2023年陜西省寶雞市高考理科數(shù)學(xué)模擬試卷及答案解析

2023年陜西省寶雞市高考理科數(shù)學(xué)模擬試卷

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只

有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.(5分)設(shè)集合4={x∣-l<x<l},B={x∣√x≤1},則AnB=()

A.A-IVXV1}B.{x∣0<x<l}C.{X∣0≤Λ<1}D.(Λ∣0≤X≤1}

2.（5分）已知i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)z=i+（I-Z）（2-/）的模為（）

A.2B.√5C.√6D.2√2

3.（5分）已知非零向量R=（1,2）,AC=（2,t）,若G1BC,則實(shí)數(shù)t的值為（）

313

2-C---

A.B.54D.2

4.（5分）從甲、乙兩車(chē)間各抽取10件同類(lèi)產(chǎn)品進(jìn)行某項(xiàng)指標(biāo)的檢測(cè)，檢測(cè)數(shù)據(jù)的莖葉圖

如圖所示，則甲、乙兩車(chē)間產(chǎn)品該項(xiàng)指標(biāo)的中位數(shù)分別為（）

甲乙

809

32I13489

76542020113

73

A.23.518.5B.2218C.2318.5D.2319

5.（5分）在正項(xiàng)等比數(shù)列｛斯｝中，若46,3紡，卬依次成等差數(shù)列，則｛〃〃｝的公比為（）

11

A.2B.-C.3D.-

23

6.（5分）已知函數(shù)/（x）=sin（2x+<p）（0V<pV*）,設(shè)甲：QVφ≤*乙：函數(shù)f（x）在

區(qū)間（0,看）上單調(diào)遞增，則甲是乙的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

7.(5分)已知函數(shù)/(x)=Or+sin2x+cosκ在R上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（)

33

A.(2,+8)B.(-8,1]C.[3,+8)D.l-?g,+8)

8.（5分）已知αe(0,π),tan2a=貝IJa=()

π5π3π2π

A.-B.—C.—D.—

3643

9.（5分）執(zhí)行如圖所示的程序圖，若輸入的〃=16,則輸出的i,Z的值分別為（)

z=lΛ=l^=θ

_fc=2M

A.3,5B.4,7C.5,9D.6,Il

10.（5分）己知拋物線C：）2=2PX（P>0）的焦點(diǎn)為凡點(diǎn)T在C上，且IFTI=|,若點(diǎn)M

的坐標(biāo)為（0,1）,且MM7,則C的方程為（）

A.）2=2X或y2=8%B.y2=χ或y2=8χ

C.）?=2x或y2=4χD.y2=χ或y2=4χ

11.（5分）

如圖所示，雙曲線具有光學(xué)性質(zhì)：從雙曲線右焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)過(guò)雙曲線鏡面反射，其

X2V2

反射光線的反向延長(zhǎng)線經(jīng)過(guò)雙曲線的左焦點(diǎn)，若雙曲線氏-T--=1（a>0,b>0）

a2b2

的左、右焦點(diǎn)分別為F2,從尸2發(fā)出的光線經(jīng)過(guò)圖2中的A,B兩點(diǎn)反射后，分別經(jīng)

圖1圖2

6√372√10√14

A.-B.——C.----D.——

5553

12.（5分）如圖，長(zhǎng)方體ABCO-45601中，AB=G,BC=AAI=12,點(diǎn)P是BC的中點(diǎn),

點(diǎn)M是5D1上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N在平面4QPCi上移動(dòng)，則MN的最小值為（）

A.2B.3C.4D.5

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.

13.（5分）已知直線X-%+2=0被圓∕√=1所截得的弦長(zhǎng)為Vl則實(shí)數(shù)根=.

14.（5分）己知定義域?yàn)镽的偶函數(shù)F（X）在[0,+8）上單調(diào)遞減，且2是函數(shù)f（X）的

一個(gè)零點(diǎn)，則不等式f（x）>0的解集為.

15.（5分）在矩形ABCO中，AB=8,BC=I,在該矩形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)M,則事件“NAMB

>90°”發(fā)生的概率為.

16.（5分）已知數(shù)列｛aQ滿足αι=2,alt+i-2=a,,+2n（n∈N*）,則數(shù)歹此；4｝的前2022項(xiàng)的

an

和為.

