2022-2023學年高一數(shù)學人教A版2019選擇性必修第二冊試題5-3-2函數(shù)的極值與最大（?。┲?/h1>

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532函數(shù)的極值與最大(小)值(分層作業(yè))(夯實基礎+能力提升)

【夯實基礎】

一、單選題

1.(2022?新疆?昌吉州行知學校高二期末(文))如圖是函數(shù)y=∕(x)的導函數(shù)y=f(x)的圖象，給出下

①χ=-2是函數(shù)y=f(χ)的極值點；

②41是函數(shù)y=∕(χ)的極值點；

③y=f(χ)的圖象在X=O處切線的斜率小于零；

④函數(shù)y=/O)在區(qū)間(-2,2)上單調遞增.

則正確命題的序號是(????)

A.①②B.②④C.②③D.①④

【答案】D

【分析】根據(jù)導數(shù)的幾何意義，與函數(shù)的單調性，極值點的關系，結合圖象即可作出判斷.

【詳解】對于①，根據(jù)導函數(shù)圖像可知，-2是導函數(shù)的零點，且-2的左右兩側導函數(shù)值符號異號，故-2是

極值點，故①正確；

對于②，1不是極值點，因為1的左右兩側導函數(shù)符號一致，故②錯誤；

對于③，0處的導函數(shù)值即為此點的切線斜率顯然為正值，故③錯誤；

對于④，導函數(shù)在(-2,2)恒大等于零，故為函數(shù)的增區(qū)間，故④正確.

故選：D

【點睛】根據(jù)導函數(shù)和原函數(shù)的關系很容易分析單調性，然后要注意對極值點的理解，極值點除了是導函

數(shù)得解還一定要保證在導函數(shù)值在此點兩側異號.

2.(2022.全國?高二期末)已知函數(shù)"x)=x3+d√+6χ+c,下列結論中錯誤的是(????)

A.≡?∈R,/(?)=0

B.函數(shù)八力的值域為R

C.若，是〃X)的極值點,則/'(x°)=0

D.若Xi)是的極小值點，則/(x)在區(qū)間(9,司)單調遞減

【答案】D

【分析】根據(jù)三次函數(shù)的圖像特征，可判斷A,B選項，根據(jù)極值點的定義，可知C選項，根據(jù)極值點與單

調性的關系，即可判斷.

【詳解】對AJ(X)=X3+/+云+。是三次函數(shù)，則在R上一定有零點，且值域為R,所以A,B都對.

對C,三次函數(shù)是連續(xù)的，故Xl)是f(x)的極值點，則/'(%)=0是對的.

對于D,因為三次函數(shù)/(x)的三次項系數(shù)為正值，若函數(shù)/(x)存在極值點，則/(%)=3/+2仆+力=0必有

兩根，故函數(shù)/(X)必有兩個極值點，設為％l,x2(x2>芭)，且極小值點為Wn%=%，，函數(shù)〃X)在

(YO,X∣),(XO,+e)遞增，在(再,天)遞減，故。錯誤.

故選：D

3.(2022.四川達州.高二期末(文))函數(shù)/(x)=Y-2x2-4x+3(0≤x≤3)的最小值為(????)

A.-8B.-5C.OD.3

【答案】B

【分析】利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，進而求得函數(shù)的最值.

【詳解】V/(X)=X3-2X2-4X+3(0≤X≤3),Λ∕,(x)=3X2-4x-4,

當0≤x<2時，/'(x)<0得，故/(x)在(0,2］上單調遞減，

當2<x≤3時，用勾>0得，故/(x)在(2,3］上單調遞增，

又“2)=—5,故當x=2時/(x)取最小值-5,

故選：B

4.(2022.浙江.高二階段練習)已知函數(shù)/(x)=χ21nx+αr存在減區(qū)間，則實數(shù)。的取值范圍為(？??？)

33_33

A?(e3,+∞)B.Qe5,+Oo)C.(_g,e"??-(-∞,2e?)

【答案】D

【分析】函數(shù)/(X)=χ2InX+OX存在減區(qū)間,則∕,(x)<O有解可求解.

【詳解】由題可知/'(x)=2xlnx+x+α,

02/35

因為函數(shù)/(x)=χ2Inx+存在減區(qū)間,則r(x)VO有解,

即2xlnx+x+α<0有解，

令g")=2xlnx+x+α,g'(x)=21nx+3,

令/(X)>0,解得4；令g'(x)<O,解得o<χ<N，

√V/w?J?*人w

(_3\<3A

所以g(x)在O,eW單調遞減，—5,+8單調遞增，

\7\/

3_2_2_3

所以g(x)min=g(e5)=-3e萬+e鼻+a=-2e萬+q,

3

因為2xlnx+x+α<0有解,所以_2/5+〃<0,

解得a<2∕?

故選:D.

5.(2022?北京?北師大二附中高二階段練習)已知函數(shù)f(χ)的定義域為伍，與，導函數(shù)/(X)在(a,加上的

圖象如圖所示，則函數(shù)/(x)在3,6)上的極大值點的個數(shù)為(????)

【答案】B

【分析】根據(jù)極大值點的定義結合導函數(shù)的圖象分析判斷即可

【詳解】由函數(shù)極值的定義和導函數(shù)的圖象可知，/(X)在3,6)上與X軸的交點個數(shù)為4,但是在原點附

近的導數(shù)值恒大于零，故x=0不是函數(shù)外)的極值點.

