小學(xué)奧數(shù)行程模塊-動點(diǎn)問題

動點(diǎn)動圖綜合

9??）模塊一單一動點(diǎn)問題

----------------------知識剖析^

動點(diǎn)問題題目創(chuàng)新性比較強(qiáng)，對學(xué)生綜合素質(zhì)要求比較高，主要考察學(xué)生的動態(tài)思維，是小

學(xué)階段幾何問題當(dāng)中的難點(diǎn)，解決動點(diǎn)問題，具體步驟為：

?分析全過程：對運(yùn)動的點(diǎn)進(jìn)行全局的把握，分析是否存在多種情況；

?抓住特殊位置：主要有起始位置，結(jié)束位置，以及拐點(diǎn)位置；

?數(shù)形結(jié)合解題：注意方程法在解動點(diǎn)問題過程中的運(yùn)用.

例：如圖正方形池塘ABCC的邊長為2m,小蝌蚪P從A點(diǎn)出發(fā)，沿著/-8TCTDT4的

3

方向游動，每秒游動Im,問小蝌蚪與池塘的A兩個角圍成的三角形APO的面積為

時，小蝌蚪P游動了幾秒鐘？

解：當(dāng)小蝌蚪尸位于A點(diǎn)時，A,P,。位于同一條直線，當(dāng)小蝌蚪P從A點(diǎn)向B點(diǎn)游動時

APZ）的面積逐漸增大，當(dāng)小蝌蚪P游動至B點(diǎn)時，S,ft4θ=；XADXAB=gx2X2=2π√,

即：當(dāng)小蝌蚪P在AB上時，存在一點(diǎn)B,使得三角形以。的面積=51/

APlB

設(shè)AP/的長度為X米

113

貝jl—XAR×AD=-×x×2=-

2122

3DC

解得

此時小蝌蚪尸游動了=÷1==秒

22

..........y???.知識剖析*<?g??g,-

當(dāng)小蝌蚪P位于BC上時，三角形PAD的面積恒為2π?,當(dāng)小蝌蚪P位于。點(diǎn)時，A,P,

。位于同一條直線，即當(dāng)小蝌蚪尸在CQ上時，存在一點(diǎn)P2,使得三角形外。的面積=∕m2

設(shè)。P2的長度為X米

113

貝ij—χθg×AD=-×x×2=-

解得廣；3

3Q

此時小蝌蚪P游動的總路程為2×3-?=-m

22

,,99.

時間為7÷I=G秒

22

3QO

答：當(dāng)三角形APO的面積為^m2時，小蝌蚪P游動了耳秒或者J秒.

例1

-1---

如圖，正方形的邊長為4,尸為正方形邊上一動點(diǎn)，運(yùn)動路線是AτOτCτ3τA,設(shè)P點(diǎn)

經(jīng)過的路程為X,以點(diǎn)A、尸、。為頂點(diǎn)的三角形的面積是y,則下列圖像能大致反應(yīng)y與X

的關(guān)系的是（）.（如果P的運(yùn)動路線是。TeTBTA呢？）

BC

D

命練一練

如圖，三個大小相同的正方形拼成六邊形ABCDEF,一動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿著

A-B-C-OTE方向勻速運(yùn)動，最后到達(dá)點(diǎn)E.運(yùn)動過程中aPEF的面積(S)隨時間(D

變化的圖像大致是().

['例2

已知動點(diǎn)P以每秒2cm的速度沿圖甲所示的邊框，按從B=C=O=Enf=A的路徑移動,

△ABP的面積S關(guān)于尸點(diǎn)移動時間f的圖像如圖所示，若AB=6cm,試回答下列問題：

(1)動點(diǎn)P在線段_________上運(yùn)動的過程中AABP的面積S保持不變.

(2)BC=cm；CD=cm；DE=cm；EF=cm；

(3)求出圖乙中的。與〃的值.

S

D10

O

BC469

圖甲圖乙

/,練一練

如圖1所示的邊框關(guān)于直線I對稱，一動點(diǎn)P沿著A=B=C=O=E=F=G="的路徑移動,

圖2良小PH的面積關(guān)于P點(diǎn)移動時間/(秒)的關(guān)系圖，已知AH的長度為IOcm,回答

以下問題.

(I)AB=cm；CD=cm；DE=cm；FG=cm.

(2)尸點(diǎn)的移動速度是.

(3)當(dāng)尸點(diǎn)移動至線段EF中點(diǎn)時，求三角形APH的面積.

(4)把圖2補(bǔ)充完整.