三、解答題：共70分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。第17~21題為必考

題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

___S

17.（12分）在aABC中，角A,B,C所對(duì)邊分別為mb,c,-=—~

a1+cosA

（1）證明：2a=b+c;

4-

（2）若CoSA=芻a=2√6,求aABC的面積.

18.（12分）在高考結(jié)束后，程浩同學(xué)回初中母?？赐麛?shù)學(xué)老師，順便幫老師整理初三年級(jí)

學(xué)生期中考試的數(shù)學(xué)成績(jī)，并進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析.在整個(gè)年級(jí)中隨機(jī)抽取了200名學(xué)生的數(shù)

學(xué)成績(jī),將成績(jī)分為[40,50）,[50,60）,[60,70）,[70,80）,[80,90）,[90,100J,

共6組，得到如圖所示的頻率分布直方圖.記分?jǐn)?shù)不低于90分為優(yōu)秀.

(1)從樣本中隨機(jī)選取一名學(xué)生，已知這名學(xué)生的分?jǐn)?shù)不低于70分，問(wèn)這名學(xué)生數(shù)學(xué)

成績(jī)?yōu)閮?yōu)秀的概率；

(2)在樣本中，采取分層抽樣的方法從成績(jī)?cè)冢?0,100］內(nèi)的學(xué)生中抽取13名，再?gòu)倪@

13名學(xué)生中隨機(jī)抽取3名，記這3名學(xué)生中成績(jī)?yōu)閮?yōu)秀的人數(shù)為X,求X的分布列與數(shù)

19.(12分)如圖，在幾何體ABCf)EF中，四邊形ABCO為等腰梯形，AB∕∕CD,4B=2,

AD=CD=BC=?,CE//DF,CEl5FffiABCD,DF=2,CE=I.

(1)證明：BDYAF-,

(2)求平面4。F和平面BCE所成銳二面角的大小.

20.(12分)已知橢圓C：/+黃=l(α>b>0)的短軸長(zhǎng)和焦距相等，長(zhǎng)軸長(zhǎng)是2√Σ.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

?∕π

⑵直線/與橢圓C相交于P,2兩點(diǎn)，原點(diǎn)。到直線/的距離為旬.點(diǎn)M在橢圓C

上，且滿足0%=(?+C?,求直線/的方程.

21.(12分)已知函數(shù)/(x)=aex-x1,g(x)=X3—∣(α+3)x2+ax(其中e是自然對(duì)數(shù)

的底數(shù)，α∈R).

(1)若函數(shù)/(x)在X=O處取得極值，求函數(shù)g(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若函數(shù)f(x)和g(X)均存在極值點(diǎn)，且函數(shù)g(X)的極值點(diǎn)均大于/(x)的極

值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)”的取值范圍.

(二)選考題：共10分。請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的

第一題計(jì)分。

22.(10分)在平面直角坐標(biāo)系X。)，中，直線/的參數(shù)方程為C為參數(shù))，以坐

標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，X軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為p2(l+sin2θ)

=2.

(1)求直線/的一般式方程和曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若直線/與曲線C交于A,B兩點(diǎn)，點(diǎn)P(1,0),求解∣?∣PB∣的值.

23.已知函數(shù)f(x)=∣χ-l∣+lx+2∣-1.

(1)求不等式/(x)<4的解集；

14

(2)設(shè)XeR時(shí)，fCx)的最小值為若正實(shí)數(shù)a,b,滿足α+6=M,求一+:的最小

ab

值.

2023年陜西省寶雞市高考理科數(shù)學(xué)模擬試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只

有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.(5分)設(shè)集合A={H-l<x<l},B={x?y∕x≤1},則AnB=()

A.{x∣-I<x<1}B.{x∣0<x<l}C.{Λ∣0≤X<1)D.{Λ∣0≤X≤1}

【解答】解：?.?A={x∣-l<x<l},B={x∣O≤x≤l},

.?.A∩8={x∣0Wx<l}.

故選：C.

2.（5分）已知i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)z=i+（1-/）（2-z）的模為（）

A.2B.√5C.√6D.2√2

【解答】解：Vz=z+(1-/)(2-r)=i+l-3i=l-2i,

∣z∣—J#+(—2)2—√5.

故選：B.

