第三章統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)

第三章統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)

統(tǒng)計(jì)推斷包括兩方面的內(nèi)容參數(shù)估計(jì)：隨機(jī)變量的分布函數(shù)已知，由樣本值估計(jì)其分布參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)（統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)）：隨機(jī)變量的分布函數(shù)是未知的，假設(shè)樣本值服從某一分布，利用樣本值根據(jù)概率統(tǒng)計(jì)原理，用參數(shù)估計(jì)的方法進(jìn)行計(jì)算，以判斷假設(shè)是否成立，即對(duì)假設(shè)進(jìn)行檢驗(yàn)，若檢驗(yàn)后證明假設(shè)是正確的，就接受假設(shè)；若檢驗(yàn)后證明假設(shè)是錯(cuò)誤的，就拒絕假設(shè)。分析測(cè)試使得測(cè)定值之存在著差異，引起差異的可能因素:

測(cè)試過(guò)程中受到不可避免的偶然因素影響（即隨機(jī)誤差引起的差異和波動(dòng)），這只能影響精密度；生產(chǎn)或測(cè)試條件的改變引起差異，意味著條件對(duì)分析結(jié)果有影響，影響分析結(jié)果的準(zhǔn)確度。統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)正是科學(xué)地處理和分辨這兩種不同性質(zhì)差異的方法。第一節(jié)統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)的原理和基本思想

一、統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)1.問(wèn)題的提出試驗(yàn)過(guò)程存在誤差——分析數(shù)據(jù)參差不齊（甚至出現(xiàn)較大的離群值）——對(duì)試驗(yàn)數(shù)據(jù)本身的可靠性作出評(píng)價(jià)，判斷測(cè)定中是否存在誤差（有系統(tǒng)誤差、隨機(jī)誤差或過(guò)失誤差，主要判斷是否存在系統(tǒng)誤差）——可表明能否作為μ的無(wú)偏估計(jì)量？能否作為σ的無(wú)偏估計(jì)量？——這就需要進(jìn)行統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)。

2.統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)的內(nèi)容可疑數(shù)據(jù)的取舍

p16異常值（壞值）：

由于分析過(guò)程中存在的錯(cuò)誤或系統(tǒng)誤差所造成的，常表現(xiàn)為巨差，通過(guò)統(tǒng)計(jì)方法確認(rèn)有此誤差存在，該異常值應(yīng)舍去。離群值(可疑值)：是指在一組測(cè)定值中某個(gè)別值明顯高于其余測(cè)定值。雖然明顯偏離其余測(cè)定值，但仍然處于統(tǒng)計(jì)上所允許的合理誤差范圍之內(nèi)，與其余測(cè)定值屬于同一總體，因此，考察和評(píng)價(jià)測(cè)定數(shù)據(jù)本身的可靠性時(shí)，要正確區(qū)分異常值和離群值，不容混淆。判斷不同分析人員、不同實(shí)驗(yàn)室對(duì)同一樣品分析結(jié)果的一致性，包括檢驗(yàn)異常值、檢驗(yàn)平均值、即準(zhǔn)確度的檢驗(yàn)。判斷不同分析人員、不同實(shí)驗(yàn)室對(duì)同一樣品測(cè)定結(jié)果是否具有相同的精密度，包括:判斷因素效應(yīng)與系統(tǒng)誤差檢驗(yàn)方差的一致性判斷測(cè)試方法與測(cè)試結(jié)果的精度檢驗(yàn)測(cè)定值的分布類(lèi)型等。即測(cè)定是否達(dá)到一定的標(biāo)準(zhǔn)（精密度），s是否能作為σ的估計(jì)量。

分析結(jié)果好壞取決于5個(gè)因素：人、方法、原材料、儀器、環(huán)境，分析數(shù)據(jù)的波動(dòng)或分布是由這些可變動(dòng)的因素造成，按其影響程度和消除的可能性分為：經(jīng)常作用的因素：隨機(jī)誤差→正態(tài)分布→正?，F(xiàn)象→分析過(guò)程是穩(wěn)定的→影響精密度?？杀苊獾囊蛩兀合到y(tǒng)誤差，偏倚→不遵循正態(tài)分布→不正常原因（波動(dòng)不正常）→分析過(guò)程不正常，需采取措施，檢驗(yàn)不穩(wěn)定性。3.統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)

p39

在對(duì)測(cè)量數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析時(shí)，需要對(duì)測(cè)量數(shù)據(jù)的某些性質(zhì)作出統(tǒng)計(jì)推斷，這時(shí)就要對(duì)總體的某些性質(zhì)作出假設(shè)，然后根據(jù)樣本值，通過(guò)一定的數(shù)學(xué)方法來(lái)檢驗(yàn)所作假設(shè)的正確性。如果是正確的，就接受這一假設(shè)；如果不正確，就拒絕所作出的統(tǒng)計(jì)假設(shè)。

(1)假設(shè)：關(guān)于總體的假設(shè)，稱(chēng)為統(tǒng)計(jì)假設(shè)。(2)表示方法:H0：

（由樣本估計(jì)出來(lái)的真值與實(shí)際真值一致，不存在系統(tǒng)誤差）

H0：

(由樣本估計(jì)出來(lái)的精密度與已知的精密度一致）

(3)統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)：檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)假設(shè)的方法稱(chēng)為假設(shè)檢驗(yàn)或統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)，被檢驗(yàn)的假設(shè)稱(chēng)為原假設(shè)（如H0）。

