第8章 概率單元綜合測(cè)試卷（解析版）

第8章概率單元綜合測(cè)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．袋子中有6個(gè)白球，8個(gè)黑球，現(xiàn)從袋子里有放回地取7次球，用X表示取到白球的個(gè)數(shù)，則（

）A． B． C．3 D．2【答案】C

【解析】袋子中有6個(gè)白球，8個(gè)黑球，從袋子里隨機(jī)抽取一個(gè)球，該球?yàn)榘浊虻母怕蕿?，所以取到白球的個(gè)數(shù)，因此，故選2．設(shè)隨機(jī)變量，若，則（

）注：下列為隨機(jī)變量的方差A(yù)．， B．，C．， D．，【答案】A

【解析】因?yàn)殡S機(jī)變量，所以正態(tài)分布曲線關(guān)于對(duì)稱，因?yàn)椋院完P(guān)于對(duì)稱，

則

故選3．已知，，等于（

）A． B． C． D．【答案】C

【解析】故選4．一試驗(yàn)田某種作物一株的生長果實(shí)個(gè)數(shù)x服從正態(tài)分布，且從試驗(yàn)田中隨機(jī)抽取20株，果實(shí)個(gè)數(shù)在的株數(shù)記作隨機(jī)變量X，且X服從二項(xiàng)分布，則X的方差為（

）A． B． C． D．6【答案】C

【解析】，且，，，故選：5．甲單位有3名男性志愿者，2名女性志愿者；乙單位有4名男性志愿者，1名女性志愿者，從兩個(gè)單位任抽一個(gè)單位，然后從所抽到的單位中任取2名志愿者，則取到兩名男性志愿者的概率為．（

）A． B． C． D．【答案】D

【解析】設(shè)事件取到兩名男性為B

，事件所抽到的單位為甲單位為

，事件所抽到的單位為乙單位為，則

，所以

，故，故選6．某一電子集成塊有三個(gè)元件a，b，c并聯(lián)構(gòu)成，三個(gè)元件是否有故障相互獨(dú)立．已知至少1個(gè)元件正常工作，該集成塊就能正常運(yùn)行．若每個(gè)元件能正常工作的概率均為，則在該集成塊能夠正常工作的情況下，有且僅有一個(gè)元件出現(xiàn)故障的概率為．（

）A． B． C． D．【答案】A

【解析】記事件A為該集成塊能夠正常工作，事件B為僅有一個(gè)元件出現(xiàn)故障，則為該集成塊不能正常工作，所以，，所以，故選7．一批產(chǎn)品共100件，其中有3件不合格品，從中任取5件，則恰有1件不合格品的概率是（

）A． B． C． D．【答案】A

【解析】一批產(chǎn)品共100件，其中有3件不合格品，有97件合格品，所有的取法有種，恰有1件不合格品的取法有種，故從中任取5件，則恰有1件不合格品的概率為故答案選：8．足球運(yùn)動(dòng)被譽(yù)為“世界第一運(yùn)動(dòng)”．深受青少年的喜愛．為推廣足球運(yùn)動(dòng)，某學(xué)校成立了足球社團(tuán)，社團(tuán)中的甲、乙、丙三名成員將進(jìn)行傳球訓(xùn)練，從甲開始隨機(jī)地球傳給其他兩人中的任意一人，接球者再隨機(jī)地將球傳給其他兩人中的任意一人，如此不停地傳下去，且假定每次傳球都能被接到．記開始傳球的人為第1次觸球者，第n次觸球者是甲的概率為，即則下列說法正確的個(gè)數(shù)是（

）；；；A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C

【解析】甲傳球給乙或丙，故，故正確；乙或丙傳球給其他兩個(gè)人，故，故正確；由題意得：要想第n次觸球者是甲，則第次觸球的不能是甲，且第次觸球的人，有的概率將球傳給甲，故，故正確；因?yàn)?，設(shè)，解得：，所以，因?yàn)?，所以是以為首?xiàng)，公比是的等比數(shù)列，故，所以，故，，故，故錯(cuò)誤．綜上所述，說法正確的個(gè)數(shù)是3個(gè)．故選二、多選題：本題共4小題，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．9．已知兩種不同型號(hào)的電子元件分別記為X，的使用壽命均服從正態(tài)分布，這兩個(gè)正態(tài)分布密度曲線如圖所示，下列結(jié)論中正確的是（

