2024屆五年高考數(shù)學真題分類訓練：五 數(shù)列

專題五數(shù)列

考點17等差數(shù)列

題組

一、選擇題

1.［2023全國卷甲，5分］記％為等差數(shù)列｛即｝的前幾項和.若a2+=10，

a4a8=45,則S5=(C)

A.25B.22C.20D.15

［解析］解法一由a2+a6-10,可得2a4=10,所以＜24=5,又a4a8=45,所

以=9.設等差數(shù)列｛即｝的公差為d,則d=合=芋=1，又=5,所

8—44

以ai=2,所以S5=5al+xd-20,故選C.

解法二設等差數(shù)列的公差為d,則由a2+=1。，可得的+3d=5①，

由a4a8=45,可得(%+3d)(ai+7d)-45②，由①②可得的=2,d-1,

所以S5=5%+早xd=20,故選C.

2.(2023全國卷乙，5分)已知等差數(shù)列｛斯｝的公差為等，集合S=

｛cosan\neN*｝,若S=｛a,b］,則ab=(B)

11

A.-1B.—C.0D.—

22

［解析］由題意得an=%+與(71-1),cosan+3=cos(%+y(n+2))=

cos(a1++千)=cos(a1+g71+2n—4)=cos(a1+4九—曰)=

cosan,所以數(shù)列｛cosa九｝是以3為周期的周期數(shù)列，又cosg=cos,+與)=

一［COSQI—Jsinai,cosa3=cos(%+=—geos%+'sin%,因為集合S

中只有兩個元素，所以有三種情況：cos%=cosa2Wcosa3,cos%=cosa3。

cosa2,cosa2=cosa3Wcos%.下面逐一討論：

①當cos%=cosa2Wcosa3時，有cos的=--cos^——sin^,得tan%=

—V3,所以ab=cos%(一1cos%+/sinai)=cos2al+^-sina^os^=

--1cos7zdi+,—V3si.na^cosai-1,V3t.ana1—1-31

2

sin2al+cos2altana1+l3+12"

②當cos%=cosa3Wcosa2時，有cos的=-1cos%+日sin%,得tan%=

V3,所以ab=cos%（一1cos%-苧sinaj=cos2al-弓sinaicos的=

1V3.1阮13

--cos7Qi——sinaiCosai--——tana1----i

sin2al+cos2altan2a1+i3+12'

③當cosa?=COS<23豐cosa1時，有一［cos%-苧Sina1=—^cos^+sina-L,

得sin%=0,所以ab=cosai（一］cosai一弓sinaj=cos2al=

-|（1-sin2^）=-1.

綜上，ab--故選B.

【速解】取的=一］，則cos4=1,cosa2—cos（%4-等）=|,cosa3=

cos（%+等）=-1,所以S=g,-1｝,ab--,故選B.

3.［2021北京，4分］已知｛%｝和也｝是兩個等差數(shù)列，且詈（1WkW5）是常

bk

值，若的=288,a5=96，瓦=192,則出的值為（C）

A.64B.100C.128D.132

［解析］因為5｝和也｝是兩個等差數(shù)列，所以2a3=的+。5=288+96=384,

所以。3=192.因為當1W/CW5時，詈是常值，所以詈=詈=曾=詈，從而

bk匕3匕1192b3

b3=128.故選C.

4.［2020全國卷II,5分］如圖，北京天壇的圜丘壇為古代祭天的場所，分上、

中、下三層.上層中心有一塊圓形石板（稱為天心石），環(huán)繞天心石砌9塊扇面

形石板構(gòu)成第一環(huán)，向外每環(huán)依次增加9塊.下一層的第一環(huán)比上一層的最后一

環(huán)多9塊，向外每環(huán)依次也增加9塊.已知每層環(huán)數(shù)相同，且下層比中層多729

塊，則三層共有扇面形石板（不含天心石）（C）

A.3699塊B.3474塊C.3402塊D.3339塊

［解析］由題意知，由天心石開始向外的每環(huán)的扇面形石板塊數(shù)構(gòu)成一個等差數(shù)

列，記為｛冊｝，設數(shù)列｛斯｝的公差為d，前n項和為&,易知其首項的=9,

d=9,所以斯=%+(n-l)d=9n.由等差數(shù)列的性質(zhì)知％,S2n一

Sn,S3n-S2n也成等差數(shù)列，所以2(S2n-Sn)=Sn+S3n-S2n,所以

—型注竺2_2*迎回=9幾2=729,

(S3九一$2九)(52—S九)=S—2S—

n2nn22

得律=9,所以三層共有扇面形石板的塊數(shù)為S3,=3-9：27n)=3x9x(727x9)

3402,故選C.

