山東省德州市2022-2023學年高三年級上冊期末數學試題（解析版）

高中線上教學自測自評卷（數學）

本試卷分第I卷（選擇題）和第n卷（非選擇題）兩部分，第I卷1一2頁，第n卷3—4頁,

共150分，測試時間120分鐘.

注意事項：

選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮

擦干凈后，再選涂其它答案，不能答在測試卷上.

第I卷（共60分）

一、選擇題（本大題共8個小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合要求的.）

M=（%||%-3|<1）N=口爐-3x-4<0，.,

1.己知集合1"?IIJ,那么“aeM”是“小心AT的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】

【分析】利用不等式的解法，求出集合M,N,利用集合元素之間的關系確定充分條件和必要條件.

【詳解】由卜―3]<1可得—I<x—3<1,即2<x<4,所以〃={x|2<x<4},

由尤2-3%—4<0可得解得一1cx<4,所以N={x|-1<尤<4},

因為集合M是集合N的真子集，所以“ae"”是“aeN”的充分不必要條件.

故選：A.

2.已知復數z滿足3z—l=(z+2)i,則z=(

11

B.—+—

2

D.—i

1010

【答案】D

【解析】

【分析】復數z=a+初，代入已知等式，利用復數相等求解未知數.

【詳解】設復數z=a+玩，代入3z—l=（z+2）i,有（3a—1）+3歷=—〃+（a+2）i,

1

ci——

3d—1=—b10.17?

則_，解得<..z-.....1----i.

3b=a+2b=L1010

io

故選：D

3.函數/（無）=（祇2—m+1卜蘇一2時3（o〈MV3,meZ）同時滿足①對于定義域內的任意實數x,都有

/（-%）=/（%）；②在（0,+8）上是減函數，則/三的值為（）

I2J

A.8B.4C.2D.1

【答案】B

【解析】

【分析】由機的值依次求出加2-2m-3的值，然后根據函數的性質確定加，得函數解析式，計算函數值.

【詳解】meZ,0<m<3,〃z=0,l,2,3,代入加2_2m_3分別是—3,—4,—3,。，

在定義域內/（—%）=/（%）,即是偶函數，因此濘-2m-3取值—4或。，

加2—2機—3=0時,/（%）在（。,+°°）上不是減函數,

只有加2一2加一3二-4滿足，此時根=1,/（x）=X-4,

/（孝）=（/尸=（應）4=4-

故選：B.

4.如圖，某糧倉（糧倉的底部位于地面上）是由圓柱和圓錐構成的,若圓柱的高是圓錐高的2倍，且圓錐

的母線長是4,側面積是4萬，則制作這樣一個糧倉的用料面積為（）

----------

--->

A.（岳+4）乃B.（2岳+4）?C.（3^5+4）nD.（4A后'+4,

【答案】D

【解析】

【分析】

設圓錐的母線為/,底面半徑為「，高為〃，根據題意列出方程求出7.的值，再計算圓柱和圓錐側面積之和

即可求解.

【詳解】設圓錐的母線為/,底面半徑為小高為〃，則兀力=4兀，4a=4兀，解得：r=l,

所以［=,42—1=JI?.

圓柱體的側面積為2萬廠?2/z=2兀x2岳=4岳兀，

所以制作這樣一個糧倉的用料面積為（4逐+4）乃.

故選：D

【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵點是利用圓錐的側面積和母線長求出圓錐和圓柱底面圓的半徑，再利用

母線和底面半徑求出圓錐的高，進而求出圓柱的高，再計算兩個幾何體側面積之和即可.

5.已知菱形A3CD的邊長為2,菱形的對角線AC與3D交于點。，=1，點E是線段上靠近

。的三等分點，則在AB上的投影向量的模長為（）

84

A.-B.-C.1D.2

33

【答案】B

【解析】

【分析】先根據數量積定義和題干條件=1算出菱形的四個內角，然后直接利用投影向量的模長公

式計算.

