2023-2024學(xué)年河南省許昌市九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2023-2024學(xué)年河南省許昌市九年級(jí)第一學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題(每小題3分，共30分)

1.下列數(shù)學(xué)經(jīng)典圖形中，是中心對(duì)稱(chēng)圖形的是()

2.點(diǎn)尸(2,-3)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)P的坐標(biāo)是()

A.(2,3)B.(-2,-3)C.(-3,2)D.(-2,3)

3.如圖，在平面內(nèi)將五角星繞其中心旋轉(zhuǎn)180。后所得到的圖案是()

4.將拋物線(xiàn)y=N先向右平移3個(gè)單位，再向上平移4個(gè)單位，得到的拋物線(xiàn)是()

A.y—(尤-3)2+4B.y—(x+3)2+4

C.y=(x-3)2-4D.y=(x+3)2-4

5.若關(guān)于x的一元二次方程(?77-1)N+5X+/"2-4m+3=0的常數(shù)項(xiàng)為0,則機(jī)的值為()

A.1B.3C.1或3D.0

6.近年來(lái)，由于新能源汽車(chē)的崛起，燃油汽車(chē)的銷(xiāo)量出現(xiàn)了不同程度的下滑，經(jīng)銷(xiāo)商紛紛

開(kāi)展降價(jià)促銷(xiāo)活動(dòng).某款燃油汽車(chē)今年3月份售價(jià)為23萬(wàn)元，5月份售價(jià)為16萬(wàn)元.設(shè)

該款汽車(chē)這兩月售價(jià)的月均下降率是x,則所列方程正確的是（）

A.16（1+無(wú)）2=23B.23（1-%）2=16

C.23-23（1-x）2=16D.23（1-2%）=16

7.如圖，把△ABC以點(diǎn)A為中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△相>￡,點(diǎn)2,C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn)。，

E,且點(diǎn)E在8C的延長(zhǎng)線(xiàn)上，連接3。，則下列結(jié)論一定正確的是（）

A./CAE=/BEDB.AB=AEC./ACE=/ADED.CE=BD

8.拋物線(xiàn)y=/+x+c與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)，則c的值為（）

A.」B.—C.-4D.4

44

9.若一個(gè)菱形的兩條對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)分別是關(guān)于X的一元二次方程尤2-10x+m=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，

且其面積為11,則該菱形的邊長(zhǎng)為（）

A.aB,273c-714D-2V14

10.已知Pi（xi,yi）,P2（X2,>2）是拋物線(xiàn)y=ox2+4ax+3是常數(shù)，aWO）上的點(diǎn)，現(xiàn)

有以下四個(gè)結(jié)論：①該拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)x=-2；②點(diǎn)（0,3）在拋物線(xiàn)上；③若

Xl>X2>-2,則—>>2；④若yi=>2,則尤1+無(wú)2=-2,其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

二、填空題（每小題3分，共15分）

11.把方程3%2=5尤+2化為一元二次方程的一般形式是.

12.正方形繞中心至少旋轉(zhuǎn)度后能與自身重合.

13.二次函數(shù)y=-x2-3x+4的最大值是.

14.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)B坐標(biāo)（8,4）,連接。3,將繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)

90°,得到08,則點(diǎn)B'的坐標(biāo)為

15.如圖，拋物線(xiàn)y=/-6x+5與無(wú)軸交于點(diǎn)A,B,與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)。（2,M在拋

物線(xiàn)上，點(diǎn)E在直線(xiàn)上，若/DEB=2ZDCB,則點(diǎn)E的坐標(biāo)

16.解方程：

（1）（2尤-1）2=9；

（2）尤2-4x-1=0.

17.如圖，在方格紙中按要求畫(huà)圖，并完成填空.

（1）畫(huà)出線(xiàn)段OA繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到的線(xiàn)段。8,連接AB；

（2）畫(huà)出與△AOB關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)的圖形，點(diǎn)A的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是C；

（3）填空：NOCB的度數(shù)為.

18.如圖，△ABC中，點(diǎn)E在邊上，AE=AB,將線(xiàn)段AC繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到A尸的位置,

使得/CAF=N8AE,連接EF,EF與AC交于點(diǎn)G.

（1）求證：EF=BC；

(2)若/ABC=65°，ZACB=28°,求/尸GC的度數(shù).

19.如圖，老李想用長(zhǎng)為70m的柵欄，再借助房屋的外墻（外墻足夠長(zhǎng)）圍成一個(gè)矩形羊

圈A8CD并在邊BC上留一個(gè)2m寬的門(mén)（建在EF處，另用其他材料）.