5.［2020浙江，4分］已知等差數(shù)列｛斯｝的前n項和為臉，公差dW0,且果工1.

記瓦=S2,bn+1-S2n+2-S2n,nGN*,下列等式不可能成立的是(D)

A.2a4—a2+2b4—b?+b$C.a友—a2a8D.bj—b2b§

［角牛析］由"j+i—S2n+2—S2n,得歷=。3+。4=2al+5d,Z)4—CLy+Cig—

2al+13d,b6=atl+a12,b8=a15+a16=2al+29d.由等差數(shù)列的性質(zhì)易

知A成AL;右2/)4=+°6，則2(。7+。8)=。3++^12=2a7+2(2g,

故B成立；若苗=a2a8，即(的+3d/=(的+4)(%+7d),則的=d，故C可能

成立；若用=b2b8，即(2的+13d)2=(2的+5d)(2ai+29d),則詈=|,與

已知矛盾，故D不可能成立.

1

6.［2020北京，4分］在等差數(shù)列｛斯｝中，的=-9,a5=一1.記7n=

ara2...an(n=1,2,...)，則數(shù)列｛〃｝(B)

A.有最大項，有最小項B.有最大項，無最小項

C.無最大項，有最小項D.無最大項，無最小項

［解析］設等差數(shù)列｛冊｝的公差為d,a1——9,a5——1a5——9+4d—

—1d-2an——9+(n-1)x2—2n—11.令—2TI—11W0，則nW

5.5n<5時,a”<0；n>6時,(1rl>0.Tr——9<0,T2=(—9)x(—7)=

63>0,T3=(-9)x(-7)x(-5)=-315<0禽=(-9)x(-7)x(-5)x

(-3)=945>0,T5=(-9)x(-7)x(-5)x(-3)x(-1)=-945<0，當n>6

時,即>0,且621，；?O+i<&<0，；?〃=。遂2…即(九=1,2,…)有最大

項篤，無最小項，故選B.

7.［2019全國卷I,5分］記％為等差數(shù)列｛斯｝的前幾項和.已知$4=0,=

5,則(A)

22

A.an=2n—5B.an=3n-10C.Sn=2n—8nD.Sn=1n—2n

［解析］解法一設等差數(shù)列｛冊｝的公差為d,???金4：4al+等4=0,解得

>a+4d=5,

｛j_2>.，?etc=%+(7i—l)d=-3+2(ri-1)=271—5,Sn=TICL^+

九(；1，d=n2l—4n.故選A.

4x3

4fll+—d=0,解得

(+4d=5,

:2一3選項A，%=2x1—5=-3；選項B,%=3x1-10=—7,排

除B;選項C,Si=2—8=—6,排除C；選項D,Sj=j-2=,排除

D.故選A.

【方法技巧】等差數(shù)列基本運算的常見類型及解題策略

(1)求公差d或項數(shù)n.在求解時，一般要運用方程思想.

(2)求通項.國和d是等差數(shù)列的兩個基本元素.

(3)求特定項.利用等差數(shù)列的通項公式或等差數(shù)列的性質(zhì)求解.

(4)求前幾項和?利用等差數(shù)列的前幾項和公式直接求解，或利用等差中項間接

求解.

二、填空題

8.［2022全國卷乙，5分］記％為等差數(shù)列｛斯｝的前律項和.若2s3=3S2+6,

則公差d=2.

［解析］因為2s3=3S2+6，所以2(4+a2+a3)=3Q+a2)+6,化簡得3d=

6,得d=2.

9.［2020新高考卷I,5分］將數(shù)列｛2九-1］與｛3九-2)的公共項從小到大排列

得到數(shù)列｛5｝，則｛冊｝的前幾項和為3層一2幾.

［解析］設g=2n-1,cn=3n-2,bn=cm，貝!J2n-1=3m-2，得九=秒二=

313+2_m(：T)_|_i,于是TH—1=2k,k￡N,所以zn=2k+1EN，則

3+，

ak=3(2/c+1)—2=6/c+1,/cEN,得a九=6n—5,nGN*.故S九=彳x

n=3n2—2n.

10.(2019全國卷m,5分)記無為等差數(shù)列的前n項和.若的10,a2=

3%,則等=4.

