真題重組卷05（2024新題型）-沖刺2024年高考數(shù)學(xué)真題重組卷（新高考新題型專用）含答案

沖刺2024年高考數(shù)學(xué)真題重組卷（新七省專用）真題重組卷05（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）第I卷（選擇題）一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的。1.（2022?新高考Ⅱ）已知集合，1，2，，，則A．， B．， C．， D．，2.（2023全國乙卷數(shù)學(xué)（文））（

）A．1 B．2 C． D．53.（2023?乙卷）已知是偶函數(shù)，則A． B． C．1 D．24.（2023新課標(biāo)全國Ⅱ卷）記為等比數(shù)列的前n項和，若，，則（

）．A．120 B．85 C． D．5.（2023全國甲卷數(shù)學(xué)（文））曲線在點處的切線方程為（

）A． B． C． D．6.（2023新高考天津卷）函數(shù)的圖象如下圖所示，則的解析式可能為（

）

A． B．C． D．7.（2023新課標(biāo)全國Ⅰ卷）過點與圓相切的兩條直線的夾角為，則（

）A．1 B． C． D．8.（2023全國甲卷數(shù)學(xué)（文）（理））已知為函數(shù)向左平移個單位所得函數(shù)，則與的交點個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目的要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。9．（2020新課標(biāo)全國Ⅰ卷）已知a>0，b>0，且a+b=1，則（

）A． B．C． D．10．（2020新課標(biāo)全國Ⅰ卷）下圖是函數(shù)y=sin(ωx+φ)的部分圖像，則sin(ωx+φ)=（

）A． B． C． D．11．（2022新課標(biāo)全國Ⅱ卷）已知O為坐標(biāo)原點，過拋物線焦點F的直線與C交于A，B兩點，其中A在第一象限，點，若，則（

）A．直線的斜率為 B．C． D．第II卷（非選擇題）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.（2023新課標(biāo)全國Ⅱ卷）已知向量，滿足，，則______．13.（2023全國甲卷數(shù)學(xué)（理））在正方體中，E，F(xiàn)分別為CD，的中點，則以EF為直徑的球面與正方體每條棱的交點總數(shù)為____________．14.（2021?新高考Ⅰ）函數(shù)的最小值為．四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及驗算步驟。15.（本小題滿分15分）（新題型）設(shè)函數(shù)，(1)若，求在處的切線方程；(2)若是的極大值，求a的取值范圍．16.（本小題滿分15分）（2022?北京）如圖，在三棱柱中，側(cè)面為正方形，平面平面，，，分別為，的中點．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，求直線與平面所成角的正弦值．條件①：；條件②：．注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分．17．（本小題滿分15分）（2021?新高考Ⅱ）已知橢圓的方程為，右焦點為，，且離心率為．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）設(shè)，是橢圓上的兩點，直線與曲線相切．證明：，，三點共線的充要條件是．18．（本小題滿分17分）（2021?新高考Ⅱ）一種微生物群體可以經(jīng)過自身繁殖不斷生存下來，設(shè)一個這種微生物為第0代，經(jīng)過一次繁殖后為第1代，再經(jīng)過一次繁殖后為第2代，，該微生物每代繁殖的個數(shù)是相互獨立的且有相同的分布列，設(shè)表示1個微生物個體繁殖下一代的個數(shù)，，1，2，．（Ⅰ）已知，，，，求；（Ⅱ）設(shè)表示該種微生物經(jīng)過多代繁殖后臨近滅絕的概率，是關(guān)于的方程：的一個最小正實根，求證：當(dāng)時，，當(dāng)時，；（Ⅲ）根據(jù)你的理解說明（2）問結(jié)論的實際含義．19.（本小題滿分17分）（新題型）若一個兩位正整數(shù)的個位數(shù)為4，則稱為“好數(shù)”.(1)求證：對任意“好數(shù)”一定為20的倍數(shù)；(2)若，且為正整數(shù)，則稱數(shù)對為“友好數(shù)對”，規(guī)定：，例如，稱數(shù)對為“友好數(shù)對”，則，求小于70的“好數(shù)”中，所有“友好數(shù)對”的的最大值.沖刺2024年高考數(shù)學(xué)真題重組卷（新七省專用）真題重組卷05（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）第I卷（選擇題）一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的。1.（2022?新高考Ⅱ）已知集合，1，2，，，則A．， B．， C．， D．，【答案】【解析】，解得：，集合，．故選：．2.（2023全國乙卷數(shù)學(xué)（文））（