（1）當(dāng)羊圈的長(zhǎng)和寬分別為多少米時(shí)，能?chē)梢粋€(gè)面積為640加2的羊圈？

（2）羊圈的面積能達(dá)到650〃/嗎？如果能，請(qǐng)你給出設(shè)計(jì)方案；如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.

'AlID'

Fc

20.一名運(yùn)動(dòng)員在10m高的跳臺(tái)進(jìn)行跳水，身體（看成一點(diǎn)）在空中的運(yùn)動(dòng)軌跡是一條拋

物線(xiàn)，運(yùn)動(dòng)員離水面OB的高度y（m）與離起跳點(diǎn)A的水平距離尤（m）之間的函數(shù)關(guān)

系如圖所示，運(yùn)動(dòng)員離起跳點(diǎn)A的水平距離為1m時(shí)達(dá)到最高點(diǎn)，當(dāng)運(yùn)動(dòng)員離起跳點(diǎn)A

的水平距離為3m時(shí)離水面的距離為7/77.

（1）求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式；

（2）求運(yùn)動(dòng)員從起跳點(diǎn)到入水點(diǎn)的水平距離的長(zhǎng).

L

、

押

Osae

Btt

21.某水產(chǎn)經(jīng)銷(xiāo)商以每千克30元的價(jià)格購(gòu)進(jìn)一批某品種淡水魚(yú)，由銷(xiāo)售經(jīng)驗(yàn)可知，這種淡

水魚(yú)的日銷(xiāo)售量y（千克）與銷(xiāo)售價(jià)格無(wú)（元/千克）（30Wx<60）存在一次函數(shù)關(guān)系，

部分?jǐn)?shù)據(jù)如表所示：

銷(xiāo)售價(jià)格x（元/千克）5040

日銷(xiāo)售量y（千克）100200

（1）試求出y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式.

（2）設(shè)該經(jīng)銷(xiāo)商銷(xiāo)售這種淡水魚(yú)的日銷(xiāo)售利潤(rùn)為W元，如果不考慮其他因素，求當(dāng)銷(xiāo)

售價(jià)格x為多少時(shí)，日銷(xiāo)售利潤(rùn)W最大？最大的日銷(xiāo)售利潤(rùn)是多少元？

22.閱讀與思考

下面是小宇同學(xué)的數(shù)學(xué)小論文，請(qǐng)仔細(xì)閱讀并完成相應(yīng)的任務(wù).

用函數(shù)觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)一元二次方程根的情況

我們知道，一元二次方程辦2+bx+c=0（a#0）的根就是相應(yīng)的二次函數(shù)>=辦2+6尤+c（a

力0）的圖象（稱(chēng)為拋物線(xiàn)）與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).拋物線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)有三種情況：有

兩個(gè)交點(diǎn)、有一個(gè)交點(diǎn)、無(wú)交點(diǎn).與此相對(duì)應(yīng)，一元二次方程的根也有三種情況：有兩

個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根、有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根、無(wú)實(shí)數(shù)根.因此可用拋物線(xiàn)與無(wú)軸的交點(diǎn)個(gè)

數(shù)確定一元二次方程根的情況.

下面根據(jù)拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)（-4,4ac-b）和一元二次方程根的判別式Am-4ac,

2a4a

分別分a>0和a<0兩種情況進(jìn)行分析：

（1）a>0時(shí)，拋物線(xiàn)開(kāi)口向上.

①當(dāng)△="-4ac>0時(shí)，有4℃-抉<0.?/（z>o,頂點(diǎn)縱坐標(biāo)4a<-2_匕_<0.

4a

...頂點(diǎn)在無(wú)軸的下方，拋物線(xiàn)與尤軸有兩個(gè)交點(diǎn)（如圖1）.

②當(dāng)A-4ac=0時(shí)，W4ac-b2—0.\'a>0,...頂點(diǎn)縱坐標(biāo)④。3_匕_=°.

4a

頂點(diǎn)在X軸上，拋物線(xiàn)與X軸有一個(gè)交點(diǎn)（如圖2）.

...一元二次方程。尤2+法+°=0（qWO）有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根.

③當(dāng)A="-4ac<0時(shí)，

（2）a<0時(shí)，拋物線(xiàn)開(kāi)口向下.

任務(wù)：（1）上面小論文中的分析過(guò)程，主要運(yùn)用的數(shù)學(xué)思想是（從下面選項(xiàng)

中選出兩個(gè)即可）；

A.數(shù)形結(jié)合

B.統(tǒng)計(jì)思想

C.分類(lèi)討論

D.轉(zhuǎn)化思想

(2)請(qǐng)參照小論文中當(dāng)。>0時(shí)①②的分析過(guò)程，寫(xiě)出③中當(dāng)A<0時(shí)，一元二

次方程根的情況的分析過(guò)程，并畫(huà)出相應(yīng)的示意圖；

(3)實(shí)際上，除一元二次方程外，初中數(shù)學(xué)還有一些知識(shí)也可以用函數(shù)觀點(diǎn)來(lái)認(rèn)識(shí).例

如：可用函數(shù)觀點(diǎn)來(lái)認(rèn)識(shí)一元一次方程的解.請(qǐng)你再舉出一例

為.