）參考數(shù)據(jù)：若，則A．B．C．D．【答案】BCD

【解析】X的對(duì)稱軸在y軸左側(cè)，Y的對(duì)稱軸在y軸右側(cè)，X分布的離散程度小于Y分布的離散程序，因此有，，由正態(tài)分布曲線知，所以故選10．一個(gè)不透明的袋子里，裝有大小相同的3個(gè)紅球和2個(gè)白球，每次從中不放回地取出一球，現(xiàn)取出2個(gè)球，則下列說法正確的是（

）A．兩個(gè)都是紅球的概率為B．在第一次取到紅球的條件下，第二次取到白球的概率為C．第二次取到紅球的概率為D．第二次取到紅球的條件下，第一次取到白球的概率為【答案】BCD

【解析】兩個(gè)都是紅球的概率為，故A錯(cuò)誤；在第一次取到紅球的條件下，第二次取到白球的概率為，故B正確；第二次取到紅球的概率為，故C正確；設(shè)事件“第二次取到紅球”，事件“第一次取到白球”，，故，故D正確．故選11．已知隨機(jī)變量滿足若，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．【答案】AC

【解析】隨機(jī)變量滿足，，，又，

，，又，，所以，所以故選：12．游樂場有一個(gè)游戲項(xiàng)目，在一輪游戲中游戲者有5次機(jī)會(huì)向目標(biāo)射擊，最終命中的次數(shù)作為該游戲者本輪游戲的積分．某次活動(dòng)期間，為了回饋顧客，游樂場臨時(shí)補(bǔ)充新規(guī)則如下：①若游戲者在一輪游戲中命中3次或4次，則所得積分為原規(guī)則下積分的2倍；②若游戲者在一輪游戲中5次全部命中，則所得積分為原規(guī)則下積分的3倍；③若游戲者在一輪游戲中未命中、命中1次或2次，則所得積分為原規(guī)則下的積分．已知某人每次射擊命中目標(biāo)的概率為，在一輪游戲中，他在原規(guī)則下的積分與新規(guī)則下的積分分別為隨機(jī)變量X，Y，則下列說法正確的是（

）A．X服從二項(xiàng)分布 B．Y服從二項(xiàng)分布 C． D．【答案】ACD

【解析】X的可能取值為0，1，2，3，4，5，則，；Y的可能取值為0，1，2，6，8，15，

Y不服從二項(xiàng)分布，故A正確，B不正確；則，則C正確；則，則D正確，故選三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．設(shè)隨機(jī)變量X的分布列如下其中，則隨機(jī)變量X的期望__________．X012Pa【答案】1

【解析】由，得，14．某區(qū)學(xué)生參加模擬大聯(lián)考，假如聯(lián)考的數(shù)學(xué)成績服從正態(tài)分布，其總體密度函數(shù)為：，且，若參加此次聯(lián)考的學(xué)生共有8000人，則數(shù)學(xué)成績超過100分的人數(shù)大約為__________．【答案】1200

【解析】因?yàn)榭傮w密度函數(shù)為：

，則

，由

得

，所以超過100分人數(shù)大約為：

人，故答案為：15．?dāng)S骰子游戲：規(guī)定擲出1點(diǎn)，甲盒中放一球，擲出2點(diǎn)或3點(diǎn)，乙盒中放一球，擲出4點(diǎn)、5點(diǎn)或6點(diǎn)，丙盒中放一球，共擲6次，用x，y，z分別表示擲完6次后甲、乙、丙盒中球的個(gè)數(shù)．令，則__________．【答案】3

【解析】將每一次擲骰子看作一次實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)的結(jié)果分丙盒中投入球成功或丙盒中不投入球失敗兩種，且丙盒中投入球成功的概率為，z表示6次實(shí)驗(yàn)中成功的次數(shù)，則，，又，，故答案為16．現(xiàn)有一款闖關(guān)游戲，共有4關(guān)，規(guī)則如下：在第n關(guān)要拋擲骰子n次，每次觀察向上面的點(diǎn)數(shù)并做記錄，如果這n次拋擲所出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和大于，則算闖過第n關(guān)，，2，3，假定每次闖關(guān)互不影響，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的序號(hào)是__________．直接挑戰(zhàn)第2關(guān)并過關(guān)的概率為；連續(xù)挑戰(zhàn)前兩關(guān)并過關(guān)的概率為；若直接挑戰(zhàn)第3關(guān)，設(shè)“三個(gè)點(diǎn)數(shù)之和等于15”，“至少出現(xiàn)一個(gè)5點(diǎn)”，則；若直接挑戰(zhàn)第4關(guān)，則過關(guān)的概率是【答案】