，太例3

如圖，正方形48C。的邊長為2厘米，點(diǎn)E是CO的中點(diǎn)，正方形ABC。邊上的一動點(diǎn)P

從點(diǎn)A出發(fā)，沿ATBTCTE方向運(yùn)動，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動路程為X厘米，探究：

（1）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到與點(diǎn)8重合，三角形APE的面積為；

（2）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到與點(diǎn)C重合時，三角形APE的面積為；

4

（3）在正方形ABC。的邊上是否存在點(diǎn)P,使三角形APE的面積為§平方厘米？若存在求

出X的值；若不存在，請說明理由.

M練一練

b―――

如下圖，一只螞蟻以1厘米/秒的速度沿著邊長為4厘米的正方形ABCD的邊按A-D-C-B-A

的方向走了一圈.當(dāng)它走了，秒時到達(dá)P處.當(dāng)仁時，以A、P、C為頂點(diǎn)的三角

形面積等于2平方厘米.

4、JI4

如圖，四邊形ABCf）是平行四邊形，點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，沿A。-。C-CB勻速運(yùn)動，運(yùn)動速度

為1厘米/秒，當(dāng)運(yùn)動時間為0-4秒時，△%B的面積逐漸增大；當(dāng)運(yùn)動時間為4—9秒

時，△布B的面積恒為7.5平方厘米，當(dāng)運(yùn)動時間為9-13秒，△以B的面積逐漸減少.

（1）求這個平行四邊形的面積和周長.

(2)連接80,若與AP交于M點(diǎn)，當(dāng)APBM的面積與AABM的面積比值為2:3時,

求點(diǎn)P的運(yùn)動時間.

》練一練

如圖，四邊形ABC。是平行四邊形，點(diǎn)尸從A點(diǎn)出發(fā)，沿AQ-DC-CB勻速運(yùn)動，運(yùn)動速

度為1厘米/秒，當(dāng)運(yùn)動時間為0-8秒時，ABAB的面積逐漸增大；當(dāng)運(yùn)動時間為8—18秒

時，△∕?B的面積恒為30平方厘米；當(dāng)運(yùn)動時間為18-26秒時，△以8的面積逐漸減

少.

(1)求這個平行四邊形的面積和周長.

(2)連接8。，若BQ與AP交于M點(diǎn)，當(dāng)APBM的面積與AABM的面積比值為2:3時,

求點(diǎn)P的運(yùn)動時間.

如圖，在長方形A8C。中，A8=8厘米，AO=4厘米.兩動點(diǎn)尸、。同時從點(diǎn)4出發(fā)，沿長

方形的邊按如圖所示的方向，分別以1厘米/秒的速度勻速繞行，當(dāng)運(yùn)動一周回到點(diǎn)A位置

時，兩動點(diǎn)同時停止.則運(yùn)動時間為多少秒時，P、。兩點(diǎn)的連線恰好平分長方形ABC。的

面積？

M練一練

K——

如右圖，在矩形ABCD中，A8=20cm,BC=4cm,點(diǎn)P從A開始沿折線A=BnC=。以

4cm∕s的速度運(yùn)動，點(diǎn)。從C開始沿CO邊以ICmZS的速度運(yùn)動，如果點(diǎn)尸、Q分別從A、

C同時出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)。點(diǎn)時另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為f(s).

(1)，為何值時，四邊形APQO為矩形？

(2)t為何值時，四邊形APQD的面積為60cm2?

D，C

Ap____AB

4\例6

'一

如圖，已知在四邊形ABe。中，AQ平行于BC,ZB=90o,AO=24cm,AB=8cm,

BC=26cm,動點(diǎn)P從A開始沿AD邊向點(diǎn)D以?em/s的速度運(yùn)動，動點(diǎn)。從點(diǎn)C開始沿

CB邊向點(diǎn)8以3cm∕s的速度運(yùn)動，P、Q別從點(diǎn)A、C同時出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)

時另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動的時間為f秒.

(1)當(dāng)「為何值時，四邊形ABQP為矩形？

(2)當(dāng)f為何值時，四邊形PQCZ)為平行四邊形?

(3)當(dāng)t為何值時，四邊形PQCD為等腰梯形？

練一練

在直角梯形中ABe。中，AD=IOcm,BC=30cm,AB=16cm,P從A點(diǎn)沿著4。運(yùn)動，每秒運(yùn)

動ICm,。點(diǎn)從C點(diǎn)出發(fā)沿線段CB上運(yùn)動，每秒運(yùn)動2cm.

(I)Z秒后AP=；DP=；BQ=；Cg

(2)用含，表示48PQ的面積.

(3)多少秒后ABPQ的面積是208cm2?