Ml圖2

23.如圖，在中，AC=BC=3&，點(diǎn)。在A8邊上，連接C。，將CC繞點(diǎn)C逆時(shí)

針旋轉(zhuǎn)90°得到CE,連接3E,DE.

(1)求證：ACAD名ACBE；

(2)若AO=2時(shí)，求CE的長(zhǎng)；

(3)點(diǎn)。在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，試探究AD2+8Q2的值是否存在最小值，如果存在，求出這

個(gè)最小值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

參考答案

一、選擇題(每小題3分，共30分)

1.下列數(shù)學(xué)經(jīng)典圖形中，是中心對(duì)稱(chēng)圖形的是()

解：A、圖形是中心對(duì)稱(chēng)圖形，符合題意；

8、圖形不是中心對(duì)稱(chēng)圖形，不符合題意；

C、圖形不是中心對(duì)稱(chēng)圖形，不符合題意；

。、圖形不是中心對(duì)稱(chēng)圖形，不符合題意.

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是中心對(duì)稱(chēng)圖形，熟知把一個(gè)圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180。，如果旋轉(zhuǎn)后

的圖形能夠與原來(lái)的圖形重合，那么這個(gè)圖形就叫做中心對(duì)稱(chēng)圖形是解題的關(guān)鍵.

2.點(diǎn)尸(2,-3)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)P的坐標(biāo)是()

A.(2,3)B.(-2,-3)C.(-3,2)D.(-2,3)

【分析】根據(jù)平面直角坐標(biāo)系中任意一點(diǎn)P(x,y),關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是(-尤，-y),

即關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，橫縱坐標(biāo)都變成相反數(shù).

解：點(diǎn)P(2,-3)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)P'的坐標(biāo)是(-2,3).

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的性質(zhì)，正確把握橫縱坐標(biāo)的關(guān)系是解題關(guān)

鍵.

3.如圖，在平面內(nèi)將五角星繞其中心旋轉(zhuǎn)180。后所得到的圖案是()

【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)前后，各點(diǎn)的相對(duì)位置不變，得到的圖形全等，找到關(guān)

鍵點(diǎn)，分析選項(xiàng)可得答案.

解：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)前后，各點(diǎn)的相對(duì)位置不變，得到的圖形全等，五角星圖案

繞中心旋轉(zhuǎn)180。后，陰影部分的等腰三角形的頂點(diǎn)向下，得到的圖案是C

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了利用旋轉(zhuǎn)設(shè)計(jì)圖案的知識(shí)，圖形的旋轉(zhuǎn)是圖形上的每一點(diǎn)在平面上

繞某個(gè)固定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)固定角度的位置移動(dòng)，其中對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，旋轉(zhuǎn)前后

圖形的大小和形狀沒(méi)有改變.

4.將拋物線(xiàn)y=N先向右平移3個(gè)單位，再向上平移4個(gè)單位，得到的拋物線(xiàn)是（）

A.y=（尤-3）2+4B.y=（尤+3）2+4

C.y=（x-3）2-4D.y=（x+3）2-4

【分析】根據(jù)“左加右減，上加下減”的法則進(jìn)行解得即可.

解：將拋物線(xiàn)y=N先向右平移3個(gè)單位，再向上平移4個(gè)單位，得到的拋物線(xiàn)是

y=（x-3）2+4.

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象與幾何變換，熟記“左加右減，上加下減”的

法則是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

5.若關(guān)于尤的一元二次方程（相-1）x2+5.r+/n2-4m+3—0的常數(shù)項(xiàng)為0,則根的值為（）

A.1B.3C.1或3D.0

【分析】常數(shù)項(xiàng)為零即加-4〃?+3=0,再根據(jù)二次項(xiàng)系數(shù)不等于0,即可求得相的值.

解：根據(jù)題意得：“祥-4"計(jì)3=0,且機(jī)-1W0,

解得：%=3,

即m的值為3,

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了一元二次方程的一般形式，以及一元二次方程的定義，熟練掌握一

元二次方程的定義是解本題的關(guān)鍵.

