?yàn)?品相。=CS△"￡>,即也幽L=￡,

sΛACDb

所以坨上，又BD+CD=五

CD3

所以8A=2J7.

5

故答案為：

5

【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形中的余弦定理的應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題.

10.（2021秋?荷澤期中）在A48C中，角/,B,C所對的邊分別為α,b,c,若48邊上

第9頁（共18頁）

的高為Lc，當(dāng)叁地四取得最大值時(shí)的SinC=_盟亙_.

3sinBSinA13

【考點(diǎn)】三角形中的幾何計(jì)算；基本不等式及其應(yīng)用；正弦定理；余弦定理.

【專題】函數(shù)思想；綜合法；換元法；解三角形；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】根據(jù)三角形的面積公式結(jié)合正弦定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化，得到且+b=據(jù)inC+2cosC,

ab

再利用輔助角公式轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)進(jìn)行求解即可.

【解答】解：設(shè)力8邊上的高為人貝

3

則三角形的面積S=Ac?Ac=Aa?sinC,得c2=3α6sinC>

232

在A∕8C中，由正弦定理得：≡in?,4?L=A+k=??i,

sinBsinAbaab

222

又c=a+b-2abcosCf

.*.a1+b2=c2+2tzftcosC,

222__

則a+b=C+2abcosC=3absinC+2abcosC=3sinc+2cosC=√13（sinC?

ababab

—2=÷cosC?^_），

√13√13__

令HNp=,=八，H則sinφ=—三-=*V,

√1313√1313

22

則Ok-=Ji3出（C+φ）,

ab

???當(dāng)C+φ=J?,取得最大值J石，

2

止匕時(shí)C=Jl--φ,SinC=Sin（?--φ）=CoSφ=±JH?,

2213

故答案為：當(dāng)叵.

13

【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形中的幾何計(jì)算，考查三角形的面積公式、正弦定理、輔助角公

式的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化與化歸思想及運(yùn)算求解能力，是中檔題.

11.（2021秋?洛陽期中）在AZBC中，a,b,C分別為三個(gè)內(nèi)角/,B,C的對邊，CCoS8+

（2。+6）COSC=0,若4/8C的外接圓面積為π,則a+b的最大值是2.

【考點(diǎn)】三角形中的幾何計(jì)算；正弦定理；余弦定理.

【專題】計(jì)算題；整體思想；演繹法；解三角形；邏輯推理；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】先由正弦定理求出CT□c=√3-再利用余弦定理和基本不等式求解。+人的

3

最大值.

第10頁（共18頁）

【解答】解：CCoS8+(2α+b)COSC=0,

由正弦定理得：sinCcosβ+(2SirL4+sinβ)cosC=0,

即SinCCOSB+sinBCoSC+2SirL4cosC=0,

所以Sin(B+C)+2SirL4cosC=0,即SinJ(l+2cosC)=0,

因?yàn)楱M∈(0,π),所以SirL4W0,故COSC=-，■，

因?yàn)镃∈(0,π),所以c=2;，

???△/8C的外接圓面積為n,.?.Z?ZBC的外接圓半徑為1,

.?.由正弦定理得：-?-=_GL=2,解得：C=√3,

SinC.2兀

Sw3

由余弦定理得：c2=a2+b2-2abcos等=(a+b)2-ab=3，則成=("6)2-3,

由基本不等式得：abC?")2,當(dāng)且僅當(dāng)α=b時(shí)等號(hào)成立，

所以(a+b)2-3<Q})2,解得：α+6W2,

故答案為：2.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查正弦定理的應(yīng)用，余弦定理的應(yīng)用，基本不等式求最值的方法等

知識(shí)，屬于中等題.

12.(2021秋?湖北期中)若G為AZBC的重心，BGlCG,則COS力的最小值為_匹」.

—5―

【考點(diǎn)】三角形中的幾何計(jì)算.

【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；解三角形；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】令福=；,正=］，且它們的模長分別為α,b,夾角為90°,以此為基底向量,

表示出CosA的值，然后借助于基本不等式求解.