其余的3個交點都是極值點，其中有2個點滿足其附近的導數(shù)值左正右負，

故極大值點有2個.

故選：B

6.(2022.山東?巨野縣實驗中學高二階段練習)若對任意的實數(shù)x>O,xlnx-x-a≥O恒成立，則實數(shù)4的

取值范圍是(？???？)

A.(-∞,-l]B.(Y?,1]C.[-l,+∞)D.[l,+∞)

【答案】A

【解析】構造函數(shù)/(x)=xlnx-x-α,利用導數(shù)研究函數(shù)/(x)在(0,+8)單調性，并計算∕nin(x)≥0,可

得結果.

【詳解】令/(x)=xlnx-x-α,xe(O,+∞)

則/(x)=lnx,令/(x)=OnX=I

若O<x<l時，/(x)<0

若x>l時，/(x)>0

所以可知函數(shù)〃x)在(0,1)遞減，在。，+8)遞增

所以小n(x)=/(I)=T-。

由對任意的實數(shù)X>O,xlnX—X—α≥O恒成立

所以.Λ?(X)=T-a≥:Ona≤T

故選：A

【點睛】本題考查利用導數(shù)解決恒成立問題，關鍵在于構建函數(shù)，通過導數(shù)研究函數(shù)性質，屬基礎題.

7.(2022?貴州畢節(jié)?高二期末(理))已知。為函數(shù)/(x)=Y-4χ2-3x-5的極大值點，則。=(????)

A.3B.—C.-23D.-------

327

【答案】B

【分析】求出函數(shù)的導函數(shù)，即可得到函數(shù)的單調區(qū)間，從而求出函數(shù)的極大值點.

【詳解】解：S^∕(X)=√-4X2-3X-5,

所以r(x)=3x2_8x_3=(3x+])(x-3),

所以當x>3或時/次》)>0,當-g<x<3時/'(x)<0,

所以/(x)的單調遞增區(qū)間為1-8，-；)和(3,同，單調遞減區(qū)間為6,3),

所以“x)的極大值點為x=-g,即α=-g.

故選：B

8.(2022.天津市濱海新區(qū)塘沽第一中學高二期中)函數(shù)/(尤)=7：-2853在區(qū)間[0段]上的極小值點是(？??？)

04/35

A.OB.-C.—D.π

66

【答案】B

【分析】利用導數(shù)研究/S)的區(qū)間單調性，進而確定極小值點.

【詳解】由題設［U)=2SinX-1,

所以在［0,令上/'(X)<0，f(χ)遞減,

O

-TtJr

在上rα)>o,/*)遞增，

62

所以極小值點為

O

故選：B

二、多選題

9.(2022?重慶?高二階段練習)對于定義在R上的可導函數(shù).F(X),/'(X)為其導函數(shù)，下列說法不正確的

是(????)

A.使/'*)=0的X一定是函數(shù)的極值點

B./(X)在R上單調遞增是r(x)>0在R上恒成立的充要條件

C.若函數(shù)/(x)既有極小值又有極大值，則其極小值一定不會比它的極大值大

D.若，(X)在R上存在極值，則它在R一定不單調

【答案】ABC

【分析】ABC均可以舉出反例，D可以通過極值點和極值的定義進行判斷.

【詳解】A選項，/'(x)=0的X不一定是函數(shù)的極值點，比如F(X)=X3在X=O處導函數(shù)的值為0,但X=O

不是f(x)=χ3的極值點，A說法錯誤；

/(x)在R上單調遞增，可能會在某點導函數(shù)等于0,比如f(x)=V為單調遞增函數(shù)，/(x)=d在χ=0處

導函數(shù)值為0,故/(x)在R上單調遞增不是f'(x)>O在R上恒成立的充要條件，B說法錯誤；

若函數(shù)/(χ)既有極小值又有極大值，則其極小值可能會比它的極大值大，比如/(x)=x+},在X=T處取

得極大值-2,在X=I處取得極小值2,極小值大于極大值，故C說法錯誤；

根據(jù)極值點和極值的定義可以判斷，若F5)在R上存在極值，則它在R一定不單調，D說法正確.

故選：ABC

10.(2022?浙江?高二期中)下列關于極值點的說法正確的是(????)

A.若函數(shù)/O)既有極大值又有極小值，則該極大值一定大于極小值

B./(x)=J+χ+l在任意給定區(qū)間3,0上必存在最小值

C./(X)=-IxI的最大值就是該函數(shù)的極大值

D.定義在R上的函數(shù)可能沒有極值點，也可能存在無數(shù)個極值點

【答案】BCD

【分析】A選項可以舉出反例，C選項，可以結合函數(shù)/(X)=-IxI的單調性，判斷出正確；D選項可以舉

出例子，B選項，從函數(shù)的連續(xù)性上來進行解決.

