2025年高考數(shù)學一輪復習之冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)

第1頁（共1頁）2025年高考數(shù)學一輪復習之冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)一．選擇題（共9小題）1．已知x=2，y=e1A．x＞y＞z B．x＞z＞y C．y＞x＞z D．y＞z＞x2．已知冪函數(shù)f（x）的圖象經過點A（3，27）與點B（t，64），a＝log0.1t，b＝0.2t，c＝t0.1，則（）A．c＜a＜b B．a＜b＜c C．b＜a＜c D．c＜b＜a3．設a，b∈R，則“l(fā)ga+lgb＝0”是“ab＝1”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件4．設a＝log0.10.2，b＝e0.3，c＝20.3，則a，b，c的大小關系是（）A．c＞a＞b B．a＞c＞b C．b＞c＞a D．b＞a＞c5．已知正數(shù)a，b，c滿足ea＝b＝lnc，e為自然對數(shù)的底數(shù)，則下列不等式一定成立的是（）A．a+c＜2b B．a+c＞2b C．ac＜b2 D．ac＞b26．已知集合A={x|y=A．（0，1） B．（0，+∞） C．[0，+∞） D．[1，+∞）7．已知集合A={x|x-A．（﹣1，+∞） B．[﹣1，+∞） C．（0，3] D．[0，3）8．已知集合M＝{x|2x﹣3＞0}，N＝{y|y＝ex+1}，則（）A．M∩N=(1，3C．?NM=(1，329．已知函數(shù)f(x)=log2(a-1x+1)+b，若函數(shù)A．﹣3 B．﹣2 C．-12 D二．填空題（共7小題）10．計算：(14)-11．已知2a＝3b＝6，則1a+1b12．方程lg（﹣2x）＝lg（3﹣x2）的解集為．13．已知lga+b＝﹣2，ab＝10，則a＝．14．若冪函數(shù)y＝xa的圖像經過點(33，3)，則此冪函數(shù)的表達式為15．已知曲線C1：y=1x與曲線C2：y＝logax（a＞0且a≠1）交于點P（x0，y0），若x0＞2，則a16．已知實數(shù)x1、x2、y1、y2滿足x12+y12=1，x22+y22=3，x1y2﹣x2y1=2，則|三．解答題（共4小題）17．設a為常數(shù)，函數(shù)f(（1）若a＝0，求函數(shù)y＝f（x）的反函數(shù)y＝f﹣1（x）；（2）若a≤0，根據(jù)a的不同取值，討論函數(shù)y＝f（x）的奇偶性，并說明理由．18．已知函數(shù)f（x）＝ax（1﹣x）（a＞0，a≠1）的最大值為1．（1）求常數(shù)a的值；（2）若?x1≠x2，f（x1）＝f（x2），求證：x1+x2＜0．19．已知指數(shù)函數(shù)f（x）＝（3a2﹣10a+4）ax在其定義域內單調遞增．（1）求函數(shù)f（x）的解析式；（2）設函數(shù)g（x）＝f（2x）﹣4f（x）﹣3，當x∈[0，2]時，求函數(shù)g（x）的值域．20．若一個兩位正整數(shù)m的個位數(shù)為4，則稱m為“好數(shù)”．（1）求證：對任意“好數(shù)”m，m2﹣16一定為20的倍數(shù)；（2）若m＝p2﹣q2，且p，q為正整數(shù)，則稱數(shù)對（p，q）為“友好數(shù)對”，規(guī)定：H(m)=qp，例如24＝52﹣12，稱數(shù)對（5，1）為“友好數(shù)對”，則H(24)=1

2025年高考數(shù)學一輪復習之冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)參考答案與試題解析一．選擇題（共9小題）1．已知x=2，y=e1A．x＞y＞z B．x＞z＞y C．y＞x＞z D．y＞z＞x【考點】對數(shù)值大小的比較．【專題】函數(shù)思想；構造法；定義法；函數(shù)的性質及應用；數(shù)學運算．【答案】D【分析】將x=2，y=e1e，z=π1π變?yōu)閘nx=12ln2，lny=1elne，lnz=1π【解答】解：∵x=2，y=e1e，z=π1π，∴l(xiāng)nx=12構造函數(shù)f（x）=lnxx（x＞0），則f'(x當0＜x＜e時，f′（x）＞0，當x＞e時，f′（x）＜0，∴函數(shù)f（x）在（0，e）上遞增，在[e，+∞）上遞減，∵lnx=12ln2=14ln4，e＜3＜4，且e，3，4∴f（e）＞f（3）＞f（4），∴l(xiāng)ny＞lnz＞lnx，∴y＞z＞x．故選：D．【點評】本題考查三個數(shù)的大小的判斷，考查構造法、導數(shù)性質、對數(shù)函數(shù)的單調性等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．2．已知冪函數(shù)f（x）的圖象經過點A（3，27）與點B（t，64），a＝log0.1t，b＝0.2t，c＝t0.1，則（）A．c＜a＜b B．a＜b＜c C．b＜a＜c D．