假設(shè)檢驗(yàn)是根據(jù)樣本信息來(lái)檢驗(yàn)關(guān)于總體參數(shù)的假設(shè)，以判斷總體分布是否具有指定的特征，假設(shè)檢驗(yàn)的過(guò)程如下：用樣本值進(jìn)行檢驗(yàn)原來(lái)的假設(shè)與樣本之間不存在顯著性矛盾接受原假設(shè)統(tǒng)計(jì)假設(shè)成立H0用樣本值進(jìn)行檢驗(yàn)，原來(lái)的假設(shè)與樣本值之間存在顯著性矛盾拒絕原假設(shè)

接受另一備擇假設(shè)H1假設(shè)檢驗(yàn)又稱(chēng)為顯著性檢驗(yàn)。

例如:已知樣本來(lái)自正態(tài)總體，檢驗(yàn)它是否來(lái)自均值為μ的正態(tài)總體，先根據(jù)樣本值計(jì)算平均值，將它作為總體均值μ的估計(jì)值，如果樣本是來(lái)自均值為μ的正態(tài)總體，則是μ的一致而有效的估計(jì)值。雖然不一定正好等于μ，但根據(jù)估計(jì)值好壞的評(píng)選標(biāo)準(zhǔn)，與μ之間不會(huì)有顯著性差異，反之，如果與μ之間有顯著性差異，則不能認(rèn)為樣本來(lái)自均值為μ的正態(tài)總體。(p39

例2.12)例3-1某鋼廠化驗(yàn)員，接班時(shí)為了檢查儀器、試劑、操作及環(huán)境等實(shí)驗(yàn)條件是否正常，先取鋼樣分析，若所得結(jié)果P（％）為：0.073，0.077，問(wèn)條件是否正常？（即不存在系統(tǒng)誤差）已知

μ＝0.079％，σ＝0.002。

解H0:置信區(qū)間當(dāng)時(shí)

查164附表1，得u＝1.96或:α＝0.05，雙邊檢驗(yàn)查單邊表，α/2=0.025，即a＝0.975，故得之。）∴置信區(qū)間為

即在（0.076，0.082）范圍內(nèi)。而＝0.075，落在置信區(qū)間以外，即這種事件的概率為5％，20次才出現(xiàn)一次，我們可以認(rèn)為該樣本平均值來(lái)自正態(tài)總體N（μ，）的可能性太小，不能接受原假設(shè)，應(yīng)否定原假設(shè)，說(shuō)明交接班時(shí)實(shí)驗(yàn)條件不正常。如上例中，我們選α＝0.01，那么99％（α/2＝0.005，a=0.995查164附表1,u=2.58）,置信區(qū)間應(yīng)該是：即（0.075，0.083），這時(shí)，平均值0.075就正好落在這個(gè)區(qū)間內(nèi)，于是推斷說(shuō)：有99％的把握認(rèn)為沒(méi)有顯著性區(qū)別，認(rèn)為這一班的各種實(shí)驗(yàn)條件正常，不再作任何檢查和更換。這兩個(gè)結(jié)論雖然不同，但并不矛盾，這是因?yàn)樗鼈兪窃诓煌娘@著性水平α下作出的，由此可見(jiàn)，顯著性水平α的大小時(shí)很重要的。

二、幾個(gè)術(shù)語(yǔ)（統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)的理論依據(jù)和基本方法）

1.

小概率事件

:概率很小的事件。

一般情況下，把概率在0.05以下的事件（即落在置信區(qū)間范圍以外的事件），稱(chēng)為小概率事件。2.小概率事件原則

小概率事件在一次測(cè)量中實(shí)際上是不可能發(fā)生的，如果在一次試驗(yàn)中竟然發(fā)生了，那么就認(rèn)為是一種反常現(xiàn)象。（非常事件）反?，F(xiàn)象：實(shí)驗(yàn)中條件不正常，存在系統(tǒng)誤差。3.拒絕域

在一定的顯著性水平下，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量落在某一范圍內(nèi)就拒絕接受原假設(shè)，則此范圍就叫做該顯著性水平的拒絕域，以ω表示。設(shè)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為T(mén)=T(),T是樣本值和被估參數(shù)的函數(shù)，不包括未知值。在原假設(shè)成立時(shí)，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量T的概率密度函數(shù)φ（T）已知，φ（T）落在某個(gè)區(qū)域ω的概率：

α表示在原假設(shè)H0

成立時(shí)，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量落在拒絕域ω以?xún)?nèi)的概率，稱(chēng)為顯著性水平。α＝0.05，ω＝1.96，α取值通常很小，α＝0.05，0.01等。當(dāng)原假設(shè)為真時(shí)，T落入ω區(qū)域內(nèi)是一個(gè)小概率事件，根據(jù)小概率事件原則，在一次抽樣中幾乎不可能發(fā)生的，如果竟然發(fā)生了，則有理由認(rèn)為原假設(shè)不正確，或者說(shuō)原假設(shè)與樣本值有顯著的矛盾，此假設(shè)越無(wú)意義，這時(shí)，應(yīng)在顯著性水平α下拒絕原假設(shè)。拒絕域ω的邊界值稱(chēng)為臨界值，α越小統(tǒng)計(jì)量T落入ω內(nèi)的概率越小，如果T真落到ω內(nèi)，表明原假設(shè)H0與樣本值之間矛盾顯著，這也是將α稱(chēng)為顯著性水平的原因。當(dāng)而落入ω內(nèi)，就有理由拒絕原假設(shè)H0，反之如果T落在拒絕域ω之外（），將表示樣本值同原假設(shè)H0沒(méi)有顯著性矛盾，認(rèn)為原假設(shè)為真，在α下接受原假設(shè)。而落在ω以外的概率（1-α）為原假設(shè)為真的條件。4.

