山東省濰坊市2023-2024學(xué)年八年級上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題

山東省濰坊市2023-2024學(xué)年八年級上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試

題

學(xué)校:姓名：班級：考號：

一、作圖題

1.如圖，在，ABC中，點尸，。分別在邊8C及CB的延長線上，S.BQ=CP.

(1)實踐與探索：利用尺規(guī)按下列要求作圖(不寫作法，保留作圖痕跡).

①作NPQM=ZCBA,且點M在QC的上方；

②在QW上截取QR=BA；

③連接PR.

(2)猜想與驗證：試猜想線段AC和股的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想.

二、計算題

2.規(guī)定：。是不為1的有理數(shù),我們把丁匚稱為。的差倒數(shù)，如：2的差倒數(shù)是工=-1,

L—a1-2

一的差倒數(shù)是五u.

已知4=3,%是%的差倒數(shù)，的是出的差倒數(shù)，的是巴的差倒數(shù)，……，以此類推,

請分別與出。2，'。5,。6的值與。2023的值.

三、問答題

3.已知長方形紙片ABCD,點E,F,G分別在邊AB,DA,BC上，將三角形AEF沿

EF翻折，點A落在點A，處，將三角形EBG沿EG翻折，點B落在點B，處.

⑴點E,A',B，共線時，如圖①，求/GEF的度數(shù)；

⑵點E,N,B，不共線時，如圖②③，設(shè)/GEF=a,.萬’’，請分別寫出a、

B滿足的數(shù)量關(guān)系式，并說明理由.

DCDCDC

EBAEBAEB

圖①圖②圖⑤

四、計算題

4.閱讀材料：

111

①方程x+—=2+工的解為：王=2；x=—；

x222

222

②方程x+—二^H—的解為：％=機；x=一；

xmm2

③方程x--=m——的解為：玉=機；9=——.

xmm

歸納解法：④方程無+￡=萬+￡的解為：%=__________；x2=__________

xb

22

應(yīng)用解決：⑤利用④中的結(jié)論，直接解關(guān)于X的方程：X+二=。+二.

x-1a-1

五、應(yīng)用題

5.某班為了從甲、乙兩人中選出一人擔(dān)任班長，進行了一次測評活動，邀請了五位老

師作為評委，對學(xué)生進行個人測評，全班50位同學(xué)進行民主測評，結(jié)果如圖所示：

①個人測評得分&）算法：去掉一個最高分和一個最低分后，再算出平均分;

②民主測評得分（尤2）算法：“優(yōu)”票數(shù)義3+“良”票數(shù)x2+“中”票數(shù)x1；

③綜合得分（X）算法：J=0.4為+0.6%.

【問題解決】

（1）如果只采用個人測評規(guī)則，你認為獲勝者是誰；

（2）分別求甲的民主測評得分和乙的民主測評得分；

試卷第2頁，共4頁

(3)綜合得分高的學(xué)生當(dāng)選為班長，通過計算，判斷最終當(dāng)選的是甲還是乙？

六、問答題

6.(1)如圖1,已知：在/IBC中，AB^AC,2。平分/ABC,8平分，AC3,過

點、D作EF〃BC,分別交A3、AC于E、/兩點，則E尸與BE、CF之間的數(shù)量關(guān)系，

并說明理由；

(2)如圖2,若將(1)中“ABC中，A3=AC”改為“若，ABC為不等邊三角形，”其

余條件不變，則所與8E、C/之間的數(shù)量關(guān)系是什么？證明你的結(jié)論；

(3)已知：如圖3,。在ABC外，AB>AC,且平分/ABC,CD平分；ABC的

外角/ACG,過點。作DE〃3C,分別交A3、AC于E、/兩點，則所與BE、CF

之間又有何數(shù)量關(guān)系呢？直接寫出結(jié)論不證明.

