第11講 二倍角的三角函數(shù)（七大題型）（原卷版）

第11講二倍角的三角函數(shù)【題型歸納目錄】【知識點梳理】知識點一：二倍角公式的逆用及變形1、公式的逆用；．．．2、公式的變形；降冪公式：升冪公式：知識點二：升（降）冪縮（擴(kuò)）角公式升冪公式：，降冪公式：，知識點詮釋：利用二倍角公式的等價變形：，進(jìn)行“升、降冪”變換，即由左邊的“一次式”化成右邊的“二次式”為“升冪”變換，逆用上述公式即為“降冪”變換．知識點三：輔助角公式1、形如的三角函數(shù)式的變形：令，，則（其中角所在象限由的符號確定，角的值由確定，或由和共同確定．）2、輔助角公式在解題中的應(yīng)用通過應(yīng)用公式（或），將形如（不同時為零）收縮為一個三角函數(shù)（或）．這種恒等變形實質(zhì)上是將同角的正弦和余弦函數(shù)值與其他常數(shù)積的和變形為一個三角函數(shù)，這樣做有利于函數(shù)式的化簡、求值等．【典型例題】題型一：二倍角公式的簡單應(yīng)用【例1】（2024·全國·高一專題練習(xí)）求下列各式的值:(1)(2)(3)(4)【變式1-1】（2024·云南文山·高一?？计谀┮阎?1)求的值；(2)求的值．【變式1-2】（2024·高一課時練習(xí)）利用二倍角公式求下列各式的值：(1)；(2)；(3)；(4)．題型二：給角求值【例2】（2024·廣東佛山·高一統(tǒng)考競賽）.【變式2-1】（2024·河北邢臺·高一邢臺市第二中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）．【變式2-2】（2024·河北保定·高一校聯(lián)考期末）．題型三：給值求值【例3】（2024·全國·高一專題練習(xí)）若，則．【變式3-1】（2024·全國·高一專題練習(xí)）若，則的值為【變式3-2】（2024·四川樂山·高一統(tǒng)考期末）若，則．【變式3-3】（2024·全國·高一專題練習(xí)）已知,則.題型四：利用倍角公式化簡及證明【例4】（2024·全國·高一課堂例題）化簡．【變式4-1】（2024·全國·高一課堂例題）化簡：(1)；(2)；(3)．【變式4-2】（2024·高一課時練習(xí)）證明：.【變式4-3】（2024·高一課時練習(xí)）證明：.題型五：輔助角公式的應(yīng)用【例5】（2024·全國·高一專題練習(xí)）函數(shù)y＝sinx＋cosx－sinxcosx的值域為．【變式5-1】（2024·高一課時練習(xí)）關(guān)于點對稱，則a的值為.【變式5-2】（2024·四川成都·高一四川省成都市新都一中校聯(lián)考期末）已知函數(shù)，，恒成立，則．題型六：三角函數(shù)的實際應(yīng)用【例6】（2024·江蘇鎮(zhèn)江·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）海安市實驗中學(xué)校訓(xùn)鑲嵌在墻壁上，上端距離地面15米，下端距離地面11米，現(xiàn)小明同學(xué)要拍攝校訓(xùn)照片，相機(jī)鏡頭離地面1米，要使得校訓(xùn)的上下端與鏡頭構(gòu)成的視角最大，問相機(jī)鏡頭距離墻面應(yīng)米.