［解析］設等差數(shù)列｛冊｝的公差為d，由“2=3a1,即+4=3%,得d=2a1,

SCI；I^10_10吁1丁0x9「_10%+丁10x9X2%_100_

—5叼+字d-5ai+等X2ai-25-,

11.［2019北京，5分］設等差數(shù)列｛冊｝的前律項和為％.若a2=-3,S5=

-10,則。5=。，S”的最小值為-10.

［解析］設等差數(shù)列5｝的公差為d，???償：一備即華；+￡［；3，..可得

3al十lUa=-1U,

?二"%+4d=0.vS=na+d=-(n2—9n)當幾=4

CL—Lnr"九2―。2

或n=5時，Sn取得最小值，最小值為-10.

12.［2019江蘇，5分］已知數(shù)列｛即｝(71GN*)是等差數(shù)列，Sn是其前n項和.若

a2a5+。8=0，S9—27,則Sg的值是16.

［解析］解法一設等差數(shù)列｛斯｝的公差為d,則a2a5+a8-(%+或(的+4d)+

2

a1+7d-a1+4d+5ald+a1+7d-0,S9—9al+36d=27,解得a1=

-5,d=2，則S8=8al+28d=-40+56=16.

解法二設等差數(shù)列｛a"的公差為&S9=%詈2=9a5=27"5=3,又a2a5+

。8=0，則3(3—3d)+3+3d=0,得d=2,則S&=8aL8)=+。5)=

4(1+3)=16.

【方法技巧】在等差數(shù)列｛%J中，若m+n-p+q,m,n,p,qeN*,則a7n+

。九CL-pIQq,

三、解答題

13.［2023全國卷乙，12分］記端為等差數(shù)列｛an｝的前律項和，已知a2=

11So=40.

(1)求｛斯｝的通項公式；

［答案］設｛時｝的公差為d,則停：猊時黑―40

210__Luai十40a——u,

解得=13,d=-2.

所以｛a九｝的通項公式為%=13+(n—1)-(—2)=15—2n.

(2)求數(shù)列｛|型|｝的前71項和

［答案］由(1)得|anI=(2n^l5n>8

2

當n￡7時，Tn^Sn=13n+硬x(-2)=14n-n,

22

當n28時，Tn=-Sn+2S7=-(14n-n)+2(14x7-7)=98-14n+

14n—n2,n<7,

綜上=

98—14n+n2,n>8.

14.［2023新高考卷I,12分］設等差數(shù)列｛冊｝的公差為d，且d>1.令加

咳出,記又心分別為數(shù)列｛&J,也｝的前幾項和.

an

(1)若3G2=3al+的扁+73=21，求｛an｝的通項公式；

［答案］因為3a2=3al+%，所以3(@2—ai)=%+2d,

所以3d=ar+2d，所以的=d,

所以a九=nd.

因為“=詈，所以“=詈=等，

所以=3(01+03)=39+3d)=T=b+b2+b3=-+-+-=

§223126dddd

因為S3+T3=21,

所以6d+2=21,解得d=3或d=L

a2

因為d>1,所以d=3.

所以｛斯｝的通項公式為由i=3n.

(2)若｛%｝為等差數(shù)列，且S99—799=99,求d.

［答案］因為垢=4,且｛4｝為等差數(shù)列，

an

所以2/)2=瓦+①，即2X——--1--,

a2al03

所以一^-----=―--,所以—3ald+2d2=0,

L

ar+d的的+2d-*■

角窣得%—d或%=2d.

①當ai=d時，a”=nd,所以“=，

99(的+。99)=99(d+99d)=99x50d,

22

T_99(比+比9)_99(|+*)_99X51

99-2-2一d?

因為S99-r99=99,

所以99x50d-=99,

d

即50d2—d—51=0,

解得d=|^或d=—1（舍去）.

②當?shù)?2d時，an=（n+l）d,所以垢=

99（叼+<299）_99（2d+100d）

99（加+為9）_9嗚+詈）__99X50

2-2-d

因為S99-799=99,

所以99x51d—絲”=99,

d

即51d2-d-50=0,

解得d=—（舍去）或d=1（舍去）.

51

綜上，八弟

15.［2022全國卷甲，12分］記％為數(shù)列｛斯｝的前律項和.已知竽+n=2%+1.