【解析】對(duì)于，

，所以兩次點(diǎn)數(shù)之和應(yīng)大于6，即直接挑戰(zhàn)第2關(guān)并過關(guān)的概率為

，故正確；對(duì)于，

，所以挑戰(zhàn)第1關(guān)通過的概率

，則連續(xù)挑戰(zhàn)前兩關(guān)并過關(guān)的概率為

，故錯(cuò)誤；對(duì)于，由題意可知，拋擲3次的基本事件有

，拋擲3次至少出現(xiàn)一個(gè)5點(diǎn)的事件共有

種，故

，而事件

包括：含5，5，5的1種，含4，5，6的有6種，共7種，故

，所以

，故正確；對(duì)于，當(dāng)

時(shí)，

，而“4次點(diǎn)數(shù)之和大于20”包含以下35種情況：含5，5，5，6的有4種，含5，5，6，6的有6種，含6，6，6，6的有1種，含4，6，6，6的有4種，含5，6，6，6的有4種，含4，5，6，6的有12種，含3，6，6，6的有4種，所以

，故正確．故答案為：四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17．本小題10分甲、乙兩名同學(xué)分別與同一臺(tái)智能機(jī)器人進(jìn)行象棋比賽．在一輪比賽中，如果甲單獨(dú)與機(jī)器人比賽，戰(zhàn)勝機(jī)器人的概率為；如果乙單獨(dú)與機(jī)器人比賽，戰(zhàn)勝機(jī)器人的概率為甲單獨(dú)與機(jī)器人進(jìn)行三輪比賽，求甲恰有兩輪獲勝的概率；在甲、乙兩人中任選一人與機(jī)器人進(jìn)行一輪比賽，求戰(zhàn)勝機(jī)器人的概率．【解析】設(shè)“甲恰有兩輪獲勝”為事件A，則；選中甲與機(jī)器人比賽與選中乙與機(jī)器人比賽的概率都為，記“選中甲與機(jī)器人比賽并獲得勝利”為事件B，“選中乙與機(jī)器人比賽并獲得勝利”為事件C，兩個(gè)事件互斥，則在甲、乙兩人中任選一人與機(jī)器人進(jìn)行一輪比賽，并戰(zhàn)勝機(jī)器人的概率為，所以戰(zhàn)勝機(jī)器人的概率為

18．本小題12分水立方、國家體育館、五棵松體育館、首都體育館、國家速滑館是2022冬奧會(huì)的比賽場館．現(xiàn)有8名大學(xué)生報(bào)名參加冬奧會(huì)志愿者比賽場館服務(wù)培訓(xùn)，其中1人在水立方培訓(xùn)，3人在國家體育館培訓(xùn)，4人在五棵松體育館培訓(xùn)．若從中一次抽調(diào)2名大學(xué)生志愿者到國家速滑館培訓(xùn)，求所抽調(diào)的2人來自不同場館的概率；若從中一次抽調(diào)3名大學(xué)生志愿者到首都體育館培訓(xùn)，要求這3人中來自水立方的人數(shù)和來自國家體育館的人數(shù)都不超過來自五棵松體育館的人數(shù)．設(shè)從五棵松抽出的人數(shù)為，求隨機(jī)變量的概率分布列及數(shù)學(xué)期望【解析】設(shè)“從中一次抽調(diào)2名大學(xué)生志愿者到國家速滑館，所抽調(diào)2人來自不同場館”，則由題意的所有可能取值為1，2，3，當(dāng)時(shí)，水立方、國家體育館、五棵松體育館各抽1人，共12種，當(dāng)時(shí)，水立方、國家體育館中抽取1人，五棵松體育館2人，共24種，當(dāng)時(shí)，3人都來自于五棵松體育館，共4種，累計(jì)40種情況，，故的分布列為：123P