第一類(lèi)錯(cuò)誤和第二類(lèi)錯(cuò)誤

第一類(lèi)錯(cuò)誤

把好的結(jié)果當(dāng)成壞的結(jié)果而加以否定，從而舍棄了正確的原假設(shè)的錯(cuò)誤（即H0

正確，而樣本點(diǎn)落入拒絕域ω而拒絕H0

，從而接受備擇假設(shè)H1，即判斷有差異而實(shí)際無(wú)差異），此類(lèi)錯(cuò)誤稱(chēng)為拒真（棄真）錯(cuò)誤。拒真錯(cuò)誤的概率為α，也稱(chēng)風(fēng)險(xiǎn)度。表示原假設(shè)為真時(shí)統(tǒng)計(jì)量落入拒絕域內(nèi)的概率。上述判斷正確的概率為1－α，錯(cuò)誤的概率為α。因此，從統(tǒng)計(jì)意義上講，顯著性水平α是限制發(fā)生第一類(lèi)錯(cuò)誤的保證，又稱(chēng)為檢驗(yàn)的損失。例3-1中若選取α＝0.05，∴置信區(qū)間為

即在（0.076，0.082）范圍內(nèi)。而＝0.075，落在置信區(qū)間以外，應(yīng)否定原假設(shè)，說(shuō)明交接班時(shí)實(shí)驗(yàn)條件不正常。也許平均值0.075的確是個(gè)好結(jié)果，你為了減少犯第二類(lèi)錯(cuò)誤的危險(xiǎn)率而縮小了置信區(qū)間，從而把它錯(cuò)判成壞結(jié)果而拒絕了，這就犯了第一類(lèi)錯(cuò)誤，由于工作條件正常而錯(cuò)判成不正常，這樣進(jìn)行全面的檢查和更換，花費(fèi)了人力物力和財(cái)力。第二類(lèi)錯(cuò)誤

把壞的結(jié)果當(dāng)成好的結(jié)果而加以肯定，從而犯了接受錯(cuò)誤的原假設(shè)的錯(cuò)誤，也叫受偽(納偽)錯(cuò)誤。（即H0

為不真，而樣本點(diǎn)碰巧落入H0

的接受域－置信區(qū)間，從而接受了H0，即判斷無(wú)差異實(shí)際有差異。）

式中w為統(tǒng)計(jì)量T全部可能取值的區(qū)域。

例3-1中，若選取α為0.01，則接受原假設(shè)。然而，也許平均值0.075的確是由于實(shí)驗(yàn)條件不正常而引起的異常結(jié)果，的確是個(gè)壞結(jié)果，你為了減少犯第一類(lèi)錯(cuò)誤的危險(xiǎn)率而擴(kuò)大了置信區(qū)間，從而把它錯(cuò)判成正常的好結(jié)果，接受了下來(lái)，這就犯第二類(lèi)錯(cuò)誤，這樣，也許在這一工作日中報(bào)出的一系列分析結(jié)果，因?yàn)楫?dāng)天的實(shí)驗(yàn)條件有異常而出了差錯(cuò)。

假設(shè)檢驗(yàn)的損失(α)和污染（β）的關(guān)系如下圖。圖3-2假設(shè)檢驗(yàn)的損失和污染示意圖α和β的關(guān)系

α減小，減小了犯第一類(lèi)錯(cuò)誤的概率，但與此同時(shí)卻增大了β，增加了犯第二類(lèi)錯(cuò)誤的概率，反之亦然。用平均值表示分析結(jié)果可以減小犯第一類(lèi)錯(cuò)誤和第二類(lèi)錯(cuò)誤的風(fēng)險(xiǎn)即在容量（）固定的條件下，要想同時(shí)減小α與β是不可能的。只有增加測(cè)定次數(shù)，使

減小，這時(shí)在同一α下，β減小。α選擇原則

統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)中作出判斷總要承擔(dān)犯錯(cuò)誤的風(fēng)險(xiǎn)，犯第一、二類(lèi)錯(cuò)誤的可能性此長(zhǎng)彼消（α大，β??；α小，β大），無(wú)論犯哪一種錯(cuò)誤。均會(huì)造成一定的損失，在統(tǒng)計(jì)學(xué)上，以風(fēng)險(xiǎn)損失最小作為確定α的原則（即把犯α錯(cuò)誤和β錯(cuò)誤的可能性綜合考慮－總風(fēng)險(xiǎn)損失率）。

只要用有限次測(cè)量對(duì)樣品真值估計(jì)，總會(huì)犯錯(cuò)誤，即肯定判斷犯第二類(lèi)錯(cuò)誤，否定判斷犯第一類(lèi)錯(cuò)誤，一種好的檢驗(yàn)方法，就是能保證α和β都比較小的方法，即使犯錯(cuò)誤所承擔(dān)的風(fēng)險(xiǎn)最小的原則。一般，犯第二類(lèi)錯(cuò)誤的危害性大，而第一類(lèi)錯(cuò)誤α易控制。因此，通常在一定的α下使β盡量小。而α的選取將依據(jù)具體情況而有所不同。