6.近年來(lái)，由于新能源汽車(chē)的崛起，燃油汽車(chē)的銷(xiāo)量出現(xiàn)了不同程度的下滑，經(jīng)銷(xiāo)商紛紛

開(kāi)展降價(jià)促銷(xiāo)活動(dòng).某款燃油汽車(chē)今年3月份售價(jià)為23萬(wàn)元，5月份售價(jià)為16萬(wàn)元.設(shè)

該款汽車(chē)這兩月售價(jià)的月均下降率是x,則所列方程正確的是()

A.16(1+無(wú))2=23B.23(1-x)2=16

C.23-23(1-x)2=16D.23(1-2x)=16

【分析】首先根據(jù)3月份售價(jià)為23萬(wàn)元，月均下降率是x可得出4月份的售價(jià)為23(1

-x)萬(wàn)元，5月份的售價(jià)為23(1-x)(1-x)=23(1-%)2萬(wàn)元，據(jù)此根據(jù)5月份

售價(jià)為16萬(wàn)元可列出方程，進(jìn)而可得出答案.

解：：3月份售價(jià)為23萬(wàn)元，月均下降率是x,5月份售價(jià)為16萬(wàn)元，

.\23(1-%)2=16.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，理解題意，根據(jù)月均下降率是x表示出5

月份的售價(jià)是解答此題的關(guān)鍵.

7.如圖，把△ABC以點(diǎn)A為中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△AOE,點(diǎn)2,C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn)。，

E,且點(diǎn)E在8C的延長(zhǎng)線(xiàn)上，連接8D,則下列結(jié)論一定正確的是()

A./CAE=NBEDB.AB=AEC./ACE=/ADED.CE=BD

【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得/ABC=NAOE,NBAD=NCAE,由三角形內(nèi)角和定理可得

NBED=ZBAD=ZCAE,

解：如圖，設(shè)AO與BE的交點(diǎn)為O,

??,把△A3C以點(diǎn)A為中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△A0E,

ZABC=NADE,ZBAD=ZCAE9

又「ZAOB=ZDOE,

：.ZBED=NBAD=ACAE,

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

8.拋物線(xiàn)y=N+%+c與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)，則c的值為（）

A.二B.—C.-4D.4

44

【分析】拋物線(xiàn)與尤軸有一個(gè)交點(diǎn)，y=0的方程就有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，根的判別式就

等于0.

解：?..拋物線(xiàn)y=N+x+c與無(wú)軸只有一個(gè)公共點(diǎn)，

方程x2+x+c=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，

A=5-4ac=12-4Xl?c=0,

...c——1.

4

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查方程與二次函數(shù)的關(guān)系，數(shù)形結(jié)合思想是解這類(lèi)題的關(guān)鍵.

9.若一個(gè)菱形的兩條對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)分別是關(guān)于x的一元二次方程x2-10x+m=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，

且其面積為11,則該菱形的邊長(zhǎng)為（）

A.愿B,273c.714D.2714

【分析】先設(shè)出菱形兩條對(duì)角線(xiàn)的長(zhǎng)，利用根與系數(shù)的關(guān)系及對(duì)角線(xiàn)與菱形面積的關(guān)系

得等式，再根據(jù)菱形的邊長(zhǎng)與對(duì)角線(xiàn)的關(guān)系求出菱形的邊長(zhǎng).

解：設(shè)菱形的兩條對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)分別為。、b,

:菱形的面積=兩條對(duì)角線(xiàn)積的一半,

J.—ab=\\即ab=22

2

，由題意，得a+b=10

ab=22

，菱形的邊長(zhǎng)=

=yV（a+b）2-2ab

=-^V100-44

=yx/^56

=V14-

故選：c.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了根與系數(shù)的關(guān)系及菱形的性質(zhì)，掌握菱形對(duì)角線(xiàn)與菱形的面積、

邊長(zhǎng)間的關(guān)系，根與系數(shù)的關(guān)系及等式的變形是解決本題的關(guān)鍵.

10.已知Pi（xi,yi）,Pi（X2,”）是拋物線(xiàn)>=。/+4也+3是常數(shù)，a#0）上的點(diǎn)，現(xiàn)

有以下四個(gè)結(jié)論：①該拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)x=-2；②點(diǎn)（0,3）在拋物線(xiàn)上；③若

xi>X2>-2,則%>”；④若yi=>2,則尤1+無(wú)2=-2,其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【分析】根據(jù)題目中的二次函數(shù)的性質(zhì)，可以判斷各個(gè)小題中的結(jié)論是否正確，從而可

以解答本題.