【變式6-1】（2024·山東濟(jì)南·高一山東師范大學(xué)附中?？迹┪簳x南北朝時期，祖沖之利用割圓術(shù)以正24576邊形，求出圓周率約等于，和相比，其誤差小于八億分之一，這個記錄在一千年后才被打破．若已知的近似值還可以表示成，則的值約為（

）A． B． C． D．【變式6-2】（2024·河北保定·高一校聯(lián)考期末）著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生被譽(yù)為“中國現(xiàn)代數(shù)學(xué)之父”，他倡導(dǎo)的“0.618優(yōu)選法”在生產(chǎn)和科研實踐中得到了非常廣泛的應(yīng)用.黃金分割比，現(xiàn)給出三倍角公式，則與的關(guān)系式正確的為（

）A． B．C． D．【變式6-3】（2024·全國·高一專題練習(xí)）在解決問題“已知，請用m表示的值”時，甲的結(jié)果為，乙的結(jié)果為，則下列結(jié)論正確的是（

）A．甲、乙的結(jié)果都正確 B．甲的結(jié)果正確、乙的結(jié)果錯誤C．甲的結(jié)果錯誤、乙的結(jié)果正確 D．甲、乙的結(jié)果都錯誤題型七：三角恒等變換與三角函數(shù)圖象性質(zhì)的綜合【例7】（2024·內(nèi)蒙古赤峰·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，且(1)求常數(shù)的值；(2)求使成立的實數(shù)的取值集合．【變式7-1】（2024·吉林·高一校聯(lián)考期末）已知函數(shù)．(1)求在上的最大值；(2)若，求的值；(3)若，求的值．【變式7-2】（2024·黑龍江·高一校聯(lián)考期末）已知函數(shù).(1)求的最小正周期；(2)求在區(qū)間上的單調(diào)性及最值.【變式7-3】（2024·寧夏銀川·高一?？计谀┮阎瘮?shù).(1)求函數(shù)的最小正周期；(2)求該函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；(3)求函數(shù)在區(qū)間上的最小值和最大值.【變式7-4】（2024·吉林·高一長春外國語學(xué)校校聯(lián)考期末）設(shè)函數(shù).(1)求的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；(2)試討論函數(shù)在上零點的個數(shù).【過關(guān)測試】一、單選題1．（2024·浙江寧波·高一鎮(zhèn)海中學(xué)?？计谀┤?，，，則（

）A． B． C． D．2．（2024·浙江寧波·高一鎮(zhèn)海中學(xué)?？计谀┮阎瑒t（

）A． B． C． D．23．（2024·云南玉溪·高一統(tǒng)考期末）（

）A．1 B． C． D．4．（2024·黑龍江牡丹江·高三牡丹江市第二高級中學(xué)校聯(lián)考期末）（

）A．1 B． C． D．25．（2024·江西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，則（

）A． B． C． D．6．（2024·河北邯鄲·高一?？计谀┤簦瑒t等于（

）A． B． C．或 D．或7．（2024·陜西銅川·高三?？计谀┮阎c是的終邊與單位圓的交點，，若在第三象限，則點的橫坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．8．（2024·黑龍江佳木斯·高三?？计谀┮阎?，，則的值等于（

）A． B． C． D．二、多選題9．（2024·重慶北碚·高一統(tǒng)考期末）下列化簡正確的是（

）A． B．C． D．10．（2024·湖南邵陽·高二校考階段練習(xí)）已知函數(shù)，則下列說法正確的是（

）A． B．函數(shù)f(x)的最小正周期為C．函數(shù)f(x)的對稱軸方程為 D．函數(shù)f(x)的圖象可由的圖象向左平移個單位長度得到11．（2024·云南楚雄·高一統(tǒng)考期末）下列式子計算正確的是（

）A．B．C．D．12．（2024·山東青島·高三青島二中?？计谥校┮阎瘮?shù)，下列結(jié)論正確的是（

）A．的周期是B．的圖象關(guān)于點對稱C．的單調(diào)遞增區(qū)間為D．要得到的圖象，只需把的圖象向右平移的單位三、填空題13．（2024·福建泉州·高三福建省德化第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知角的頂點為原點，始邊為軸的非負(fù)半軸，若其終邊經(jīng)過點，．14．（2024·吉林·高一統(tǒng)考期末）已知，則；．15．（2024·廣東深圳·高一?？计谀┮阎?，，則.16．（2024·云南曲靖·高二校考期末）已知，則