【詳解】菱形對角線相互垂直，即NAOB=90，根據數量積的定義，

BABO=1^\BO\-（|5A|-cosZABO）=\BO^,故80=1,即cos/ABO=；,又ZABO為銳角，則

兀AEABAEAB

430=4，根據投影向量的模長公式，在AS上的投影向量的模長為：網=-—,依題

12

意，BE=2ED-即班+4石=2￡4+24￡＞，故AE=§+§AD，于是

-1-2242184

AEAB=-AB+-ABAD=-+--2-2--=-,即投影向量的模長為一.

3333233

故選：B

6.曲線4y—爐=0(移之0)上有兩個不同動點M,N,動點/到尸(0,4)的最小距離為4,點N與Q。,3)

和R(O,1)的距離之和|N9+|NR|的最小值為瑟，則4+4的值為()

A.8B.9C.4+273D.5+2石

【答案】C

【解析】

【分析】對于4可直接利用兩點間的距離公式結合二次函數進行求解，對于4可利用拋物線的性質，結合

圖象觀察發(fā)現(xiàn)取得最值時的N的位置進行求解.

【詳解】設M(x,y),則MH=6+0-4)2,結合關系式4y—%2=0⑶20)可變形為：

\MP\=,4y+di=正——+短=7(y-2)2+1222上,當y=2,x=2、回，即動點M坐標為

(20,2)時，取到最小距離4，即4=2百；

由題知，曲線4丁-必=0(孫20)為拋物線在第一象限的部分以及原點，其焦點為陽0,1),準線為

y=—l,設N(x,y),過N作NG,準線，垂足為G,根據拋物線定義，|NQ|+|A因=|N@+|NG|,過

Q作準線，垂足為交拋物線于/,當N在運動時，結合下圖可知，|NQ|+|NGj習QH|=4,

當N運動至U41,；］時取得等號，即|NQ|+|M?|的最小值為4=4.故&+&=4+273.

故選：C

7.已知。=111幺+5,Z?=ln-+4,c=ln-+5,其中a,b,ce(O,l),貝ij()

544

A.c<b<aB.c<a<bC.a<b<cD.a<c<b

【答案】B

【解析】

【分析】構造函數/(%)=x-lnx利用導數討論單調性結合題設即可比較大小.

1Y—1

【詳解】構造函數/'(x)=x-lnx,/'(x)=l--=——,

XX

令八功<0解得O<X<L令/(幻>0解得無>1,

所以/(x)=x—Inx在(0,1)單調遞減，(1,+8)單調遞增，

因為。=111m+5,所以a=Ina-In5+5即a—Ina=5—ln5,

所以/(a)=/(5),O<a<l,

b

因為b=ln—+4,所以Z?=ln￡>—1114+4即6—1116=4—1114,

4

所以/S)"(4),0<b<l,

因為c=ln￡+5,所以c=lnc-ln4+5,即c-lnc=5—ln4>5—ln5,

4

即/(c)>/(5),

因為/(x)=x—lnx在(l,+8)單調遞增，

所以/(5)>/(4),所以/(c)>/(5)>/(4),

所以/(c)>/(?)>于3)，又因為/(%)=x—Inx在(0,1)單調遞減，

且a,b,ce(0,1),所以c<a<Z?,

故選：B.

8.已知函數“無)=sinx的圖象與直線質-y-E=0(左>0)恰好有三個公共點，這三個點的橫坐標從小到

大分別為X],巧，退則(芭―W'an1%—X3+I卜勺值為()

A.-2B.-1C.0D.1

【答案】A

【解析】

【分析】注意到履一丁一析=0（左＞0）過定點（n,0）,該點為/（x）=sinx的對稱中心，則％=兀，

X]+%=2n.又恰好有3個交點，則直線Ax—y-E=0（左＞0）為/（尤）=sinx在x=Xp工=々處切線，

則/'（%）=r（%3）=k,據此可得答案.

【詳解】kx-y-kii=0^＞k（x-Ti）-y=0,得直線過定點（n,0）,

該點為f（x）=sinx的對稱中心，則/=兀，玉+金=2口.

得F-■毛=2（兀一七），%2-%3-n-x3.