7.(1)如圖，在ASC中，/B4C=90。，AB=AC,點。在3C上，且BD=54,點E

在BC的延長線上且CE=C4,試求一ZME的度數(shù)；

(2)如果把第(1)題中“AB=AC”的條件去掉，其余條件不變，那么/。鉆的度數(shù)

會改變嗎？說明理由；

(3)如果把第(1)題中“/B4c=90?！钡臈l件改為“N3AC>90。"，其余條件不變，那

么NZME與/B4C有怎樣的大小關(guān)系？

七、證明題

8.實踐與探究

AA

MG

Y二"cB上-—C

圖①圖②

(1)操作一：如圖①，已知三角形紙片ABC,AB=AC,ZB=30°,將三角形紙片沿過

點A的直線折疊，折痕為AD,點B的對應(yīng)點為點E,AE與交于點凡且近〃AC,

貝UZZM;三度；

(2)操作二：如圖②，將△。芯沿D尸繼續(xù)折疊，點E的對應(yīng)點為點G.DG與AF交于

點、M,DG與AC交于點、N,則圖②中度數(shù)為30。的角共有個.

(3)根據(jù)以上操作所得結(jié)論，解答下列問題：

①求證：/\AMN%ADMF；

②若3C=3,則線段MN的長為.

試卷第4頁，共4頁

參考答案:

1.⑴見解析

(2)RP=AC,理由見解析

【分析】(1)按照尺規(guī)作圖的方法作出圖形即可;

(2)利用SAS證明ARQP烏AABC即可得到結(jié)論即=AC.

【詳解】(1)解：如圖所示,

(2)解：結(jié)論RP=AC.理由如下，

?/BQ=CP,AQP^BC,

由作圖知，ZPQM=ZCBA,QR=BA,

：.△RQWAABC(SAS),

RP=AC.

【點睛】本題考查作圖-復(fù)雜作圖，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是理解題

意，靈活運用所學(xué)知識解決問題.

c1212

a

2.?2=~~'。3=§，&-J，5=~~>。6=］，“2023—3

【分析】本題主要考查的是有理數(shù)的計算一規(guī)律型.首先根據(jù)差倒數(shù)的求法分別求出前面的

幾個數(shù)，從而得出規(guī)律，根據(jù)規(guī)律即可求解.

【詳解】解：％=3,g為生的差倒數(shù)，

11

,3匚TN

又由為出的差倒數(shù)，

12

7.=----------二—

答案第1頁，共9頁

又。4為〃3的差倒數(shù),

3

又〃5為%的差倒數(shù)，

11

??。5==，

1-32

2

同理。6=］，%=3,

故。"的值以3、-g和彳這3個數(shù)字進行循環(huán)，

-2023+3=674…1,

一。2023=3.

3.（1）NQEF=90。；（2）如圖②，結(jié)論：2a+p=180.理由見解析.

【分析】（1）根據(jù)翻折不變性得：ZAEF=ZA，EF,NBEG=NB，EG,由此即可解決問題.

⑵根據(jù)翻折不變性得到：ZAEF=ZAEF,NBEG=NB'EG,根據(jù)/AEB=180分別列等式

可得圖②和③的結(jié)論即可.

【詳解】⑴如圖①中，由翻折得：^AEF=ZA'EF,ZBEG=ZB'EG,

lAB'EF+2ZB'EG=180,

NGEF=NB'EF+ZB'EG=90.

（2）如圖②,結(jié)論：2a+p=180.

理由：如圖②中，由翻折得：ZAEF=ZAgNBEG=NB，EG

/GEF=a,ZAEB'=/3,

2ZA'EF+2NB'EG+ZA'EB'=180,

2a+p=180

如圖③，結(jié)論：2a-p=180,

理由：ZAEF=ZA'EF,ZBEG=ZB'EG,

./GEF=a,ZA'EB'=J3,

答案第2頁，共9頁

/.2ZArEF+2/B'EG-NA'EE=180,

.?.2a—0=180.

【點睛】本題考查矩形的性質(zhì)、翻折不變性等知識，解題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用翻折不變性解決

問題，屬于基礎(chǔ)題，中考?？碱}型.