19．本小題12分為深入學(xué)習(xí)黨的二十大精神，激勵(lì)青年學(xué)生積極奮發(fā)向上．某學(xué)校團(tuán)委組織學(xué)生參加了“青春心向黨，奮進(jìn)新時(shí)代”為主題的知識(shí)競賽活動(dòng)，并從中抽取了200份試卷進(jìn)行調(diào)查，這200份試卷成績卷面共100分的頻率分布直方圖如圖所示．用樣本估計(jì)總體，試估計(jì)此次知識(shí)競賽成績的分位數(shù)；將此次競賽成績近似看作服從正態(tài)分布用樣本平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差s分別作為的近似值，已知樣本的平均數(shù)約為，標(biāo)準(zhǔn)差現(xiàn)從該校參與知識(shí)競賽的所有學(xué)生中任取100人，記這100人中知識(shí)競賽成績超過88分的學(xué)生人數(shù)為隨機(jī)變量X，求X的數(shù)學(xué)期望；從得分區(qū)間和的試卷中用比例分層隨機(jī)抽樣的方法抽取10份試卷，再從這10份樣本中隨機(jī)抽測(cè)3份試卷，若已知抽測(cè)的3份試卷來自于不同區(qū)間，求抽測(cè)3份試卷有2份來自區(qū)間的概率．參考數(shù)據(jù)：若，則，，【解析】由頻率分布直方圖可知：，故估計(jì)此次知識(shí)競賽成績的分位數(shù)為80分；由題意可知∽，因?yàn)?，即，故，由題意知：抽取的100人中知識(shí)競賽成績超過88分的學(xué)生人數(shù)X服從二項(xiàng)分布，即X∽，故X的數(shù)學(xué)期望，所以抽取的100人中知識(shí)競賽成績超過88分的學(xué)生人數(shù)的數(shù)學(xué)期望為16人；由頻率分布直方圖可知，分?jǐn)?shù)在和的頻率分別為和，按照比例分層隨機(jī)抽樣，抽取10份，其中成績?cè)趹?yīng)抽取份，成績?cè)趹?yīng)抽取份，記事件抽測(cè)的3份試卷來自于不同區(qū)間；事件取出的試卷有2份來自區(qū)間，則，，故：所以抽測(cè)的3份試卷有2份來自區(qū)間的概率為

20．本小題12分學(xué)校有A，B兩家餐廳．陳同學(xué)每天午餐選擇其中一家餐廳用餐，第1天午餐選擇A餐廳的概率是如果某天去A餐廳，那么下一天去A餐廳的概率為；如果某天去B餐廳，那么下一天去A餐廳的概率為，用頻率估計(jì)概率．記陳同學(xué)第n天去A餐廳用餐的概率為，求；如果陳同學(xué)第2天去B餐廳，那么第1天去哪個(gè)餐廳的可能性更大?請(qǐng)說明理由．【解析】由題意可得

，則

，

則

是首項(xiàng)為

，公比為

的等比數(shù)列，

則

，則

；設(shè)

“第

i

天去

A

餐廳用餐”

，

“第

j

天去

B

餐廳用餐”

，則

與

對(duì)立，

與

對(duì)立．，由全概率公式，得

，所以

，所以

，則

，所以如果陳同學(xué)第

2

天去

B

餐廳，那么第

1

天去A餐廳的可能性更大．21．本小題12分甲、乙兩人玩一種游戲，游戲規(guī)則如下：放置一張紙片在地面指定位置，其中一人在固定位置投籃，若籃球被籃板反彈后擊中紙片，則本次游戲成功，此人繼續(xù)投籃，否則游戲失敗，換為對(duì)方投籃．已知第一次投籃的人是甲、乙的概率分別為和，甲、乙兩人每次游戲成功的概率分別為和求第2次投籃的人是甲的概率；記第n次投籃的人是甲的概率為，①用表示；②求【解析】第2次投籃的人是甲包含兩種情況：①第1次甲投籃且游戲成功，其概率為

；②第1次乙投籃且游戲失敗，其概率為

，由全概率公式得第2次投籃的人是甲的概率為

．①第

次投籃的人是甲包含兩種情況：①第

n

次甲投籃且游戲成功，其概率為

；②第

n

次乙投籃且游戲失敗，其概率為

，由全概率公式得

，即

．②由①得

，又

，所以數(shù)列

是以

為首項(xiàng)，

為公比的等比數(shù)列，所以

，即

．22．本小題12分甲?乙兩名運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行乒乓球比賽，規(guī)定每