）A．1 B．2 C． D．5【答案】C【詳解】由題意可得，則.故選：C.3.（2023?乙卷）已知是偶函數(shù)，則A． B． C．1 D．2【答案】【解析】的定義域為，又為偶函數(shù)，，，，，．故選：．4.（2023新課標(biāo)全國Ⅱ卷）記為等比數(shù)列的前n項和，若，，則（

）．A．120 B．85 C． D．【答案】C【詳解】方法一：設(shè)等比數(shù)列的公比為，首項為，若，則，與題意不符，所以；由，可得，，①，由①可得，，解得：，所以．故選：C．方法二：設(shè)等比數(shù)列的公比為，因為，，所以，否則，從而，成等比數(shù)列，所以有，，解得：或，當(dāng)時，，即為，易知，，即；當(dāng)時，，與矛盾，舍去．故選：C．5.（2023全國甲卷數(shù)學(xué)（文））曲線在點處的切線方程為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)曲線在點處的切線方程為，因為，所以，所以所以所以曲線在點處的切線方程為.故選：C6.（2023新高考天津卷）函數(shù)的圖象如下圖所示，則的解析式可能為（

）

A． B．C． D．【答案】D【解析】由圖知：函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱，其為偶函數(shù)，且，由且定義域為R，即B中函數(shù)為奇函數(shù)，排除；當(dāng)時、，即A、C中上函數(shù)值為正，排除；故選：D7.（2023新課標(biāo)全國Ⅰ卷）過點與圓相切的兩條直線的夾角為，則（

）A．1 B． C． D．【答案】B【解析】方法一：因為，即，可得圓心，半徑，過點作圓C的切線，切點為，因為，則，可得，則，，即為鈍角，所以；法二：圓的圓心，半徑，過點作圓C的切線，切點為，連接，可得，則，因為且，則，即，解得，即為鈍角，則，且為銳角，所以8.（2023全國甲卷數(shù)學(xué)（文）（理））已知為函數(shù)向左平移個單位所得函數(shù)，則與的交點個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】因為向左平移個單位所得函數(shù)為，所以，而顯然過與兩點，作出與的部分大致圖像如下，

考慮，即處與的大小關(guān)系，當(dāng)時，，；當(dāng)時，，；當(dāng)時，，；所以由圖可知，與的交點個數(shù)為.故選：C.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目的要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。9．（2020新課標(biāo)全國Ⅰ卷）已知a>0，b>0，且a+b=1，則（

）A． B．C． D．【答案】ABD【解析】對于A，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故A正確；對于B，，所以，故B正確；對于C，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故C不正確；對于D，因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故D正確；故選：ABD10．（2020新課標(biāo)全國Ⅰ卷）下圖是函數(shù)y=sin(ωx+φ)的部分圖像，則sin(ωx+φ)=（

）A． B． C． D．【答案】BC【解析】由函數(shù)圖像可知：，則，所以不選A,不妨令,當(dāng)時，，解得：，即函數(shù)的解析式為：.而故選：BC.11．（2022新課標(biāo)全國Ⅱ卷）已知O為坐標(biāo)原點，過拋物線焦點F的直線與C交于A，B兩點，其中A在第一象限，點，若，則（