解：：拋物線(xiàn)尸底+4"+3的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=-冬=-2,

2a

...①正確；

當(dāng)x=0時(shí)，y=3,則點(diǎn)（0,3）在拋物線(xiàn)上，

???②正確；

當(dāng)。>0時(shí)，xi>X2>-2,則yi>”；

當(dāng)。<0時(shí)，xi>X2>-2,則％〈”；

③錯(cuò)誤；

當(dāng)y1=y2,則為+%2=-4,

**?④錯(cuò)誤；

故正確的有2個(gè)，

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解答本題的關(guān)鍵是

明確題意，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答.

二、填空題（每小題3分，共15分）

1L把方程3尤2=5X+2化為一元二次方程的一般形式是3爐-5x-2=0.

【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c^Q（a,b,c是常數(shù)且aWO）,據(jù)此即

可求解.

解：一元二次方程3N=5X+2的一般形式是3N-5x-2=0.

故答案為:3N-5X-2=0.

【點(diǎn)評(píng)】在移項(xiàng)的過(guò)程中容易出現(xiàn)的錯(cuò)誤是忘記變號(hào).

12.正方形繞中心至少旋轉(zhuǎn)—度后能與自身重合.

【分析】正方形是中心對(duì)稱(chēng)圖形，它的對(duì)稱(chēng)中心是兩條對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)，然后根據(jù)旋轉(zhuǎn)角

及旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)圖形的定義作答.

解：V36O04-4=90°,

正方形繞中心至少旋轉(zhuǎn)90度后能和原來(lái)的圖案互相重合.

故答案為：90.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了旋轉(zhuǎn)角的定義及求法，對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線(xiàn)段的夾角叫做旋轉(zhuǎn)

角.

13.二次函數(shù)y=-x2-3x+4的最大值是—今

【分析】將二次函數(shù)解析式變形為頂點(diǎn)式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，即可解決最值問(wèn)題.

解：y=-N-3x+4=-（x+—）2+—.

24

'：a=-KO,

.?.當(dāng)尤=Y時(shí)，y取得最大值，最大值=孕.

24

故答案為：尊.

4

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的最值，牢記“當(dāng)自變量取全體實(shí)數(shù)時(shí)，其最值為拋物線(xiàn)

頂點(diǎn)坐標(biāo)的縱坐標(biāo)”是解題的關(guān)鍵.

14.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)8坐標(biāo)（8,4）,連接將繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)

90°,得到。8,則點(diǎn)夕的坐標(biāo)為（-4,8）

【分析】分別過(guò)點(diǎn)2、B'向無(wú)軸作垂線(xiàn)，垂足分別為V、N.

（方法一）利用A4s證明RtAOMBgRt△夕NO,根據(jù)對(duì)應(yīng)邊相等求解;

（方法二）利用直角形中，互余的兩個(gè)角的三角函數(shù)之間的關(guān)系求解.

解：分別過(guò)點(diǎn)8、B'向x軸作垂線(xiàn)，垂足分別為M、N.

(方法一),:/BOB'=90°,

J.ABOM+AB'ON=90a.

：.ZB'ON=ZOBM.

在Rt/XOMB和RtABzNO中，

'NOMB=NB'NO

?Z0BM=ZByON，

QB=B'0

NO(A4S),

：.B'N=0M=3,ON=BM=4,

...點(diǎn)夕的坐標(biāo)為(-4,8).

(方法二)根據(jù)題意，得OB'=0B=duM'2+BM&=[+“=4A/^.

BM4

sinZBOM=sin(90°-/B'ON)=cosZB'ON愿

OB-4V55，

0M8

-ZB,ON)=sinZB'ON.2反

coscos(90°OB-4V5——5

'ON=4遙義三=4,B'N=OB'-smZB'ON=4、后

：.ON=OB'-cosZB

55

=8.

???點(diǎn)8'的坐標(biāo)為（-4,8）.

故答案為：（-4,8）.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查坐標(biāo)與圖形的變化-旋轉(zhuǎn)，利用圖形之間長(zhǎng)度與角的關(guān)系解題是本題

的關(guān)鍵.

15.如圖，拋物線(xiàn)y=N-6x+5與無(wú)軸交于點(diǎn)A,B,與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)。(2,m)在拋

物線(xiàn)上，點(diǎn)E在直線(xiàn)BC上，若/DEB=2/DCB,則點(diǎn)E的坐標(biāo)是—(蘆，言和

【分析】先根據(jù)題意畫(huà)出圖形，先求出。點(diǎn)坐標(biāo)，當(dāng)E點(diǎn)在線(xiàn)段8c上時(shí)：/DEB是乙

DCE的外角，NDEB=2/DCB,而NDEB=/DCE+NCDE,所以此時(shí)/。CE=/CDE,

有CE=DE,可求出BC所在直線(xiàn)的解析式y(tǒng)=-尤+5,設(shè)E點(diǎn)(a,-a+5)坐標(biāo)，再根

據(jù)兩點(diǎn)距離公式，CE=DE,得到關(guān)于a的方程，求解。的值，即可求出E點(diǎn)坐標(biāo)；當(dāng)

