新版高中數(shù)學(xué)人教A版選修1-2習(xí)題第二章推理與證明2.2.1.2

第2課時(shí)分析法課時(shí)過(guò)關(guān)·能力提升基礎(chǔ)鞏固1命題“對(duì)于任意角θ,cos4θsin4θ=cos2θ”的證明:“cos4θsin4θ=(cos2θsin2θ)(cos2θ+sin2θ)=cos2θsin2θ=cos2θ”,其過(guò)程應(yīng)用了()A.分析法B.綜合法C.綜合法、分析法綜合使用D.間接證法解析從證明過(guò)程來(lái)看,是從已知條件入手,經(jīng)過(guò)推導(dǎo)得出結(jié)論,符合綜合法的證明思路.答案B2欲證2A.(C.(解析由分析法知,欲證2-答案C3在不等邊三角形中,a為最大邊,要想得到∠A為鈍角的結(jié)論,三邊a,b,c應(yīng)滿足()A.a2<b2+c2 B.a2=b2+c2C.a2>b2+c2 D.a2≤b2+c2答案C4已知a,b是不相等的正數(shù),x=aA.x>y B.x<y C.x=y D.不確定解析因?yàn)閍,b>0,所以x>0,y>0.要比較x與y的大小,只需比較x2與y2的大小,即比較a+b因?yàn)閍,b為不相等的正數(shù),所以所以a+b+2ab2<a答案B5分析法又叫執(zhí)果索因法,若使用分析法證明:設(shè)a>b>c,且a+b+c=0,求證:bA.ab>0 B.ac>0C.(ab)(ac)>0 D.(ab)(ac)<0解析b2-ac<3a?b2ac<3a2?(a+c)2ac<3a2?(ac)(2a+c)>0?(ac)(ab答案C6將下面用分析法證明a2+b22≥ab的步驟補(bǔ)充完整:要證明a2+b22≥ab,只需證明a2+b2≥2ab,也就是證明答案a2+b22ab≥0(ab)2≥0(ab)2≥07若aa解析要使aa>b只需a3>b3≥0,即a,b應(yīng)滿足a>b≥0.答案a>b≥08在△ABC中,∠C=60°,a,b,c分別為∠A,∠B,∠C的對(duì)邊,則a解析因?yàn)椤螩=60°,所以a2+b2=c2+ab.所以(a2+ac)+(b2+bc)=c2+ab+ac+bc=(a+c)(b+c),所以答案19設(shè)a,b∈(0,+∞),且a≠b,求證:a3+b3>a2b+ab2.分析本題要證明的不等式有些復(fù)雜,且不易發(fā)現(xiàn)與已知條件間的聯(lián)系,直接應(yīng)用綜合法證明的思路不明顯,故先采用分析法證明.證明方法一(分析法):要證a3+b3>a2b+ab2成立,即需證(a+b)(a2ab+b2)>ab(a+b)成立.又因a+b>0,故只需證a2ab+b2>ab成立,即需證a22ab+b2>0成立,即需證(ab)2>0成立.而依題設(shè)a≠b,則(ab)2>0顯然成立.由此命題得證.方法二(綜合法):a≠b?ab≠0?(ab)2>0?a22ab+b2>0?a2ab+b2>ab.∵a,b∈(0,+∞),∴a+b>0,∴(a+b)(a2ab+b2)>ab(a+b).∴a3+b3>a2b+ab2.10已知a,b,c是不全相等的正數(shù),且0<x<1.求證:logx證明要證明logx只需要證明logx由已知0<x<1,只需證明由公式知因?yàn)閍,b,c不全相等,上面三式相乘,可得即a所以logxa能力提升1如果正數(shù)a,b,c,d滿足a+b=cd=4,那么()A.ab≤c+d,且等號(hào)成立時(shí),a,b,c,d的取值唯一B.ab≥c+d,且等號(hào)成立時(shí),a,b,c,d的取值唯一C.ab≤c+d,且等號(hào)成立時(shí),a,b,c,d的取值不唯一D.ab≥c+d,且等號(hào)成立時(shí),a,b,c,d的取值不唯一解析因?yàn)閍+b=cd=4,由基本不等式,得a+b≥2故ab≤4.又cd≤(所以c+d≥4,所以ab≤c+d,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=d=2時(shí),等號(hào)成立.故選A.答案A2要證3A.ab<0,且a>bB.ab>0,且a>bC.ab<0,且a<bD.ab>0,且a>b或ab<0,且a<b解析要證只需證即證ab3即證只需證ab2<a2b,即證ab(ba)<0.只需ab>0,且ba<0或ab<0,且ba>0.故選D.答案D3設(shè)a,b,c,d均為正實(shí)數(shù),若a+d=b+c,且|ad|<|bc|,則有()A.ad=bc B.ad<bcC.ad>bc D.ad≤bc解析∵a+d=b+c,∴(a+d)2=(b+c)2,∴a2+d2b2c2=2bc2ad.∵|ad|<|bc|,∴(ad)2<(bc)2,∴a2+d2b2c2<2ad2bc.∴2bc2ad<2ad2bc,∴ad>bc.答案C4“a=1”是“對(duì)任意正數(shù)x,2x+ax≥1”的(A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件解析當(dāng)a=1時(shí),2x+ax=2x+1x≥22若對(duì)任意正數(shù)x,2x+ax≥1,即2x2-x+ax≥0恒成立,則有2x2x+a≥當(dāng)a≥18時(shí),命題成立,不一定有a=故“a=1”是“對(duì)任意正數(shù)x,2x+ax≥1”答案A5如圖所示,在直四棱柱A1B1C1D1ABCD中,當(dāng)?shù)酌嫠倪呅蜛BCD滿足條件時(shí),有A1C⊥B1D1(注:填上你認(rèn)為正確的一個(gè)條件即可,不必考慮所有可能的情形).

解析本題答案不唯一,要證A1C⊥B1D1,只需證B1D1垂直于A1C所在的平面A1CC1.因?yàn)樵撍睦庵鶠橹彼睦庵?所以B1D1⊥CC1.故只需證B1D1⊥A1C1即可,而BD∥B1D1,AC∥A1C1,故只需AC⊥BD.答案答案不唯一,如AC⊥BD★6若a>b>c,n∈N*,且1解析由a>b>c,得ab>0,bc>0,ac>0,要使1只需a-ca只需(a-b顯然2+b-ca-b+a-所以只需n≤4成立,即n能取的最大值為4.答案47已知△ABC的三邊a,b,c的倒數(shù)成等差數(shù)列,試分別用分析法和綜合法證明∠B為銳角.分析在△ABC中,要證∠B為銳角,只要證cosB>0,結(jié)合余弦定理可解決問(wèn)題.證法一(分析法)要證明∠B為銳角,只需證cosB>0.∵cosB=∴只需證明a2+c2b2>0,即a2+c2>b2.又a2+c2≥2ac,∴只需證明2ac>b2.由已知2b=1a∴只需證明b(a+c)>b2,即只需證明a+c>b.而a+c>b成立,∴∠B為銳角.證法二(綜合法)由題意,得2b∵a+c>b,∴2ac=b(a+c)>b2.∴cosB=又0<∠B<π,∴0<∠B<π2,即★8已知α,β≠kπ+π2(k∈Z),且sinθ+cosθ=2sinα,sinθcosθ=sin2β證明要證1即證即證cos2αsin2α=即證12sin