）A．直線的斜率為 B．C． D．【答案】ACD【解析】對于A，易得，由可得點在的垂直平分線上，則點橫坐標(biāo)為，代入拋物線可得，則，則直線的斜率為，A正確；對于B，由斜率為可得直線的方程為，聯(lián)立拋物線方程得，設(shè)，則，則，代入拋物線得，解得，則，則，B錯誤；對于C，由拋物線定義知：，C正確；對于D，，則為鈍角，又，則為鈍角，又，則，D正確.故選：ACD.第II卷（非選擇題）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.（2023新課標(biāo)全國Ⅱ卷）已知向量，滿足，，則______．【答案】【解析】法一：因為，即，則，整理得，又因為，即，則，所以.法二：設(shè)，則，由題意可得：，則，整理得：，即.13.（2023全國甲卷數(shù)學(xué)（理））在正方體中，E，F(xiàn)分別為CD，的中點，則以EF為直徑的球面與正方體每條棱的交點總數(shù)為____________．【答案】12【詳解】不妨設(shè)正方體棱長為2，中點為，取，中點，側(cè)面的中心為，連接，如圖，

由題意可知，為球心，在正方體中，，即，則球心到的距離為，所以球與棱相切，球面與棱只有1個交點，同理，根據(jù)正方體的對稱性知，其余各棱和球面也只有1個交點，所以以EF為直徑的球面與正方體每條棱的交點總數(shù)為12.14.（2021?新高考Ⅰ）函數(shù)的最小值為．【答案】1．【解析】法一、函數(shù)的定義域為．當(dāng)時，，此時函數(shù)在，上為減函數(shù)，當(dāng)時，，則，當(dāng)，時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，在上是連續(xù)函數(shù)，當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增．當(dāng)時取得最小值為（1）．故答案為：1．法二、令，，分別作出兩函數(shù)的圖象如圖：由圖可知，（1），則數(shù)的最小值為1．四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及驗算步驟。15.（本小題滿分15分）（新題型）設(shè)函數(shù)，(1)若，求在處的切線方程；(2)若是的極大值，求a的取值范圍．【解】（1）若，則，所以，故，又，所以在處的切線方程．（2）由題意，從而，①當(dāng)時，，所以，從而在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故是的極大值點，滿足題意；②當(dāng)時，，所以或，，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，從而是的極大值點，滿足題意；③當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，不合題意；④當(dāng)時，，所以或，，從而在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故是的極小值點，不合題意；綜上所述，實數(shù)a的取值范圍是．16.（本小題滿分15分）（2022?北京）如圖，在三棱柱中，側(cè)面為正方形，平面平面，，，分別為，的中點．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，求直線與平面所成角的正弦值．條件①：；條件②：．注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分．【解析】證明：取中點，連接，，為的中點．，且，四邊形是平行四邊形，故，平面；平面，平面，是中點，是的點，，平面；平面，平面，又，平面平面，又平面，平面；側(cè)面為正方形，平面平面，平面平面，平面，，又，，若選①：；又，平面，又平面，，又，，，，兩兩垂直，若選②：平面，，平面，平面，，又，，，，，，又，，，，兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點，，，為坐標(biāo)軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，0，，，1，，，1，，，2，，，1，，，1，，設(shè)平面的一個法向量為，，，則，令，則，，平面的一個法向量為，，，又，2，，設(shè)直線與平面所成角為，，．直線與平面所成角的正弦值為．17．（本小題滿分15分）（2021?新高考Ⅱ）已知橢圓的方程為，右焦點為，，且離心率為．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）設(shè)，是橢圓上的兩點，直線與曲線相切．證明：，，三點共線的充要條件是．【解析】（Ⅰ）由題意可得，橢圓的離心率，又，所以，則，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（Ⅱ）證明：先證明充分性，當(dāng)時，設(shè)直線的方程為，此時圓心到直線的距離，則，聯(lián)立方程組，可得，則△，因為，所以，，因為直線與曲線相切，所以，則，則直線的方程為恒過焦點，故，，三點共線，所以充分性得證．