高考數學一輪復習訓練第6章第4講復數

第六章第4講[A級基礎達標]1．(2020年新課標Ⅲ)復數eq\f(1,1－3i)的虛部是()A．－eq\f(3,10) B．－eq\f(1,10)C．eq\f(1,10) D．eq\f(3,10)【答案】D2．(2020年浙江)已知a∈R，若a－1＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－2))i(i為虛數單位)是實數，則a＝()A．1 B．－1C．2 D．－2【答案】C3．(2019年昆明質檢)設復數z滿足eq\f(1＋i2,z)＝1－i，則z＝()A．1＋i B．1－iC．－1＋i D．－1－i【答案】C4．設復數z＝eq\f(10,2－i)(其中i為虛數單位)，則z的共軛復數的虛部為()A．2 B．2iC．－2 D．－2i【答案】C5．(2019年廣東七校聯考)如果復數eq\f(m2＋i,1＋mi)是純虛數，那么實數m等于()A．－1 B．0C．0或1 D．0或－1【答案】D【解析】方法一：eq\f(m2＋i,1＋mi)＝eq\f(m2＋i1－mi,1＋mi1－mi)＝eq\f(m2＋m＋1－m3i,1＋m2)，因為此復數為純虛數，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2＋m＝0，,1－m3≠0，))解得m＝－1或0.方法二：設eq\f(m2＋i,1＋mi)＝bi(b∈R且b≠0)，則bi(1＋mi)＝m2＋i，即－mb＋bi＝m2＋i，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－mb＝m2，,b＝1，))解得m＝－1或0.6．復數i(1＋i)的實部為________．【答案】－1【解析】i(1＋i)＝－1＋i，所以實部為－1．7．(2019年齊齊哈爾八中期末)已知復數z＝i(4－3i2019)，則復數z的共軛復數為________．【答案】－3－4i【解析】因為i2019＝(i4)504·i3＝－i，所以z＝i(4＋3i)＝4i＋3i2＝－3＋4i，所以eq\o(z,\s\up6(－))＝－3－4i.8．若復數z滿足z＝(2－z)i(i是虛數單位)，則z＝________.【答案】1＋i【解析】設z＝a＋bi(a，b∈R)，則a＋bi＝(2－a－bi)i，得a＝b＝1，所以z＝1＋i.9．在復平面內，O為原點，向量eq\o(OA,\s\up6(→))對應的復數為－1＋2i，若點A關于直線y＝－x的對稱點為B，則向量eq\o(OB,\s\up6(→))對應的復數為________．【答案】－2＋i【解析】因為A(－1,2)關于直線y＝－x的對稱點B(－2,1)，所以向量eq\o(OB,\s\up6(→))對應的復數為－2＋i.[B級能力提升]10．(2019年安徽江南十校聯考)若復數z滿足z(1－i)＝|1－i|＋i，則z的實部為()A．eq\f(\r(2)－1,2) B．eq\r(2)－1C．1 D．eq\f(\r(2)＋1,2)【答案】A【解析】由z(1－i)＝|1－i|＋i，得z＝eq\f(\r(2)＋i,1－i)＝eq\f(\r(2)＋i1＋i,1－i1＋i)＝eq\f(\r(2)－1,2)＋eq\f(\r(2)＋1,2)i，故z的實部為eq\f(\r(2)－1,2).11．(2020年江西七校聯考)若復數z＝(2＋ai)(a－i)在復平面內對應的點在第三象限，其中a∈R，i為虛數單位，則實數a的取值范圍為()A．(－eq\r(2)，eq\r(2)) B．(－eq\r(2)，0)C．(0，eq\r(2)) D．[0，eq\r(2))【答案】B【解析】z＝(2＋ai)(a－i)＝3a＋(a2－2)i在復平面內對應的點在第三象限，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3a＜0，,a2－2＜0，))解得－eq\r(2)＜a＜0.12．(2020年成都質檢)已知復數z1＝2＋6i，z2＝－2i.若z1，z2在復平面內對應的點分別為A，B，線段AB的中點C對應的復數為z，則|z|＝()A．eq\r(5) B．5C．2eq\r(5) D．2eq\r(17)【答案】A【解析】因為復數z1＝2＋6i，z2＝－2i，z1，z2在復平面內對應的點分別為A(2,6)，B(0，－2)，線段AB的中點C(1,2)對應的復數z＝1＋2i，則|z|＝eq\r(12＋22)＝eq\r(5).13．(多選)(2020年日照模擬)若復數z滿足(1－i)z＝3＋i(其中i是虛數單位)，則()A．z的實部是2 B．z的虛部是2iC．eq\x\to(z)＝1－2i D．|z|＝eq\r(5)【答案】CD【解析】因為z＝eq\f(3＋i,1－i)＝eq\f(2＋4i,2)＝1＋2i，所以eq\x\to(z)＝1－2i，|z|＝eq\r(5).故A，B錯誤，C，D均正確．14．(2020年山東省實驗中學模擬)設eq\f(2＋i,i＋1)－2i＝a＋bi(a，b∈R，i為虛數單位)，則b－ai＝()A．－eq\f(5,2)－eq\f(3,2)i B．