C隨堂練習(xí)

練習(xí)1.如圖1,在直角梯形ABCD中，動點(diǎn)尸從點(diǎn)B出發(fā)，沿BC=C力運(yùn)動至點(diǎn)。停

止.設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動的路程為X,ZVlBP的面積為y,y關(guān)于X的圖像如圖2所示，則4

BCD的面積是.

y

練習(xí)2.如圖小亮在操場上玩，一段時間沿M=A=B=M的路徑勻速散步，能近似刻畫小亮

到出發(fā)點(diǎn)M的距離y與時間r之間關(guān)系的圖像是（）.

練習(xí)3.如圖，四邊形ABCD是長方形，AB=I2厘米，A。=EZ）=6厘米，小蟲P從A出發(fā),

沿著BnCnO以每秒1厘米的速度移動，小蟲P從4點(diǎn)出發(fā)多少秒后，三角形

APE第一次成為等腰直角三角形？經(jīng)過多少秒后，三角形APE第二次成為等腰直

角三角形？

練習(xí)4.如圖，梯形ABCZ）中，AD∕∕BC,AB<DC,Ao=4cm,BC=I2cm,BD=CD=IOcm,

點(diǎn)E以2cm∕s的速度在線段CB上由C向B運(yùn)動，運(yùn)動的時間為f(s).f為何值時

四邊形ABED與ADEC的面積相等？

練習(xí)5.如圖，正方形ABCD的邊長為6厘米，動點(diǎn)H從Co邊上的中點(diǎn)E出發(fā)沿逆時針方

向以每秒1厘米的速度運(yùn)動，同時正方形ABCD邊上的另一動點(diǎn)尸從A出發(fā)，沿

AnB=C=E的方向以4厘米每秒的速度運(yùn)動，試探究：

(1)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到與點(diǎn)8重合時，三角形APE的面積為多少？

(2)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到與點(diǎn)C重合時，三角形APE的面積為多少？

(3)求動點(diǎn)H與動點(diǎn)P第一次相遇時的時間及相遇的地點(diǎn).

仆思維提升

提升1.已知：三角形ABC是等腰直角三角形，ZA=ZC=450,AS=BC=IO,四邊形E尸為

長方形，點(diǎn)E為邊AC上的一個動點(diǎn).隨著點(diǎn)E的移動，長方形8。E尸的大小在發(fā)

生著變化，設(shè)CF=X.

(1)若設(shè)長方形BDEF的面積為S,請你用含有X的式子表示S；

(2)若長方形的長和寬均為整數(shù)，請求出5=21時的X的值；

(3)請你說明隨著點(diǎn)E的移動，長方形EF的周長不變，并求出這個周長.

提升2.如圖，在長方形ABCZ)中，AB=I8厘米，BC=9厘米.點(diǎn)P沿AB邊從點(diǎn)A開始向點(diǎn)

B以2厘米/秒的速度移動；點(diǎn)Q沿DA邊從點(diǎn)D開始向點(diǎn)A以1厘米/秒的速度移

動，如果P,。兩點(diǎn)同時出發(fā)，用，(秒)表示移動的時間，那么：

(1)如圖1,當(dāng)UI時，ZXQAP的面積是多少？

(2)如圖2,當(dāng)f為何值時，AB的面積等于長方形ABCD的面積的g?

(3)如圖3,P,Q點(diǎn)到達(dá)B,A點(diǎn)后繼續(xù)運(yùn)動，P點(diǎn)到達(dá)C點(diǎn)后都停止運(yùn)動.當(dāng)/為

何值時，線段4。的長等于線段Cp的長的一半？

-Q

圖1圖2圖3

提升3.如圖1,線段AB=20cm,點(diǎn)P沿線段AB自A點(diǎn)向8點(diǎn)以2cm∕s運(yùn)動，同時點(diǎn)。沿

線段BA自B點(diǎn)向A點(diǎn)以3cm∕s運(yùn)動.

(1)幾秒鐘后，P、。兩點(diǎn)相遇？

(2)如圖2,AO=PO=2cm,NPoQ=60。,現(xiàn)點(diǎn)P繞著點(diǎn)。以30。/S的速度順時針旋

轉(zhuǎn)一周后停止，同時點(diǎn)Q沿直線BA自8點(diǎn)向A點(diǎn)運(yùn)動，假若點(diǎn)P、Q兩點(diǎn)也能

相遇，求點(diǎn)Q運(yùn)動的速度.

ApQB

極限挑戰(zhàn)G

挑戰(zhàn)1.在長方形ABeD中，AB=CD=5cm,BC=AD=4cm,動點(diǎn)尸從A點(diǎn)出發(fā)，沿ABCD

的路線運(yùn)動，到。點(diǎn)停止；動點(diǎn)Q從。出發(fā)，沿QaA的路線運(yùn)動到A停止，若

P、。同時出發(fā)，點(diǎn)P的速度為ICm∕s,點(diǎn)。的速度