【詳解】A選項，例如y=x+；,在x=l處取得極小值"1)=2,在x=-l處取得極大值/(-1)=-2,而

2>-2,故極大值不一定大于極小值，A錯誤，

..f-x,x≥O

C選項，f(x)=-?x?=<，

11［x,x<0

函數(shù)/(x)=TXl在(-8,0)上單調遞增，在(0,+8)上單調遞減，

根據(jù)極值的定義可知：/(X)=TXl在X=O處取得極大值，也是最大值，C正確；

對于D,y=x無極值點，y=sinx有無數(shù)個極值點，D正確；

/(x)=Y+χ+ι在R上為連續(xù)函數(shù)，因為連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上必定存在最值，所以B正確；

故選：BCD.

11.(2022?黑龍江?齊齊哈爾市第八中學校高二期中)已知函數(shù)/(x)=-V+3χ2,則(？??？)

A.7(x)在(0,1)上單調遞減B.y(x)的極大值點為2

C./(x)的極大值為一2D./(x)有2個零點

【答案】BD

【分析】求導分析/(x)=T3+3/的單調性可判斷ABC,再求解"x)=0可判斷D

［詳解］∕,(x)=-3√+6x=-3x(x-2),令f'(x)=O有x=0或χ=2,故當x∈(-∞,0)時，∕,(x)<0,/(x)

單調遞減：當Xe(0,2)時，.盟x)>0,人可單調遞增；當xe(2,+∞)時，∕,(x)<0,"x)單調遞減.

對A,因為Xe(0,2)時，"x)單調遞增，故A錯誤；

對B,"x)的極大值點為2正確，故B正確；

對Cf(x)的極大值為"2)=4,故C錯誤；

對D,/(x)=-d+3χ2=0即X2(3-X)=0,解得X=O或X=3,故D正確；

06/35

故選：BD

三、填空題

12.(2022?陜西?咸陽市高新一中高二階段練習(文))函數(shù)y=V-6x+α的極大值是

【答案】4&+a##a+4夜

【分析】利用導數(shù)的性質，結合極大值的定義進行求解即可.

【詳解】由y=xi-6x+any'=3f-6=3(x+T∑)(x-?∕Σ),

當x>√5時，/>0.函數(shù)y=Aj-6x+4單調遞增，

當-√∑<x<&時，y'<0,函數(shù)y=∕-6x+4單調遞減，

當x<-0時，/>0,函數(shù)y=∕-6x+”單調遞增，

所以當x=-√Σ時;函數(shù)y=∕-6x+”有極大值，

極大值為：(-√2)3-6×(-√2)+a=4√2+?

故答案為：A?∣2+a

13.(2022?全國?高二專題練習)已知”為函數(shù)/(x)=d-4/-3x-5的極大值點，則α=.

【答案】――

【分析】根據(jù)導函數(shù)的正負判斷單調區(qū)間和極值點，進而得解.

【詳解】因為/(x)=x3—4x2—3x-5,所以r(x)=3χ2-8x—3=(3x+l)(x-3).

當Xd-8,-；)時，制χ)>0,

當xe(3,?κx>)時，>0,

當TT,3)時，f'(x)<0,

所以“X)的單調遞增區(qū)間為,8,T)和(3,+8),單調遞減區(qū)間為(。3),所以f(x)的極大值點為

X=--,即O=-L

33

故答案為：T

14.(2022?全國?高二單元測試)已知函數(shù)/(x)=lnx+@-l的最小值為0,則實數(shù)“的值為

【答案】I

【分析】利用導數(shù)研究/(X)的單調性和最值，根據(jù)最小值求得。的值.

【詳解】/(X)的定義域為(0,+8),

當α≤0時，/(x)>0,f(x)在區(qū)間(0,+8)上遞增，沒有最小值.

當α>0時，f(力在區(qū)間(0,α)J(x)<0,4x)遞減;在區(qū)間(。,包)J(χ)>0,"χ)遞增.

所以/(X)在區(qū)間(0，+8)上的最小值為/(α)=Ina+1-1=Ina=O,α=l.

故答案為：1

15.(2022?全國?高二專題練習)函數(shù)/(x)=?xe'的極值點為.

【答案】%=-1##-1

【分析】利用導數(shù)求/U)的極值點.

【詳解】由題設f(x)=(x+l)e",

當Xe(V,-1)時，∕,(x)<0,F(X)遞減；

當xe(-1,+∞)時，∕,(x)>O,F(X)遞增；

所以/(x)由極小值點為X=-1,無極大值點.

故答案為：Λ≈-1

四、解答題

16.(2022?廣東?雷州市白沙中學高二階段練習)已知函數(shù)"x)=x-21nr,求“力的單調區(qū)間和極值.

【答案】函數(shù)八”的單調增區(qū)間為(2,+8),單調減區(qū)間為(0,2),極小值為"2)=2-21n2,無極大值.

【分析】求出導函數(shù)尸(χ),然后令∕χχ)>o,∕,(χ)<o,求解不等式即可得函數(shù)/(x)的單調區(qū)間，從

而可得函數(shù)/(x)的極值.

【詳解】解：因為/(x)=x-21nr,所以廣(X)=I一;=F(X>0),

令制x)>0,得χ>2,令r(x)<O,得0<x<2,

所以函數(shù)/(x)的單調增區(qū)間為(2,+∞),單調減區(qū)間為(0,2),

所以函數(shù)/(x)的極小值為了⑵=2-21n2,無極大值.