又恰好有3個交點，則直線Ax—y—E=0（左＞0）為/（x）=sinx在x=%，x=%處切線，貝I

=/，（九3）=k今cos=cosx3=k.

又牝-k^=sinx3=cosx3（無3—n）=sin演=n一毛=-tanx3,

_—

貝ij（X]—&）tan—￡+5]=2（7t—￡）tan—&]=2tanx3-----=2.

故選：A

二、多選題（本大題共4小題，每小題5分，共20分，每小題有兩項或以上符合題意，部分

選對得2分，錯選不得分.）

9.已知定義在R上的奇函數/（%）圖象連續(xù)不斷，且滿足/（x+2）=/（%）,則下列結論正確的是（）

A.函數八%）的周期T=2B./（2022）=/（2023）=0

C."%）在[-2,2]上有4個零點D.（1,0）是函數y=/（九）圖象的一個對稱中心

【答案】ABD

【解析】

【分析】首先判斷函數的周期，再根據函數的周期和奇函數的性質，計算特殊值，并結合中心對稱的性質，

判斷選項.

【詳解】A.因為函數八%）滿足/（4+2）=/（力，所以函數是周期函數，周期T=2,故A正確；

B.因為函數是定義域為R的奇函數，所以/（0）=0,且/（—1）=—/（1）,又函數是周期為2的函數，所

以/（-1）=/（1），所以/（1）=0,/（2022）=/（1011X2）=/（0）=0,

/（2023）=/（1011x2+l）=/（1）=0,所以/（2022）=/（2023）=0,故B正確；

C.根據周期可知/(-2)=/(2)=/(0)=0,且〃-1)="1)=0,所以函數在區(qū)間［-2,2］上至少有5個零

點，

故C錯誤；

D.因為函數周期為2的奇函數，所以〃%)=—〃—%),且〃x)=〃x+2),所以/(x+2)=—〃—x),

所以函數八%)關于點(1,0)對稱，故D正確.

故選：ABD

10.已知數列｛?！埃那啊表椇蜑?“，且4=1,%+］+4=2〃則()

?1Q卜,72為奇數

AY"B./偶數

C.數列｛4｝為等差數列D.〃為奇數時，s="+(”T

"2

【答案】ABD

【解析】

【分析】利用并項求和法可判斷AD選項；利用等差數列的定義可判斷BC選項.

【詳解】對于A選項，Sf=(弓+為)+(/+%)+(%+。6)=2x(1+3+5)=18,A對；

對于B選項，因為q+%=2,則。2=2-4=1,

對任意的N*，由a.+?！?2〃可得%+2+a“+i=2(八+1),

上述兩個等式作差可得?！?2-=2,

所以，數列｛4｝中的奇數項成以1為首項，公差為2的等差數列,

數列｛4｝中的偶數項成以1為首項，公差為2的等差數列,

當九為奇數時，設"=2左一）,則a”=。2*-1=%+2（左-1）=2k—1=w,

當九為偶數時，設"=2%(%eN*),則%=4+2(左一1)=2左一1="—1,

"，"為奇數

綜上所述，an=<為偶數'B對;

對于C選項，%—4=1/4-。1，故數列｛4｝不是等差數列，c錯;

對于D選項，當“為奇數時，設〃=2左一l(ZeN*),則左=號

則S”=S2k—a2k=(?1+4)+(g+。4)++(a2k-i+。2左)—4*

=2[l+3++(2Z:-1)]-(2Z:-1)=2k(l+^k~l)_-1)=2^2-2Zr+1

c(ZZ+1Y/八]"1("1)2nd

=2x----—(〃+l)+l=---F—=n+------，D對.

故選：ABD.

11.設函數/(%)=e,g(x)=工上D,則下列說法正確的有()

e

A.函數/(%)在(-8),0)上為減函數

B.對VxwO,都有小Ug(x)恒成立

C.對VxeR,都有/(X)+12g(x)恒成立

D.函數/(%)=g(x)有兩個極值點

【答案】BC

【解析】

【分析】利用函數的單調性與導數的關系可判斷A選項；利用利用導數研究函數"x)=J3—g(x)的單

調性，可判斷B選項；指數函數的單調性可判斷C選項；利用函數的極值點與導數的關系可判斷D選項.