在分析測(cè)試中，通常選取顯著性水平α＝0.05作為風(fēng)險(xiǎn)損失小的檢驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)（寧可犯第一類(lèi)錯(cuò)誤）。5.雙尾檢驗(yàn)（雙邊檢驗(yàn)）p42

正態(tài)分布兩側(cè)的檢驗(yàn)，叫雙尾檢驗(yàn)。如H0

：，H1：。即只要與μ有顯著性差異。無(wú)論高于或低于標(biāo)準(zhǔn)值，都應(yīng)判為異常，否定原假設(shè)。如果給定顯著性水平α，那么兩側(cè)拒絕域的顯著性水平為，檢驗(yàn)時(shí)查雙尾檢驗(yàn)的臨界值表（p166，附表2）。若查單尾表，給定α，查，如前例題查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表--z分布表；查雙尾表，給定α查α，如查t分布表）。6.單尾檢驗(yàn)（單邊檢驗(yàn)）（1）右邊檢驗(yàn)（圖a）：如H0：，備擇假設(shè)，H1：（2）左邊檢驗(yàn)（圖b）：如H0：，備擇假設(shè)

H1：檢驗(yàn)時(shí)查單尾表。若給定顯著性水平α，查雙尾表（t表）時(shí)顯著性水平應(yīng)為2α)。三、統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)的步驟1.提出統(tǒng)計(jì)假設(shè)

H0：即分析條件正常，樣本值是從該總體中隨機(jī)取出來(lái)的。2.由原假設(shè)H0確定一個(gè)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，并由抽樣值計(jì)算統(tǒng)計(jì)量的值3.給定顯著性水平α，由α查出該統(tǒng)計(jì)量的臨界值（根據(jù)題意確定是雙尾檢驗(yàn)還是單尾檢驗(yàn)，以便確定拒絕域ω）4.作出統(tǒng)計(jì)推斷（由小概率原則，使用反證法進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷）。對(duì)于雙邊檢驗(yàn)

：若檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量落在拒絕域ω內(nèi)，則否定原假設(shè)，

若檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量落在拒絕域ω外，則肯定原假設(shè)，若檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量落在拒絕域與非拒絕域的邊界，則懷疑H0

，最好繼續(xù)進(jìn)行試驗(yàn)，獲得更多的信息，以利于作出正確的統(tǒng)計(jì)推斷。對(duì)于單邊檢驗(yàn)：H0:（右邊檢驗(yàn)），若檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量＞臨界值，接受原假設(shè)；若檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量＜臨界值，否定原假設(shè)。H0：（左邊檢驗(yàn)），當(dāng)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量＜臨界值，接受原假設(shè)；當(dāng)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量＞臨界值，否定原假設(shè)。

第二節(jié)關(guān)于總體均值μ的檢驗(yàn)

正態(tài)分布中兩個(gè)重要參數(shù)μ、σ確定之后，一個(gè)正態(tài)分布N(μ，σ2)就完全確定了，因此，檢驗(yàn)正態(tài)分布問(wèn)題，也就是檢驗(yàn)總體參數(shù)μ和σ的問(wèn)題?？傮w均值μ檢驗(yàn)的基本思想：分析測(cè)試中，測(cè)定值是一個(gè)以概率取值的隨機(jī)變量，若遵從正態(tài)分布，則次測(cè)定的平均值遵從正態(tài)分布。若不同樣本取自同一總體，則不同樣本的均值均為該總體均值μ的無(wú)偏估計(jì)量，都是在μ附近波動(dòng)。

在隨機(jī)誤差范圍內(nèi)，則二者均值是一致的→取自同一樣本;

在隨機(jī)誤差范圍外，則二者均值是不一致的→取自不同樣本（說(shuō)明除了隨機(jī)誤差外，各平均值之間存在系統(tǒng)誤差，使得出現(xiàn)了顯著性矛盾）。因此，當(dāng)根據(jù)樣本測(cè)定值計(jì)算的統(tǒng)計(jì)量值落在所允許的合理誤差范圍之內(nèi)，則接受各平均值一致的假設(shè)；反之，若落在誤差范圍之外，則拒絕原假設(shè)，說(shuō)明各平均值之間有顯著性差異。

當(dāng)σ是已知的并穩(wěn)定不變，用檢驗(yàn)，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量

(3--1)

當(dāng)σ是未知的，用檢驗(yàn)，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量

(3--2)

一、檢驗(yàn)

p42-441.對(duì)原假設(shè)的檢驗(yàn)

前例3-1，μ＝0.079％σ＝0.002％，所得結(jié)果0.073，0.077

解:

（1）H0：條件正常，與μ一致（2）確定統(tǒng)計(jì)量（3）給定α＝0.05，查表（4）比較和，作出統(tǒng)計(jì)推斷∵（2.83＞1.96）落在拒絕域，∴否定原假設(shè)，實(shí)驗(yàn)條件不正常，即我們有95％把握認(rèn)為接班時(shí)實(shí)驗(yàn)條件有問(wèn)題，存在條件誤差，使測(cè)定值顯著偏低，落在區(qū)間（0.076，0.082）以外，平均值來(lái)自正態(tài)分布的可能性太小，應(yīng)仔細(xì)檢查儀器設(shè)備，試劑及工作環(huán)境等。