（1）證明:｛冊｝是等差數(shù)列；

2

［答案］由卓+n—2an+1,得2Sn+n=2ann+n①，

2

所以2Sn+i+（?2+I）=2an+i（zi+1）+（71+1）②，

（2）—（J）,得2。九+1+2n+1=2Q九+1（71+1）—2%1Tl+1,

化簡得%+1-詢=1,所以數(shù)列｛時｝是公差為1的等差數(shù)列.

（2）若"7"9成等比數(shù)列，求S九的最小值.

［答案］由（1）知數(shù)列的公差為1.

由好=a4a9，得+6）2=（%+3）（%+8）,

解得的=-12.所以％=-12n+中=吧押=2（八一KT一等，所以當

ZZ2.\2,/o

n=12或13時，Sn取得最小值，最小值為-78.

16.［2021新高考卷II,10分］記％是公差不為0的等差數(shù)列｛時｝的前律項和，

（1）求數(shù)列的通項公式;

［答案］設等差數(shù)列｛斯｝的公差為d（d豐0）,

彳曰1+2d=5al+10d,彳曰=—4,

則由題意,寸1(%,++3d)=4al+6d母id=2

所以。九=+(九一l)d=2it—6.

（2）求使與成立的幾的最小值.

［答案］=當詈也=若型=層—5n,

則由足—5n>2n—6,整理得標—7n+6>0,解得n<1或律>6.

因為nGN*,所以使%>an成立的律的最小值為7.

17.［2021全國卷甲，12分］已知數(shù)列｛斯｝的各項均為正數(shù)，記％為｛冊｝的前n項

和，從下面①②③中選取兩個作為條件，證明另外一個成立.

①數(shù)列｛a"是等差數(shù)列；②數(shù)歹!）｛離｝是等差數(shù)列；③。2=3%.

注:若選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計分.

［答案］①③=②.

已知｛a葭｝是等差數(shù)列,a2=3al.

設數(shù)列｛冊｝的公差為d,則a?=3al=a1+d,得d=2at,

所以％=律的+,（?。ヾ=712al.

因為數(shù)列｛a"的各項均為正數(shù)，所以戶=幾何，

所以醫(yī)=一代=0+1）后一九風=風（常數(shù)），所以數(shù)列｛戶｝是等

差數(shù)列.

①②二③.

已知｛a"是等差數(shù)列，｛店｝是等差數(shù)列.

解法一易得店+店=2店，即回；+圾=27%+a2，兩邊同時平方得

___2

3a2+的+2y/3a1a2-4（電+a2），整理得（J3al—=0，所以a?=3al.

解法二設數(shù)列｛&J的公差為d,

2n

貝USn=nar+d=|nd+（%~~）-

因為數(shù)歹U｛戶｝是等差數(shù)列，所以數(shù)歹U｛后｝的通項公式是關(guān)于n的一次函數(shù)，

則電—g=0，即4=2a1,所以a2=%_+d=3al.

②③今①.

已知數(shù)歹UG/1｝是等差數(shù)列，0-2-3a1,所以Si=a1,S2-a1+a2-4al.

設數(shù)歹U｛J^｝的公差為d9d>0,則=14al—=d,得的=

d2,所以+(n—l)d=nd,所以S九=n2d2,

2222

所以％i=Sn-Sn_±=712d2—(n—l)d=2dn—d(n>2),所以a九—

an_r=2d2(幾>2),

所以數(shù)列｛&J是等差數(shù)列.

考點18等比數(shù)列

題組

一、選擇題

1.12023全國卷甲，5分］設等比數(shù)列｛a〃｝的各項均為正數(shù)，前律項和為％,若

%=1,S5=5S3—4,則S4=(C)

A.—B.—C.15D.40

88

［解析］解法一若該數(shù)列的公比q=1,代入S5=5$3—4中，有5=5x3—4,

不成立，所以qHl.由詈=5x巖—4,化簡得94一512+4=0,所以92=

1(舍)或d=4,由于此數(shù)列各項均為正數(shù)，所以q=2,所以54=智=

l-q

15.故選C.

解法二由已知得1+q+q2+q3+=5(1+q+/)_4，整理得

(l+q)(q3—4q)=0,由于此數(shù)列各項均為正數(shù)，所以q=2,所以S4=1+

q+q?+q3—1+2+4+8—15.故選C.