3.（5分）已知非零向量易=（1,2）,AC=（2,t）,若/_1.后，則實(shí)數(shù)f的值為（）

313

A.-2B.—C.--TD?—

542

【解答】解：根據(jù)題意，非零向量/=(L2),AC=(2,t),則品=前一/=(1,

r-2),

若忌，則√??族=1+2(/-2)=0,

解可得：u|；

故選：D.

4.（5分）從甲、乙兩車(chē)間各抽取10件同類(lèi)產(chǎn)品進(jìn)行某項(xiàng)指標(biāo)的檢測(cè)，檢測(cè)數(shù)據(jù)的莖葉圖

如圖所示，則甲、乙兩車(chē)間產(chǎn)品該項(xiàng)指標(biāo)的中位數(shù)分別為（)

甲乙

-80

32113489

76542020113

73

A.23.518.5B.2218C.2318.5D.2319

【解答】解：甲車(chē)間產(chǎn)品依次為8,12,13,20,22,24,25,26,27,37,

22+24

故其中位數(shù)為F~=23，

乙車(chē)間產(chǎn)品依次為9,11,13,14,18,19,20,21,21,23,

18+19

故其中位數(shù)為一^=18.5.

2

故選：C.

5.(5分)在正項(xiàng)等比數(shù)列｛而｝中，若〃6,3的，依次成等差數(shù)列，則｛斯｝的公比為()

11

A.2B.-C.3D.-

23

【解答】解：正項(xiàng)等比數(shù)列｛斯｝的公比設(shè)為4,q>0,

46，3〃5，。7依次成等差數(shù)列，可得6。5=。6+。7，

即有6cι?q4-aιq5+a?qβ,

化為/+q-6=0>解得4=2(-3舍去)，

則｛斯｝的公比為2,

故選：A.

6.(5分)已知函數(shù)/^(x)=Sin(2x+w)(0<卬V分設(shè)甲：0<S≤^,乙：函數(shù)f(%)在

區(qū)間(0,三)上單調(diào)遞增，則甲是乙的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【解答】解：當(dāng)OVXV1時(shí)，φ<2x+φ<^+φ,又因?yàn)?<?)V*,若函數(shù)/(x)在區(qū)

間(0,分上單調(diào)遞增，則有邛+驊-可得Oq≤*

若OVtp≤看，當(dāng)OVxV看時(shí)，2x+<pe(0,+<p)ɑ(0,?),則函數(shù)/(x)在區(qū)間(0,

看)上單調(diào)遞增；

故甲是乙的充要條件.

故選：C.

7.(5分)已知函數(shù)八無(wú))=OX+sin2x+cosx在R上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)”的取值范圍是()

33

A.(2,+8)B.(-8,1]C.[3,+8)D.[一位，+8)

【解答】解：???函數(shù)f(x)=Or+sin2x+cosx在R上單調(diào)遞增,

:.f(?)="+2cos2x-sim=q+2-4sin2x-siav≥0,

即67≥4sin2x+sinΛ-2,故(4sin2x+si∏Λ-2)max，

而(4sin2x+sin%-2)MQ=4+1-2=3,

則實(shí)數(shù)。23,

故選：C.

8.(5分)己知α∈(0,π),tan2a=-r—~,則α=()

?ICl/?V-V

π5TT3TT2TT

A.-C.—D.

3643

得.sin2aIsinacosasina

【解答】解:?tα∏2aSMaVα∈(0,π),

1+cosM寸?cos2a2cos2a-ll+cosa'

Λsina>0,

2cosa1

2cos2a-l1+cosa

解得：COSa=-亍,

2∏?

/.a=T

故選：D.

9?（5分）執(zhí)行如圖所示的程序圖，若輸入的〃=16,則輸出的i,k的值分別為（）

I=IJc=IzS=Q

?=2M

A.3,5B.4,7C.5,9D.6,11

【解答】解：模擬程序的運(yùn)行，可得

n=16,z=l,k=?fS=O

不滿足條件s>〃,執(zhí)行循環(huán)體，S=2,i=2,k=3

不滿足條件s>〃,執(zhí)行循環(huán)體，s=7,i=3,k—5

不滿足條件s>",執(zhí)行循環(huán)體，s=15,i=4,火=7

不滿足條件s>%執(zhí)行循環(huán)體，s=26,i=5,&=9

滿足條件s>〃，退出循環(huán)，輸出i,k的值分別為5,9.

故選：C.