E點(diǎn)在線(xiàn)段CB的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，根據(jù)題中條件,可以證明BG+BD2=DG得到/DBC為

直角三角形，延長(zhǎng)EB至E',取BE'=BE,此時(shí)，ZDE'E=ZDEE=2ZDCB,從而

證明￡'是要找的點(diǎn)，應(yīng)為OC=OB,△OCB為等腰直角三角形，點(diǎn)￡和皮關(guān)于8點(diǎn)

對(duì)稱(chēng)，可以根據(jù)E點(diǎn)坐標(biāo)求出皮點(diǎn)坐標(biāo).

解：根據(jù)。點(diǎn)坐標(biāo)，有根=22-6X2+5=-3,所，以。點(diǎn)坐標(biāo)(2,-3),

設(shè)8C所在直線(xiàn)解析式為y=kx+b,其過(guò)點(diǎn)C(0,5)、B(5,0),

(b=5

15k+b=0，

3C所在直線(xiàn)的解析式為：y=-x+5,

當(dāng)七點(diǎn)在線(xiàn)段上時(shí)，設(shè)E(〃，-〃+5),ZDEB=ZDCE+ZCDE,而/DEB=2N

DCB,

；?/DCE=NCDE,

???CE=DE,

因?yàn)镋(〃，-〃+5),C(0,5),D(2,-3),

有J&2+(-a+5-5)2(a-2)2+[-a+5-(-3)]，

解得：a=丫,,-a+5=[所以E點(diǎn)的坐標(biāo)為：

5555

當(dāng)￡在。3的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，

在△50。中，BD2=(5-2)2+32=18,

5c2=52+52=50,DO=(5+3)2+22=68,

BD2+BUDC2,

：.BD±BC如圖延長(zhǎng)砂至E,取BE=BE,

則有△OEE為等腰三角形，DE=DE,

：.ZDEE'=ZDE,E,

又。：/DEB=2NDCB,

：.ZDEfE=2NDCB,

則E為符合題意的點(diǎn)，

VOC=OB=5,ZOBC=45°,

E'的橫坐標(biāo)：5+（5-■%）縱坐標(biāo)為一I"；

555

綜上E點(diǎn)的坐標(biāo)為：（~^1，提）和（與■,

5555

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)綜合應(yīng)用，熟練掌握一次函數(shù)根二次函數(shù)的圖

象和性質(zhì)，分情況找到E點(diǎn)的位置，是求解此題的關(guān)鍵.

三、解答題(共75分)

16.解方程：

(1)⑵-1)2=9；

(2)x2-4x-1=0.

【分析】(1)把方程兩邊開(kāi)方得到2尤-1=±3,然后解兩個(gè)一次方程即可；

(2)利用配方法得到(x-2)2=5,然后利用直接開(kāi)平方法解方程.

解：(1)(2x-l)』9,

2x-1=±3,

所以無(wú)1=2,尤2=-1;

(2)X2-4x-1=0,

x2-4x—1,

x2-4x+4=5,

(尤-2)』5,

x-2=±b，

所以xi=2+，尤2=2-5-

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解一元二次方程-配方法：熟練掌握用配方法解一元二次方程的步

驟是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.也考查了直接開(kāi)平方法解一元二次方程.

17.如圖，在方格紙中按要求畫(huà)圖，并完成填空.

(1)畫(huà)出線(xiàn)段OA繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到的線(xiàn)段。8,連接A8；

(2)畫(huà)出與△AOB關(guān)于直線(xiàn)02對(duì)稱(chēng)的圖形，點(diǎn)A的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是C；

(3)填空：/0C2的度數(shù)為45°.

【分析】(1)利用網(wǎng)格特點(diǎn)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)畫(huà)出點(diǎn)A的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)8,從而得到

(2)延長(zhǎng)AO到C點(diǎn)使0c=。4,則△COB滿(mǎn)足條件；

(3)先根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到。8=。4,ZA(9B=90°,則可判斷△0A8為等腰直角三角

形，所以/。42=45。，然后利用對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)得到N0C2的度數(shù).

解：(1)如圖，08為所作；

(2)如圖，△C0B為所作；

(3):線(xiàn)段0A繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到的線(xiàn)段08,

；.OB=OA,ZAOB=90°,

:.AOAB為等腰直角三角形，

：.ZOAB=45°,

?；小COB與△A08關(guān)于直線(xiàn)0B對(duì)稱(chēng)，

：.ZOCB^ZOAB^45°.