2.［2023天津，5分］已知｛%｝為等比數(shù)列,Sn為數(shù)列｛。天的前71項和，an+1=

25陞+2,則。4的值為(C)

A.3B.18C.54D.152

［解析］解法一因為即+1=2Sn+2,所以當n22時，an=25^+2,兩式相

減得斯+1-%=2a,即冊+i=3a,所以數(shù)列｛冊｝是公比q=%1=3的等

nnan

比數(shù)列.當n=1時，a2-2sl+2-2al+2,又a2=3at,所以3al=2al+

33

2,解得的=2,所以a4=a1q=2x3=54,故選C.

解法二設等比數(shù)列｛冊｝的公比為q,因為冊+i=2Sn+2,所以公比qAl,

且出—+2=—碼n+碼+2,所以11-q'又的寸0,所

1-Q1-Q1-Q0=—+2

ki-q'

以q=3,@i=2,所以*=aiQ3=2x33=54,故選C.

3.［2023新高考卷II,5分］記幾為等比數(shù)列的前律項和，若S4=-5,S6=

21s2,則S8=(C)

A.120B.85C.-85D.-120

［解析］解法一設等比數(shù)列的公比為q(qAO),由題意易知則

aiQY)__5

2

二g化簡整理得q-4,_

fli_1所以Sg—----------------——X

l-q

,1-Q-3'3

i-ql-q

(1-44)=-85.故選C.

S2,S4-S2,

解法二易知s6-s4,s8-s6,……為等比數(shù)列,所以

2

(S4-S2)=S2?($6-S4)，解得S2=-1或S2=：.當S2=-1時，由

(S-S)2=(S-S)-(S-S),S8=-85；S2=：

644286解得當時,結(jié)合―-5

4

”式…4)二_5

得at：q2)5，化簡可得=一5，不成立，舍去.所以$8=-85,故選C.

1—Q4

4.［2022全國卷乙,5分］已知等比數(shù)列｛即｝的前3項和為168,a2-a5=42,

則a6=(D)

A.14B.12C.6D.3

+。3=168,Q|-|

［解析］解法一設等比數(shù)列｛冊｝的公比為q,由題意可得

的_@5=42,

+=168,解行%=96,

_1所以=出口'-

。科(32寸

1—q)=—q)(l+q+q)=42,q=w，

3,故選D.

(ai(1_q3)_〔z-0

解法二設等比數(shù)列｛冊｝的公比為q，易知q豐1，由題意可得1-Q一’

Qiq(l-q3)=42,

(%=96,

s

解得｛_1所以@6=arq-3,故選D.

(q-2)

5.［2021全國卷甲，5分］記％為等比數(shù)列｛斯｝的前71項和.若S2=4,S4=6,

則S6=(A)

A.7B.8C.9D.10

［解析］解法一因為S2=4,S4=6,所以公比qHl,所以由等比數(shù)列的前n項

($2=如心；2)=%(1+q)=4,

和公式，得《,X兩式相除，(技巧點撥：與

卜4=巴曰=%(1+/(1+冷=6,

等比數(shù)列有關(guān)的方程組，求解時通常利用兩式相除，達到消元、降次的目的)

%=4(2+V2),

的=4(2一⑨，ai(lY)

得q2=g所以V2或V2所以S6=

q=Fi-q

7.故選A.

解法二易知公比q豐-1,則S2￡-S2,S6-S4構(gòu)成等比數(shù)列，所以

2

S2(S6-S4)=(S4-S2)，即4($6-6)=22，所以S6=7.故選A.

6.［2020全國卷I,5分］設｛斯｝是等比數(shù)列，且的+a2+a3-1,a2+a3+

—2，則+。7+。8=(D)

A.12B.24C.30D.32

［解析］解法一設等比數(shù)列｛冊｝的公比為q,所以：：：：；：：；=(XX普=q=

22

2,由的+a2+a3-的(1+q+q)-。式1+2+2)=1,解得的=|,所以

567567s2

a6+a7+a8—a^q+q+q)=x(2+2+2)=^x2x(l+2+2)=

32,故選D.

解法二令5-an+an+1+an+2(nGN*),則6n+1=an+1+an+2+an+3.設數(shù)

列的公比為q,則皿=麗+1+而+2+―+3=(而+為+1+即+2用=、，所以數(shù)列

%an+an+l+an+2an+an+l+an+2

｛bn)為等比數(shù)列，由題意知比=1力2=2,所以等比數(shù)列｛g｝的公比q=2,

5

所以匕=2NT,所以星—a6+a7+a8-2—32,故選D.