17.(2022?新疆?霍城縣第二中學高二期末(文))設函數(shù)F(X)=O√+?x+ι在χ=ι處取得極值一L

08/35

⑴求。、b的值；

(2)求f(x)的單調區(qū)間.

【答案】(l)a=Lb=-3

⑵/(χ)的單調遞增區(qū)間為(-∞,-1),(1,物)，單調遞減區(qū)間為(-1,1).

【分析】(1)根據(jù)極值和極值點列出方程組，求出“=1,。=-3；(2)結合第一問得到單調區(qū)間.

【詳解】(1)f?χ)=3ax2+b,由題意得：f,m=3a+b=0,/(l)=a+?+l=-l,

解得：a=↑,b=-3,

此時∕,(x)=3x2-3=3(x+l)(x-l).

當一lvx<l時，∕,(x)<O,當x<-I或x>l時，f?x)>O,

故x=l為極值點，滿足題意，

所以a=l,0=-3.

(2)由(1)可知：當-l<x<l時，f?x)<O,當x<-l或x>l時，∕,(x)>0,

故F(X)的單調遞增區(qū)間為(9,-1),(1,物)，單調遞減區(qū)間為

18.(2022.上海南匯中學高二期末)已知函數(shù)/(x)=alnx+χ2(a為實常數(shù)).

⑴若a=—2,求證：F(X)在―)上是增函數(shù)；

(2)當a=T時，求函數(shù)f(x)在U,e]上的最大值與最小值及相應的X值；

⑶若存在xe[l,e],使得/(x)4(a+2)x成立，求實數(shù)。的取值范圍.

【答案】(1)見解析

⑵當X=亞時，函數(shù)N)有最小值為/(應)=2-2In2,

當X=e時，函數(shù)F(X)有最大值為/(e)=e?-4.

(3)[-l,-κo)

【分析】(1)利用導數(shù)大于零即可證明；(2)利用導數(shù)討論函數(shù)的單調性即可求解給定區(qū)間內(nèi)的最值；(3)利

用導數(shù)討論單調性與最值，即可解決能成立問題.

【詳解】(1)由題可知函數(shù)的定義域(0,+8),

C?Y2-1

因為Q=-2,所以f(x)=-2?nx+x,所以f,(χ)=一—+2x=2-------,

XX

令/'(X)>O解得x>l,

所以/(?)在(l,+∞)上是增函數(shù).

、42-9

(2)因為。=-4,所以/(x)=-4InX+χ-,所以r(X)=--+2x=21r------

XX

令((x)>o解得x>√5,令r(χ)<o解得o<χ<√L

所以/(X)在(0,√2)上單調遞減，在(√2,+∞)上單調遞增，

所以/(x)在［1,夜)上單調遞減，在［√Ie］上單調遞增，

所以當X=&時，函數(shù)〃力有最小值為/(√i)=2-21n2,

因為/⑴=lj(e)=e?4>l,

所以當X=e時，函數(shù)/S)有最大值為/(e)=e?-4.

(3)由/(x)≤(α+2)x得“l(fā)nx+Y≤(α+2)x,BPα(lnx-x)≤2x-x2,

因為x∈[l,e],所以x21,lnx≤lne=l,所以x≥lne≥lnx,

且當X=I時InX=0,所以x>lnx在xe[l,e]恒成立，所以上

x-lnx

即存在XWue時，a≥λ~2λ,

x-lnx

X2-2x(九一I)(X+2-2Inx)

令g(x)=,g'(x)=

x-lnx(X-InXP

2r-2

令h(x)=x÷2-21nx,∕z'(x)=1——=------,

XX

γ一2

令%X)=——>0,解得2vx≤e,

X

令/(x)=22<0,解得l≤χ<2,

X

所以〃(X)在[1,2)單調遞減，(2,e]單調遞增,

所以Λ(x)≥h(2)=2(2-ln2)>0,

、(X-I)(X+2-2InX)

所以x∈[l,e]時,g(x)=(In守2°恒成立,

所以g(x)mM=g⑴=T，

所以實數(shù)。的取值范圍是［T,+∞).

19.(2022.全國.高二課時練習)設函數(shù)/a"-》?-/+/2,求f(χ)的極大值點與極小值點.

【答案】極大值點為:，極小值點為T

【分析】求導分析導函數(shù)的零點與正負區(qū)間求解即可.

10/35

【詳解】/'(x)=-3χ2—2x+1=-(x+1)(3x-1).

令/")>0,得-l<x<g;

令r(x)<O,得x<T或x>g,

故/(x)的單調增區(qū)間為(τ,g),單調減區(qū)間為(-8,-1)及(；，+8).

當χ=g時，函數(shù)/(x)有極大值，

當4-1時，函數(shù)“X)有極小值，

故函數(shù)F(X)有極大值點為g,極小值點為-L

20.(2022?全國?高二課時練習)設函數(shù)f(x)=χ3+(α+3)χ2+0χ,若/(χ)為奇函數(shù)，求：

(1)曲線y=f(x)在點(0,0)處的切線方程；

(2)函數(shù)，(X)的極大值點.

【答案】(l)y=-3χ

⑵T

【分析】(1)先利用奇函數(shù)的定義可求出”的值，再利用導數(shù)的幾何意義可求得切線方程,

(2)先求出函數(shù)的單調區(qū)間，從而可求出極大值點.

