第05講 拓展一：利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題（原卷版）

第05講拓展一：利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題一、知識點歸納1、分離參數(shù)法用分離參數(shù)法解含參不等式恒成立問題，可以根據(jù)不等式的性質(zhì)將參數(shù)分離出來，得到一個一端是參數(shù)，另一端是變量表達式的不等式；步驟：①分類參數(shù)（注意分類參數(shù)時自變量的取值范圍是否影響不等式的方向）②轉(zhuǎn)化：若)對恒成立，則只需；若對恒成立，則只需．③求最值.2、分類討論法如果無法分離參數(shù)，可以考慮對參數(shù)或自變量進行分類討論求解，如果是二次不等式恒成立的問題，可以考慮二次項系數(shù)與判別式的方法(，或，)求解．3、等價轉(zhuǎn)化法當(dāng)遇到型的不等式恒成立問題時，一般采用作差法，構(gòu)造“左減右”的函數(shù)或者“右減左”的函數(shù)，進而只需滿足，或者，將比較法的思想融入函數(shù)中，轉(zhuǎn)化為求解函數(shù)的最值的問題.二、題型精講方法一：分離變量法1．（2023上·北京通州·高三統(tǒng)考期中）已知函數(shù).(1)求曲線在點處的切線方程；(2)求的極值；(3)若對于任意，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.2．（2023下·山東淄博·高二?？茧A段練習(xí)）（1）已知對于恒成立，求實數(shù)的取值范圍；（2）已知函數(shù)，若不等式在R上恒成立，試求a的取值范圍.3．（2023下·重慶永川·高二重慶市永川北山中學(xué)校校考階段練習(xí)）已知函數(shù)，，k為常數(shù)，e是自然對數(shù)的底數(shù)．(1)當(dāng)時，求的極值；(2)若，且對于任意，恒成立，試確定實數(shù)k的取值范圍．4．（2023上·廣東佛山·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍．5．（2023上·廣東梅州·高三?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，是上的奇函數(shù)，當(dāng)時，取得極值．(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極大值；(2)若對任意，都有成立，求實數(shù)的取值范圍；方法二：分類討論法1．（2023·高二?？颊n時練習(xí)）已知不等式對任意恒成立，則實數(shù)的最大值是.2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)，若當(dāng)時，求的取值范圍．3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)若恒成立，求a的值．4．（2021上·廣東深圳·高三深圳市福田區(qū)福田中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若對任意的，都有成立，求的取值范圍．方法三：等價轉(zhuǎn)化法1．（2023下·海南省直轄縣級單位·高二嘉積中學(xué)?？计谥校┮阎瘮?shù)，（其中）．(1)若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若對于任意，都有成立，求的取值范圍．2．（2022下·福建泉州·高二福建省泉州市培元中學(xué)?？计谥校┮阎瘮?shù).(1)求的圖象在處的切線方程；(2)當(dāng)時，恒成立，求的取值范圍.3．（2023上·北京豐臺·高三統(tǒng)考期中）已知函數(shù)，．(1)當(dāng)時，求函數(shù)的最大值；(2)若關(guān)于的不等式恒成立，求實數(shù)的值．4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，．(1)若在上單調(diào)遞增，求實數(shù)a的取值范圍；(2)當(dāng)時，恒成立