2.當(dāng)σ已知時(shí)，兩個(gè)樣本均值的檢驗(yàn)用檢驗(yàn)，可比較兩個(gè)均值和有無(wú)顯著性差別（即兩組樣本是否取自同一總體）。用兩種不同的方法（σ1，σ2）分別測(cè)定兩份試樣中某組分的含量，結(jié)果為和，假設(shè)s1、s2及σ無(wú)顯著性差別，即σ1（=s1）=σ2(s2)=σ，試判斷兩份樣品是否同一樣品。（若判斷與一致，可以確定兩份樣品一致）分析：第一種方法μ1

;第二種方法μ2

假設(shè)解:（1）假設(shè)兩份樣品屬于同一樣品H0：

（2）統(tǒng)計(jì)量

(3--3)此式的來(lái)歷：

令（新變量），相應(yīng)的在中：實(shí)際為∴對(duì)于新變量，轉(zhuǎn)化為求的問(wèn)題，根據(jù)誤差傳遞公式：

則

∴（3）給定顯著性水平α，查表得（附表1，雙尾檢驗(yàn)）（4）統(tǒng)計(jì)推斷

A否定原假設(shè)

B肯定原假設(shè)（p44例2.15）如果用同一方法對(duì)兩份樣品進(jìn)行不同次數(shù)的測(cè)定()，則

（3-4）

(4--4)如果用同一方法對(duì)兩份樣品進(jìn)行相同次數(shù)的測(cè)定，則

(3--5)二、t檢驗(yàn)

p44-47

在處理小樣本試驗(yàn)數(shù)據(jù)時(shí)，為了避免用s代替σ而引入誤差，需用類(lèi)似于正態(tài)分布的分布?！喈?dāng)總體差σ未知，且為小樣本測(cè)定時(shí)，測(cè)定平均值遵從分布，其檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為

（3--6）根據(jù)自由度和α，應(yīng)用t分布表確定拒絕域ω，對(duì)平均值進(jìn)行檢驗(yàn)。

1.

對(duì)原假設(shè)H0：的檢驗(yàn)（平均值與真值是否一致的檢驗(yàn)）步驟同u檢驗(yàn)：（1）H0：（2）計(jì)算統(tǒng)計(jì)量（3）由f,α，查分布表得值（p166，附表2）（4）比較判斷:，否定原假設(shè)；，接受原假設(shè)

例3-2某鋼廠從以往的生產(chǎn)數(shù)據(jù)中知道，在生產(chǎn)正常的情況下，鋼水中平均含碳量為4.55，某一工作日抽查了5爐鋼水，測(cè)定含碳量分別為4.28，4.40，4.42，4.35，4.37，問(wèn)鋼水中平均含碳量有無(wú)變化？分析：這是一個(gè)雙尾檢驗(yàn)，即不管這一工作日的平均含C量是否高于或低于正常情況，均認(rèn)為有系統(tǒng)誤差存在。

解:（1）H0：（）（2）∵∴

（3）選取顯著性水平α＝0.05，f＝4，查附表2（p166）得

（4）統(tǒng)計(jì)推斷

∵

∴否定原假設(shè)，說(shuō)明這一天生產(chǎn)的鋼水平均含碳量與正常生產(chǎn)的鋼水平均含碳量有顯著性差異，從而提醒管理人員，這一天生產(chǎn)出現(xiàn)了異常情況，應(yīng)進(jìn)一步查明原因，采取措施，改進(jìn)生產(chǎn)。p45-46例2.16例3-3某鐵礦砂Fe2O3含量的給定值為38.91％，一批鐵礦砂實(shí)驗(yàn)室驗(yàn)收的結(jié)果是38.71，38.90，38.62，38.74％，試判斷此礦砂是否合格？解：分析：設(shè)以來(lái)說(shuō)明送來(lái)礦砂的合格性，即≥38.91％才是合格的，屬單尾檢驗(yàn)。（1）H0：（μ＝38.91％）當(dāng)時(shí)否定原假設(shè)，當(dāng)時(shí)接受原假設(shè)。p43（2）選定統(tǒng)計(jì)量∵

∴

（3）選定顯著性水平α＝0.05，f＝4-1，屬單尾檢驗(yàn)查雙尾表2α，得，拒絕域在小于或等于的區(qū)域（4）∵

（－2.91＜－2.35）∴否定原假設(shè)H0，即此批礦砂不合格，拒收或殺價(jià)。

例3-4某化工廠生產(chǎn)一種無(wú)機(jī)物產(chǎn)品，在生產(chǎn)工藝改進(jìn)前，產(chǎn)品中雜質(zhì)含鐵量為0.15％，經(jīng)過(guò)生產(chǎn)工藝改進(jìn)后，抽查產(chǎn)品，測(cè)得含鐵量為0.12，0.14，0.13，0.13，0.14％。問(wèn)經(jīng)過(guò)工藝改進(jìn)后，產(chǎn)品中的雜質(zhì)含鐵量是否有明顯降低？解:分析：本題要求工藝改進(jìn)后，雜質(zhì)含鐵量應(yīng)明顯低于改進(jìn)前，即樣本的平均值，屬單尾檢驗(yàn)。

H0：（μ＝0.15％），當(dāng)

時(shí)否定原假設(shè)，當(dāng)接受原假設(shè)p43

檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量∵∴當(dāng)α＝0.05，f＝5-1，屬單尾檢驗(yàn)，查雙尾表2α，得，拒絕域在大于的區(qū)域∵（－4.8＜－2.13）