(1)

因為函數(shù)/(x)=丁+(α+3)x2+6為奇函數(shù)，所以f{-x)=-f(x),

從而得到α+3=o,即4=-3,所以f(x)=丁_3χ.

因為尸(X)=3∕-3,所以/'(O)=-3,

所以曲線y=/(χ)在點(0,0)處的切線方程為y=Tr.

(2)

∕,(X)=3X2-3<0,

由1(x)<0,得—l<x<l,由f'(x)>O,得x<-l或x>l,

所以函數(shù)在(-1,1)上是嚴格減函數(shù)，在(TO,-1),0,+∞)上是嚴格增函數(shù)，

所以函數(shù)的極大值點是-1.

【能力提升】

一、單選題

1.(2022.北京平谷.高二期末)函數(shù)/(x)=x+2CoSX在［0,可上的極小值點為(????)

π0TC-5兀C2兀

A.-B.—C.—D.—

3663

【答案】C

【分析】分析函數(shù)導數(shù)的符號變化，由此可得函數(shù)的單調性，由單調性得出結論即可.

【詳解】對于函數(shù)/(x)=x+2COSX,∕,(x)=l-2sinx,

因為Xwo,π］,當0<x<四時，f'(x)>O,當工<x<2時，∕,(x)<0,當2<x<兀時，f?x)>Q,

6666

所以/(X)在區(qū)間［0,上是增函數(shù)，在區(qū)間［￡，學］上是減函數(shù)，在［學，河是增函數(shù).

6666

因此，函數(shù)/(x)=x+2CoSX在［0,π∣上的極小值點為學

故選：C

2.(2022?河南許昌?高二期末(理))已知函數(shù)"x)=∕-(3α+0χ2+6”χ,則下列結論中正確的命題個

數(shù)為(????)

①當a*；時，函數(shù)/(x)有兩個極值點

②當好1時，函數(shù)在口，2］上為減函數(shù)

③當a=J時，函數(shù)/(x)的圖象與X軸有兩個交點

O

④當a≤-J,函數(shù)/(x)在(TXQ)上存在最小值

O

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】求導,令f'(x)=O,得到x=24或X=I,再逐項判斷.

【詳解】解：因為/(力=/一(3〃+|］爐+66，

所以r(x)=3/一++=(3x-6a)(x-l),

令尸(X)=。,得X=勿或X=I,

①當“≠;時，則2α≠l,所以函數(shù)”x)有兩個極值點，故正確；

②當好1時，若2α≤l,即“≤;時，f↑x)>O,函數(shù)在［，2］上為增函數(shù)；

若1<2"2,即:<“<l時，當1<XV2Λ時，∕,(x)<0,當2o<x<2時外勾>。；

若2α=2,即“=1時，/'(x)<0函數(shù)在［1,2］上為減函數(shù)；

12/35

③當“=L時，f(x)的兩個極值點為X=!，X=I,此時/(x)=d-2x2+x,又∕f?]=±>O,f(I)=0,

03v?72/

所以函數(shù)“X)的圖象與X軸有兩個交點，故正確；

④當α≤?4時，x=2a≤-g<l,則x=l是函數(shù)的唯一的極小值點，則函數(shù)/(%)取得極小值，故正確.

63

故選：C

3.(2022?上海?華師大二附中高二階段練習)已知函數(shù)/(x)=V-l,g(χ)=Ex,那么下列說法正確的是(？?？)

A./(x),g(x)在點(1,0)處有相同的切線

B.函數(shù)/(x)-g(x)有兩個極值點

C.對任意x>0J(x)≥g(x)恒成立

D./(x),g(x)的圖象有且只有兩個交點

【答案】D

【分析】結合切線的斜率、極值點、不等式恒成立、函數(shù)圖象的交點對選項進行分析，從而確定正確選項.

【詳解】選項，⑴

A/(x)=2x,∕(l)=2,g(χ)=%g?=1,/(l)≠g(l),所以A選項錯誤.

B選項，令∕z(x)=∕(x)-g(x)=χ2-l-InX(X>0),

,.Z??12Λ2-1(√2%+1)(√2X-1)

n(X)=LX——=------=-----------------,

XXX

所以MX)在區(qū)間o,?^,a(χ)<o,Mχ)遞減；在區(qū)間?-,+00,4(x)>0,MX)遞增.

7

所以MX)有極小值也即是有最小值，無極大值，無最大值,函數(shù)/(x)-g(x)有1個極值點，

〃(用=(制-In,=；ln2_g=；(ln2-l)<0,以曰)<g(-反

---),

2

Λ^=?^-l+l=?^>0,Λ(e)=e2-2>0,

所以MX)有2個零點，也即/(x),g(x)的圖象有且只有兩個交點，

所以BC選項錯誤，D選項正確.

故選：D

4.(2022?廣東?佛山市順德區(qū)容山中學高二期中)設函數(shù)/(x)=xd則(????)

