專題15導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性（知識(shí)梳理精講）

專題15導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性知識(shí)點(diǎn)一求函數(shù)的單調(diào)性1、函數(shù)的單調(diào)性：在內(nèi)可導(dǎo)函數(shù)，在任意子區(qū)間內(nèi)都不恒等于0.在上為增函數(shù)．在上為減函數(shù)．2、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟（1）確定函數(shù)的定義域（2）求出的導(dǎo)函數(shù)（3）令（或），求出的解集，即為的單調(diào)增（或減）區(qū)間（4）列出表格例1．（1）、（2024上·重慶·高二重慶南開(kāi)中學(xué)?？计谀┖瘮?shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.【詳解】因?yàn)榈亩x域?yàn)椋?，由得，所以的單調(diào)增區(qū)間為.故選：C（2）、（2023·廣西·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為．【答案】【分析】先確定函數(shù)定義域，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系求單調(diào)增區(qū)間.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，，由得或（因?yàn)?，故舍去），所以在區(qū)間上單調(diào)遞增．故答案為：（3）、（2023下·四川眉山·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）的單調(diào)遞減區(qū)間是.【答案】【分析】求導(dǎo)，利用導(dǎo)函數(shù)求出函數(shù)的遞減區(qū)間.【詳解】的定義域是，，令，解得，故的單調(diào)遞減區(qū)間是.故答案為：1．（2024上·重慶長(zhǎng)壽·高二統(tǒng)考期末）函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】對(duì)求導(dǎo)后，解不等式即可.【詳解】因?yàn)?),所以,令,解得：,故函數(shù)()的單調(diào)增區(qū)間是.故選：B.2．（2023上·北京西城·高三北師大實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考階段練習(xí)）函數(shù)在上的單調(diào)遞減區(qū)間為.【答案】【分析】根據(jù)原函數(shù)單調(diào)遞減，則導(dǎo)函數(shù)小于零，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)小于零解不等式即可.【詳解】由題意知，.即，，因?yàn)?，所以，所以在中，，所以在上的單調(diào)遞減區(qū)間為.故答案為：3．（2022下·北京·高二匯文中學(xué)?？计谀┖瘮?shù)在上的單調(diào)遞增區(qū)間是.【答案】【分析】求的導(dǎo)數(shù)，由，即可求得答案.【詳解】，令得：，.，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.故答案為：例2．（2023上·江蘇徐州·高二?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù).(1)在上是增函數(shù)，求a的取值范圍；(2)討論函數(shù)的單調(diào)性．【答案】(1)(2)答案見(jiàn)解析【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的關(guān)系得到在上恒成立，從而得解；（2）首先求出定義域，再求出導(dǎo)函數(shù)，分和兩種情況，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.【詳解】（1）因?yàn)?，所以的定義域?yàn)?，則，因?yàn)樵谏鲜窃龊瘮?shù)，即在上恒成立，則在上恒成立，因?yàn)樵谏虾愠闪?，所以在上恒成立，即在上恒成立，即，因?yàn)?，所以，則，所以，則.（2）由（1）得，當(dāng)時(shí)，，則在上是增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，所以；或；，所以在上是減函數(shù)，在和上是增函數(shù).例3．（2024上·遼寧葫蘆島·高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，其中.(1)當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；(2)已知，若只有一個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍.【答案】(1)詳見(jiàn)解析；(2)【分析】（1）利用導(dǎo)函數(shù)即可求得的單調(diào)區(qū)間；（2）先求得的導(dǎo)函數(shù)，按a分類討論，當(dāng)時(shí)只有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，利用構(gòu)造函數(shù)法結(jié)合導(dǎo)數(shù)的方法可以求得有三個(gè)零點(diǎn)，進(jìn)而求得的取值范圍.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，則，令，則，則在上單調(diào)遞增，又，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故單調(diào)遞增區(qū)間為；單調(diào)遞減區(qū)間為.（2），又，則的定義域?yàn)閯t，令，則，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，則當(dāng)時(shí)，取得最小值，①當(dāng)時(shí)，，則在恒成立，則即在恒成立，故在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故只有一個(gè)零點(diǎn).②當(dāng)時(shí)，，，而，設(shè)，，則，又，則，故在為減函數(shù)，故，故，則，故在上有兩個(gè)零點(diǎn)且，且當(dāng)時(shí)即，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)即，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)即，在上單調(diào)遞減；而，令，則，，令，，則，，又，則在上恒成立，在上單調(diào)遞減，則，即，則，而，且即，其中，故，故設(shè)，，則，令，則，則在上單調(diào)遞減，又，則在上恒成立，故，故在上為減函數(shù)，故，故，又，，當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，故此時(shí)有3個(gè)不同的零點(diǎn)，故舍去.綜上，.知識(shí)點(diǎn)二函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用1、導(dǎo)數(shù)與單調(diào)區(qū)間的聯(lián)系（1）函數(shù)在可導(dǎo)，那么在上單調(diào)遞增.此結(jié)論可以這樣理解：對(duì)于遞增的函數(shù)，其圖像有三種類型：，無(wú)論是哪種圖形，其上面任意一點(diǎn)的切線斜率均大于零.等號(hào)成立的情況：一是單調(diào)區(qū)間分界點(diǎn)導(dǎo)數(shù)有可能為零，例如：的單調(diào)遞增區(qū)間為，而，另一種是位于單調(diào)區(qū)間內(nèi)但導(dǎo)數(shù)值等于零的點(diǎn)，典型的一個(gè)例子為在處的導(dǎo)數(shù)為0，但是位于單調(diào)區(qū)間內(nèi).（2）函數(shù)在可導(dǎo)，則在上單調(diào)遞減（3）前面我們發(fā)現(xiàn)了函數(shù)的單調(diào)性可以決定其導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，那么由的符號(hào)能否推出在的單調(diào)性呢？