4.?b；7；⑤x=“；無2="^

ba—1

【分析】本題主要考查了分式方程的解法，觀察方程可以得到方程左邊的式子與右邊的式子

之間的關(guān)系，用加代替方程左邊式子中的X,即得到右邊的式子，方程的解中，第一個解是

右邊的式子的第一項，第二個解是右邊式子的第二項，根據(jù)次規(guī)律即可求解，正確觀察已知

條件中的式子的特點，以及方程的解與式子之間的聯(lián)系是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：閱讀：

①方程X+，=2+3的解為：匕=2；尤2=:，

x22

222

②方程XH—=m-\—的解為：x=m?x=—,

xmx2

33

③方程％--=m——的解為：玉=也；

xm

歸納：

④方程無+￡=力+：的解為：%=b；

xbb

應(yīng)用：⑤利用④中的結(jié)論，直接解關(guān)于犬的方程：%+=2=。+=2,

X~16Z—1

22

解：方程可變?yōu)椋?x-l)H-------=(?-1)+-----,

2

利用④中的結(jié)論得：=x-l=-

a+1

經(jīng)檢驗，方程的解為：士=<7；

a—1

5,⑴甲

(2)139分，148分

⑶乙

【分析】本題考查了平均數(shù)和加權(quán)平均數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是正確計算平均數(shù)和加權(quán)平均

數(shù).

答案第3頁，共9頁

（1）分別計算甲、乙個人測評的平均分，比較即可；

（2）按照民主測評得分的算法，分別計算即可；

（3）分別計算甲、乙的綜合得分，比較即可.

90+92+94

【詳解】（1）解：甲的個人測評得分為一-——=92（分），

乙的個人測評得分為"+:+%=89（分），

92>89,

獲勝者是甲；

（2）甲的民主測評得分為40x3+7x2+5x1=139（分），

乙的民主測評得分為45x3+6x2+1x1=148（分），

二甲的民主測評得分為139分，乙的民主測評得分為148分；

（3）甲的綜合得分為0.4x92+0.6x139=120.2（分），

乙的綜合得分為0.4x89+0.6x148=124.4（分），

124,4>120.2,

最終當(dāng)選的是乙.

6.（1）BE+CF=EF,理由見解析；（2）BE+CF=EF,理由見解析；（3）BE-CF=EF,

理由見解析

【分析】本題考查了角平分線的定義、平行線的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握

以上知識點并靈活運用是解此題的關(guān)鍵.

（1）根據(jù)等邊對等角可得NABC=/ACB,由角平分線的定義可得=由等

角對等邊可得DB=OC,由平行線的性質(zhì)可得=?AFE1ACB,

NEDB=NCBD,ZFDC=ZBCD,從而得出NEBD=NEDB,NFDC=NBCD,進而得出

BE=DE,CF=DF,AE=AF,即可得證；

（2）由角平分線的定義可得=AFCD=ABCD,由平行線的性質(zhì)可得

ZEDB=ZCBD,NFDC=NBCD,從而得到ZEBD=NEDB,NFDC=/BCD,進而得到

BE=DE,CF=DF,即可得證；

（3）由（1）知3E=ED,由平行線的性質(zhì)可得NEDC=NOCG=NACO,推出CF=O尸，

即可得證.

【詳解】解：（1）BE+CF=EF.

理由如下：

答案第4頁，共9頁

AB=AC,

:.ZABC=ZACBf

Q5D平分/ABC,CD平分/ACB,

:.ZEBD=/CBD,NFCD=NBCD,

:"DBC=NDCB,

DB=DC9

EF\BC,

:.ZAEF=ZABC,?AFE?ACB,ZEDB=ZCBD,ZFDC=ZBCD,

..ZEBD=ZEDB,ZFDC=/BCD,

:.BE=DE,CF=DF,AE=AF,

BE+CF=DE+DF=EF,

即5￡+CF=石產(chǎn)；

(2)BE+CF=EF,

Q3D平分/ABC,CD平分/ACS,

:.ZEBD=ZCBDfZFCD=ZBCD,

EF|BC,

:.ZEDB=ZCBDf/FDC=/BCD,

:.ZEBD=ZEDB,ZFDC=ZBCD,

:.BE=DE,CF=DF,

:.BE+CF=DE+DF=EF,

^BE+CF=EF.

