學考專題12 概率統(tǒng)計（原卷版）

學考專題12概率統(tǒng)計考點歸納考點歸納1．簡單隨機抽樣(1)定義：一般地，設一個總體含有N個個體，從中逐個不放回地抽取n個個體作為樣本(n≤N)，如果每次抽取時總體內的各個個體被抽到的機會都相等，就把這種抽樣方法叫做簡單隨機抽樣．這樣抽取的樣本，叫做簡單隨機樣本．(2)常用方法：抽簽法和隨機數法．2．分層抽樣(1)在抽樣時，將總體分成互不交叉的層，然后按照一定的比例，從各層獨立地抽取一定數量的個體，將各層取出的個體合在一起作為樣本，這種抽樣方法是一種分層抽樣．(2)分層抽樣的應用范圍當總體是由差異明顯的幾個部分組成時，往往選用分層抽樣．3．頻率分布直方圖(1)縱軸表示eq\f(頻率,組距)，即小長方形的高＝eq\f(頻率,組距)；(2)小長方形的面積＝組距×eq\f(頻率,組距)＝頻率；(3)各個小方形的面積總和等于1.頻率分布直方圖中的常見結論(1)眾數的估計值為最高矩形的中點對應的橫坐標．(2)平均數的估計值等于頻率分布直方圖中每個小矩形的面積乘以小矩形底邊中點的橫坐標之和．(3)中位數的估計值的左邊和右邊的小矩形的面積和是相等的．4．頻率分布表的畫法第一步：求極差，決定組數和組距，組距＝eq\f(極差,組數)；第二步：分組，通常對組內數值所在區(qū)間取左閉右開區(qū)間，最后一組取閉區(qū)間；第三步：登記頻數，計算頻率，列出頻率分布表．5．條形圖、折線圖及扇形圖(1)條形圖：建立直角坐標系，用橫軸(橫軸上的數字)表示樣本數據類型，用縱軸上的單位長度表示一定的數量，根據每個樣本(或某個范圍內的樣本)的數量多少畫出長短不同的等寬矩形，然后把這些矩形按照一定的順序排列起來，這樣一種表達和分析數據的統(tǒng)計圖稱為條形圖．(2)折線圖：建立直角坐標系，用橫軸上的數字表示樣本值，用縱軸上的單位長度表示一定的數量，根據樣本值和數量的多少描出相應各點，然后把各點用線段順次連接，得到一條折線，用這種折線表示出樣本數據的情況，這樣的一種表示和分析數據的統(tǒng)計圖稱為折線圖．(3)扇形圖：用一個圓表示總體，圓中各扇形分別代表總體中的不同部分，每個扇形的大小反映所表示的那部分占總體的百分比的大小，這樣的一種表示和分析數據的統(tǒng)計圖稱為扇形圖．6．百分位數、眾數、平均數的定義(1)如果將一組數據從小到大排序，并計算相應的累計百分位，則某一百分位所對應數據的值就稱為這一百分位的百分位數．一般地，一組數據的第p百分位數是這樣一個值，它使得這組數據中至少有p%的數據小于或等于這個值，且至少有(100－p)%的數據大于或等于這個值．(2)第25百分位數又稱第一四分位數或下四分位數；第75百分位數又稱第三四分位數或上四分位數．(3)眾數一組數據中出現次數最多的數據叫做這組數據的眾數．(4)平均數一組數據的算術平均數即為這組數據的平均數，n個數據x1，x2，…，xn的平均數eq\x\to(x)＝eq\f(1,n)(x1＋x2＋…＋xn)．7．樣本的數字特征之方差如果有n個數據x1，x2，…，xn，那么這n個數的(1)標準差s＝eq\r(\f(1,n)[x1－\x\to(x)2＋x2－\x\to(x)2＋…＋xn－\x\to(x)2]).(2)方差s2＝eq\f(1,n)[(x1－eq\x\to(x))2＋(x2－eq\x\to(x))2＋…＋(xn－eq\x\to(x))2]．8.平均數、方差的公式推廣(1)若數據x1，x2，…，xn的平均數為eq\x\to(x)，則mx1＋a，mx2＋a，mx3＋a，…，mxn＋a的平均數是meq\x\to(x)＋a.(2)若數據x1，x2，…，xn的方差為s2，則數據ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的方差為a2s2.9．古典概型特點(1)試驗中所有可能出現的基本事件只有有限個，即有限性．(2)每個基本事件發(fā)生的可能性相等，即等可能性．10．古典概型概率公式P(A)＝eq\f(A包含的基本事件的個數,基本事件的總數)＝eq\f(m,n).求古典概型概率的步驟(1)判斷試驗的結果是否為等可能事件，設出所求事件A；(2)分別求出基本事件的總數n與所求事件A中所包含的基本事件個數m；(3)利用公式P(A)＝eq\f(m,n)，求出事件A的概率.11．概率的幾個基本性質(1)概率的取值范圍：0≤P(A)≤1.(2)必然事件的概率P(E)＝1.(3)不可能事件的概率P(F)＝0.(4)互斥事件概率的加法公式①如果事件A與事件B互斥，則P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．②若事件B與事件A互為對立事件，則P(A)＝1－P(B)．真題訓練真題訓練一、單選題1．（2023秋·廣東·高三統(tǒng)考學業(yè)考試）為做好“新冠肺炎”疫情防控工作，我市各學校堅持落實“雙測溫兩報告”制度，以下是某宿舍6名同學某日上午的體溫記錄：36.3，36.1，36.4，36.7，36.5，36.6（單位：），則該組數據的第80百分位數為（