7.［2020全國卷II,5分］數(shù)列｛冊｝中，電=2^m+n=?右以+1+。上+2+

…+以+10=215—25，貝必=(C)

A.2B.3C.4D.5

［解析］令m=1，則由cim+n=aa,得冊+1=aa,即&i1=的=2,所以

mnxnan

數(shù)列｛即｝是首項為2、公比為2的等比數(shù)列，所以廝=2",所以以+1+%+2+

k+11015

…+以+10=aX%+a2+…+a10)=2"x=2x(2-1)=2-

25=25x(210-1),解得k=4,故選C.

8.［2019全國卷III,5分］已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列｛a。｝的前4項和為15,

且=3a3+4a1,則＜23=（C）

A.16B.8C.4D.2

［解析］設等比數(shù)列｛&J的公比為q,由＜25=3a3+4al得q”-3q2+4,得q?=

4,因為數(shù)列｛即｝的各項均為正數(shù)，所以q=2,又％,+a2+a3+a4

22

%（1+q+q+q3）—的。+2+4+8）=15,所以的=1,所以a?=a1q—

4.

二、填空題

aa

9.［2023全國卷乙，5分］已知｛時｝為等比數(shù)列，a2a4a5=a3a6^9io=一8，則

=-2.

［解析］解法一設數(shù)列｛%i｝的公比為q,則由a2a4a5=。3a6，得%.q,^q3,

42s

a1q=a1q?a1q.又的W0,且qW0,所以可得Qiq=1①.又a9aio=

89217

qqa1q②，所以由①②可得qi5=—8,g5=-2,所以

65

a7=arq=a±q-q=—2.

解法二設數(shù)列｛冊｝的公比為q.因為a4a5=。3G6。。，所以勾=1.又“Wio=

7s15s

a2q.a2q=q=—8,于是q'=-2,所以電=a2q=-2.

10.［2019全國卷I,5分］記分為等比數(shù)列｛即｝的前n項和.若的=1,端=

a6,則S5=季.

［解析］解法一設等比數(shù)列｛斯｝的公比為q,因為*=。6,所以（。W3）2=

5

atq,所以生_（?=1,又a［=：,所以q=3,所以S5—）―）=

121

3.

a

解法二設等比數(shù)列｛斯｝的公比為q,因為諼=a6,所以a2a6=6，所以。2=

1,又所以q=3,所以$5=當子=/m=等.

三、解答題

11.［2020全國卷I,12分］設｛即｝是公比不為1的等比數(shù)列，的為a2，。3的

等差中項.

（1）求｛冊｝的公比；

2

［答案］設｛冊｝的公比為q，由題設得2al-a2+a3，即2al=a1q+a1q.

所以q2+q_2=0,解得q=1（舍去）或q=-2.

故｛a"的公比為一2.

（2）若的=1,求數(shù)列｛>時｝的前72項和.

［答案］記立為｛嗎｝的前71項和.由（1）及題設可得，an=（―2尸-1.

所以*=1+2x(-2)+-+nx(一2嚴-1,

n

-2Sn=-2+2x(-2)2+-+(n-l)x(-2)^+nx(-2).

可得3Sn=1+(-2)+(—2)2+…+(一2尸-nx(-2)n

卓2一律X(-2)”.

(3n+1)(―2)九

所以端=9

12.［2020新高考卷I,12分］已知公比大于1的等比數(shù)列｛即｝滿足a2+=

20,a3=8.

（1）求｛an｝的通項公式;

32

［答案］設｛&J的公比為q.由題設得的（?+arq=20,arq=8.

解得q—|（舍去）或q=2.由題設得的=2.

所以的通項公式為斯=2n.

（2）記“I為｛斯｝在區(qū)間（0,叫（7?1CN*）中的項的個數(shù)，求數(shù)列｛“J的前100

項和Si。。.

［答案］由題設及（1）知瓦=0,且當2葭wm<2n+1時，bm=n.

所以S1OO=瓦+（匕2+b3）+（b4+生+生+力7）T---卜（匕32+匕33---卜匕63）+

（生4+壇5+…+瓦oo）=0+1X2+2X22+3X23+4X24+5X25+6X

（100-63）=480.

【方法技巧】求解本題第（2）問的關(guān)鍵在于找準TH的取值和冊的聯(lián)系，可從

小到大進行列舉，找規(guī)律，從而可得結(jié)果.

13.［2019全國卷II,12分］已知｛即｝是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列,的=2/=

2。2+16.