∴肯定原假設(shè)，即經(jīng)過(guò)工藝改進(jìn)后，雜質(zhì)含鐵量有明顯降低。

2.兩個(gè)樣本均值的比較不同分析人員，不同實(shí)驗(yàn)室用同一種方法測(cè)定從同一總體中抽出的樣本的平均值，或同一分析人員用不同的方法測(cè)定從同一總體中抽出的樣本的平均值一般是不相等的，造成不相等的原因可能是：兩個(gè)平均值之間實(shí)際上無(wú)顯著差異，只是有限次測(cè)定中由于隨機(jī)誤差的影響，使其平均值有些波動(dòng)（無(wú)顯著性差異）。各測(cè)定平均值之間確有顯著性差異。（試驗(yàn)條件的變化顯著大于隨機(jī)因素的影響）上述兩種情況可能在直觀上不易判別，要通過(guò)檢驗(yàn)確定。這涉及到兩個(gè)平均值之間的比較問(wèn)題，用檢驗(yàn)可以較好地解決這個(gè)問(wèn)題。

從統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)的角度上看，檢驗(yàn)和是否同屬于一總體，這兩個(gè)平均值的任一個(gè)都不能視為真值，進(jìn)行統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)時(shí)，二者的誤差均要考慮，要用到并和方差。樣品均值和之間t的檢驗(yàn)：p45分析：當(dāng)和的σ是未知，但由樣本值可得和，首先檢驗(yàn)和有無(wú)顯著性差異（經(jīng)F檢驗(yàn)－以后講到），若無(wú)顯著性差異，則用并和方差

(用加權(quán)平均法求出一個(gè)共同的平均標(biāo)準(zhǔn)差p45)

∴（3--7）

上式中，－權(quán)重步驟：提出統(tǒng)計(jì)假設(shè)H0：檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量（3--8）計(jì)算、、、、，將代入上式，計(jì)算統(tǒng)計(jì)量

（3--9）根據(jù)顯著性水平α和自由度，查雙尾表得統(tǒng)計(jì)推斷若肯定原假設(shè)若否定原假設(shè)例3-5有甲、乙兩分析人員用同一分析方法測(cè)定某試樣中CO2的含量（％），結(jié)果如下：甲14.71，14.81，15.59，15.15s1=0.48乙

14.62，15.03，15.16s2=0.29

試確定兩人的測(cè)定結(jié)果是否一致？

解：（1）H0：μ1＝μ2

由樣本值得到

s1=0.48s2=0.29

假設(shè)經(jīng)過(guò)F檢驗(yàn)：σ1＝σ2，即用s1、s2估計(jì)的σ1和σ2無(wú)顯著性差異，可用并合標(biāo)準(zhǔn)差?！啵?）由α＝0.05，，查表（p166，附表2）得（4）統(tǒng)計(jì)推斷∵∴接受原假設(shè)，兩人的分析結(jié)果是一致的。既然二人結(jié)果一致，可用加權(quán)平均值和并合標(biāo)準(zhǔn)差表示測(cè)定結(jié)果，即在式中，若，兩個(gè)樣本容量相同，則上式變?yōu)?/p>

（3-10）如果，，則，上式變?yōu)?/p>

（3--11）

可見(jiàn)，對(duì)于原假設(shè)的檢驗(yàn)（即平均值與標(biāo)準(zhǔn)值比較）是兩平均值比較的一個(gè)特例。若將所擬定的分析方法的結(jié)果與某一標(biāo)準(zhǔn)方法的結(jié)果對(duì)照，就成為方法可行性檢驗(yàn)。3.檢驗(yàn)對(duì)比性試驗(yàn)結(jié)果－對(duì)子分析（配對(duì)試驗(yàn)設(shè)計(jì)法）p47

是平均值比較的一種特例。如：兩種分析方法兩個(gè)分析人員→分析同一來(lái)源的樣品→比較方法，人員、儀器之間是否存在系統(tǒng)誤差。兩種分析儀器把一定比例的試樣送上一級(jí)分析室進(jìn)行外檢，于是送檢的每個(gè)試樣都有兩個(gè)數(shù)據(jù)，一個(gè)是送檢單位測(cè)得的，一個(gè)是外檢測(cè)得的，這樣，若“對(duì)子”之間差別很小，可認(rèn)為送檢單位的分析結(jié)果質(zhì)量是合格的。新建方法與標(biāo)準(zhǔn)方法的比較，用對(duì)子分析進(jìn)行檢驗(yàn)成對(duì)樣品不是相互獨(dú)立的，成對(duì)測(cè)定的特點(diǎn)是：除了被比較的因素以外，所有其它方面的條件是相同的，不存在顯著性差異。

進(jìn)行對(duì)子分析時(shí)，若兩者之間不存在系統(tǒng)誤差，對(duì)子之間差值的期望值，所以，如果分析中不存在系統(tǒng)誤差，各對(duì)結(jié)果之差(，，…）則為隨機(jī)變量，當(dāng)測(cè)定對(duì)子數(shù)時(shí)，（表示△與0一致）；若有限，則應(yīng)與0無(wú)顯著性差異。步驟：（1）H0：（各組實(shí)驗(yàn)結(jié)果差別不大，則與0無(wú)顯著性差異）（2）計(jì)算統(tǒng)計(jì)量（3--12）