【詳解】因為/(x)=xe*,其中xeR,則r(x)=(x+l)e"g(x)=^^=x+l.

e

對于A選項，/'(x)=(x+l)eX,由/'(x)<0可得1<-1,

所以，函數了(%)的減區(qū)間為(―8,—1),A錯；

對于B選項，對VxwO,令力(x)=""_g(x)=eX_x_l,

//(x)=er-l,由//(x)<0可得％<0,由〃(x)>0可得x>0,

所以，函數〃(%)在(-8,0)上單調遞減，在(0,+8)上單調遞增，

所以，VxwO,/z(x)>e°-0-1=0,B對；

對于C選項，VxeR,令"(％)=/(無)+1-8(%)=%6*-%=%(6*—1),

當xVO時，&x<1，貝！|p(x)=/(x)+l—g(x)=x(e*—l)NO；

當x>0時，e*>l，貝i|p(x)=/(x)+l-g(x)=x(e*—l)>0.

故VxeR,/(x)+l>g(x),C對；

對于D選項，F(xiàn)(x)=/(x)-g(x)=xev-x-l,其中尤eR,F,(x)=(x+l)ev-l,

令/⑺=(工+］)/一］,當xV—l時，e*>0,此時尸(x)=(x+l)e*-l<0,

故函數網％)在(—8,—1］上單調遞減；

當x>—1時，f'(x)=(x+2)e，>0,此時函數F(x)單調遞增，

故函數尸(%)在上至多一個零點，故函數/(九)至多一個極值點，D錯.

故選：BC.

12.正方體—4用&2的棱長是2,M.N分別是A3、的中點，則下列結論正確的是()

A.DXM1BtC

B.以2為球心，百為半徑的球面與側面5CGB1的交線長是兀

C.平面，MN截正方體所得的截面周長是0+2相

D.與平面，MN所成的角的正切值是

【答案】AC

【解析】

【分析】以點A為坐標原點，AB.AD.441所在直線分別為x、V、z軸建立空間直角坐標系，可判

斷AD選項；分析可知以2為球心，亞為半徑的球面與側面3。。1用的交線是以點C,為圓心，半徑為

r=《5-GD；=1的:圓,利用扇形的弧長公式可判斷B選項；確定平面RMN與正方體各棱的交點，

求出截面周長，可判斷C選項.

【詳解】以點A為坐標原點，AB，AD，A4所在直線分別為x、>、z軸建立如圖所示的空間直角坐

標系，

對于A選項，〃(0,2,2)、"(1,0,0)、4(2,0,2)、C(2,2,0),

。幽=（1,一2,-2）,4c=（0,2,-2）,則RM.4c=0—4+4=0,3。，A對；

對于B選項，因為DC1，平面3耳GC,

所以，以2為球心，為半徑的球面與側面5CG用的交線是以點G為圓心，半徑為r=《5-GD；=1

的!圓，

4

]兀

故交線長為一X71X1=—,B錯；

22

對于D選項，易知點4（2,0,2）、〃（0,2,2）、M（1,0,0）,N（2,l,0）,

設平面R2W的法向量為〃=（九,y,z）,AGV=（l,l,0）,D,M=（1,-2,-2）,

則〈，?。?2,可得〃=（2,—2,3）,

幾?D]M=x—2y—2z=。

…B,D.-n-82A/2

4R=（-2,2,。），+==-而，

設直線耳2與平面所成角為e,則sin。=2電，

V17

所以，cos6?=Vl-sin26>=~^=,故tand==，

<\7cos33

因此，。片與平面所成的角的正切值是述，D錯.