故答案為：45°.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了作圖-旋轉(zhuǎn)變換：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，對(duì)應(yīng)角都相等都等于旋轉(zhuǎn)

角，對(duì)應(yīng)線(xiàn)段也相等，由此可以通過(guò)作相等的角，在角的邊上截取相等的線(xiàn)段的方法，

找到對(duì)應(yīng)點(diǎn)，順次連接得出旋轉(zhuǎn)后的圖形.也考查了軸對(duì)稱(chēng)變換.

18.如圖，ZsABC中，點(diǎn)E在BC邊上，AE=AB,將線(xiàn)段AC繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到AF的位置，

使得NCAP=NBAE,連接EF,EF與AC交于點(diǎn)G.

(1)求證：EF=BC；

(2)若NABC=65°,ZACB=28°,求/PGC的度數(shù).

F

4c—/

BE

【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AC=AF,利用SAS證明根據(jù)全等三

角形的對(duì)應(yīng)邊相等即可得出EF=BC；

（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理求出/瓦^(guò)=180°-65°X2=

50°,那么NE4G=50°.由得出NP=NC=28°,再根據(jù)三角形外

角的性質(zhì)即可求出NFGC=/E4G+/F=78°.

【解答】（1）證明：

ZBAC=ZEAF.

V將線(xiàn)段AC繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到AF的位置，

：.AC=AF.

在△ABC與中，

，AB=AE

"NBAC=/EAF，

AC=AF

:.△ABCQAAEF（SAS）,

:.EF=BC；

（2）解：'：AB=AE,AABC=65°,

.\ZBA￡=180°-65°X2=50°,

4G=NBAE=50°.

AABC^AAEF,

：.ZF=ZC=2S°,

/.ZFGC=ZFAG+ZF=500+28°=78°.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角

形內(nèi)角和定理以及三角形外角的性質(zhì)，證明AABC會(huì)AAEF是解題的關(guān)鍵.

19.如圖，老李想用長(zhǎng)為10m的柵欄，再借助房屋的外墻（外墻足夠長(zhǎng)）圍成一個(gè)矩形羊

圈A8CD并在邊BC上留一個(gè)2m寬的門(mén)（建在所處，另用其他材料）.

（1）當(dāng)羊圈的長(zhǎng)和寬分別為多少米時(shí)，能?chē)梢粋€(gè)面積為6407層的羊圈？

（2）羊圈的面積能達(dá)到650加2嗎？如果能，請(qǐng)你給出設(shè)計(jì)方案；如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.

IAl7D_1

r-EFC

【分析】(1)根據(jù)BC=柵欄總長(zhǎng)-2AB,再利用矩形面積公式即可求出；

(2)把5=650代入x(72-2x)中函數(shù)解析式中，解方程，取在自變量范圍內(nèi)的值即可.

解：(1)設(shè)矩形4BCD的邊則邊8c=70-2x+2=(72-2x)m.

根據(jù)題意，得無(wú)(72-2x)=640,

化簡(jiǎn)，得N-36x+320=0,

解得xi=16,無(wú)2=20,

當(dāng)尤=16時(shí)，72-2x=72-32=40(m),

當(dāng)x=20時(shí)，72-2x=72-40=32(m).

答：當(dāng)羊圈的長(zhǎng)為40/77,寬為16m或長(zhǎng)為32m,寬為20m時(shí)，能?chē)梢粋€(gè)面積為640/的

羊圈；

(2)答：不能，

理由：由題意，得x(72-2無(wú))=650,

化簡(jiǎn)，得爐-36x+325=0,

A=(-36)2-4X325=-4<0,

???一元二次方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根.

羊圈的面積不能達(dá)到650m2.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找到周長(zhǎng)等量關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵.

20.一名運(yùn)動(dòng)員在10m高的跳臺(tái)進(jìn)行跳水，身體(看成一點(diǎn))在空中的運(yùn)動(dòng)軌跡是一條拋

物線(xiàn)，運(yùn)動(dòng)員離水面OB的高度y(m)與離起跳點(diǎn)A的水平距離尤(m)之間的函數(shù)關(guān)

系如圖所示，運(yùn)動(dòng)員離起跳點(diǎn)A的水平距離為時(shí)達(dá)到最高點(diǎn)，當(dāng)運(yùn)動(dòng)員離起跳點(diǎn)A

的水平距離為3m時(shí)離水面的距離為1m.

(1)求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式；

(2)求運(yùn)動(dòng)員從起跳點(diǎn)到入水點(diǎn)的水平距離的長(zhǎng).