∵

∴（3--13）上式中：－兩個(gè)試驗(yàn)結(jié)果之差值；－配對(duì)數(shù)值的差值之平均值；＜△＞－配對(duì)數(shù)值的差值之期望值；－配對(duì)數(shù)值的差值的標(biāo)準(zhǔn)差。（3）由顯著性水平α和自由度（n－對(duì)子數(shù)），查t值表得（4）統(tǒng)計(jì)推斷若，肯定（接受）原假設(shè)若，否定（拒絕）原假設(shè)例3-6某實(shí)驗(yàn)室建立了一個(gè)在過(guò)氧化氫存在下水楊醛肟顯色測(cè)定錳的新方法，為了檢驗(yàn)新方法的可靠性，用此方法與原用的KIO4法對(duì)若干試樣進(jìn)行了對(duì)比性測(cè)定，結(jié)果如下：樣號(hào)KIO4法（％）水楊醛肟法（％）差值（Δ%）10.030.04+0.0120.080.07-0.0130.080.080.0040.050.07+0.0250.100.08-0.0260.150.150.0070.040.040.0080.080.10+0.02試從以上測(cè)定結(jié)果評(píng)價(jià)新方法的可靠性。分析：本例除不同的分析方法外，還有不同試樣組成的影響。若仍用分組試驗(yàn)法處理數(shù)據(jù)，則分析方法和試樣組成兩個(gè)因素混雜在一起，難以區(qū)分。若采用配對(duì)試驗(yàn)法處理數(shù)據(jù)，由于每一對(duì)試驗(yàn)所用的是同一組成的試樣，則測(cè)定結(jié)果的差異只反映了兩分析方法間的差異。顯然，如果兩分析方法無(wú)系統(tǒng)誤差，當(dāng)n無(wú)限多時(shí)，則兩方法測(cè)定值之間差值的平均值應(yīng)為0。若在有限次測(cè)定中，兩方法測(cè)定值之間差值的平均值雖不一定為0，但與0應(yīng)無(wú)顯著差異。（1）H0：()（2）

∵∴（3）本例為雙尾檢驗(yàn)。由α＝0.05，查表得（4）比較∵∴接受原假設(shè)，兩分析方法測(cè)定結(jié)果一致，該方法可靠。

例3-7見(jiàn)p47例2.18

第三節(jié)關(guān)于總體方差σ2的檢驗(yàn)在上節(jié)中，對(duì)于總體均值的統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)，都是在總體方差基本穩(wěn)定一致的情況下進(jìn)行的，即檢驗(yàn)平均值與總體均值是否一致的問(wèn)題。但是，有些情況首先需要檢驗(yàn)方差是否穩(wěn)定的問(wèn)題，方差的大小反映了測(cè)定結(jié)果的精密度，是衡量試驗(yàn)條件穩(wěn)定性的一個(gè)重要標(biāo)志，這就涉及到總體方差的檢驗(yàn)。方差檢驗(yàn)對(duì)于指導(dǎo)生產(chǎn)和科研有著重要的意義。

一、樣本方差與一已知值（標(biāo)準(zhǔn)方差）的檢驗(yàn)

----檢驗(yàn)1.分布若為遵從正態(tài)分布的隨機(jī)變量的樣本值（樣本容量為），其樣本方差為，則為按分布的變量：～(3--14)

卡方分布是由正態(tài)分布派生出來(lái)的一個(gè)分布，它的概率密度函數(shù)：

(3--15)

為咖瑪函數(shù),分布概率密度曲線如下圖。

分布的特點(diǎn)：

＞0

；不對(duì)稱(chēng)（無(wú)對(duì)稱(chēng)軸）；分布與自由度有關(guān)，自由度越大，圖形越對(duì)稱(chēng)。

分布在不同顯著性水平α與不同自由度時(shí)的值由附表4（p449）給出，分布表中給出的概率是指的概率，即圖中陰影部分。

2.檢驗(yàn)由上述可知，若以作為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，對(duì)假設(shè)的檢驗(yàn)，稱(chēng)為檢驗(yàn)。檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量

(3--16)(1)雙尾檢驗(yàn)AH0：B計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量C給定顯著性水平α(一般定為0.10)，查臨界值表得或D統(tǒng)計(jì)推斷若或否定原假設(shè)

若接受原假設(shè)

α/2α/2

1－2×α/2（2）單尾檢驗(yàn)AH0：或B計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量C給定顯著性水平α，查臨界值表得或D統(tǒng)計(jì)推斷對(duì)于H0：；若

接受原假設(shè)，如下左圖

對(duì)于H0：；若接受原假設(shè)，如下右圖α1－α1－α(因?yàn)榈呐R界值表是單尾表，給出不同自由度f(wàn)

和概率下的臨界值)

例3-8某鋼廠生產(chǎn)的鐵水中含C量，正常生產(chǎn)情況下服從正態(tài)分布N(4.55，0.102)。某一生產(chǎn)日抽測(cè)了10爐鐵水，測(cè)得含C量為：4.53，4.66，4.55，4.50，4.48，4.62，4.42，4.57，4.54，4.58，試問(wèn)這一天生產(chǎn)的鐵水中含C量的總體方差是否正常？解

:H0：

σ＝0.10

∴

給定α＝0.10，查表得（雙尾檢驗(yàn)）

∵∴肯定原假設(shè)，說(shuō)明方差是正常的。注此題也可進(jìn)行單尾檢驗(yàn)

H0：

給定α＝0.10，查表得∵∴肯定原假設(shè)。二、兩總體方差比較的檢驗(yàn)－F檢驗(yàn)1.F分布p38

若，和分別遵從正態(tài)分布

和的兩個(gè)樣本，且兩樣本相互獨(dú)立，兩樣本的均值和方差分別為

因?yàn)榕c分別遵從自由度為與的分布，若假設(shè)H0：成立，則二者的估計(jì)值和的比值F服從第一自由度與第二自由度的F

分布，即統(tǒng)計(jì)量稱(chēng)為原假設(shè)H0的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量。