）A．36.7 B．36.6 C．36.5 D．36.42．（2023秋·廣東·高三統(tǒng)考學業(yè)考試）某校高一學生550人，高二學生500人，高三學生450人，現有分層抽樣，在高三抽取了18人，則高二應抽取的人數為（

）A．24 B．22 C．20 D．183．（2023秋·廣東·高三統(tǒng)考學業(yè)考試）已知樣本的平均數是9，方差是2，則（

）A．41 B．71 C．55 D．454．（2023秋·廣東·高三統(tǒng)考學業(yè)考試）10名工人某天生產同一零件，生產的件數分別是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12．設其平均數為a，中位數為b，眾數為c，則有（

）A． B． C． D．5．（2023秋·廣東·高三統(tǒng)考學業(yè)考試）從分別寫有1，2，3，4，5的5張卡片中無放回隨機抽取2張，則抽到的2張卡片上的數字之和是偶數的概率為（）A． B． C． D．6．（2023秋·廣東·高三統(tǒng)考學業(yè)考試）某工廠隨機抽取部分工人，對他們某天生產的產品件數進行了統(tǒng)計，統(tǒng)計數據如表所示，則該組數據的產品件數的第60百分位數是（

）件數7891011人數36542A．8.5 B．9 C．9.5 D．107．（2023·廣東·高三統(tǒng)考學業(yè)考試）某校對學生在寒假中參加社會實踐活動的時間（單位：小時）進行調查，并根據統(tǒng)計數據繪制了如圖所示的頻率分布直方圖，其中實踐活動時間的范圍是[9，14]，數據的分組依次為：[9，10），[10，11），[11，12），[12，13），[13，14]．已知活動時間在[9，10）內的人數為300，則活動時間在[11，12）內的人數為（）A．600 B．800 C．1000 D．12008．（2023·廣東·高三統(tǒng)考學業(yè)考試）從一堆產品（其中正品與次品都多于2件）中任取2件，觀察正品件數和次品件數，則下列每對事件互斥但不對立的是（）A．“至少有1件次品”與“全是次品”B．“恰好有1件次品”與“恰好有2件次品”C．“至少有1件次品”與“全是正品”D．“至少有1件正品”與“至少有1件次品”9．（2023·廣東·高三統(tǒng)考學業(yè)考試）現要完成下列2項抽樣調查：①從10盒酸奶中抽取3盒進行食品衛(wèi)生檢查；②東方中學共有160名教職工，其中教師120名，行政人員16名，后勤人員24名．為了了解教職工對學校在校務公開方面的意見，擬抽取一個容量為20的樣本．較為合理的抽樣方法是（

）A．①抽簽法，②分層隨機抽樣 B．①隨機數法，②分層隨機抽樣C．①隨機數法，②抽簽法 D．①抽簽法，②隨機數法10．（2023秋·廣東·高三統(tǒng)考學業(yè)考試）某工廠抽取件產品測其重量（單位：）．其中每件產品的重量范圍是．數據的分組依次為、、、，據此繪制出如圖所示的頻率分布直方圖，則重量在內的產品件數為（

）A． B． C． D．11．（2023·廣東·高三統(tǒng)考學業(yè)考試）甲乙兩人進行射擊比賽，每人射擊5次，射擊成績如下表：甲命中的環(huán)數88987乙命中的環(huán)數791086根據上述數據，下列判斷正確的是（