A.%=-1為/(χ)的極大值點且曲線y=∕3在點(Oj(O))處的切線的斜率為1

B.X=1為/(X)的極小值點且曲線y=/(X)在點(OJ(O))處的切線的斜率為2e

C.x=-l為/3的極小值點且曲線y=∕(χ)在點(OJ(O))處的切線的斜率為1

D.X=-I為/U)的極大值點且曲線y=∕(χ)在點(OJ(O))處的切線的斜率為2e

【答案】C

【分析】對函數(shù)/(X)求導，求出函數(shù)/(X)的單調性，進而可得出其極值點，由r(o)=ι,可得到在點(Oj(O))

處的切線斜率.

【詳解】f?x)=ex+xex={x+?)ex,

令尸(x)>0,解得χ>T,令f'(x)<O,解得x<-l,

.?.f(χ)在(—,-I)上單調遞減，在(-l,+∞)上單調遞增，

?x=-l是函數(shù)/(χ)的極小值點，

又/'(0)=1,則曲線y=∕(χ)在點(o,"o))處的切線斜率為1,

故選：c.

5.(2022?全國?高二課時練習)如圖是函數(shù)y=∕(x)=χ3+fe√+cχ+d的大致圖象，則#+考=(????)

【分析】根據(jù)給定圖象求出函數(shù)/(X)的解析式，再求出其極值點X/,X2的關系式即可得解.

【詳解】觀察函數(shù)“X)的圖象知，-1,0,2是函數(shù)/(x)的零點，且毛，々是函數(shù)/(X)的兩個極值點,

于是得/(x)=x(x+l)(x-2)=V—V-2x,求導得∕,(x)=3√-2x-2,

因不，々是函數(shù)/(x)的兩個極值點，則儲，巧是方程3∕-2x-2=0的兩根，

22

從而有玉+%2=§，xix2=--，

所以片+￥=(%+/)2_2將=率+2?1=6.

故選：C

14/35

6.(2022.上海交大附中高二階段練習)關于函數(shù)/(x)="lnx+τ下列判斷錯誤的是(？??？)

A.函數(shù)"x)的圖像在點X=I處的切線方程為(α-2)x-y-α+4=0

7

B.X=V是函數(shù)∕x)的一個極值點

a

C.當α=l時，/(x)≥ln2+l

D.當α=T時，不等式/(2x-l)-/(x)>0的解集為(；』)

【答案】B

【解析】先對函數(shù)求導，得至1]/'(力=￡-得，求出函數(shù)/(x)的圖像在點X=I處的切線方程，即判斷A；

根據(jù)α<0時，/'(X)=，-蛾<0恒成立，得到函數(shù)單調，無極值點，可判斷B；根據(jù)導數(shù)的方法求出。=1時,

.f(x)的最小值，即可判斷C；根據(jù)導數(shù)的方法判斷α=T時函數(shù)的單調性，根據(jù)單調性列出不等式組求解,

即可得出結果.

【詳解】因為/(x)="lnx+2,所以"1)=2,=

所以/'(I)="/,因此函數(shù)f(x)的圖像在點x=l處的切線方程為y-2=(α-2χx-l),即

(。-2)x-y-4+4=0,故A正確；

當α<0時，/'(x)=∕-1<0在Xe(O,+∞)上恒成立，即函數(shù)在定義域內(nèi)單調遞減，無極值點；故B錯；

1OY—7

當α=l時，/(力=：-：=￥，由/")>0得X>2;由r(x)<O得0<x<2,

所以函數(shù)〃X)=InX+；在(0,2)上單調遞減，在(2,+8)上單調遞增；

2

因此?"x)mM=ln2+5=ln2+l,即/(x)≥ln2+l;故C正確；

I?

當a=—1時，/(》)=一：-5<0在X?0,+8)上恒成立，所以函數(shù)f(x)在(0,+8)上單調遞減；由

2.x—1>0

/(2x-l)-∕(x)>0W?^>0，解得：∣<x<∣,故D正確；

2x-↑<X

故選：B.

【點睛】本題主要考查求曲線在某一點處的切線方程，以及導數(shù)的方法研究函數(shù)的單調性、極值最值等，

屬于?？碱}型.

7.(2022.全國.高二單元測試)己知函數(shù)"x)=?√-2χ2,x∈[-l,3],則下列說法不氐卿的是(????)

A.最大值為9B.最小值為-3

C.函數(shù)F(X)在區(qū)間［1,3］上單調遞增D.X=O是它的極大值點

【答案】C

【分析】利用導數(shù)分析函數(shù)y=∕(χ)在區(qū)間［-1,3］上的單調性，求得該函數(shù)的極值與最值，由此可判斷各

選項的正誤.

【詳解】/(x)=√-2√,則/'(X)=3/—4X=X(3X-4).

令∕<x)>0,可得x<0或x>g;令/'(x)<0,可得0<x<*

當xw［—1,3］時，函數(shù)y=∕(x)在區(qū)間［TO),(;3上均為增函數(shù)，

^4'

在區(qū)間0,-上為減函數(shù)，C選項錯誤；

所以X=O是函數(shù)y=∕(χ)的極大值點，D選項正確；

因為/(0)=0,/⑶=27—2x9=9,/(-l)=-l-2×l=-3,f償］=冷2x)=-",

所以,函數(shù)y=f(χ)在區(qū)間［-1,3］上的最大值為9,

最小值為-3,A、B選項正確.

故選：C.

【點睛】本題考查利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調性，以及利用導數(shù)求解函數(shù)的極值點與最值，考查分析問題和

解決問題的能力，屬于中等題.

