新版高中數(shù)學北師大版必修5習題第一章數(shù)列檢測

第一章檢測(時間:120分鐘滿分:150分)一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的)1.設首項為1,公比為23的等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,則(A.Sn=2an1 B.Sn=3an2C.Sn=43an D.Sn=32an解析:Sn=a1(1-qn)1-答案:D2.等差數(shù)列{an}的公差為2,若a2,a4,a8成等比數(shù)列,則{an}的前n項和Sn=()A.n(n+1) B.n(n1) C.n(n+1解析:∵a2,a4,a8成等比數(shù)列,∴a42=a2·a8,即(a1+6)2=(a1+2)(a1解得a1=2.∴Sn=na1+n(n-1)2d=2n+n2n=n2+n=n(答案:A3.若數(shù)列{an}為等比數(shù)列,且a1=1,q=2,則Tn=1a1a2+1a2A.114n B.C.231-解析:an=2n1,設bn=1a則Tn=b1+b2+…+bn=12+12=12答案:C4.在正項等比數(shù)列{an}中,a3=29,S3=269,則數(shù)列{an}的通項公式為(A.34×23nC.2×13n-1 D.2答案:C5.某型號計算機的成本不斷降低,若每隔兩年該型號計算機價格降低13,現(xiàn)在的價格是8100元,則6年后,價格降低為(A.2200元 B.900元 C.2400元 D.3600元解析:6年后價格降低了3次,則價格降低為8100×1-133=2答案:C6.若數(shù)列{an}滿足1an+1-1an=d(n∈N+,d為常數(shù)),則稱數(shù)列{an}為“調(diào)和數(shù)列”.已知正項數(shù)列1bn為“調(diào)和數(shù)列”,且b1+b2+…+b9=90,A.10 B.100 C.200 D.400解析:因為正項數(shù)列1bn為“調(diào)和數(shù)列”,所以bn+1bn=d,即數(shù)列{bn}為等差數(shù)列,由等差數(shù)列的性質(zhì),得b1+b2+…+b9=9b5=90,所以b5=10,則b4+b6=2b5=20,所以b4b6=b4(20b4)=(b410)2+100,則當b4=10時,b4b6取得最大值答案:B7.已知等差數(shù)列{an}的公差和等比數(shù)列{bn}的公比都是d(d≠1),且a1=b1,a4=b4,a10=b10,則a1和d的值分別為()A.32,3C.32,32 D.3解析:由a由兩式得a1=9d代入①式中得9d-3d7d6-化簡得d93d3+2=0,即(d31)(d6+d32)=0.∵d≠1,∴由d6+d32=0,得d=32,a1=d=3答案:D8.已知函數(shù)f(n)=n2cosnπ,且an=f(n)+f(n+1),則a1+a2+a3+…+a100=()A.100 B.0 C.100 D.10200解析:若n為偶數(shù),則cosnπ=1,cos(n+1)π=1,所以an=f(n)+f(n+1)=n2(n+1)2=2n1.所以數(shù)列{an}的偶數(shù)項是首項為a2=5,公差為4的等差數(shù)列;若n為奇數(shù),則cosnπ=1,cos(n+1)π=1,所以an=f(n)+f(n+1)=n2+(n+1)2=2n+1.所以數(shù)列{an}的奇數(shù)項是首項為a1=3,公差為4的等差數(shù)列.所以a1+a2+a3+…+a100=(a1+a3+…+a99)+(a2+a4+…+a100)=50×3+50×492×4+50×(5)+50×492答案:A9.