如果不是常值函數(shù)，那么便可由導(dǎo)數(shù)的符號(hào)對(duì)應(yīng)推出函數(shù)的單調(diào)性.（這也是求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的理論基礎(chǔ)）例4．（1）、（2024·陜西榆林·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題意得在上恒成立，分離參數(shù)即可得解.【詳解】在上恒成立，即，所以，則的取值范圍是.故選：B.（2）、（2023上·江蘇南京·高二期末）已知函數(shù)在上為增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性可得在上恒成立，即在上恒成立，利用換元法，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求出其最大值即可.【詳解】因?yàn)樵谏蠟樵龊瘮?shù)，所以在上恒成立，即在上恒成立，令，則.設(shè)，則，所以當(dāng)時(shí)，取最大值為，所以.故選：D.（3）、（2023上·重慶·高三重慶八中?？茧A段練習(xí)）知函數(shù)在上存在遞增區(qū)間，則實(shí)數(shù)的取值范圍為．【答案】【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，然后導(dǎo)數(shù)在區(qū)間上有解即可.【詳解】由題意得的定義域?yàn)椋?，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上存在遞增區(qū)間，即在區(qū)間上能成立，即，設(shè)，開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為，所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以，所以，則，即.故答案為：.（4）、（2023上·新疆克孜勒蘇·高三統(tǒng)考期中）若不等式對(duì)恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】【分析】考慮和兩種情況，變換得到，構(gòu)造，求導(dǎo)得到函數(shù)單調(diào)遞增，計(jì)算最值得到答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，，成立；當(dāng)時(shí)，，即，設(shè)，恒成立，故函數(shù)單調(diào)遞增，，故，故答案為：.1．（2024·陜西榆林·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】分情況討論，當(dāng)時(shí)直接代入可得函數(shù)遞減；當(dāng)時(shí)，求導(dǎo)，構(gòu)造函數(shù)，，再由得到抽象函數(shù)，求出，最后再討論時(shí)的情況，綜合得出結(jié)果.【詳解】當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，不符合題意，所以，由題可知恒成立，即.令，則，所以在上單調(diào)遞增，由，可得，即，所以，所以，當(dāng)時(shí)，，不符合題意，故的取值范圍是.故選：B2．（2023上·福建南平·高二福建省南平第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的關(guān)系將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為恒成立問(wèn)題，從而得解.【詳解】因?yàn)椋?，因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞減，所以，即，則在上恒成立，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以，故.故選：A3．（2023上·內(nèi)蒙古錫林郭勒盟·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)在定義域上單調(diào)遞減，則的取值范圍是.【答案】【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，依題意可得在上恒成立，參變分離可得在上恒成立，再結(jié)合基本不等式求最值即可得解.【詳解】函數(shù)定義域?yàn)?，且，依題意在上恒成立，所以在上恒成立，所以，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立，所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：4．（2023上·上海·高二?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍為．【答案】【分析】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性得到在區(qū)間上恒成立，求出，從而得到.【詳解】函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上恒成立，即，又，故，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：例5．（2024上·陜西榆林·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù).(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(3)求方程的實(shí)數(shù)根個(gè)數(shù).【答案】(1)(2)單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為和(3)【分析】（1）求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值是切線的斜率即可求解；（2）根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)即可確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）首先構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合（2）的結(jié)論以及零點(diǎn)存在定理，即可判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)，進(jìn)而確定方程根的個(gè)數(shù).【詳解】（1）因?yàn)?，所以，，，故曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2），且.當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為和；（3）令，則在上單調(diào)遞增，在和上單調(diào)遞減，，，在有一個(gè)零點(diǎn)，，在有一個(gè)零點(diǎn)，，，在有一個(gè)零點(diǎn)，所以在、和各有一個(gè)零點(diǎn)，即方程的實(shí)數(shù)根個(gè)數(shù)為.例6．（2023上·湖北·高二期末）已知函數(shù)(1)討論的單調(diào)性；(2)當(dāng)，時(shí)，證明：【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）求導(dǎo)，分類討論的取值，即可根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)確定函數(shù)的單調(diào)性，（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求解端點(diǎn)值以及極值即可求證.【詳解】（1），當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞增；，，單調(diào)遞減．當(dāng)時(shí)，當(dāng)或，，單調(diào)遞增；當(dāng)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，所以在R上單調(diào)遞增．