3

對于C選項，設平面交棱A4于點￡（0,01）,其中0W.W2,ME=（-l,0,f）,

因為MEu平面RMN,所以，腔力=—2+3/=0，解得f=g，即點E[O,O,|J,

同理可知，平面"MN交棱CC于點p[2,2,g）,

2A/13

3

同理可得=卜平，卜立,

因此，平面D[MN截正方體所得的截面為五邊形DtEMNF,

其周長是3+2=0+2而，C對.

故選：AC.

【點睛】方法點睛：計算線面角，一般有如下幾種方法:

(1)利用面面垂直的性質定理，得到線面垂直，進而確定線面角的垂足，明確斜線在平面內的射影，即可

確定線面角;

(2)在構成線面角的直角三角形中，可利用等體積法求解垂線段的長度人從而不必作出線面角，則線面

h

角。滿足sin。==(/為斜線段長)，進而可求得線面角；

(3)建立空間直角坐標系，利用向量法求解，設q為直線/的方向向量，〃為平面的法向量，則線面角。的

正弦值為sin0=|cos<a,n>|.

第II卷(共90分)

三、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分.)

兀一

13.已知函數/(x)=sin(ox+e)[0>0,憫<5的部分圖象如圖所示,若在銳角..ABC中，

則4=

【分析】由圖象可求得函數7(%)的解析式，由A的取值范圍以及/(A)=；可求得角A的值.

E2兀

【詳解】由圖可知，函數了(%)的最小正周期為T=4x二2兀,則@=—-1,

T

兀

2sin(/+。1l兀,，兀nt兀,27r77r

因為了=1,且——<(p<—,則一<----\-(p<一,

22636

2兀71

所以，——+0=一,可得/=g故7(x)=sin

326

]_

因為A為銳角，則0<A<],則一/<A—4〈巴，/(A)=sinlA——

2663I62

.兀兀4％兀

所以，A---=—,故4=一.

663

TT

故答案為：

3

14.已知直線x+2y—5左=0與圓。：/+/一4x+2y—3=0交于A、3兩點.若|4同22百，則實數左

的取值范圍是

【答案】一LK左41

【解析】

【分析】利用勾股定理可得出圓心C到直線x+2y-5左=0距離d取值范圍，利用點到直線的距離公式

可得出關于左的不等式，解之即可.

【詳解】圓。的標準方程為(尤―2y+(y+iy=8,圓心為C(2,—1),半徑為廠=2行,

由勾股定理可知，圓心C到直線x+2y-5k=0的距離為d=V5,

由點到直線的距離公式可得4=邛三百，解得一1W左＜1.

故答案為：一14左41.

15.已知正方形A3CZ),邊長為2,動點P自點A出發(fā)沿ABCDA運動，動點。自點A出發(fā)沿ADCK4運

動,且動點P的速度是動點。的2倍，若二者同時出發(fā)，且P到達A時停止，另一個點。也停止，則該過

程中AP?AQ的最大值是

9

【答案】-

2

【解析】

【分析】設尸點的運動速度為1,運動時間為/，以A為坐標原點建立平面直角，分別在?e(0,2］、fe(2,4］、

te(4,6］和/e(6,8］的情況下，利用/表示出P,Q坐標，利用向量數量積的坐標運算可將AP-AQ表示為

關于/的函數性質，利用二次函數性質可求得最大值.

【詳解】不妨設P點的運動速度為1，則。點的運動速度為運動時間為方；

以A為坐標原點，AB,A力正方向為羽V軸，可建立平面直角坐標系，

①當te(0,2］時，P(t,0),

此時APLA。恒成立，.〔APAQuO；

②當fe(2,4］時，P(OJ—2),40，5

則當￡=4時，（AP2Q）=4；

\/max

③當fe（4,6]時，P（6f2）,e[1/-2,2

AP-Ae=[-r-2j（6-?）+4=--r+5Z-8=--（^-5）2+*4-,

1J222

則當f=5時，（APAQ）=3；

\/max2

④當/?6,8]時，尸（O,8T）,efo,^-2j,

AP-AQ=（8一”（1一2]=一：/+6%-16=一；“一6）2+2,則APAQ<2；

Q

綜上所述：APA0的最大值為萬.