【解答】解：如圖：令而=Z,ξc=b;且它們的模長分別為“，b,夾角為90°,

則族=AG+GB=2≡+GC=25+b,同理正=2b+Z，

所以I標(biāo)I=√(2a÷b)2=GT?，∣AC∣=√^W，

AB-AC=(2l+b)?(a+2b)≈2a2+2?2,

故cos/=~??=L2a2+2b2=2(a2+b2)=

IABIIACIV(4a2+b2)(4b2+a2)√4(a2+b2)2+9a2b2

第11頁(共18頁)

2

①，

口212

9ab

4，2-2?2

(a+b)

22

因?yàn)閍+b^2ab,所以(/+廬)224『62,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)，故①式

即cos4的最小值為芻.

5

故答案為：1.

5

【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)量積的運(yùn)算以及基本不等式求最值，屬于中檔題.

三.解答題(共4小題)

13.(2021秋?新鄉(xiāng)期中)如圖，在4/8C中，ZACB=-,BC=M,延長/8至。，使

2

得N∕OC=N.

6

(1)若BD=2,求4/8C的面積；

(2)求48Co面積的取值范圍.

【考點(diǎn)】三角形中的幾何計(jì)算；正弦定理.

【專題】計(jì)算題；方程思想；綜合法；解三角形；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】(1)由正弦定理有一區(qū)一=一些?一，可得SinNBCD=返，得NBCD

sinZBDCSinZBCD2

=JL,從而求得∕C=8Ctan∕N8C=2j^?Λ/^,可求面積；

4

(2)設(shè)/NBC=。，正弦定理可求得8O=2√?in(θ-?),從而SMCθ=Lc?80sin

62

NCBD=1-Sin(2θ+2L),由8的范圍可求得面積的范圍.

23

【解答】解：(1)在48CD中，ZBDC^ZADC^-,由正弦定理有——風(fēng)——=

6sinZBDC

第12頁(共18頁)

BD

sinZBCD'

又BC=近,BD=Z,所以SinN8CZ>=BDsinNBDC=返,

BC2

因?yàn)?8CD為銳角，所以NBCO=工，所以NNBC=N8CZ)+N8DC=旦L,

412

在RtZ?ASC中，5C=√2-ZT45C=∑≡-,則/C=BCtan∕N8C=2揚(yáng)返，

故SΔABC-XAC?BC-2+^

(2)在Rt△/〃C中，設(shè)N/8C=。，則∕CSD=n-0,ZBCD=Q-―,

6

在ABS中，由正弦定理有——區(qū)——=——迎——，得BD=2j9in(。-工),

sinZBDCsinZBCD6

所以SABCD=UC?3Osin∕C8Z)=Lx√^X2√?in(θ-?)sinθ=2sinθsin(θ-―),

一2266

2

=2sinθ(?/?sinθ-ACoSO)=?Γ^mθ-SineCoSO=^?-弓Sin2θ+2Zlχos2θ)=2/?.

22222

TT

-sin(2θ+----),

3

由/8CD=θ-JL,得e>工，又。為銳角，

66

所以θe(?,2L),2e+2Le(2ZL,,?2τ),所以Sin(2θ+2L)∈(-返，返),

62333322

故488面積的取值范圍為(0,√3)?

【點(diǎn)評(píng)】本題考查解三角形在平面幾何中的應(yīng)用，熟練掌握正余弦定理、兩角差的正弦

公式和輔助角公式等是解題的關(guān)鍵，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題.

14.(2021秋?鼓樓區(qū)校級(jí)期中)在①三邊長成等差數(shù)列，②三邊長為連續(xù)奇數(shù)，(3)c2+4a2

=4必，這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，若問題中的三角形存在，求出COSC

的值；若問題中的三角形不存在，說明理由.

問題：是否存在ANBC,它的內(nèi)角4B,C對邊分別是α,b,c,且α<b<c,C=2∕,

?

【考點(diǎn)】三角形中的幾何計(jì)算；正弦定理；余弦定理.

【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；解三角形；邏輯推理；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】選①，不妨設(shè)α=6-d,b=b,c—b+d(<∕>0,a,b,c∈(0,+∞)),利用正

弦定理以及余弦定理，推出結(jié)果COSC=

8

另解：由2b=q+c得，2siιιβ=sirL4÷sinC,即2(3SinJ-4sirp4)=SirL4+2SirL4cosZ轉(zhuǎn)化

第13頁(共18頁)

求解即可.