10.(5分)已知拋物線C：yλ=2px(/?>0)的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)T在C上，且IFTl=搟，若點(diǎn)M

的坐標(biāo)為(0,1),且則C的方程為()

A.y2=Zx'或∕=8χB.y2=χ或,2=8工

C.y2=2r或y2=4xD.y2=x或夕=4》

【解答】解：設(shè)7(即，川)，

:拋物線C：夕=2PX(p>0),

ΛF(∣,0),

又<M(0,1),

.,1-02

9

JMFLMT9

：?kMF?kMT=-1,

c.kMτ=τs-?=7,s∣jyo=??o÷i??

人0—V乙乙

V∣FT∣=|,

，由拋物線的定義可得，x0+∣=f<≡),

?：T(?o,yo),

?,?7o=2P?'

.?.χo=凝，將③代入①可得，y0=∣?^+l>解得yo=2,

?2??5

.?.%o=萬(wàn)代入②式可得，-+-=即p2-5p+4=0,解得P=I或p=4,

???拋物線方程為y2=2x或∕=8x.

故選：A.

11.(5分)

如圖所示，雙曲線具有光學(xué)性質(zhì)：從雙曲線右焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)過(guò)雙曲線鏡面反射，其

X2V2

反射光線的反向延長(zhǎng)線經(jīng)過(guò)雙曲線的左焦點(diǎn)，若雙曲線E：--?=1(^>0,?>0)

a2b2

的左、右焦點(diǎn)分別為Q,F2,從出發(fā)出的光線經(jīng)過(guò)圖2中的4,B兩點(diǎn)反射后，分別經(jīng)

圖

圖2

62

C√-io

-√一i4

5D.3

【解答】解：由題意知延長(zhǎng)C4,則必過(guò)點(diǎn)尸如圖：

1

又因?yàn)閠cm4B4C=一圣?BD?=AD?BDf則AoJ_8。，所以小匕&48=各

設(shè)AFI=I3團(tuán)，則A8=5∕n,BFl=I2m,因此［北一?ɑ,

(BF2=12m—2a

從13機(jī)-2a+12ιn-Za=5m,所以a=5m,

又因?yàn)?FI+BFI=FiF2,

122

所以(―?)2÷(-a)2=(2c)2,即3742=25d,

即歷

即e=~r?

故選：B.

12.（5分）如圖，長(zhǎng)方體A8Cf>-A向CiOi中，AB=6,BC=AAI=12,點(diǎn)尸是Be的中點(diǎn),

點(diǎn)朋是BDl上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N在平面4OPCi上移動(dòng)，則用N的最小值為（）

【解答】解：連接DlC交。Cl于0,連接0P,

V0,尸分別為。Cl,BC的中點(diǎn),

：.OP//BD\,又Bol<4平面OPe1，OPU平面OPei，

.?.BZλ〃平面DPCi,

；?MN長(zhǎng)度的最小值等于三棱錐B-DPC?的高,

設(shè)三棱錐B-QPeI的高為〃，

,

由等體積法知，UB-DPCl=^C1-DPB

11

,,?XSADPCl×h=-×SADPBXCCγ,

,JAB=6,BC=AAi=12,

：.DCi=PCi=√62+122=6√5,DP=√62+62=6√2,

22

ΛSΔDPCI=?×6√2×J(6√5)-(3√2)=54,SADPB=∣×BP×ΛB=∣×6×6=18,

11

Λ-×54X九=-×18×12,

33

Λ∕j=4.

故選：C.

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.

13.（5分）已知直線X-%+2=0被圓P√=l所截得的弦長(zhǎng)為VL則實(shí)數(shù)m=_±V7一

【解答】解：圓7+，=1的圓心為（0,0）,半徑r=l,

圓心（0,0）到直線X-Wly+2=0的距離d=

則弦長(zhǎng)應(yīng)=2√r2—d2=2/1—??z,解得m=±V7?

?l+τnz

故答案為：土近.

14.（5分）已知定義域?yàn)镽的偶函數(shù)f（x）在［0,+8）上單調(diào)遞減，且2是函數(shù)/（x）的

一個(gè)零點(diǎn)，則不等式/（x）>0的解集為（-2,2）.