22

16.如圖所示，己知耳、居分別為雙曲線土-義-=1的左、右焦點，過居的直線與雙曲線的右支交于A、

412

8兩點，則“鳥。的取值范圍為;記4人片鳥的內切圓。的面積為S-△§￡區(qū)的內切圓Q的面積

為S],則H+S2的取值范圍是.

40

②.8jr,-j-7c

【解析】

【分析】分析可知直線A5與x軸不重合，設直線的方程為x=/ny+4,將直線A3的方程與雙曲線

的方程聯(lián)立，利用韋達定理結合已知條件求出加的取值范圍，可求得乙4乙。的取值范圍；設圓切

(7T27c)

AF^耳工分別于點/、N、G,分析可知直線A3的傾斜角取值范圍為,推導出圓

<2Ji1

。1、圓Q的半徑弓、弓滿足/馬=4,求得*,2百，利用雙勾函數的單調性可求得'+$2的

I3)

取值范圍.

【詳解】設直線A3的傾斜角為&,

在雙曲線?—[=1中，。=2,6=2百，則。=，？+=2=小故點層(4,0),

若直線A3與x軸重合，則直線A3與雙曲線交于該雙曲線的兩個實軸的端點，不合乎題意，

所以，直線AB與*軸不重合，設直線A3的方程為％=陽+4,設點4(國,乂)、3(%,%)，

x=my+4

聯(lián)立可得（3〃，-1）丁2+24my+36=0,

3%2-/=12

3m2-1^0

由題意可得〈，2/,、，解得MH

A=242m2-4x36x（3m2-l）>0

工+、24m36

由韋達定理可得%+%=—r2］，乂%=°、］，

3m-13m-1

2

/、024m08c_TZH21

%+"，心+%）+8=-藐0+8=-藐口〉0,可叫<p

玉龍2=(m＞i+4)(加％+4)=〃/%%+4〃z(%+%)+16=_+：〉0,可得/J，＜j,

所以，一?，且。目0,兀）

當一且＜加＜0時，tan6Z=—G(-OO,兀2兀

，此時ae9

3m,2T

兀

當根=0時，軸，此時。二一

2

當0＜加＜且時，tancr=-G

+oo,此時/胃,*1,

3m

一，兀2兀

綜上，一<cc<—

33

712兀

不妨設點A在第一象限，則NA鳥。=ae

3'T

設圓。I切皿、AF2>E&分別于點M、N、G,

712兀

過招的直線與雙曲線的右支交于A、3兩點，可知直線A3的傾斜角取值范圍為

由切線長定理可得|AM|=|4V|,忻M=|KG|,|用1=|甲V|,

所以，|9|+閨閭⑷V|+|甲V|)+(|KG|+|8G|)-(|AM|+|￡M)

=\F2N\+\F2G\=2\F2G\=2c-2a,貝4月Gkc—a=2,所以點G的橫坐標為4—2=2.

故點。I的橫坐標也為2,同理可知點。2的橫坐標為2,故軸,

故圓。?和圓儀均與x軸相切于G（2,0）,圓Q和圓儀兩圓外切.

在△002片中，ZO^G+ZOFG=^(ZAFF+ZBF^)=90,OOLFG,

AOXF2O2=222iX22

ZGOjF,=芽。。2，NQG鳥=NOiKQ=90，所以，AOIGF?S八。/?。?,

=陽，則］。閱2=|*卜|。?，

所以,

所以叵G『=|O￡「―已何=似外這勾―9同二盤/e外

即(c_a)2={.q,則6.弓=4,

712兀712兀

，可知NA屈耳的取值范圍為

由直線AB的傾斜角取值范圍為i'Ti'T

則/q耳耳=；乙4乙與e

[6,37

「2百

,2百，

故弓=\F2G\'tanZQ/^7*]=2tanNO]乙其e

I3

7

Z、(26

貝ijS1+S?=4廣+片卜2162,2百，

nrx+—,其中4e

IK)3

令〃x)=x+3,其中xe則/（%）在《4，力單調遞減，在（4,12）單調遞增.