選②，不妨設(shè)“="-2,b=〃，c=n+2（〃23）,且〃為奇數(shù)，利用正弦定理以及余弦定

理，推出不存在奇數(shù)滿足要求.

222

選③，利用C-2A,得至UsinC=Sin2A=2sinAcosA=2sinA?^~^———-結(jié)合正弦定

2bc

理轉(zhuǎn)化求解即可.

【解答】解：選①，不妨設(shè)a=b-d,b=b,c=h+d（d>0,a,b,Ce（0,+∞））,.........

（1分）

由正弦定理得b+d=b-d,得__b+d_上生，A=b+dι....................(4

sin2AsinA2sinAcosAsinA2(b-d)

分）

由余弦定理得海北+（喘:圮”）b2+4bd_b+4d

22（7分）

2b(b+d)=2(b+d)..................

所以b+d=b+4d,整理的川=5/，因?yàn)閐>0,所以b=5d,................（9分）

2(b-d)2(b+d)

而三邊長為4",5d,6d（d>0）能構(gòu)成三角形,

(4d)2+(5d)2_(6d)21

所以CeISC='（11分）

2?4d?5d8

即COSC=J"?（12分）

O

（用正弦定理將三邊關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系、結(jié)合三倍角公式也可解決此問題）

另解：由2b=a+c得，2sin8=siM+sinC,................(1分)

即2(3SirL4-4sin3∕4)=SirL4+2siMcos4,................(5分)

VsinJ>0,化簡得8cos2∕-2cos4-3=0,(2cos√l+l)(4COS力-3)=0,................(9

分)

V2cosJ+l>0,解得COSA=3，................(11分)

4

cosC=cos2A=^.....................(12分)

O

選②，不妨設(shè)a=〃-2,b=n,c=〃+2(〃23),且〃為奇數(shù)，.........(1分)

由正弦定理得平W-平之，n+2-2,得COSA=嚴(yán)'2................(5

sin2AsinA2sinAcosAsinA2(n-2)

分)

由余弦定理得CoSAjn+2)2+12-?n-2)2=n+8,......................(9分)

2n(n+2)2n+4

第14頁（共18頁）

所以一避—=n+2,整理的（〃+8）（〃-2）=（n+2）2,所以〃=10,................

2（n+2）2（n-2）

（11分）

因?yàn)椤?10不為奇數(shù)，不合題意，故不存在奇數(shù)滿足要求...........（12分）

,2.2_2

選③，?'C=2A,sinC=sin2A=2sinAcosA=2sinA-~=———>..................（3分）

2bc

222

由正弦定理得c=2ae+c-a=/??.....................1分）

2bcb、’

222?2a212χ?a4b5

c+4a=4b,,**c=T--(zc÷-rc),?,7^T,—二，.........

4b4boco

（11分）

ΛCOSC=4^...........（12分）

O

【點(diǎn)評(píng)】本題考查正弦定理以及余弦定理的應(yīng)用，三角形的解法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)

算能力，是中檔題.

15.（2021秋?虹口區(qū)校級(jí)期中）2021年10月13日第18號(hào)臺(tái)風(fēng)“圓規(guī)”在海南某地登陸，

最大風(fēng)力達(dá)到12級(jí).路邊一棵參天大樹在樹干某點(diǎn)8處被臺(tái)風(fēng)折斷旦形成120°角，樹

尖C著地處與樹根/相距10米，樹根與樹尖著地處恰好在路的兩側(cè)，設(shè)NClB=S（A,

B,C三點(diǎn)所在平面與地面垂直，樹干粗度忽略不計(jì)）.

（1）若e=45°,求折斷前樹的高度（結(jié)果保留一位小數(shù)）；

（2）問一輛寬2米，高2.5米的救援車能否從此處通過？并說明理由.

【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；解三角形；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】（1）由題意結(jié)合正弦定理可得一蛆k=~^―=一電k，代入計(jì)算即

sinl5sin45sinl20

可；

（2）設(shè)448C的內(nèi)接矩形。EFG的邊。E在/C上且?！?2,設(shè)。G=￡F=A,由/C/8

=θ,構(gòu)建函數(shù)/∕=gsinθsin（可。"）,再結(jié)合0范圍求得分范圍，然后與救援車

sin60

高比較即可得到答案.