F分布的概率密度函數(shù)為p39：

(3-17)式中Γ（f）為伽瑪函數(shù)。F分布只取決于計(jì)算方差和的自由度和。F分布的概率密度函數(shù)示意圖如下。圖3-6F分布的概率密度函數(shù)示意圖

F分布的一個(gè)重要性質(zhì)為：

F分布的特點(diǎn)：不對(duì)稱(chēng)；F＞0；分布與自由度f(wàn)1、f2有關(guān)。F分布在不同顯著性水平α與不同自由度f(wàn)1、f2組合時(shí)的概率值可由附表3（p169）查出。F分布表中給出的概率是,即上圖中陰影部分。復(fù)習(xí)

1.雙尾檢驗(yàn)（雙邊檢驗(yàn)）p42正態(tài)分布兩側(cè)的檢驗(yàn)，叫雙尾檢驗(yàn)。如H0

：，即只要與μ有顯著性差異。無(wú)論高于或低于標(biāo)準(zhǔn)值，都應(yīng)判為異常，否定原假設(shè)（或H0：）。若查單尾表，給定α，查，如查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表—z分布表（p166，附表2）或F分布表（p169，附表3）查雙尾表，給定α查α，如查t分布表（p166，附表2）2.單尾檢驗(yàn)（單邊檢驗(yàn)）（1）右邊檢驗(yàn)（圖a）：如H0：或H0：（2）左邊檢驗(yàn)（圖b）：如H0：或H0：若查單尾表，給定α查α，如查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表—z分布表（p166，附表2）或F分布表（p169，附表3）查雙尾表，給定α查2α，如查t分布表（p166，附表2）2.F檢驗(yàn)若以F作為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，對(duì)假設(shè)的檢驗(yàn)，稱(chēng)為F檢驗(yàn)。其步驟為（1）H0：（2）計(jì)算統(tǒng)計(jì)量（3-18）（規(guī)定分布在右邊F＞0，大方差作分子，小方差作分母，故F≥1）（3）給定α，查F的臨界值（，）（4）統(tǒng)計(jì)推斷

若

否定原假設(shè)

若(或

)

接受原假設(shè)F分布的雙邊檢驗(yàn)：

圖3-7F分布的概率密度示意圖（雙邊檢驗(yàn)）附表3(p169)的F分布是供單尾檢驗(yàn)用的，因?yàn)槭且栽囼?yàn)誤差的方差為標(biāo)準(zhǔn)，與之比較其它方差，通常都大于（或等于）試驗(yàn)方差，故當(dāng)選定α＝0.05，則所作判斷的置信水平為a＝1－α＝0.95＝95％。但實(shí)際比較兩組數(shù)據(jù)的方差常為雙尾檢驗(yàn)，所以，對(duì)于雙尾檢驗(yàn)，若選定α＝0.05，最后作統(tǒng)計(jì)推斷的置信水平為1－2×α＝0.90＝90％，或說(shuō)顯著性水平為2α＝0.10。p48例2.19例3-9用原子吸收光譜法和吸光光度法同時(shí)測(cè)定某試樣中的鉬，各進(jìn)行了10次測(cè)定，前者測(cè)定的方差為6.5×10－4，后者測(cè)定的方差為8.0×10－4，試由精密度考慮，以選取哪一個(gè)測(cè)定方法合適？解:分析：要檢驗(yàn)兩個(gè)方法之方差是否有顯著性差異，而不管哪一個(gè)比另一個(gè)大或小，都認(rèn)為有顯著性差異,雙尾檢驗(yàn)。H0：給定α＝0.10，本題是一個(gè)雙尾檢驗(yàn)，查單尾表得∵∴肯定原假設(shè)，即兩種方法的總體方差無(wú)顯著性差別，從統(tǒng)計(jì)角度看，選用哪一種方法都可以。此題也可以用單尾檢驗(yàn)。H0：（備擇假設(shè)H1：）

給定α＝0.10，單尾檢驗(yàn)，查單尾表得

∵∴否定原假設(shè)，兩方法的精密度一致，任選一種方法即可。例3-10用新舊兩種工藝冶煉某種金屬，分別用兩種冶煉工藝生產(chǎn)的產(chǎn)品中抽樣，測(cè)定產(chǎn)品中的雜質(zhì)含量（％），結(jié)果如下：舊工藝：2.69，2.28，2.57，2.30，2.23，2.45，2.51，2.42，2.61，2.64，2.72，3.02，2.95；新工藝2.26，2.25，2.06，2.35，2.43，2.19，2.06，2.32，2.34試問(wèn)新工藝是否比舊工藝生產(chǎn)更穩(wěn)定？

解H0：（備擇假設(shè)H1：）∵

∴給定α＝0.10，雙尾檢驗(yàn)，查單尾表得∵∴否定原假設(shè)，接受備擇假設(shè)H1，即新工藝比舊工藝穩(wěn)定。

第四節(jié)可疑數(shù)據(jù)的取舍

p16-20一、判斷異常值的原則離群值：在一組測(cè)定值中，個(gè)別測(cè)定值比其余測(cè)定值明顯偏大或偏小，此測(cè)定值為離群值。產(chǎn)生的原因：測(cè)定