二、多選題

8.(2022?山東臨沂?高二期末)已知函數(shù)/(x)=χ3-χ-1,則(????)

A./(x)有三個零點

B?"x)有兩個極值點

C.點(0,—1)是曲線y=f(χ)的對稱中心

D.直線y=2x-3在點(1,-1)處與曲線y=∕(x)相切

【答案】BCD

【分析】結合"X)的單調性、極值可判斷A;利用極值點的定義可判斷B,利用平移可判斷C；利用導數(shù)

的幾何意義判斷D.

16/35

【詳解】對B,由題，∕,(X)=3X2-1,令外X)>0得χ>號或χ<-*,

令［(x)<O得-3<x<立，

33

所以/(X)在(-4,孝)上單調遞減，在(_8,-4),(4,+00)上單調遞增，

所以X=±3是極值點，故B正確；

3

對A,由/(x)的單調性，且因極大值/(_中)=手T<O,./■⑵=5>O,

所以，函數(shù)/(x)在定義域上有且僅有一個零點，故A錯誤；

對C,令〃(X)=X3_“，該函數(shù)的定義域為R,Λ(-x)=(-X)3-(-?)=-X3+x=-∕z(x),

則〃(X)是奇函數(shù)，(0,0)是Kx)的對稱中心，

將h(x)的圖象向下移動一個單位得到/(χ)的圖象，

所以點(0,-1)是曲線y=f(χ)的對稱中心，故C正確；

對D,因為f'(l)=3-l=2,且/(I)=T,故當切點為(ILI)時，切線方程為y+l=2(x-l),即y=2x-3,

故D正確.

故選：BCD.

9.(2022?江蘇蘇州?高二期末)已知函數(shù)"x)=ACoar-X-Sinx,則(????)

A./(x)在卜兀,兀］上單調遞增

B./(x)在卜兀,兀!上單調遞減

C./(x)在卜2π,2π］上有2個極值點

D./(x)在［-2π,2π∣上有4個極值點

【答案】BD

【分析】利用奇偶性定義判斷出“X)為奇函數(shù)，利用導數(shù)判斷出/(X)在［-兀,可上的單調性可判斷AB；

求出∕,(x)=-xsi∏Λ-l,令g(x)=-XSinX(Xe[-2τr,2π]),利用奇偶性定義判斷出

ππ3π3兀

g(x)為偶函數(shù)，分Xe。，5、x∈--OXG-Tt,—XEπXEπ,XE,π

2,、22'τ^τ^

XC-2兀T3允

XEy,2π討論g(x)單調性，畫出圖象，再平移作出「(X)的圖象，由導函數(shù)與原函數(shù)

2

圖象之間的關系判斷極值情況，可判斷CD.

【詳解】X∈[-2π,2π],/(-χ)=-xcosx÷x+sinx=-/(χ),所以/(x)為奇函數(shù),

對于A,∕r(%)=∞sx-Λsinx-l-cosx=-xsinx-I,

當xe［0,π］時，XSinX≥O,所以f'(x)<O,即/(x)在［0,兀］上單調遞減,

因為/(x)為奇函數(shù)，所以/(x)在［F,0］上單調遞減，故A錯誤，B正確;

∕,(x)=-ΛSinx-l,-φ-g(j:)=-JcsirtrG∈[-2π,2π]),g(-x)=-Λsinx=g(x),

所以g(x)為偶函數(shù)，g'(x)=-(SinX+xcosx),

TT

當Xeθ,?時，sinx≥0,Λcos1χ≥0,所以g'(x)≤O,g(x)單調遞減,

Tr

因為g(x)為偶函數(shù)，所以當Xe--f0時，g(x)單調遞增,

π

當X∈-π,時，SinX≥0,xcosx≥0,所以g1x)≤0,g(x)單調遞減,

~2

因為g(x)為偶函數(shù)，所以當Xe5,兀時,g(x)單調遞增,

當Xeπ,?y時，sinx≤0,Λ-cosx≤0,所以g[x)≥O,g(x)單調遞增,

3π

因為g(x)為偶函數(shù)，所以當Xeτ,^π時,g(x)單調遞減,

.,3π,

當x∈-2π,--時,sinx<0,Λcosx<0,所以g'(x)≥O,g(x)單調遞增,

因為g(x)為偶函數(shù)，所以當Xey,2π時，g(x)單調遞減,

3π3π.3π3π

g(2π)=-2πsin2π=0,g-----sin—=—,

222

ππ.ππ

g(π)=-πsinπ=O,g——sin—,g(O)=-OsinO=O,

222

18/35

g(-2π)=-2πsin(-2π)=O,

π

g(-π)=-πsinπ=O,

2

所以g(x)的圖象為

如圖

圖象與X軸有四個交點，從左往右依次設為X∣,X2,X3,X,,

當xe(-2π,xj時r(x)<O,/(X)單調遞減,

當X∈(X∣,Λ2)時/'"A。，/(x)單調遞增,

當xe(j?,Λ3)時/'(x)<O,F(X)單調遞減,

當X∈(Λ3,Λ4)時/'(x)>O,/(x)單調遞增,

當Xe(X4,2兀)時/'(x)<O,/(x)單調遞減,

所以/(x)在X∣,%,X3,X4處有四個極值，故D正確，C錯誤.