杪

一

跳

臺(tái)

支

柱

【分析】(1)用待定系數(shù)法可得函數(shù)解析式;

（2）結(jié)合（1）,令y=0解得x的值即可.

解：（1）根據(jù)題意可得，拋物線(xiàn)過(guò)（0,10）和（3,7）,對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)尤=1,

設(shè)y關(guān)于尤的函數(shù)表達(dá)式為y=ax1+bx+c,

'c=10

.9a+3b+c=7

??s,

b《

------=1

2a

'a=-l

解得：，b=2,

.c=10

關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式為y=-N+2r+]o；

（2）在y=-N+Zx+lO中，令y=0得0=-N+2X+10,

解得尤=JTI+i或x=-Til+i（舍去），

???運(yùn)動(dòng)員從起跳點(diǎn)到入水點(diǎn)的水平距離OB的長(zhǎng)為（JI1+1）米.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，能將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)

問(wèn)題解決.

21.某水產(chǎn)經(jīng)銷(xiāo)商以每千克30元的價(jià)格購(gòu)進(jìn)一批某品種淡水魚(yú)，由銷(xiāo)售經(jīng)驗(yàn)可知，這種淡

水魚(yú)的日銷(xiāo)售量y（千克）與銷(xiāo)售價(jià)格x（元/千克）（30W尤＜60）存在一次函數(shù)關(guān)系，

部分?jǐn)?shù)據(jù)如表所示：

銷(xiāo)售價(jià)格x（元/千克）5040

日銷(xiāo)售量y（千克）100200

（1）試求出y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式.

（2）設(shè)該經(jīng)銷(xiāo)商銷(xiāo)售這種淡水魚(yú)的日銷(xiāo)售利潤(rùn)為W元，如果不考慮其他因素，求當(dāng)銷(xiāo)

售價(jià)格x為多少時(shí)，日銷(xiāo)售利潤(rùn)W最大？最大的日銷(xiāo)售利潤(rùn)是多少元？

【分析】（1）設(shè)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=fcv+b,由表中數(shù)據(jù)即可得出結(jié)論；

（2）根據(jù)每日總利潤(rùn)=每千克利潤(rùn)義銷(xiāo)售量列出函數(shù)解析式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求最值即

可.

解：（1）設(shè)y關(guān)于尤的函數(shù)表達(dá)式為（左/0）.

f50k+b=100

將x=50,y=100和x=40,y=200分別代入，得:

140k+b=200,

fk=-10

解得:

lb=600

.'.y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式是:y=-10x+600.

（2）W=（x-30）（-lOx+600）=-10x2+900.r-18000.

當(dāng)x=-2毀=45時(shí)，在30Wx<60的范圍內(nèi)，W取到最大值，最大值是2250.

-20

答：銷(xiāo)售價(jià)格為每千克45元時(shí)，日銷(xiāo)售利潤(rùn)最大，最大日銷(xiāo)售利潤(rùn)是2250元.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查一次函數(shù)、二次函數(shù)的應(yīng)用，關(guān)鍵是根據(jù)等量關(guān)系寫(xiě)出函數(shù)解析式.

22.閱讀與思考

下面是小宇同學(xué)的數(shù)學(xué)小論文，請(qǐng)仔細(xì)閱讀并完成相應(yīng)的任務(wù).

用函數(shù)觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)一元二次方程根的情況

我們知道，一元二次方程aN+bx+c=0（aWO）的根就是相應(yīng)的二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a

。0）的圖象（稱(chēng)為拋物線(xiàn)）與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).拋物線(xiàn)與無(wú)軸的交點(diǎn)有三種情況：有

兩個(gè)交點(diǎn)、有一個(gè)交點(diǎn)、無(wú)交點(diǎn).與此相對(duì)應(yīng)，一元二次方程的根也有三種情況：有兩

個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根、有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根、無(wú)實(shí)數(shù)根.因此可用拋物線(xiàn)與無(wú)軸的交點(diǎn)個(gè)

數(shù)確定一元二次方程根的情況.

下面根據(jù)拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)（-與,4ac-b）和一元二次方程根的判別式△=吩-4ac,

2a4a

分別分a>0和a<0兩種情況進(jìn)行分析：

（1）a>0時(shí)，拋物線(xiàn)開(kāi)口向上.

①當(dāng)A=〃-4℃>0時(shí)，W4ac-b2<0,,：a>0,.?.頂點(diǎn)縱坐標(biāo)駟*￡<0.

4a

???頂點(diǎn)在1軸的下方，拋物線(xiàn)與％軸有兩個(gè)交點(diǎn)（如圖1）.

②當(dāng)A=b2-4ac=0時(shí)，有4ac-b2=o.?.?cz>0,頂點(diǎn)縱坐標(biāo)