(3)BE-CF=EF,

由(1)知BE二ED,

EF|BC,

.\ZEDC=ZDCG=ZACD,

:.CF=DF,

又ED-DF=EF,

:.BE-CF=EF.

7.(1)45°；(2)不變，理由見解析；(3)ZDAE=^ZBAC,理由見解析

答案第5頁，共9頁

【分析】本題考查三角形外角的性質(zhì)及三角形的內(nèi)角和定理以及等腰三角形的性質(zhì)；角的度

數(shù)常常要用到“三角形的內(nèi)角和是180度”這一隱含的條件和三角形的一個外角等于與它不

相鄰的兩個內(nèi)角的和.

(1)由等腰直角三角形的性質(zhì)可得/3=NACB=45。，由三角形內(nèi)角和定理結(jié)合等邊對等

角可得==一/8)=67.5。，再由CE=C4,求出

?CAEIE-1ACB22.5?,最后由ZZME=ZS4E—Z&4D,進行計算即可；

2

(2)設(shè)NG4￡=x,則？E1CAEx,ZACB=2x,ZB=90°-2x,由三角形內(nèi)角和定理

結(jié)合等邊對等角可得/區(qū)4￡>=/8￡%=，180。-/8)=》+45。，再求出/54￡=90。+工，最后

由ZDAE=ZBAE-ZBAD計算即可得解；

(3)T^ZCAE=X,?BADy,則？8180?2y,?E2CAEx,

?BAE180??B?E2y-x,再分別表示出/DM、ZBAC,即可得解.

【詳解】解：(1)AB=AC,4c=90。，

../3=ZACB=45°,

BD=BA,

/.ZBAD=ABDA=1(180°-ZB)=67.5°,

CE=CA,

ZCAE=ZE=-ZACB=22.5°,

2

在.ABE中，ZBAE=180°-Zfi-ZE=112.5°,

ZDAE=ZBAE-ZBAD=112.5°-67.5°=45°；

(2)不改變.

設(shè)NC4￡=x,

CA=CE,

/E=NCAE=x,

:.ZACB=ZCAE-^-ZE=2x,

在,ABC中，ZBAC=90°,

...ZB=90°-ZACB=90°-2x,

BD=BA,

答案第6頁，共9頁

/BAD=ZBDA=；(180°一/B)=尤+45°

在一ABE中，ZBAE=180°-ZB-ZE^180o-(900-2x)-x=900+x,

ZDAE=NBAE—ZBAD=(90°+x)-(x+45°)=45°；

(3)ZDAE=-ZBAC.

2

理由：

設(shè)NC4￡=X,?BADy,貝！I?8180?2y,?E?CAEx,

:.ZBAE=l?,0°-ZB-ZE=2y-x,

ZDAE=ZBAE—ABAD=2y—x—y=y—x,?BAC?BAE?CAE2y-x-x=2y-2x,

:.ZDAE=-ZBAC.

2

8.(1)45

(2)7

(3)①見解析②史二1

【分析】（1）等邊對等角，得到NB=NC=30。，三角形的內(nèi)角和定理，得至1J/R4c=120°,

折疊得到NB=NE=30。，ZBAD=ZEAD,平行，得到/C4E=/E=30。，進而求出—

的度數(shù)，即可得出結(jié)果；

（2）由（1）得到N3=NC=30。，/C4E=/E=30。，ZBAE=90°,推出/FDE=30。，

根據(jù)折疊得到NG=NE=30°,ZGDF=ZFDE=30。，即可得出結(jié)論；

（3）①推出ZADM=45°=ZDAF,得到ZW=■,利用ASA證明AAMN/△4WF即可；

②利用含30度的直角形的性質(zhì)，求出各線段的長度，利用尸+CF進行求解即可.

【詳解】（1）解：：三角形紙片ABC,AB^AC,ZB=30°,

Z.ZB=ZC=30°,

ZfiL4C=180°-ZB-ZC=120°,

???折疊，

AZB=ZE=30°,ZBAD=ZEAD,

'：DE//AC,

：.NC4E=ZE=30°,

ZBAE=ZBAC-ZEAC=90°