故選：BD.

10.(2022?河北石家莊?高二期末)已知函數(shù)/(x)=e"-以2(。為常數(shù)，e為自然對數(shù)的底數(shù))，則下列

結論正確的有(????)

A.α=l時，"x)20恒成立

B.a=］時，/(χ)有唯一零點看且—1</<—5

C."=］時，x=l是/(X)的極值點

D.若有3個零點，貝IJ“的范圍為

【答案】BD

【分析】利用特殊值，/(7)<0,即可判斷選項A,令見X)=I-三，利用導數(shù)研究皿X)的單調性，結合

函數(shù)零點的存在性定理即可判斷選項B,對函數(shù)/O)二次求導，確定函數(shù)/O)的單調性，即可判斷選項C,

令8(幻=岑，由導數(shù)判斷函數(shù)g(x)的單調性，再結合零點個數(shù)列出不等式組求出”的取值范圍，即可判

e

斷選項D.

【詳解】解：對于A,當α=l時，/(x)=CA-X2,則/(T)=g-i<o,故A錯誤；

對于B,當α=g時，/(x)=ev-^x2,令機(X)=I-蘇，

則加(X)=W≠,

2e

當XVO或尢>2時，加(X)>0,則機(x)單調遞增，

當0vx<2時，m{x)<Q,則皿/)單調遞減，

又zπ(-1)=1—<0,∕π(—-)=1—>0，fn(2)=1-->0,

228ez

由零點的存在性定理可知，機(X)只有一個零點看,且-l<X°<-g,

所以/(χ)只有一個零點號且-l<Xo<-g,故B正確；

對于C,令h(x)=f,(x)=eA-ex,則h,(x)=e?-e,

當時,AXx)>0,則函數(shù)單調遞增，

當x<l時，A1(X)<0,則函數(shù)力(%)單調遞減，

所以f'(x)=〃(X)≥Λ(1)=O,

20/35

此時函數(shù)F(X)單調遞增，無極值點,

故C錯誤；

對于D,令g(x)=華=1-"，

ee

則函數(shù)/*)與g(x)的零點相同，

當4≤0時，g(χ)>O,無零點；

當α>0時，g，(X)=Wa-2),

e

當x<O或x>2時，g'(x)>O,則g(x)單調遞增，

當0<x<2時，g'(x)<O,則g(x)單調遞減，

當Xf-8時，g(χ)<O,

當x→?+8時，g(x)>O,

[P(O)>O[1>0

要使得g(x)有3個零點，貝U'C八，即，4a八

[g(2)<01--<0

、er

2

解得α>e

4

所以”的范圍為(冬,+8),故D正確；

故選：BD.

三、填空題

11.(2022?全國?高二單元測試)設函數(shù)/(x)=COS0x(o>O),已知/(x)在0,1有且僅有2個極小值點,

述選項錯誤的是_(填序號)

①0e[6,10)????????②/(X)在上單調遞增

③/(X)在卜噌)上單調遞減????@/(?-)在(0，口上至多有2個極大值點

【答案】②

【分析】利用已知條件求出。的范圍,判斷A;利用函數(shù)的單調性判斷B、C;函數(shù)的極大值判斷D.

【詳解】由題,因為“χ)在o,∣有且僅有2個極小值點,所以yq<∣r,即(<τ≤q.

r)τr

因為。=干，所以6≤0<1O,故①正確；

因為C<74&,所以二<Z≤&.

531026

因為/(x)在C單調遞增,只有當Tq時/(x)在仁,"單調遞增才成立,故②錯誤；

因為“χ)在(0,3單調遞減,所以/(χ)在[o,?j上單調遞減.故③正確；

因為XW(O口兩端點取不到,且y≤]<?∣T,所以f(x)在((),?上至多有2個極大值點.故④正確.

故答案為：②

12.(2022?北京通州?高二期末)設函數(shù)/(x)=gari+?r2+cχ(“<∕,<c).其圖象在點A(Ij⑴),8(〃?,/(,〃))

處的切線的斜率分別為0,關于a,b,C及函數(shù)/(x)有下面四個結論：

①α<0,c>0.(2)fe>0.(S)0≤∣<l.④函數(shù)/U)有且只有兩個極值點.

則其中所有正確結論的序號是.

【答案】①③④

【分析】根據(jù)函數(shù)f(x)=g0√+?r2+cχ(α<6<c)圖象在點A(l,∕(l))處的切線的斜率為0,可

f'(l)=a+2b+c=0,再由函數(shù)在8Q"J(m))處的切線斜率為一α,再結合α<b<c,可求出的大小關系,

然后可求出2的范圍，利用導數(shù)求函數(shù)的極值點

a

【詳解】由/(X)=；Orl+feχ2+cx("<∕><c),↑?∕,(x)=ax1+2bx+c(a<b<c),

因為函數(shù)/(x)=；辦-+法2+cx(α<人<C)圖象在點A(IJ(D)處的切線的斜率為0,

所以/")=q+2?+c=0,

因為函數(shù)在8("J(M)處的切線斜率為一〃，

f,{ni)=Gn2+2bm+c=一〃,

因為α<b<c,所以44V4+2∕?+cV4c,

所以40