已知a1,a2,a3,a4是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列,且公比q≠1,若將此數(shù)列刪去某一項得到的數(shù)列(按原來的順序)是等差數(shù)列,則q等于()A.1+52或C.-1+52 D.解析:由題意,知a1>0,q>0,且q≠1,若刪去a1,則2a3=a2+a4,得2a1q2=a1q+a1q3,解得q=1(舍去);若刪去a2,則2a3=a1+a4,得2a1q2=a1+a1q3,即(q1)(q2q1)=0,解得q=1+5若刪去a3,則2a2=a1+a4,得2a1q=a1+a1q3,即(q1)(q2+q1)=0,解得q=-1+若刪去a4,則2a2=a1+a3,得2a1q=a1+a1q2,解得q=1(舍去),綜上可得q=1+5答案:A10.某化工廠打算投入一條新的生產(chǎn)線,但需要經(jīng)環(huán)保部門審批同意方可投入生產(chǎn).已知該生產(chǎn)線連續(xù)生產(chǎn)n年的累計產(chǎn)量(單位:t)為f(n)=12n(n+1)(2n+1),但如果年產(chǎn)量超過150t,將會給環(huán)境造成危害.為保護環(huán)境,環(huán)保部門應給該廠這條生產(chǎn)線擬定最長的生產(chǎn)期限是()A.5年 B.6年 C.7年 D.8年解析:由已知可得第n年的產(chǎn)量an=f(n)f(n1)=3n2.當n=1時也適合.根據(jù)題意令an≥150,則n≥52,即數(shù)列從第8項開始超過150,即這條生產(chǎn)線最多生產(chǎn)7年.答案:C11.定義運算“*”,對任意a,b∈R,滿足:①a*b=b*a;②a*0=a;③(a*b)*c=c*(ab)+(a*c)+(c*b).設數(shù)列{an}的通項公式為an=n*1n*0,則數(shù)列{an}為(A.等差數(shù)列 B.等比數(shù)列C.遞增數(shù)列 D.遞減數(shù)列解析:由題意知an=n*1n*0=0*n·1n+(n*0)+0*1n=1+n+因為函數(shù)y=x+1x在[1,+∞)上是增加的所以數(shù)列{an}為遞增數(shù)列.答案:C12.已知等差數(shù)列{an}的首項為a1,公差為d,其前n項和為Sn,若直線y=12a1x+m與圓(x2)2+y2=1的兩個交點關于直線x+yd=0對稱,則數(shù)列1Sn的前100項和等于A.100101 B.99100 C.9899解析:因為直線y=12a1x+m與圓(x2)2+y2=1的兩個交點關于直線x+yd=0對稱,所以直線x+yd=0經(jīng)過圓心,且直線y=12a1x+m與直線x+yd=0垂直,所以2+0d=0,12a1=1,解得d=2,a1=2,則Sn=2n+n(n-1)2×2=n(n+1),1Sn=1n(n答案:A二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分.把答案填在題中的橫線上)13.若三個正數(shù)a,b,c成等比數(shù)列,其中a=5+26,c=526,則b=.

解析:因為a,b,c成等比數(shù)列,所以b2=ac,即b2=(5+26)(526)=1.又b是正數(shù),所以b=1.答案:114.將全體正整數(shù)排成一個三角形數(shù)陣:123456789101112131415………………根據(jù)以上排列規(guī)律,數(shù)陣中第n(n≥3)行從左至右的第3個數(shù)是.

解析:前n1行的正整數(shù)的個數(shù)為1+2+…+(n1)=n2-n2,因此第n行從左到右的第3個數(shù)是全體正整數(shù)中的第n2答案:n15.設數(shù)列{an}的通項公式為an=2n7(n∈N+),則|a1|+|a2|+…+|a15|=.