c＜b＜a【考點】冪函數(shù)的概念．【專題】函數(shù)思想；轉化法；函數(shù)的性質及應用；數(shù)學運算．【答案】B【分析】設冪函數(shù)的解析式為f（x）＝xα，把點（3，27）代入函數(shù)的解析式求得α的值，即可得到函數(shù)的解析式，求出t的值，從而比較a，b，c的大?。窘獯稹拷猓涸O冪函數(shù)的解析式為f（x）＝xα，把點P（3，27）代入函數(shù)的解析式可得，3α＝27，解得α＝3，∴這個函數(shù)的解析式是f（x）＝x3，∴t3＝64，解得t＝4，∴a＝log0.14＜0，0＜b＝0.24＜1，c＝40.1＞1，故a＜b＜c，故選：B．【點評】本題考查了求冪函數(shù)的解析式，冪函數(shù)，指數(shù)函數(shù)的性質，是中檔題．3．設a，b∈R，則“l(fā)ga+lgb＝0”是“ab＝1”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【考點】對數(shù)的運算性質；充分條件與必要條件．【專題】計算題；轉化思想；綜合法；函數(shù)的性質及應用；簡易邏輯；邏輯推理；數(shù)學運算．【答案】A【分析】直接利用對數(shù)的運算和充分條件和必要條件的應用求出結果．【解答】解：當lga+lgb＝0時，整理得ab＝1；當ab＝1時，lga和lgb不一定有意義，故“l(fā)ga+lgb＝0”是“ab＝1”的充分不必要條件．故選：A．【點評】本題考查的知識要點：對數(shù)的運算，充分條件和必要條件的應用，主要考查學生的運算能力和數(shù)學思維能力，屬于基礎題．4．設a＝log0.10.2，b＝e0.3，c＝20.3，則a，b，c的大小關系是（）A．c＞a＞b B．a＞c＞b C．b＞c＞a D．b＞a＞c【考點】對數(shù)值大小的比較．【專題】計算題；函數(shù)思想；綜合法；函數(shù)的性質及應用；數(shù)學運算．【答案】C【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的單調性即可得出a＜1，b＞c＞1，然后即可得出a，b，c的大小關系．【解答】解：log0.10.2＜log0.10.1＝1，e0.3＞20.3＞20＝1，∴b＞c＞a．故選：C．【點評】本題考查了對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的單調性，考查了計算能力，屬于基礎題．5．已知正數(shù)a，b，c滿足ea＝b＝lnc，e為自然對數(shù)的底數(shù)，則下列不等式一定成立的是（）A．a+c＜2b B．a+c＞2b C．ac＜b2 D．ac＞b2【考點】對數(shù)值大小的比較；利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性；不等關系與不等式．【專題】轉化思想；構造法；導數(shù)的概念及應用；數(shù)學建模．【答案】B【分析】將a和c都用b表示，再利用求導即可比大?。窘獯稹拷猓簩τ谶x項A和選項B，由ea＝b＝lnc，可知a＝lnb，c＝eb，則a+c＝lnb+eb，構造函數(shù)f（x）＝lnx+ex﹣2x，則f′（x）=1x+ex因為正數(shù)a、b滿足ea＝b，所以b＞1．當x≥1時，1x+ex﹣2＞所以f（x）在x∈[1，+∞）上單調遞增，因為b＞1，則f（b）＞f（1），即lnb+eb﹣2b＞0+e﹣2＞0，所以lnb+eb＞2b，即a+c＞2b．故B選項正確：對于選項C和選項D，令b=e，解得a=12，c=ee，此時ac=12故選：B．【點評】本題主要考查構造函數(shù)比大小，通過求導即可判斷，注意有時也可代特殊值來判斷選項，屬于中等題．6．已知集合A={x|y=A．（0，1） B．（0，+∞） C．[0，+∞） D．[1，+∞）【考點】指數(shù)函數(shù)的值域；交集及其運算．【專題】函數(shù)思想；集合思想；綜合法；集合；數(shù)學運算．【答案】D【分析】先求出集合A，B，再利用集合的基本運算求解．【解答】解：集合A＝{x|y=x-1}＝{x|x≥1}，B＝{y|y＝e1﹣x}＝{y|y所以A∩B＝[1，+∞）．故選：D．【點評】本題主要考查了函數(shù)的定義域和值域，考查了集合的基本運算，屬于基礎題．7．已知集合A={x|x-A．（﹣1，+∞） B．[﹣1，+∞） C．（0，3] D．[0，3）【考點】指數(shù)函數(shù)的值域；交集及其運算；其他不等式的解法．【專題】轉化思想；轉化法；集合；數(shù)學運算．【答案】C【分析】先求出集合A，B，再根據(jù)交集的定義即可得解．【解答】解：由x-3x+1≤0，得(x-所以A＝（﹣1，3]，B＝{y|y＝ex}＝（0，+∞），所以A∩B＝（0，3]．故選：C．【點評】本題主要考查交集及其運算，屬于基礎題．8．已知集合M＝{x|2x﹣3＞0}，N＝{y|y＝ex+1}，則（）A．M∩N=(1，3C．?NM=(1，32【考點】指數(shù)函數(shù)的值域；集合的包含關系判斷及應用；并集及其運算；交集及其運算；補集及其運算．