【解答】解：：偶函數(shù)，在（-8,0）上是減函數(shù)，

函數(shù)/（x）在（0,+8）上為增函數(shù)，且-2）=/（2）=0,

綜上不等式的解為-2<x<2

故不等式的解集為{x∣-2<x<2},

故答案為：（-2,2）.

15.（5分）在矩形ABC。中，A8=8,BC=2,在該矩形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)M,則事件“乙AMB

>90°”發(fā)生的概率為

12

【解答】解：如圖,

設(shè)AB的中點(diǎn)為O,

1

因?yàn)橐籄B>BC,

2

所以以AB為直徑的圓與CD相交,

設(shè)以AB為直徑的圓與C。交于E,尸兩點(diǎn)，過(guò)。作ONj_C￡）,垂足為M

則事件”∕AMB>90°”即為點(diǎn)M在扇形OAE,扇形。BF和△（）斯三個(gè)區(qū)域內(nèi)，不包

括勵(lì)，CF,

在RtAONF中,NF=√42-22=2√3,

9J?cos?NOF=所以4N0F=9乙BOF=N

L?O

則點(diǎn)M所在區(qū)域的面積為2×∣×^×42+2×∣×2×2√3=?+4√3,

ZOZ?

警+4&_3?f3+2π

所以所求概率

P8x212

,.3Λ∕3+2TΓ

故答案為：

(w∈N*),

16.(5分)已知數(shù)列｛“”｝滿足αι=2,an+]-2=an+2n則數(shù)列｛；｝的前2022項(xiàng)的

an

V2022

和為t——

-2023-

【解答】解:由題意可知,滿足m=2,an+ι-an=2n+2,

rt≥2?2=6,a4-a3=8,

當(dāng)時(shí)，a∣l-an?=2(n-1)+2=2n,'.aι-αι=4,aj-…，an

以上各式累加得，a∣ι~aι+（。2-αι）+（?3-。2）+（。4-。3）+…+（a”^即-1）=2+4+6+8+

-+2n=0+羿8=n(∏+1),

111

當(dāng)〃=1時(shí),0=2,也滿足上式，，斯=〃（九+1）,則一=

ɑnn(n+l)nn+1

???數(shù)列」｛白｝的前n項(xiàng)和為Sn=1,1,,1d1,11,,11

----1------1-…+—=]-2+2^3+"?+n^^=1^

anala2α3

1_n

n+1-n+1

?S_2022

?,32022-2023,

2022

故答案為:

2023

三、解答題：共70分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。第17~21題為必考

題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

b2—CosB

17.(12分)在aABC中，角4,B,。所對(duì)邊分別為〃，?,c,一=------.

a1+cosA

(1)證明：2〃=/?+c；

A_

(2)右COSA=耳，a=2y∕6,求AABC的面積.

b2coSA?

【解答】解：(1)證明：因?yàn)椤?-------,可得2〃-。COSjB=b+8COSA,

a1+cosA

222222

LLI.?-b+c-aa+c-b

所以由余弦定理可rz得ra2a=b+b*——------+〃?--------------,

2bc2ac

整理可得2α=什c,得證；

(2)因?yàn)镃oSA=a=2yjβ,2a=b+c,

所以由余弦定理J=M+￠2-2bccosA,可得24=fc2+c2-2×bc×∣=(?+c)2-2bc-2×

44

bc×?=96-Ibc-2×hc×百，

解得bc=20,

._________3

又SinA=Vl—cos2A=百，

IlQ

所以aABC的面積S=]6CSinA=X20X5=6.

18.(12分)在高考結(jié)束后，程浩同學(xué)回初中母?？赐麛?shù)學(xué)老師，順便幫老師整理初三年級(jí)

學(xué)生期中考試的數(shù)學(xué)成績(jī)，并進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析.在整個(gè)年級(jí)中隨機(jī)抽取了200名學(xué)生的數(shù)

學(xué)成績(jī)，將成績(jī)分為[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],

共6組，得到如圖所示的頻率分布直方圖.記分?jǐn)?shù)不低于90分為優(yōu)秀.

(1)從樣本中隨機(jī)選取一名學(xué)生，已知這名學(xué)生的分?jǐn)?shù)不低于70分，問(wèn)這名學(xué)生數(shù)學(xué)

成績(jī)?yōu)閮?yōu)秀的概率；

(2)在樣本中，采取分層抽樣的方法從成績(jī)?cè)赱70,100]內(nèi)的學(xué)生中抽取13名，再?gòu)倪@

13名學(xué)生中隨機(jī)抽取3名，記這3名學(xué)生中成績(jī)?yōu)閮?yōu)秀的人數(shù)為X,求X的分布列與數(shù)

學(xué)期望.