）A．甲、乙的平均成績相同，甲的成績更穩(wěn)定B．甲、乙的平均成績相同，乙的成績更穩(wěn)定C．甲、乙的平均成績不同，甲的成績更穩(wěn)定D．甲、乙的平均成績不同，乙的成績更穩(wěn)定12．（2023秋·廣東·高三統(tǒng)考學業(yè)考試）下列說法中，正確的是（）A．數據5，4，4，3，5，2的眾數是4B．一組數據的標準差是這組數據的方差的平方根C．數據2，3，4，5的標準差是數據4，6，8，10的標準差的一半D．頻率分布直方圖中各小長方形的面積等于對應各組的頻數13．（2023秋·廣東·高三統(tǒng)考學業(yè)考試）有一組數據，將其從小到大排序如下：157，159，160，161，163，165，168，170，171，173.則這組數據的第75百分位數是（

）A．165 B．168 C．170 D．17114．（2023·廣東·高三統(tǒng)考學業(yè)考試）某人連續(xù)投籃兩次，則他至少投中一次的對立事件是（

）A．至多投中一次 B．兩次都投中C．只投中一次 D．兩次都沒投中15．（2023·廣東·高三統(tǒng)考學業(yè)考試）若，則三個數稱之為勾股數，從3，4，12，13中任取兩個，能和5組成勾股數的概率是（

）A． B． C． D．16．（2023·廣東·高三統(tǒng)考學業(yè)考試）已知100個數據的75%分位數是9.3，則下列說法正確的是（）A．這100個數據中一定有75個數小于或等于9.3B．把這100個數據從小到大排列后，9.3是第75個數據C．把這100個數據從小到大排列后，9.3是第75個數據和第76個數據的平均數D．把這100個數據從小到大排列后，9.3是第74個數據和第75個數據的平均數17．（2023·廣東·高三學業(yè)考試）明明同學打靶時連續(xù)射擊三次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是（

）A．三次均未中靶 B．只有兩次中靶C．只有一次中靶 D．三次都中靶18．（2023秋·廣東·高三統(tǒng)考學業(yè)考試）某企業(yè)有甲?乙?丙三個工廠，甲廠有200名職工，乙廠有500名職工，丙廠有100名職工，為宣傳新修訂的個人所得稅法，使符合減稅政策的職工應享盡享，現企業(yè)決定采用分層抽樣的方法，從三個工廠抽取40名職工，進行新個稅政策宣傳培訓工作，則應從甲廠抽取的職工人數為（

）A．5 B．10 C．20 D．2519．（2023秋·廣東·高三統(tǒng)考學業(yè)考試）某小組六名學生上周的體育運動時間為、、、、、，則該小組體育運動時間的平均數和方差是（

）A．、 B．、 C．、 D．、20．（2023·廣東·高三統(tǒng)考學業(yè)考試）從3本不同的數學書和1本語文書中任取兩本，則取出的兩本書中有語文書的概率為（）A． B． C． D．21．（2023·廣東·高二統(tǒng)考學業(yè)考試）2020年雙十二這一天，某實體店新進兩款棉服，統(tǒng)計如表所示，現用分層隨機抽樣的方法從新進的商品中抽取6件，再從這6件中任抽2件檢測，則抽到的2件均為甲款的概率為（）棉服甲款乙款進貨數量2010A． B． C． D．22．（2023·廣東·高三統(tǒng)考學業(yè)考試）某校高二年級有50人參加2020“希望杯”數學競賽，他們競賽的成績制成了如下的頻率分布表，根據該表估計該校學生數學競賽成績的平均分為（

）分組[60，70)[70，80)[80，90)[90，100]頻率0.20.40.30.1A．70 B．73 C．78 D．81.523．（2023·廣東·高三學業(yè)考試）某同學計劃2023年高考結束后，在A，B，C，D，E五所大學中隨機選兩所去參觀，則大學恰好被選中的概率為（