【專題】集合思想；綜合法；函數(shù)的性質及應用；集合；數(shù)學運算．【答案】D【分析】先求解不等式和求函數(shù)的值域得到集合M，N的范圍，再根據(jù)交并補和集合間的關系的定義分別判斷各選項即得．【解答】解：∵M={x|2x-3＞0}=(32，+∞)，N因M∩N=(由M∪N＝（1，+∞），知B項錯誤；由?NM=(1因M?N，故D項正確．故選：D．【點評】本題主要考查了指數(shù)函數(shù)的值域，考查了集合的基本運算，屬于基礎題．9．已知函數(shù)f(x)=log2(a-1x+1)+b，若函數(shù)A．﹣3 B．﹣2 C．-12 D【考點】對數(shù)函數(shù)的圖象；對數(shù)的運算性質．【專題】轉化思想；綜合法；函數(shù)的性質及應用；邏輯推理；數(shù)學運算．【答案】C【分析】利用函數(shù)圖象的對稱性求出a、b的值，即可求解．【解答】解：因為函數(shù)f（x）的圖象關于點（1，0）對稱，所以f（x）+f（2﹣x）＝0恒成立，代入得f(x所以a=14，b＝2故選：C．【點評】本題考查了函數(shù)圖象對稱性的應用，考查了轉化思想，屬于中檔題．二．填空題（共7小題）10．計算：(14)-【考點】對數(shù)的運算性質；有理數(shù)指數(shù)冪及根式．【專題】計算題；對應思想；綜合法；函數(shù)的性質及應用；數(shù)學運算．【答案】18．【分析】利用指數(shù)運算及對數(shù)運算化簡即可．【解答】解：(＝16+3﹣1+lg（4×0.25）＝18+0＝18，故答案為：18．【點評】本題考查了對數(shù)運算及指數(shù)運算的應用，屬于基礎題．11．已知2a＝3b＝6，則1a+1b【考點】對數(shù)的運算性質．【專題】計算題；轉化思想；轉化法；函數(shù)的性質及應用；數(shù)學運算．【答案】1．【分析】先把指數(shù)式化為對數(shù)式求出a，b的值，再利用對數(shù)的運算性質進行求解．【解答】解：∵2a＝3b＝6，∴a＝log26，b＝log36，∴1a+1b=1log26+1故答案為：1．【點評】本題主要考查了指數(shù)式與對數(shù)式的互化，考查了對數(shù)的運算性質，是基礎題．12．方程lg（﹣2x）＝lg（3﹣x2）的解集為{x|x＝﹣1}．【考點】對數(shù)方程求解．【專題】整體思想；綜合法；函數(shù)的性質及應用；數(shù)學運算．【答案】{x|x＝﹣1}．【分析】依題意得到-2【解答】解：因為lg（﹣2x）＝lg（3﹣x2），則-2x=3-x所以方程lg（﹣2x）＝lg（3﹣x2）的解集為{x|x＝﹣1}．故答案為：{x|x＝﹣1}．【點評】本題主要考查了對數(shù)運算性質的簡單應用，屬于基礎題．13．已知lga+b＝﹣2，ab＝10，則a＝110【考點】對數(shù)的運算性質．【專題】函數(shù)思想；綜合法；函數(shù)的性質及應用；數(shù)學運算．【答案】110【分析】根據(jù)指對數(shù)互化可得b=1lga【解答】解：由題設b=loga10=1lga所以lg2a+2lga+1＝（lga+1）2＝0，即lga＝﹣1，故a=故答案為：110【點評】本題主要考查了對數(shù)的運算性質，屬于基礎題．14．若冪函數(shù)y＝xa的圖像經過點(33，3)，則此冪函數(shù)的表達式為y＝【考點】冪函數(shù)的概念．【專題】轉化思想；待定系數(shù)法；函數(shù)的性質及應用；數(shù)學運算．【答案】y＝x3．【分析】由題意，利用冪函數(shù)的定義和性質，求得α的值，從而得出結論．【解答】解：∵冪函數(shù)y＝xa的圖像經過點(3∴(33)α=3則此冪函數(shù)的表達式為y＝x3．故答案為：y＝x3．【點評】本題主要考查冪函數(shù)的定義和性質，屬于基礎題．15．已知曲線C1：y=1x與曲線C2：y＝logax（a＞0且a≠1）交于點P（x0，y0），若x0＞2，則a的取值范圍是【考點】對數(shù)函數(shù)及對數(shù)型復合函數(shù)的圖象．【專題】整體思想；綜合法；函數(shù)的性質及應用；導數(shù)的綜合應用；數(shù)學運算．【答案】（4，+∞）．【分析】由已知結合對數(shù)函數(shù)及反比例函數(shù)的圖象及性質即可求解．【解答】解：①當0＜a＜1時，由曲線C1和曲線C2的圖象可知，0＜x0＜1，不合題意；②當a＞1時，有1x0=logax0，可化為1令f（x）＝xlnx（x＞2），則f′（x）＝lnx+1＞ln2+1＞0，故函數(shù)f（x）單調遞增，可得函數(shù)f（x）的值域為（2ln2，+∞），故lna＞2ln2＝ln4，可得a＞4．故答案為：（4，+∞）．【點評】本題主要考查了對數(shù)函數(shù)性質的應用，屬于中檔題．16．已知實數(shù)x1、x2、y1、y2滿足x12+y12=1，x22+y22=3，x1y2﹣x2y1=2，則|【考點】有理數(shù)指數(shù)冪及根式．【專題】計算題；轉化思想；綜合法；三角函數(shù)的求值；數(shù)學運算．【答案】1．【分析】由題意結合三角換元和三角恒等變換即可求解．