X3

*〃12）罟4034,12)時，/(x)e8，T),

因為/（4）=8,,則當xe

33

故S1+S2

故答案為:

【點睛】方法點睛：圓錐曲線中取值范圍問題的五種求解策略:

(1)利用圓錐曲線的幾何性質或判別式構造不等關系，從而確定參數的取值范圍;

(2)利用已知參數的范圍，求新的參數的范圍，解這類問題的核心是建立兩個參數之間的等量關系;

(3)利用隱含的不等關系建立不等式，從而求出參數的取值范圍;

(4)利用己知的不等關系建立不等式，從而求出參數的取值范圍;

(5)利用求函數值域的方法將待求量表示為其他變量的函數，求其值域，從而確定參數的取值范圍.

四、解答題（本大題共6小題，共70分，解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.）

17.設函數/（x）=sin[2x+《〉cos2x.

⑴求函數八%）的單調增區(qū)間；

（2）在_ABC中，內角A,5c的對邊分別為a,"c,若3為銳角，且/=—g，c=2a，

b=R,求_^5。的面積S.

【答案】(1)---Hkit,—Fku(kGZ)

4,4、'

(2)6

【解析】

【分析】（1）利用兩角和差正弦公式和二倍角公式化簡可得了（%）,根據正弦型函數單調區(qū)間的求法可求得

結果；

（2）根據/[^+巳]=-g可求得8,利用余弦定理可構造方程求得dc,代入三角形面積公式即可求得結

果.

【小問1詳解】

=sin2xcos—+cos2xsin---cos2x--=^-sin2x--，

'/662222

令一■|■+2E<2x<5+2E（左eZ）,解得：一:+E<x+E（左eZ）,

\F（x）的單調增區(qū)間為一:++E（keZ）.

【小問2詳解】

/（8+S）=#sin（28+；）—g=—g,...sin[2B+m]=0,

'￡[嗚]一，28+三€與手]，則23+今=兀，解得：B=|

由余弦定理得：cosB="'+）.解得：后，.“=20，

2ac4a22

.'.J.ABC的面積S=—tzcsinB=—xsf2x2-x/2x—=.

222

18.如圖，在四棱錐P—A6CD中，四邊形A3CD是直角梯形，ABVAD,AB//CD,ZABC=45，

AB=2,BC=V2>尸C_L底面A3CD，E是PB上一點.

（1）求證：ACVCE-,

（2）若E是總的中點，直線CE與平面A3CD所成角的正弦值為邁，求二面角P-AC-E的余弦

3

值.

【答案】（1）證明見解析

⑵逅

3

【解析】

【分析】（1）證明出AC,平面尸5C,利用線面垂直的性質可證得結論成立；

（2）以點。為原點，CB、CA、CP分別為x軸、y軸、z軸正方向建立空間直角坐標系，設點

P（0,0,a）（a>0）,利用空間向量法可求得。的值，再利用空間向量法可求得二面角P—AC—E的余弦

值.

【小問1詳解】

證明：因為尸平面A3CD,ACu平面A3CD，所以ACLPC.

因ZABC=45，AB=2,BC=日

由余弦定理可得AC2=AB2+BC2-2AB-BCcosZABC=2，

所以4。2+3。2=452,所以A。IBC.

又BCcPC=C,BC、尸Cu平面尸3C,所以ACJ_平面尸5C.

因為CEu平面P5C,所以4。，四.

【小問2詳解】

解：因為尸底面ABC。，AC1BC,

以點C為原點，CB、CA、CP分別為了軸、＞軸、z軸正方向，建立如下圖所示空間直角坐標系,

/rr\/rr\

則C（0,0,0）、網逝,0,0）、A（0,V2,0）,設c（o,o,a）（a＞o）,則E半，。（，CE=半

I22JI22J

因為尸。，底面ABCD，所以平面ABCD的一個法向量為u=（0,0,1）,

a

CEu\

cos<>|=j-2a

由題意可得CE,u=行，解得。=2,

22

CEj-|w|11+ay]a+2

V2+Z

易知平面PAC的一個法向量為加=（1,0,0）,

設平面ACE的法向量為”=(x,y,z),C4=(0,V2,0),CE=^,0,l^

n-CA=y/2y=0

由＜，取x=&，可得〃=（后,0,—

n-CE=x+z=0

[2

m-n^2\J6

因為cos<m,n>=

1x^33，

由圖可知，二面角P—AC-E為銳角，故二面角P—AC—E的余弦值為邁

3

19.已知公差不為零的等差數列｛叫的前〃項和為S"，$3=6,g，應，的成等比數列，數列也｝的前

"項和1=2bn-n.