【解答】解：（1）由頻率分布直方圖可知，（0?005+0?010X2+0?020+4+0?030）×10=1,

??6?—0.025?

數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)冢?0,80）的有0.030X10X200=60名，

數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)冢?0,90）的有0.025X10X200=50名，

數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)冢?0,100］的有0.0IOX10X200=20名，

從樣本中隨機(jī)選取一名學(xué)生，設(shè)“這名學(xué)生的分?jǐn)?shù)不低于70分”為事件A,“這名學(xué)生

數(shù)學(xué)成績(jī)?yōu)閮?yōu)秀“為事件8，

，4、60+50+2013.201

則rπιlP(A)=200=而'Po(rABdλ)=2θδ=io)

P(AB)1202

：.P(BIA)=TW=而XB=百

（2）：采取分層抽樣的方法從成績(jī)?cè)冢?0,100］內(nèi)的學(xué)生中抽取13名,

.?.在［70,80)抽取13×?=6名，在［80,90)抽取13x哥=5名，在［90,100］抽取

N黑=2名,

從這13名學(xué)生中隨機(jī)抽取3名，記這3名學(xué)生中成績(jī)?yōu)閮?yōu)秀的人數(shù)為X,

則X的可能取值為0,1,2,

P(X=O)=Φ=?P(X=I)=?L≤2=5p(X=2)=?L?=1

NZorbl?/ɑ?Zc

G13G13C13

X的分布列為：

X012

P1551

261326

E(X)=o×H+ι×?+2×?=??

19.(12分)如圖，在幾何體ABCDE尸中，四邊形ABCo為等腰梯形，AB//CD,AB=I,

AD=CD=BC=?,CE//DF,CE_L平面ABC。，DF=2,CE=L

(1)證明：BDLAF-,

(2)求平面Ao尸和平面BCE所成銳二面角的大小.

【解答】(I)證明：取AB的中點(diǎn)P,連接OP,CP,

?.?AB=2,AP=BP,...AP=BP=I,

；AD=CD=BC=1,AP=BP=I,AB//CD,

：.四邊形APCD和四邊形PBC。都是邊長(zhǎng)為1的菱形，

,.?四邊形PBCD為菱形，；.PCLBD,

?'AD∕∕CP,：.ADLBD,

YOKL平面ABC。，BZ)?5F≡ABCD,.'.DF±BD,

"：BDlDF,BD1.AD,AD∏DF=D,AD,OFU平面AOR平面尸，

VBDl5PffiADF,ΛF?ψffiADF,.,.BD±AF;

(2)解：由(1)可知，AD,BD,DF兩兩垂直，以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA,DB,DF

分別為X,y,Z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由AQ=1,AB=2,ADLBD,可

得∕D4B=60°,BD=√3,

各點(diǎn)坐標(biāo)如下：。(0,0,0),A(1,0,0),B(0,√3,0),F(0,0,2),由法=47?=^x(-1,

√3∕0)=(-;,?>0),可得C(一,,?,O)>E(一帝,?>1)>

設(shè)平面BCE的法向量為/=(X,y,z),由C?=(0,0,1),C?=(?,亨，0),

CE?m=z=0,

--IB取x=√5,y=-1,z=0,可得平面8CE的一個(gè)法向量為

!Cβ?m=2?÷^^y=θ^

m=(V3/—1,0),

由BC平面AOF,可得平面A。F的一個(gè)法向量為DB=(O,√3,0),

TT-√3

由DB?m=—√f3,∣∣可得

?DB?=√3,τn=2)CoS(DB,m)Z7J

故平面ADF和平面BCE所成銳二面角的大小為60°.

20.(12分)已知橢圓C-7+77=l(a>b>0)的短軸長(zhǎng)和焦距相等，長(zhǎng)軸長(zhǎng)是2遮.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)直線/與橢圓C相交于P,Q兩點(diǎn)，原點(diǎn)O到直線/的距離為誓.點(diǎn)M在橢圓C

上，且滿足疝=(?+(?,求直線/的方程.