【解答】解：∵實數(shù)x1、x2、y1、y2滿足x12+y1∴可令x1＝cosα，y1＝sinα，x2=3cosβ，y2=3sin則x1y2﹣x2y1＝cosα?3sinβ﹣sinα?3cosβ=3sin（β﹣α）=可得sin（β﹣α）=6則|x1x2+y1y2|＝|cosα?3cosβ+sinα?3sinβ|=3|cos（β﹣α）|=3故答案為：1．【點評】本題考查了三角換元的運用，三角恒等變換，是中檔題．三．解答題（共4小題）17．設a為常數(shù)，函數(shù)f(（1）若a＝0，求函數(shù)y＝f（x）的反函數(shù)y＝f﹣1（x）；（2）若a≤0，根據(jù)a的不同取值，討論函數(shù)y＝f（x）的奇偶性，并說明理由．【考點】反函數(shù)；函數(shù)的奇偶性．【專題】計算題；分類討論；綜合法；函數(shù)的性質及應用；數(shù)學運算．【答案】（1）f-（2）當a＝﹣1時，函數(shù)y＝f（x）是奇函數(shù)；當a≤0且a≠﹣1時，函數(shù)y＝f（x）既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)．【分析】（1）利用y把x表示出來即可求得結果；（2）對a分情況討論，利用函數(shù)奇偶性的定義判斷即可得出結論．【解答】解：（1）由y=log2x+1x，得2因此，所求反函數(shù)為f-（2）當a＝﹣1時，f(x)=log2xf(-x)=log2當a≤0且a≠﹣1時，函數(shù)y＝f（x）的定義域為（﹣∞，﹣1）∪（﹣a，+∞），函數(shù)y＝f（x）既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)．【點評】本題考查了反函數(shù)的求解以及函數(shù)奇偶性的判斷，屬于中檔題．18．已知函數(shù)f（x）＝ax（1﹣x）（a＞0，a≠1）的最大值為1．（1）求常數(shù)a的值；（2）若?x1≠x2，f（x1）＝f（x2），求證：x1+x2＜0．【考點】指數(shù)函數(shù)綜合題．【專題】方程思想；綜合法；函數(shù)的性質及應用；不等式的解法及應用；數(shù)學運算．【答案】（1）a＝e；（2）證明見解析．【分析】（1）由題可得f′（x）＝ax[﹣xlna+lna﹣1]＝ax（﹣lna）（x-lna-1lna），分類討論可得a＞1時，f（x）max＝f（lna-1lna）=alna-1lnalna，即lna﹣1＝（2）由題可得f（﹣x2）﹣f（x1）=e-x2（1+x2）-ex2（1﹣x2），構造函數(shù)m（x）＝e﹣x（1+x）﹣ex（1﹣x）（0＜x＜1），利用導數(shù)可得m（x2【解答】解：（1）由題意x∈R，f′（x）＝ax[﹣xlna+lna﹣1]＝ax（﹣lna）（x-lna由于ax＞0，所以若﹣lna＞0，即0＜a＜1，當x＜lna-1lna時，f′（x）＜0；當x＞lna-1即f（x）在（﹣∞，lna-1lna）上單調遞減，在（lna若﹣lna＜0，即a＞1，當x＜lna-1lna時，f′（x）＞0；當x＞lna-1即f（x）在（﹣∞，lna-1lna）上單調遞增，在（lnaf（x）max＝f（lna-1lna所以alna-1lna=lna，兩邊取自然對數(shù)得：lna﹣1即ln（lna）﹣lna+1＝0，令h（x）＝lnx﹣x+1，則h′（x）=1x-易知0＜x＜1時，h′（x）＞0，h（x）單調遞增；x＞1時，h′（x）＜0，h（x）單調遞減，∴h（x）max＝h（1）＝0，即lnx﹣x+1＝0的根為1，所以lna＝1，即a＝e；（2）由（1）知f（x）＝ex（1﹣x），且在（﹣∞，0）上單調遞增，在（0，+∞）上單調遞減，f（1）＝0，f（0）＝1，當x→﹣∞時，f（x）→0；當x→+∞時，f（x）→﹣∞，由f（x1）＝f（x2）（x1≠x2），不妨設x1＜0＜x2＜1，則f（﹣x2）﹣f（x1）＝f（﹣x2）﹣f（x2）=e-x2（1+x2）-ex令m（x）＝e﹣x（1+x）﹣ex（1﹣x）（0＜x＜1），于是m′（x）＝x（ex﹣e﹣x）＞0，所以m（x）在（0，1）上單調遞增，所以m（x2）＞m（0）＝0，所以f（﹣x2）＞f（x1），且x1，﹣x2∈（﹣∞，0），從而x1＜﹣x2，即x1+x2＜0．【點評】本題考查了轉化思想求函數(shù)的最值及極限思想，第一問利用導數(shù)通過分類討論得到alna-1lna=lna，通過兩邊取對數(shù)，構造函數(shù)h（x）＝lnx﹣x+1，再利用導數(shù)求a的值；第二問關鍵是構造函數(shù)m（x）＝e﹣x（1+x）﹣ex（1﹣x）（019．已知指數(shù)函數(shù)f（x）＝（3a2﹣10a+4）ax在其定義域內單調遞增．（1）求函數(shù)f（x）的解析式；（2）設函數(shù)g（x）＝f（2x）﹣4f（x）﹣3，當x∈[0，2]時，求函數(shù)g（x）的值域．【考點】由指數(shù)函數(shù)的單調性求解參數(shù)．【專題】轉化思想；轉化法；函數(shù)的性質及應用；數(shù)學運算．