（1）求數列｛4｝和也｝通項公式;

100

(2)求Za>cos(w?萬)值；

k=l

2n(\]、

(3)證明：一<￡--——<1.

n

【答案】(1)a“=n，bn=2-1

(2)5050

(3)證明見解析

【解析】

【分析】(1)根據等差數列基本量求等差數列的通項，根據《-北一1找到數列｛〃｝的通項公式，然后再求

數列也｝的通項公式.

(2)分別求出奇數項和偶偶數項通項公式再求和.

(3)裂項相消法求和，再證明.

【小問1詳解】

設等差數列｛4｝的公差為d(d豐0),

53=3〃]+3d=6[a=1

由題意得、2/、/、，解得1一

(%+3d)=(%+d)(%+7d)[a-A.

故數列｛%｝的通項公式=〃.

因為：T,=2b”-n,當”時，7；,-1=2/2?_1-(71-1),

兩式相減得d=2〃_i+1,

又〃=1時，b]=T[=2b]_l,所以4=1,所以4+1=2。0,

因為〃+1=2包+1,所以々+1+1=2(%+1),而d+lwO,

即白旦4=2(”€曰)，

2+1'7

所以｛2+1｝是以2為首項，2為公比的等比數列，a+1=2",所以勾=2〃一1.

【小問2詳解】

當k=2m,加wN*時，?cos(%??)=(2m)2cos2m/r-(2m)2,

當上=2機一1,mwN*時，

a；?cos(以-—(2m-V)1cos[(2m-1)^-]=(-1)*(2m-I)2

100■sin1%?m=22-12+42-32+

所以+1002-992

k=\

=(2-1)(2+l)+(4-3)(4+3)++(100-99)(100+99)

=1+2+3++99+100=5050.

【小問3詳解】

1111

rh--------------------------------

+1

bn%2"-l2?-l

可得Xi；—亡卜fe—/M右一白:+〔即一—1

=1-----i—

2"+1-1

因為2"+i—1222—1，所以0<二

2—13

所以2Kl——2__<1.則原命題得證.

32'+i-1

20.由于新冠肺炎疫情造成醫(yī)用防護服短缺，某地政府決定為防護服生產企業(yè)A公司擴大生產提供

x（xe[0,10]）（萬元）的專項補貼，并以每套80元的價格收購其生產的全部防護服.A公司在收到政府x

（萬元）補貼后，防護服產量將增加到才=（7-（萬件），其中人為工廠工人的復工率（左e[0.5,l]）；

A公司生產f萬件防護服還需投入成本（48+7x+50f）（萬元）.

（1）將A公司生產防護服的利潤y（萬元）表示為補貼無（萬元）的函數（政府補貼尤萬元計入公司收

入）；

（2）對任意的xe[0,10]（萬元），當復工率上達到多少時，A公司才能不產生虧損？

420G

【答案】（1）y=2\Qk——---6x—48（xe[0,10],Zre[0,5,1]）

jc+4

（2）0.6

【解析】

【分析】（1）根據已知條件求得》關于x的關系式.

（2）根據已知條件列不等式并分離常數左，結合函數的單調性求得上的最小值.

【小問1詳解】

由題意可得，y=80%—(48+7x+50。+x

=30%-48-6x

=30/7---1-48-6X

Ix+4j

4204

=210左一-6%-48

x+4

所以A公司生產防護服的利潤y(萬元)與補貼元(萬元)的函數關系為:

420“1

y=210k-----