【解答】解：(1)設(shè)橢圓C的焦距為2c,

因?yàn)闄E圓C/+言=l(a>b>O)的短軸長(zhǎng)和焦距相等，長(zhǎng)軸長(zhǎng)是2√Σ

2b=2c

所以20=2√^，解得Q=√Σ,b=l,。=1,

-α2=62+C2

χ2

故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為萬(wàn)+y2=1.

(2)若直線/的斜率不存在，則直線/的方程為X=±誓，

此時(shí)滿足OM=茄+0?的點(diǎn)M顯然不在橢圓C上，可得直線/的斜率存在，

設(shè)直線/的方程為y=fcr+%P(xi，yι),Q(%2，>2)，M(Xo，yo),

(x22—1

聯(lián)立方程1^+y=1,消去y后整理為(2必+1)x1+4hwc+2nr-2=0,

{y=kx+m

可得%]+%2=——4'九，y-?-y=fc(%1+X2)+2m=-二+2m=

2r+ι2r+12r+1

由A=16Fm2-4(2A2+1)(2W2-2)=8(2fc2-∕√+l)>0,可得2F+1>∕√,

又由OM=OP+0Q,可得Xo=—4袈y0=-0

ZrC+JL?K-r1

將點(diǎn)M的坐標(biāo)代入橢圓C的方程,有=(―獸二)2+=1,所以4渥=2∕+ι,

22∕C2+12∕C2+1

又由原點(diǎn)O到直線I的距離為7嗎=—,可得20√=9+9?2,

√l+∕c210

聯(lián)立方程欺,可得，:"J

(2OmZ=9k'+9(TnN=-

(k=2(k=2(k=-2(k=-2

解得]3或I3或I3或，3,

[m=2(m=—2(m=[m=—

Q

又由2×4+1>不，

可得直線I的方程為y=2x+I或y=2x-怖或y=-2x+,或y=-2x-|.

21.(12分)己知函數(shù)f(x)=aex-x1,g(x)=x3-?(α+3)x2+ax(其中e是自然對(duì)數(shù)

的底數(shù),a∈R).

(1)若函數(shù)F(X)在X=O處取得極值，求函數(shù)g(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若函數(shù)/(x)和g(x)均存在極值點(diǎn)，且函數(shù)gG)的極值點(diǎn)均大于/(x)的極

值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【解答】(1)解：f(x)-aex-Ix,由題意知/(O)=0,解得a=0,

經(jīng)驗(yàn)證，當(dāng)a=0時(shí)，f(x)在X=O處取得極大值，

此時(shí)g(x)=/-?∣%2,定義域?yàn)镽,所以g'(χ)=3f-3x,

由g'(x)>0得(-8,O)u(1,+8),g`(x)<0的解集為(0,1),

所以函數(shù)g(x)的單調(diào)增區(qū)間為(-8,0)和(1,+8),單調(diào)減區(qū)間為(0,1)；

(2)解：f(X)-aeκ-2x,令h(x)—f(x)-aex-2x,則“(X)=a∕-2,

①當(dāng)a<0時(shí)，h'(%)<0在R上恒成立，f(X)單調(diào)遞減，

又因?yàn)?(a)=a(ea-2)>0,f(O)=a<0,所以存在x()€(a,0),使得/(M))=0,

易知xo是函數(shù)f(x)的極大值點(diǎn)，g'(x)=3X2-(a+3)x+a=(3x-a)(χ-1),令g,

(X)=0,解得X=號(hào)或X=1,

易知g(X)極大值點(diǎn)為全極小值點(diǎn)為1,

由題意可知，XoV皴立，則有((今〈0,解得3mfVa<0；

②當(dāng)a=0時(shí)，由(1)及①可知，O既是函數(shù)/(x)的極大值點(diǎn)，又是gG)的極大值

點(diǎn)，

不符題意，所以4=0舍去；

③當(dāng)α>0時(shí)，h'(x)>0的解集為("(+8),h'(x)<0的解集為(一8,Zn≤),

所以/(x)在(說(shuō)，+8)上單調(diào)遞增，在(—8,加分上單調(diào)遞減，

因?yàn)?(x)有極值點(diǎn)，所以/(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，所以應(yīng)有/(伍》=2-2m：VO,解得

,fl

0<a<-,∕(-)=aea-令三=t∈(e,+∞),則∕(?=2(，