【答案】（1）f（x）＝3x；（2）[﹣7，42]．【分析】（1）根據(jù)指數(shù)函數(shù)定義和單調性可解；（2）令t＝3x，利用二次函數(shù)的單調性求解可得．【解答】解：（1）∵f（x）是指數(shù)函數(shù)，∴3a2﹣10a+4＝1，解得a＝3或a=又∵f（x）在其定義域內單調遞增，所以a＝3，∴f（x）＝3x；（2）g（x）＝32x﹣4?3x﹣3＝（3x）2﹣4（3x）﹣3，∵x∈[0，2]，∴3x∈[1，9]，令t＝3x，t∈[1，9]，∴g（t）＝t2﹣4t﹣3，t∈[1，9]，∴g（t）min＝g（2）＝﹣7，g(∴g（x）的值域為[﹣7，42]．【點評】本題主要考查函數(shù)的性質，屬于基礎題．20．若一個兩位正整數(shù)m的個位數(shù)為4，則稱m為“好數(shù)”．（1）求證：對任意“好數(shù)”m，m2﹣16一定為20的倍數(shù)；（2）若m＝p2﹣q2，且p，q為正整數(shù)，則稱數(shù)對（p，q）為“友好數(shù)對”，規(guī)定：H(m)=qp，例如24＝52﹣12，稱數(shù)對（5，1）為“友好數(shù)對”，則H(24)=1【考點】有理數(shù)指數(shù)冪及根式．【專題】整體思想；綜合法；函數(shù)的性質及應用；邏輯推理；數(shù)學運算．【答案】（1）證明見解析（2）1517【分析】（1）設m＝10t+4，從而有m2﹣16＝（10t+4）2﹣16＝100t2+80t+16﹣16＝20（5t2+4t）即可證明；（2）根據(jù)題意可得10t+4＝（p+q）（p﹣q），進而分類討論即可求解．【解答】解：（1）證明：設m＝10t+4，1≤t≤9且t為整數(shù)，∴m2﹣16＝（10t+4）2﹣16＝100t2+80t+16﹣16＝20（5t2+4t），∵1≤t≤9，且t為整數(shù)，∴5t2+4t是正整數(shù)，∴m2﹣16一定是20的倍數(shù)；（2）∵m＝p2﹣q2，且p，q為正整數(shù)，∴10t+4＝（p+q）（p﹣q），當t＝1時，10t+4＝14＝1×14＝2×7，沒有滿足條件的p，q，當t＝2時，10t+4＝24＝1×24＝2×12＝3×8＝4×6，∴滿足條件的有p+q=12解得p=7q=5∴H(m)=當t＝3時，10t+4＝34＝1×34＝2×17，沒有滿足條件的p，q，當t＝4時，10t+4＝44＝1×44＝2×22＝4×11，∴滿足條件的有p+q=22∴H(當t＝5時，10t+4＝54＝1×54＝2×27＝3×18＝6×9，沒有滿足條件的p，q，當t＝6時，10t+4＝64＝1×64＝2×32＝4×16＝8×8，∴滿足條件的有p+q=32解得p=17q=15∴H(m)=∴小于70的“好數(shù)”中，所有“友好數(shù)對”的H（m）的最大值為1517【點評】本題主要考查了新定義問題，考查了學生的邏輯推理能力，屬于中檔題．

考點卡片1．集合的包含關系判斷及應用【知識點的認識】概念：1．如果集合A中的任意一個元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集；A?B；如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一個元素不屬于A，那么集合A叫做集合B的真子集，即A?B；2．如果集合A的每一個元素都是集合B的元素，反過來，集合B的每一個元素也都是集合A的元素，那么我們就說集合A等于集合B，即A＝B．【解題方法點撥】1．按照子集包含元素個數(shù)從少到多排列．2．注意觀察兩個集合的公共元素，以及各自的特殊元素．3．可以利用集合的特征性質來判斷兩個集合之間的關系．4．有時借助數(shù)軸，平面直角坐標系，韋恩圖等數(shù)形結合等方法．【命題方向】通常命題的方式是小題，直接求解或判斷兩個或兩個以上的集合的關系，可以與函數(shù)的定義域，三角函數(shù)的解集，子集的個數(shù)，簡易邏輯等知識相結合命題．2．并集及其運算【知識點的認識】由所有屬于集合A或屬于集合B的元素的組成的集合叫做A與B的并集，記作A∪B．符號語言：A∪B＝{x|x∈A或x∈B}．圖形語言：．A∪B實際理解為：①x僅是A中元素；②x僅是B中的元素；③x是A且是B中的元素．運算形狀：①A∪B＝B∪A．②A∪?＝A．③A∪A＝A．④A∪B?A，A∪B?B．⑤A∪B＝B?A?B．⑥A∪B＝?，兩個集合都是空集．⑦A∪（?UA）＝U．⑧?U（A∪B）＝（CUA）∩（CUB）．【解題方法點撥】解答并集問題，需要注意并集中：“或”與“所有”的理解．不能把“或”與“且”混用；注意并集中元素的互異性．不能重復．【命題方向】掌握并集的表示法，會求兩個集合的并集，命題通常以選擇題、填空題為主，也可以與函數(shù)的定義域，值域聯(lián)合命題．3．交集及其運算【知識點的認識】由所有屬于集合A且屬于集合B的元素組成的集合叫做A與B的交集，記作A∩B．符號語言：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．A∩B實際理解為：x是A且是B中的相同的所有元素．