eq\f(5,2)－eq\f(3,2)iC．eq\f(5,2)＋eq\f(3,2)i D．－eq\f(5,2)＋eq\f(3,2)i【答案】A【解析】因為eq\f(2＋i,i＋1)－2i＝eq\f(2＋i1－i,i＋11－i)－2i＝eq\f(3,2)－eq\f(5,2)i＝a＋bi，所以a＝eq\f(3,2)，b＝－eq\f(5,2)，因此b－ai＝－eq\f(5,2)－eq\f(3,2)i.15．定義運算eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(ab,cd))＝ad－bc.若復數x＝eq\f(1－i,1＋i)，y＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(4ixi,2x＋i))，則y＝________.【答案】－2【解析】因為x＝eq\f(1－i,1＋i)＝eq\f(1－i2,2)＝－i，所以y＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(4ixi,2x＋i))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(4i1,20))＝－2.16．已知復數z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－4i，它們在復平面內對應的點分別為A，B，C，若eq\o(OC,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，則λ＋μ的值是________．【答案】1【解析】由條件得eq\o(OC,\s\up6(→))＝(3，－4)，eq\o(OA,\s\up6(→))＝(－1，2)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(1，－1)，根據eq\o(OC,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))，得(3，－4)＝λ(－1,2)＋μ(1，－1)＝(－λ＋μ，2λ－μ)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－λ＋μ＝3，,2λ－μ＝－4，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝－1，,μ＝2.))所以λ＋μ＝1．[C級創(chuàng)新突破]17．(多選)已知i為虛數單位，復數z＝eq\f(3＋2i,2－i)，則以下為真命題的是()A．z在復平面內對應的點在第一象限B．z的虛部是－eq\f(7,5)C．|z|＝3eq\r(5)D．若復數z1滿足|z1－z|＝1，則|z1|的最大值為1＋eq\f(\r(65),5)【答案】AD【解析】因為z＝eq\f(3＋2i,2－i)＝eq\f(3＋2i2＋i,2－i2＋i)＝eq\f(4,5)＋eq\f(7,5)i，所以z在復平面內對應的點為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)，\f(7,5)))，在第一象限，故A正確；z的虛部是eq\f(7,5)，故B不正確；|z|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,5)))2)＝eq\f(\r(65),5)，故C不正確；設z1＝x＋yi，x，y∈R，由|z1－z|＝1得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(4,5)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(7,5)))2＝1，則點(x，y)在以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)，\f(7,5)))為圓心，以1為半徑的圓上，則(x，y)到(0,0)的距離的最大值為1＋eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,5)))2)＝1＋eq\f(\r(65),5)，即|z1|的最大值為1＋eq\f(\r(65),5)，故D正確．18．(多選)下列命題正確的是()A．若復數z1，z2的模相等，則z1，z2是共軛復數B．z1，z2都是復數，若z1＋z2是虛數，則z1不是z2的共軛復數C．“復數z是實數”的充要條件是z＝eq\o(z,\s\up6(－))(eq\o(z,\s\up6(－))是z的共軛復數)D．已知復數z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－2i(i是虛數單位)，它們對應的點分別為A，B，C，O為坐標原點，若eq\o(OC,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))(x，y∈R)，則x＋y＝1【答案】BC【解析】對于A，z1和z2可