當(dāng)時(shí)，當(dāng)或，，單調(diào)遞增；，，單調(diào)遞減．（2），由可得，或，，單調(diào)遞增；，，單調(diào)遞減．又因?yàn)?，，所以恒成立．知識(shí)點(diǎn)三綜合應(yīng)用例7．（2023上·江蘇徐州·高二?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù).(1)在上是增函數(shù)，求a的取值范圍；(2)討論函數(shù)的單調(diào)性．【答案】(1)(2)答案見(jiàn)解析【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的關(guān)系得到在上恒成立，從而得解；（2）首先求出定義域，再求出導(dǎo)函數(shù)，分和兩種情況，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.【詳解】（1）因?yàn)?，所以的定義域?yàn)椋瑒t，因?yàn)樵谏鲜窃龊瘮?shù)，即在上恒成立，則在上恒成立，因?yàn)樵谏虾愠闪?，所以在上恒成立，即在上恒成立，即，因?yàn)?，所以，則，所以，則.（2）由（1）得，當(dāng)時(shí)，，則在上是增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，所以；或；，所以在上是減函數(shù)，在和上是增函數(shù).例8．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)設(shè)是的兩個(gè)極值點(diǎn)，求證：．【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）求導(dǎo)，分類討論導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)即可求解單調(diào)性，（2）將代入化簡(jiǎn)將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性即可求解.【詳解】（1）因?yàn)榈亩x域?yàn)椋?，所以?dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞增，，，單調(diào)遞減，，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞增，，，單調(diào)遞減，，，單調(diào)遞增．綜上所述，當(dāng)時(shí)，的減區(qū)間為，的增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，的增區(qū)間為，無(wú)減區(qū)間；當(dāng)時(shí)，的減區(qū)間為的增區(qū)間為．（2）因?yàn)榇嬖趦蓚€(gè)極值點(diǎn)，由（1）知當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，存在兩個(gè)極值點(diǎn)，要證，即證．因?yàn)椋灾灰C，即證．設(shè)，，則，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增．所以當(dāng)時(shí)，．即原不等式得證．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合運(yùn)用，利用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)性時(shí)，如果求導(dǎo)后的正負(fù)不容易辨別，往往可以將導(dǎo)函數(shù)的一部分抽離出來(lái)，構(gòu)造新的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，進(jìn)而可判斷原函數(shù)的單調(diào)性.在證明不等式時(shí)，常采用兩種思路：求直接求最值和等價(jià)轉(zhuǎn)化.無(wú)論是那種方式，都要敢于構(gòu)造函數(shù)，構(gòu)造有效的函數(shù)往往是解題的關(guān)鍵.例9．（2023上·貴州·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若對(duì)于任意的，且，恒有，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)【分析】（1）求導(dǎo)后，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)情況對(duì)實(shí)數(shù)進(jìn)行分類討論；（2）不妨設(shè)，原不等式分離得到，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，然后利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）的定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，在恒成立，當(dāng)時(shí)，令，得，單調(diào)遞增；令，得，單調(diào)遞減，綜上所述：當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）不妨設(shè)，則不等式等價(jià)于，即，令，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，則在上恒成立，所以在上恒成立，所以，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，在遞增，所以，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.例10．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；(2)設(shè)．當(dāng)時(shí)，若對(duì)，，使，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)【分析】（1）求導(dǎo)根據(jù)極值點(diǎn)的大小關(guān)系可得導(dǎo)函數(shù)正負(fù)區(qū)間，進(jìn)而可得函數(shù)單調(diào)性；（2）由（1）在上的最小值為，再將題意轉(zhuǎn)化為在上的最小值不大于在上的最小值，進(jìn)而結(jié)合二次函數(shù)的最值討論即可.【詳解】（1）∵，∴，令，可得兩根分別為1，，∵，∴當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減．（2），，由（1）知，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，∴在上的最小值為．對(duì)，，使，即在上的最小值不大于在上的最小值，（*）又，∴①當(dāng)時(shí)，，此時(shí)與（*）矛盾；②當(dāng)時(shí)，，同樣與（*）矛盾；③當(dāng)時(shí)，，且當(dāng)時(shí)，，解不等式，可得，∴實(shí)數(shù)b的取值范圍為．例11．（2023上·北京朝陽(yáng)·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù).(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)求的單調(diào)區(qū)間.【答案】(1)(2)單調(diào)遞增區(qū)間為；單調(diào)遞減區(qū)間為【分析】（1）由導(dǎo)數(shù)的幾何意義利用導(dǎo)數(shù)求切線的斜率，再由點(diǎn)斜式求切線方程；（2）按步驟利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.【詳解】（1）由，的定義域?yàn)?則，所以，又，所以在點(diǎn)處的切線方程為.（2），由，得，或，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；單調(diào)遞減區(qū)間為.例12．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)證明：當(dāng)時(shí)，.【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析