若，，三點共線時，設(shè)直線的方程為，則圓心到直線的距離為，解得，聯(lián)立方程組，可得，即，所以；所以必要性成立；綜上所述，，，三點共線的充要條件是．18．（本小題滿分17分）（2021?新高考Ⅱ）一種微生物群體可以經(jīng)過自身繁殖不斷生存下來，設(shè)一個這種微生物為第0代，經(jīng)過一次繁殖后為第1代，再經(jīng)過一次繁殖后為第2代，，該微生物每代繁殖的個數(shù)是相互獨立的且有相同的分布列，設(shè)表示1個微生物個體繁殖下一代的個數(shù)，，1，2，．（Ⅰ）已知，，，，求；（Ⅱ）設(shè)表示該種微生物經(jīng)過多代繁殖后臨近滅絕的概率，是關(guān)于的方程：的一個最小正實根，求證：當(dāng)時，，當(dāng)時，；（Ⅲ）根據(jù)你的理解說明（2）問結(jié)論的實際含義．【解析】（Ⅰ）由題意，，，，，故；（Ⅱ）證明：由題意可知，，則，所以，變形為，所以，即，即，令，若時，則的對稱軸為，注意到，（1），若時，（1），當(dāng)時，（1），的正實根，原方程的最小正實根，當(dāng)時，（1），的正實根，原方程的最小正實根，（Ⅲ）當(dāng)1個微生物個體繁殖下一代的期望小于等于1時，這種微生物經(jīng)過多代繁殖后臨近滅絕；當(dāng)1個微生物個體繁殖下一代的期望大于1時，這種微生物經(jīng)過多代繁殖后還有繼續(xù)繁殖的可能．19.（本小題滿分17分）（新題型）若一個兩位正整數(shù)的個位數(shù)為4，則稱為“好數(shù)”.(1)求證：對任意“好數(shù)”一定為20的倍數(shù)；(2)若，且為正整數(shù)，則稱數(shù)對為“友好數(shù)對”，規(guī)定：，例如，稱數(shù)對為“友好數(shù)對”，則，求小于70的“好數(shù)”中，所有“友好數(shù)對”的的最大值.【解】（1）證明：設(shè)，且為整數(shù)，∴∵，且為整數(shù)，∴是正整數(shù)，∴一定是20的倍數(shù)；（2）∵，且為正整數(shù)，∴，當(dāng)時，，沒有滿足條件的，當(dāng)時，，∴滿足條件的有或，解得或，∴或，當(dāng)時，，沒有滿足條件的，當(dāng)時，，∴滿足條件的有，解得，∴，當(dāng)時，，沒有滿足條件的，當(dāng)時，，∴滿足條件的有或，解得或，∴或，∴小于70的“好數(shù)”中，所有“友好數(shù)對”的的最大值為.沖刺2024年高考數(shù)學(xué)真題重組卷（新七省專用）真題重組卷05（參考答案）（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）第I卷（選擇題）一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的。12345678BCDCCDBC二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目的要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。91011ABDBCACD第II卷（非選擇題）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．13．1214．1四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及驗算步驟。15．（本小題滿分13分）【解】（1）若，則，所以，故，又，所以在處的切線方程．（2）由題意，從而，①當(dāng)時，，所以，從而在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故是的極大值點，滿足題意；②當(dāng)時，，所以或，，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，從而是的極大值點，滿足題意；③當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，不合題意；④當(dāng)時，，所以或，，從而在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故是的極小值點，不合題意；綜上所述，實數(shù)a的取值范圍是．16.（本小題滿分15分）【解析】證明：取中點，連接，，為的中點．，且，四邊形是平行四邊形，故，平面；平面，平面，是中點，是的點，，平面；平面，平面，又，平面平面，又平面，平面；側(cè)面為正方形，平面平面，平面平面，平面，，又，，若選①：；又，平面，又平面，，又，，，，兩兩垂直，若選②：平面，，平面，平面，，又，，，，，，又，，，，兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點，，，為坐標(biāo)軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，0，，，1，，，1，，，2，