（1）求｛an｝的通項公式;

［答案］設｛冊｝的公比為q，由題設得

2q2=4q+16，即q2-2q-8=0.

解得q=-2（舍去）或q=4.

因此｛冊｝的通項公式為斯=2x4“T=2271-1.

（2）設垢=log2%t,求數(shù)列｛%｝的前幾項和.

［答案］由(1)得砥=(271-1)10822=2-一1,因此數(shù)列｛,｝的前幾項和為1+

3H-----1-2n—1=n2.

考點19遞推數(shù)列與數(shù)列求和

題組一

一、選擇題

1.［2021浙江,4分］已知數(shù)列滿足電=1,an+1=~rh（nGN*），記數(shù)列

｛an）的前般項和為立,則（A）

3Q9

A.5<Si。。<3B.3<Si。。<4C.4<S100<-D.-<5,100<5

［解析］因為Qi=1,a=黑-，所以％i>0,%［，所以Sioo>|---=

n+11+aa

Vn乙乙n+l

上叵=2+/=(/+32—；.所以二一<(/+32,兩邊同時開方可得

aaaaaa

nnVn\yjn2yz4n+l\yjn?)

心則念〈於息＜意+?由累加法可得1

春+］=1+］,所以/W1+?=等'所以2高，所以an+l=

7ZZ.JCLfiZZY/l+±

Qnv而_n+1鳴產(chǎn)震，則公工揖音轉(zhuǎn)，由累乘法可得

1+再-1+高一九+371

、［/.、c_LCL-n>71?1—171—2326,

nXX6

當n22時，=—X-5；=(n+2)(n+1)=

京），所以300＜1+6（卜；+?\+…+壺一磊）=1+6（:磊）＜1+

2=3,故選A.

【方法技巧】利用放縮法，結(jié)合累加法與累乘法求得斯工6（^―總），從而

利用裂項相消法計算Si。。的取值范圍.

二、填空題

2.［2021新高考卷I,5分］某校學生在研究民間剪紙藝術(shù)時，發(fā)現(xiàn)剪紙時經(jīng)常會

沿紙的某條對稱軸把紙對折.規(guī)格為20dmx12dm的長方形紙，對折1次共可以

得到10dmx12dm,20dmx6dm兩種規(guī)格的圖形，它們的面積之和S1=

240dm2,對折2次共可以得到5dmx12dm,10dmx6dm,20dmx3dm三種規(guī)

格的圖形，它們的面積之和S2=180dm2，以此類推.則對折4次共可以得到不同

規(guī)格圖形的種數(shù)為5；如果對折律次，那么￡Sk=240（3-啜dm2.

fc=l

［解析］依題意得，S1=120X2=240；S2=60X3=180；

當?i=3時，共可以得到5dmx6dm,jdmx12dm,10dmx3dm,20dmx

|dm四種規(guī)格的圖形，且5x6=30,|x12=30,10x3=30,20x|=

30,所以S3=30x4=120；

當?i=4時，共可以得到5dmx3dm,-dmx6dmdmx12dm,10dmx

24

"m,20dmx|dm五種規(guī)格的圖形，所以對折4次共可以得到不同規(guī)格圖形的

24

種數(shù)為5,且5x3=15,§x6=15,-x12=15,10x-=15,20x-=

2424

15,所以S4=15x5=75；

所以可歸納品=矍x（k+1）=當*.

所以￡S"240（1+*+/+…+號+麋）①’

k=l

所以［xgSk=240償+卷+*+…+合+罪）②,

K—1

由①一②得,1x￡Sk=240（1+/+專+,+…+1—霜）=

_1____1_1\

（1+三誓—蔡司=240（|—泰），（提示：用等比數(shù)列的前n項和公

式％=轉(zhuǎn)答（9豐1），可避免計算數(shù)列項數(shù)時出錯）

所以文5^=240（3-*）dm2.

Zc=1

n

3.［2020全國卷I,5分］數(shù)列｛冊｝滿足冊+2+（-l）an=3n-1,前16項和為

540,則4=7.

n

[解析]因為數(shù)列｛/J滿足a陞+2+(-l)an-3n-1,所以當n=2k(kEN*)

時，a2k+2+a2k-6k—l(kCN),所以(a2+。4)+(。6+。8)+

(di。+。12)+(。14+。16)=5+17+29+41—92.當n—2k—l(/ceN)時,

a2k+1-a2/c-i=6k—4(/cGN*),所以當/c22時，a2k-1-a1+(a3-%)+

(。5—。3)+(a7—a5)+--1-(a2k-l—a2k-3)=%+2+8+14H---F

[6(/c—1)-4]=%+(2+6k-：o)d)=%+(3/c—4)(/c-1),當k=1時上式也

成上，所以。2/＜：-1+(3k—4)(/c—1)(kCN),即。2k-1=a1+3k2—

7k+4(/cGN*).