當兩個集合沒有公共元素時，兩個集合的交集是空集，而不能說兩個集合沒有交集．運算形狀：①A∩B＝B∩A．②A∩?＝?．③A∩A＝A．④A∩B?A，A∩B?B．⑤A∩B＝A?A?B．⑥A∩B＝?，兩個集合沒有相同元素．⑦A∩（?UA）＝?．⑧?U（A∩B）＝（?UA）∪（?UB）．【解題方法點撥】解答交集問題，需要注意交集中：“且”與“所有”的理解．不能把“或”與“且”混用；求交集的方法是：①有限集找相同；②無限集用數(shù)軸、韋恩圖．【命題方向】掌握交集的表示法，會求兩個集合的交集．命題通常以選擇題、填空題為主，也可以與函數(shù)的定義域，值域，函數(shù)的單調性、復合函數(shù)的單調性等聯(lián)合命題．4．補集及其運算【知識點的認識】一般地，如果一個集合含有我們所研究問題中所涉及的所有元素，那么就稱這個集合為全集，通常記作U．（通常把給定的集合作為全集）．對于一個集合A，由全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集合稱為集合A相對于全集U的補集，簡稱為集合A的補集，記作?UA，即?UA＝{x|x∈U，且x?A}．其圖形表示如圖所示的Venn圖．．【解題方法點撥】常用數(shù)軸以及韋恩圖幫助分析解答，補集常用于對立事件，否命題，反證法．【命題方向】通常情況下以小題出現(xiàn)，高考中直接求解補集的選擇題，有時出現(xiàn)在簡易邏輯中，也可以與函數(shù)的定義域、值域，不等式的解集相結合命題，也可以在恒成立中出現(xiàn)．5．充分條件與必要條件【知識點的認識】1、判斷：當命題“若p則q”為真時，可表示為p?q，稱p為q的充分條件，q是p的必要條件．事實上，與“p?q”等價的逆否命題是“￢q?￢p”．它的意義是：若q不成立，則p一定不成立．這就是說，q對于p是必不可少的，所以說q是p的必要條件．例如：p：x＞2；q：x＞0．顯然x∈p，則x∈q．等價于x?q，則x?p一定成立．2、充要條件：如果既有“p?q”，又有“q?p”，則稱條件p是q成立的充要條件，或稱條件q是p成立的充要條件，記作“p?q”．p與q互為充要條件．【解題方法點撥】充要條件的解題的思想方法中轉化思想的依據(jù)；解題中必須涉及兩個方面，充分條件與必要條件，缺一不可．證明題目需要證明充分性與必要性，實際上，充分性理解為充分條件，必要性理解為必要條件，學生答題時往往混淆二者的關系．判斷題目可以常用轉化思想、反例、特殊值等方法解答即可．判斷充要條件的方法是：①若p?q為真命題且q?p為假命題，則命題p是命題q的充分不必要條件；②若p?q為假命題且q?p為真命題，則命題p是命題q的必要不充分條件；③若p?q為真命題且q?p為真命題，則命題p是命題q的充要條件；④若p?q為假命題且q?p為假命題，則命題p是命題q的既不充分也不必要條件．⑤判斷命題p與命題q所表示的范圍，再根據(jù)“誰大誰必要，誰小誰充分”的原則，判斷命題p與命題q的關系．【命題方向】充要條件是學生學習知識開始，或者沒有上學就能應用的，只不過沒有明確定義，因而幾乎年年必考內容，多以小題為主，有時也會以大題形式出現(xiàn)，中學階段的知識點都相關，所以命題的范圍特別廣．6．不等關系與不等式【知識點的認識】不等關系就是不相等的關系，如2和3不相等，是相對于相等關系來說的，比如42與84就是相等關系．而不等式就包含兩層意思，第一層包含了不相等的關系，第二層也就意味著它是個式子，比方說a＞b，a﹣b＞不等式定理①對任意的a，b，有a＞b?a﹣b＞0；a＝b?a﹣b＝0；a＜b?a﹣b＜0，這三條性質是做差比較法的依據(jù)．②如果a＞b，那么b＜a；如果a＜b，那么b＞a．③如果a＞b，且b＞c，那么a＞c；如果a＞b，那么a+c＞b+c．推論：如果a＞b，且c＞d，那么a+c＞b+d．④如果a＞b，且c＞0，那么ac＞bc；如果c＜0，那么ac＜bc．【命題方向】例1：解不等式：sinx≥1解：∵sinx≥1∴2kπ+π6≤x≤2kπ+5π∴不等式sinx≥12的解集為{x|2kπ+π6≤x≤2kπ+5這個題很典型，考查了不等式和三角函數(shù)的相關知識，也體現(xiàn)了一般不等式喜歡與函數(shù)聯(lián)結的特點，這個題只要去找到滿足要求的定義域即可，先找一個周期的，然后加上所以周期就是最后的解．例2：當ab＞0時，a＞b?1a證明：由ab＞0，知1ab＞又∵a＞b，∴a?1ab＞b?若1a＜∴a＞b．這個例題就是上面定理的一個簡單應用，像這種判斷型的題，如果要判斷它是錯的，直接舉個反例即可，這種技巧在選擇題上用的最廣．7．其他不等式的解法【知識點的認識】指、對數(shù)不等式的解法其實最主要的就是兩點，第一點是判斷指、對數(shù)的單調性，第二點就是學會指數(shù)和指數(shù)，對數(shù)和對數(shù)之間的運算，下面以例題為講解．【解題方法點撥】例1：已知函數(shù)f（x）＝ex﹣1（e是自然對數(shù)的底數(shù)）．證明：對任意的實數(shù)x，不等式f（x）≥x恒成立．解：（I）設h（x）＝f（x）﹣x＝ex﹣1﹣x∴h'（x）＝ex﹣1﹣1，當x＞1時，h'（x）＞0，h（x）為增，當x＜1時，h'（x）＜0，h（x）為減，當x＝1時，h（x）取最小值h（1）＝0．