）A． B． C． D．24．（2023·廣東·高三統(tǒng)考學業(yè)考試）甲、乙兩名同學參加一項射擊比賽游戲，其中任何一人每射擊一次擊中目標得分，未擊中目標得分．若甲、乙兩人射擊的命中率分別為和，且甲、乙兩人各射擊一次得分之和為的概率為．假設甲、乙兩人射擊互不影響，則值為（）A． B． C． D．二、填空題25．（2023·廣東·高三統(tǒng)考學業(yè)考試）已知某校高一高二高三的人數分別為400、450、500，選派該校學生參加志愿者活動，采用分層抽樣的方法選取27人，則高二抽取的人數為.26．（2023秋·廣東·高三統(tǒng)考學業(yè)考試）從甲、乙、丙名同學中選出名同學參加活動，則甲、乙兩人中恰有一人被選中的概率為．27．（2023·廣東·高三學業(yè)考試）某校高二年級有男生510名，女生490名，若用分層隨機抽樣的方法從高二年級學生中抽取一個容量為200的樣本，則女生應抽取名.28．（2023秋·廣東·高三統(tǒng)考學業(yè)考試）袋內裝有質地、大小完全相同的6個球，其中紅球3個、白球2個、黑球1個，現從中任取兩個球.對于下列各組中的事件A和事件B：①事件A：至少一個白球，事件B：都是紅球；②事件A：至少一個白球，事件B：至少一個黑球；③事件A：至少一個白球，事件B：紅球、黑球各一個；④事件A：至少一個白球，事件B：一個白球一個黑球.是互斥事件的是.（將正確答案的序號都填上）29．（2023·廣東·高三學業(yè)考試）幸福指數是衡量人們對自身生存和發(fā)展狀況的感受和體驗，即人們的幸福感的一種指數．某機構從某社區(qū)隨機調查了10人，得到他們的幸福指數（滿分：10分）分別是7.6，8.5，7.8，9.2，8.1，9，7.9，9.5，8.3，8.8，則這組數據的中位數是三、解答題30．（2023秋·廣東佛山·高三統(tǒng)考學業(yè)考試）某公司為獎勵員工實施了兩種獎勵方案，方案一：每賣出一件產品獎勵4.5元；方案二：賣出30件以內（含30件）的部分每賣出一件產品獎勵4元，超出30件的部分每賣出一件產品獎勵7元．（1）記利用方案二員工甲獲得的日獎勵為Y（單位：元），日賣出產品數為．求日獎勵Y關于日賣出產品數n的函數解析式；（2）員工甲在前10天內賣出的產品數依次為22，23，23，23，25，25，25，29，32，32，若將頻率視為概率，如果僅從日平均獎勵的角度考慮，請利用所學的統(tǒng)計學知識為員工甲選擇獎勵方案，并說明理由．31．（2023·廣東·高三學業(yè)考試）某大學藝術專業(yè)400名學生參加某次測評，根據男女學生人數比例，使用比例分配的分層隨機抽樣的方法從中隨機抽取了100名學生，記錄他們的分數，將數據分成7組：，，，，并整理得到如下頻率分布直方圖：（1）根據頻率分布直方圖估計分數的樣本數據的70%分位數；（2）已知樣本中有一半男生的分數不小于70，且樣本中分數不小于70的男女生人數相等.試估計總體中女生的人數.32．（2023·廣東·高二統(tǒng)考學業(yè)考試）全世界越來越關注環(huán)境保護問題，某監(jiān)測站點于2019年8月某日起連續(xù)n天監(jiān)測空氣質量指數（AQI），數據統(tǒng)計如下表：空氣質量指數（）[0，50](50，100](100.150](150.200](200.250]空氣質量等級優(yōu)良輕度污染中度污染重度污染天數2040m105(1)根據所給統(tǒng)計表和頻率分布直方圖中的信息求出n，m的值，并完成頻率分布直方圖；(2)由頻率分布直方圖，求該組數據的平均數與中位數.33．（2023·廣東·高三學業(yè)考試）某班倡議假期每位學生至少閱讀一本名著，為了解學生的閱讀情況，對該班所有學生進行了調查，調查結果如下表：閱讀名著的本數12345男生人數31213女生人數13312（1）試根據上述數據，求這個班級女生閱讀名著的平均本數；（2）若從閱讀5本名著的學生中任選2人交流讀書心得，求選到男生和女生各1人的概率；（3）試比較該班男生閱讀名著本數的方差與女生閱讀名著本數的方差的大?。ㄖ恍鑼懗鼋Y論）．34．（2023·廣東·高三統(tǒng)考學業(yè)考試）某班有男生27名，女生18名，用分層抽樣的方法從該班中抽取5名學生去敬老院參加獻愛心活動.（1）求從該班男生、女生中分別抽取的人數；（2）為協(xié)助敬老院做好衛(wèi)生清掃工作，從參加活動的5名學生中隨機抽取2名，求這2名學生均為女生的概率.35．（2023·廣東·高三統(tǒng)考學業(yè)考試）樹立和踐行“綠水青山就是金山銀山，堅持人與自然和諧共生”的理念越來越深入人心，已形成了全民自覺參與，造福百姓的良性循環(huán).據此，某網站推出了關于生態(tài)文明建設進展情況的調查，大量的統(tǒng)計數據表明，參與調查者中關注此問題的約占.現從參與調查的人群中隨機選出人，并將這人按年齡分組：第組，第組，第組第組第組得到的頻率分布直方圖如圖所示：（1）求的值（