解法一'所以+(23+05+07+…+。15=8的+3x(I2+22+32+…+82)—

7x(1+2+3+…+8)+4X8=8%+3x小弋歿%-7x生管+

32=8al+612-252+32=8al+392.又前16項和為540,所以92+8al+

392=540,解得的=7.

解法—.所以。2上-1=+(3k.2+3k+1)—10k+3=a[+[(/c+I)3—/c3]—

3333

10k+3,所以a[+(13+tig+<27+…+cii5=8al+(2—l)+(3—2)+

…+(93-83)-10x-土誓+3x8=8的+93-I?_360+24=8al+392.

又前16項和為540,所以92+8al+392=540,解得的=7.

【拓展結(jié)論】I2+22+32+42+-+n2=n(n+1X2n+1).

6

三、解答題

4.[2023全國卷甲，12分]記端為數(shù)列｛冊｝的前n項和，已知a?=1，2sL

71a九.

(1)求的通項公式;

[答案]當n=1時，2sl—的，即2al—,所以的—0.

當n22時，由2S"=nan,得2S"_i=(n-1)冊_1,

兩式相減得2冊=nan-(n-1)即_1,

即(n-l)an_x=(n-2)an,

當n=2時，可得的=0,

故當律23時，上=匕1,則上?一.….也=匕\三.…一，

a九一1n-2an_1an_2a2n-2n-31

整理得=n—1,因為g=1，所以a九=n—l(n>3).

a2

當九=1,?i=2時，均滿足上式，所以a九二TI—1.

(2)求數(shù)列｛曾｝的前ri項和7；.

[答案]令以=等=會，

則%=瓦+無H---Fbn_]+=|+^H---F+會①,

-T=—+—+—卜^+—②,

2n22十23十十2rl十2九+1J7

由①-②得加=、+'+/+…+(_券=2,_jn)一向=―筮，

2

2+n

即=

5.［2019全國卷II,12分］已知數(shù)列和｛%｝滿足的=1,瓦=0,4an+1=

3冊—bn+4,4bn+1-3bn——4.

（1）證明:｛冊+“｝是等比數(shù)列，｛冊―%｝是等差數(shù)列；

［答案］由題設得4（冊+1+bn+1）=2（an+bn）,BPan+1+bn+1=|（an+bn）.

又因為電+瓦=1，所以｛a“+bn）是首項為1,公比為:的等比數(shù)列.

由題設得4（%i+i—bn+i）=4（an—%）+8,BPczn+1—Z?n+1=an—bn+2.

又因為電-bl=1，所以｛an-bn）是首項為1,公差為2的等差數(shù)列.

（2）求｛冊｝和｛%｝的通項公式.

［答案］由（1）知,a葭+bn-,an-bn-2n-1.

所以冊=|［（an+bn）+（an—bn）］=^+n—|,

a72

bn［（n+bn）-3n一勿）］=/-+：.

【方法技巧】破解此類題的關(guān)鍵：一是用定義，即根據(jù)所給的等式的特征，將

其轉(zhuǎn)化為數(shù)列相鄰兩項的差（比）的關(guān)系，利用等差（比）數(shù)列的定義，即可

證明數(shù)列為等差（比）數(shù)列；二是用公式，即會利用等差（比）數(shù)列的通項公

式，得到各個數(shù)列的通項所滿足的方程（組），解方程（組），即可求出數(shù)列

的通項公式.

【易錯警示】在利用等差（比）數(shù)列的定義時，既需注意是從第二項起，又需

注意是后項與前項的差（比），在運用等比數(shù)列的通項公式時，注意不要與等

比數(shù)列的前71項和公式搞混.

題組二

解答題

1.［2023新高考卷II,12分］已知｛冊｝為等差數(shù)列,“=fn—6,兀為奇數(shù).記

12冊，律為偶數(shù)

Sn,Tn分別為數(shù)列｛冊｝,｛bn）的前般項和，54=32,&=16.

（1）求｛冊｝的通項公式；

［答案］設等差數(shù)列但工