解析:由an=2n7≤0,得n≤72,即ai≤0(i=記Sn為數(shù)列{an}的前n項和,易得Sn=a1+a2+…+an=n26n.∴|a1|+|a2|+…+|a15|=a1a2a3+a4+a5+…+a15=2S3+S15=2×(9)+135=153.答案:15316.數(shù)列{an}的前n項和為Sn,已知a1=15,且對任意正整數(shù)m,n,都有am+n=aman,若Sn<t恒成立,則實數(shù)t的最小值為.解析:令m=1,則an+1an=a∴{an}是以15為首項,15∴an=15∴Sn=1=14∵Sn<t恒成立,∴t大于Sn的最大值,故t的最小值為14答案:1三、解答題(本大題共6小題,共70分.解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17.(10分)在等差數(shù)列{an}中,a3a7=16,a4+a6=0,求{an}的前n項和Sn.解:設{an}的公差為d,則(即a解得a故Sn=8n+n(n1)=n29n,或Sn=8nn(n1)=n2+9n.18.(12分)在等差數(shù)列{an}中,a2=4,a4+a7=15.(1)求數(shù)列{an}的通項公式;(2)設bn=2an-2+n,求b1+b2+b3+…解:(1)設等差數(shù)列{an}的公差為d.由題意得a所以an=a1+(n1)d=n+2.(2)由(1)可得bn=2n+n.所以b1+b2+b3+…+b10=(2+1)+(22+2)+(23+3)+…+(210+10)=(2+22+23+…+210)+(1+2+3+…+10)=2=(2112)+55=211+53=2101.19.(12分)已知等差數(shù)列{an}滿足a3=2,前3項和S3=92(1)求{an}的通項公式;(2)設等比數(shù)列{bn}滿足b1=a1,b4=a15,求{bn}的前n項和Tn.解:(1)設{an}的公差為d,則由已知條件得a1+2d=2,3a1+3×22化簡得a1+2d=2,a1+d=32解得a1=1,d=12故通項公式an=1+n-12,即an(2)由(1)得b1=1,b4=a15=15+12=8設{bn}的公比為q,則q3=b4b1=8,故{bn}的前n項和Tn=b1(1-q20.(12分)已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1=3an+1.(1)證明:an+12是等比數(shù)列,并求{a(2)證明:1a1+1a(1)解:由an+1=3an+1得an+1+12=3a又a1+12所以an+12是首項為32an+12=3n2,因此{an}的通項公式為an(2)證明:由(1)知1a因為當n≥1時,3n1≥2×3n1,所以13于是1a1+1a2+…+1an=32所以1a1+1a21.(12分)將數(shù)列{an}中所有的項排成如下數(shù)陣:a1a2a3a4a5a6a7a8a9a10……記數(shù)陣中的第1列數(shù)a1,a2,a4,a7,…構成的數(shù)列為{bn},其中b1=a1=1,Sn為數(shù)列{bn}的前n項和,且滿足2bnbnSn-Sn2=(1)證明:數(shù)列1Sn是等差數(shù)列,并求數(shù)列{bn}(2)上述數(shù)陣中,若從第3行起,每一行中的數(shù)按從左到右的順序均構成等比數(shù)列,且公比為同一個正數(shù).當a81=491時,求上述數(shù)陣中第k(k≥3)行所有項的和(1)證明:由已知,當n≥2時,2bn又bn=SnSn1,所以2(Sn-Sn所以1S又S1=b1=a1=1,所以數(shù)列1Sn是首項為1,公差為1所以1Sn=1+12(n1)=n+12,即所以當n≥2時,bn=SnSn1=2n+1-2n=2n(2)解:設數(shù)陣中從第3行起,每行的公比都為q,且q>0.因為1+2+…+12=12×132=78,所以數(shù)陣中第1行至第12行含有數(shù)列{an}中的前78項.所以a81在數(shù)陣中的第13行第3列,因此a81=b13q2=491,又b13=213×14=191,所以q=2(q=2舍去).記數(shù)陣中第k(k≥3)行所有項的和為22.(12分)設數(shù)列{an}的前n項和Sn滿足2Sn=an+12n+1+1,n∈N+,且a1,a2+5,a3成等差數(shù)列.(1)求a1的值;(2)求數(shù)列{an}的通項公式;(3)證明:對一切正整數(shù)n,有1a1+1a(1)解:∵a1,a2+5,a3成等差數(shù)列,∴2(a2+5)=a1+a3.又2a1=2S1=a222+1,2(a1+a2)=2S2=a323+1,∴a2=2a1+3,a3=6a1+13.∴4a1+16=7a1+13,解得a1=1.(2)解:由題設條件知,當n