∴h（x）≥h（1）＝0，即f（x）≥x．這里面是一個綜合題，解題的思路主要還是判斷函數(shù)的單調性，尤其是指數(shù)函數(shù)的單調性，考查的重點其實是大家的計算能力．例2：已知函數(shù)f（x）＝loga（x﹣1），g（x）＝loga（3﹣x）（a＞0且a≠1），利用對數(shù)函數(shù)的單調性，討論不等式f（x）≥g（x）中x的取值范圍．解：∵不等式f（x）≥g（x），即loga（x﹣1）≥loga（3﹣x），∴當a＞1時，有x-1＞3-x1當1＞a＞0時，有x-1＜3-x1綜上可得，當a＞1時，不等式f（x）≥g（x）中x的取值范圍為（2，3）；當1＞a＞0時，不等式f（x）≥g（x）中x的取值范圍為（1，2）．這個題考查的就是對數(shù)函數(shù)不等式的求解，可以看出主要還是求單調性，當然也可以右邊移到左邊，然后變成一個對數(shù)函數(shù)來求解也可以．【命題方向】本考點其實主要是學會判斷各函數(shù)的單調性，然后重點考察學生的運算能力，也是一個比較重要的考點，希望大家好好學習．8．函數(shù)的奇偶性【知識點的認識】①如果函數(shù)f（x）的定義域關于原點對稱，且定義域內任意一個x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），那么函數(shù)f（x）就叫做奇函數(shù)，其圖象特點是關于（0，0）對稱．②如果函數(shù)f（x）的定義域關于原點對稱，且定義域內任意一個x，都有f（﹣x）＝f（x），那么函數(shù)f（x）就叫做偶函數(shù)，其圖象特點是關于y軸對稱．【解題方法點撥】①奇函數(shù)：如果函數(shù)定義域包括原點，那么運用f（0）＝0解相關的未知量；②奇函數(shù)：若定義域不包括原點，那么運用f（x）＝﹣f（﹣x）解相關參數(shù)；③偶函數(shù)：在定義域內一般是用f（x）＝f（﹣x）這個去求解；④對于奇函數(shù)，定義域關于原點對稱的部分其單調性一致，而偶函數(shù)的單調性相反．例題：函數(shù)y＝x|x|+px，x∈R是（）A．偶函數(shù)B．奇函數(shù)C．非奇非偶D．與p有關解：由題設知f（x）的定義域為R，關于原點對稱．因為f（﹣x）＝﹣x|﹣x|﹣px＝﹣x|x|﹣px＝﹣f（x），所以f（x）是奇函數(shù)．故選B．【命題方向】函數(shù)奇偶性的應用．本知識點是高考的高頻率考點，大家要熟悉就函數(shù)的性質，最好是結合其圖象一起分析，確保答題的正確率．9．冪函數(shù)的概念【知識點的認識】冪函數(shù)的定義：一般地，函數(shù)y＝xa叫做冪函數(shù)，其中x是自變量，a是常數(shù)．解析式：y＝xa=定義域：當a為不同的數(shù)值時，冪函數(shù)的定義域的不同情況如下：1．如果a為負數(shù)，則x肯定不能為0，不過這時函數(shù)的定義域還必須根據(jù)q的奇偶性來確定，即如果q為偶數(shù)，則x不能小于0，這時函數(shù)的定義域為大于0的所有實數(shù)；2．如果同時q為奇數(shù)，則函數(shù)的定義域為不等于0的所有實數(shù)．當x為不同的數(shù)值時，冪函數(shù)的值域的不同情況如下：1．在x大于0時，函數(shù)的值域總是大于0的實數(shù)．2．在x小于0時，則只有同時q為奇數(shù)，函數(shù)的值域為非零的實數(shù)．而只有a為正數(shù)，0才進入函數(shù)的值域．由于x大于0是對a的任意取值都有意義的．10．有理數(shù)指數(shù)冪及根式【知識點的認識】根式與分數(shù)指數(shù)冪規(guī)定：amn=nam（a＞0，m，n∈Na-mn=1amn=1nam（a＞0的正分數(shù)指數(shù)冪等于0，0的負分數(shù)指數(shù)冪沒有意義有理數(shù)指數(shù)冪（1）冪的有關概念：①正分數(shù)指數(shù)冪：amn=nam（a＞0，m，n∈N②負分數(shù)指數(shù)冪：a-mn=1amn=1nam（a＞③0的正分數(shù)指數(shù)冪等于0，0的負分數(shù)指數(shù)冪無意義．（2）有理數(shù)指數(shù)冪的性質：①aras＝ar+s（a＞0，r，s∈Q）；②（ar）s＝ars（a＞0，r，s∈Q）；③（ab）r＝arbr（a＞0，b＞0，r∈Q）．【解題方法點撥】例1：下列計算正確的是（）A、（﹣1）0＝﹣1B、aa=aC、4(-3)4=3D、(ax)2a2分析：直接由有理指數(shù)冪的運算性質化簡求值，然后逐一核對四個選項得答案．解：∵（﹣1）0＝1，∴A不正確；∵$\sqrt{a\sqrt{a}}＝\sqrt{a?{a}^{\frac{1}{2}}}＝\sqrt{{a}^{\frac{3}{2}}}＝{a}^{\frac{3}{4}}＝\root{4}{{a}^{3}}$，∴B不正確；∵$\root{4}{（﹣3）^{4}}＝\root{4}{{3}^{4}}＝3$，∴C正確；∵$\frac{（{a}^{x}）^{2}}{{a}^{2}}＝\frac{{a}^{2x}}{{a}^{2}}＝{a}^{2x﹣2}$∴D不正確．故選：C．點評：本題考查了根式與分數(shù)指數(shù)冪的互化，考查了有理指數(shù)冪的運算性質，是基礎的計算題．例1：若a＞0，且m，n為整數(shù)，則下列各式中正確的是（）A、${a^m}÷{a^n}＝{a^{\frac{m}{n}}}$B、am?an＝am?nC、（am）n＝am+nD、1÷an＝a0﹣n分析：先由有理數(shù)指數(shù)冪的運算法則，先分別判斷四個備選取答案，從中選取出正確答案．解：A中，am÷an＝am﹣n，故不成立；B中，am?an＝am+n≠am?n，故不成立；C中，（am）n＝am?n≠am+n，故不成立；D中，1÷an＝a0﹣n，成立．故選：D．點評：本題考查有理數(shù)指數(shù)冪的運算，解題時要熟練掌握基本的運算法則和運算性質．11．指數(shù)函數(shù)的值域【知識點的認識】指數(shù)函數(shù)的解析式、定義、定義域、值域1、指數(shù)函數(shù)的定義：一般地，函數(shù)y＝ax（a＞0，且a≠1）叫做指數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)的定義域是R，值域是（0，+∞）．2、指數(shù)函數(shù)的解析式：y＝ax（a＞0，且a≠1）3、理解指數(shù)函數(shù)定義，需注意的幾個問題：①因為a＞0，x是任意一個實數(shù)時，ax是一個確定的實數(shù)，所以函數(shù)的定義域為實數(shù)集R．②規(guī)定底數(shù)a大于零且不等于1的理由：如果a＝0，當x＞0時，ax恒等于0；當x≤0時，ax無意義；如果a＜0，比如y＝（﹣4）x，這時對于x=14，x=1如果a＝1，y＝1x＝1是一個常量，對它就沒有研究的必要，為了避免上述各種情況，所以規(guī)定a＞0且a≠1．12．由指數(shù)函數(shù)的單調性求解參數(shù)由指數(shù)函數(shù)的單調性求解參數(shù)13．指數(shù)函數(shù)綜合題【知識點的認識】1、指數(shù)函數(shù)y＝ax（a＞0，且a≠1）的圖象和性質：0＜a＜1a＞1y＝axa＞10＜a＜1圖象定義域R值域（0，+∞）性質過定點（0，1）當x＞0時，y＞1；x＜0時，0＜y＜1當x＞0時，0＜y＜1；x＜0時，y＞1在R上是增函數(shù)在R上是減函數(shù)2、底數(shù)對指數(shù)函數(shù)的影響：①在同一坐標系內分別作函數(shù)的圖象，易看出：當a＞l時，底數(shù)越大，函數(shù)圖象在第一象限越靠近y軸；同樣地，當0＜a＜l時，底數(shù)越小，函數(shù)圖象在第一象限越靠近x軸．②底數(shù)對函數(shù)值的影響如圖．③當a＞0，且a≠l時，函數(shù)y＝ax與函數(shù)y=(1a)x的【解題方法點撥】利用指數(shù)函數(shù)的性質比較大?。喝舻讛?shù)相同而指數(shù)不同，用指數(shù)函數(shù)的單調性比較：若底數(shù)不同而指數(shù)相同，用作商法比較；若底數(shù)、指數(shù)均不同，借助中間量，同時要注意結合圖象及特殊值．14．對數(shù)的運算性質【知識點的認識】對數(shù)的性質：①alogaN=N；②logaaN＝N（a＞0loga（MN）＝logaM+logaN；logaMN=logaM﹣logalogaMn＝nlogaM；loganM=1n15．對數(shù)方程求解對數(shù)方程求解16．對數(shù)函數(shù)的圖象【知識點的認識】17．對數(shù)函數(shù)及對數(shù)型復合函數(shù)的圖象對數(shù)函數(shù)及對數(shù)型復合函數(shù)的圖象18．對數(shù)值大小的比較【知識點的認識】1、若兩對數(shù)的底數(shù)相同，真數(shù)不同，則利用對數(shù)函數(shù)的單調性來比較．2、若兩對數(shù)的底數(shù)和真數(shù)均不相同，通常引入中間變量（1，﹣1，0）進行比較3、若兩對數(shù)的底數(shù)不同，真數(shù)也不同，則利用函數(shù)圖象或利用換底公式化為同底的再進行比較．（畫圖的方法：在第一象限內，函數(shù)圖象的底數(shù)由左到右逐漸增大）19．反函數(shù)【知識點的認識】定義一般地，設函數(shù)y＝f（x）（x∈A）的值域是C，根據(jù)這個函數(shù)中x，y的關系，用y把x表示出，得到x＝g（y）．若對于y在中的任何一個值，通過x＝g（y），x在A中都有唯一的值和它對應，那么，x＝g（y）就表示y是自變量，x是因變量是y的函數(shù)，這樣的函數(shù)y＝g（x）（y∈C）叫做函數(shù)y＝f（x）（x∈A）的反函數(shù)，記作y＝f（﹣1）（x）反函數(shù)y＝f（﹣1）（x）的定義域、值域分別是函數(shù)y＝f（x）的值域、定義域．性質反函數(shù)其實就是y＝f（x）中，x和y互換了角色（1）函數(shù)f（x）與他