2022-2023學(xué)年山西省朔州市山陰北周莊中學(xué)高二數(shù)學(xué)理下學(xué)期摸底試題含解析

2022-2023學(xué)年山西省朔州市山陰北周莊中學(xué)高二數(shù)學(xué)理下學(xué)期摸底試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.若{a，b，c}為空間的一組基底，則下列各項(xiàng)中，能構(gòu)成基底的一組向量是()A．a(chǎn)，a＋b，a－b

B．b，a＋b，a－bC．c，a＋b，a－b

D．a(chǎn)＋b，a－b，a＋2b參考答案：C略2.在復(fù)平面上，復(fù)數(shù)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)所在象限是A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限參考答案：C3.已知函數(shù)滿足，則的值為

A.

B.

C.

D.參考答案：C略4.若a＜b＜0，則下列不等式錯(cuò)誤的是（）A． B．a(chǎn)3＞b3 C．a(chǎn)2＞b2 D．參考答案：B【考點(diǎn)】不等式的基本性質(zhì)．【分析】取特殊值帶入計(jì)算即可．【解答】解：a＜b＜0，不妨令a=﹣2，b=﹣1，則B錯(cuò)誤，故選：B．5.對(duì)任意的x∈R，函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋7ax不存在極值點(diǎn)的充要條件是()A．0≤a≤21

B．a(chǎn)＝0或a＝7

C．a(chǎn)<0或a>21

D．a(chǎn)＝0或a＝21參考答案：A6.定積分（

）A．ln2－1

B．ln2

C．

D．參考答案：B由題意結(jié)合微積分基本定理有：.本題選擇B選項(xiàng).

7.函數(shù)的定義域是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D8.在中，若,，，則的面積為（

）

A． B． C．1 D．參考答案：A略9.在的展開中，的系數(shù)是（

）A.

B．

C．

D．參考答案：D

解析：10.方程表示一個(gè)圓，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）

（A）

（B）

（C）

（D）或參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知直線與圓相交于兩點(diǎn)，且，則

參考答案：略12.曲線在點(diǎn)處的切線平行于直線，則點(diǎn)的坐標(biāo)為

.參考答案：13.已知，則函數(shù)的最大值是__________。參考答案：【分析】由函數(shù)變形為，再由基本不等式求得，從而有，即可得到答案.【詳解】∵函數(shù)∴由基本不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào).∴函數(shù)的最大值是故答案為.【點(diǎn)睛】本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用以及基本不等式的應(yīng)用，.利用基本不等式求最值時(shí)，一定要正確理解和掌握“一正，二定，三相等”的內(nèi)涵：一正是，首先要判斷參數(shù)是否為正；二定是，其次要看和或積是否為定值（和定積最大，積定和最?。蝗嗟仁?，最后一定要驗(yàn)證等號(hào)能否成立（主要注意兩點(diǎn)，一是相等時(shí)參數(shù)否在定義域內(nèi)，二是多次用或時(shí)等號(hào)能否同時(shí)成立）.14.已知實(shí)數(shù)x，y滿足|x|+y≤1，則的取值范圍是．參考答案：（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）【考點(diǎn)】簡單線性規(guī)劃．【分析】作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用直線斜率的公式結(jié)合數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解即可．【解答】解：由|x|+y≤1得y≤1﹣|x|，作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖：的幾何意義是區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)到定點(diǎn)A（3，5）的斜率，由圖象知過A的直線的斜率等于1和﹣1時(shí)，直線和區(qū)域的邊界直線平行，則的取值范圍是k＞1或k＜﹣1，即（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）．故答案為：（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．15.從一副混合后的撲克牌（52張）中隨機(jī)抽取1張，事件A為“抽得紅桃K”，事件B為“抽得為黑桃”，則概率P（A∪B）=．（結(jié)果用最簡分?jǐn)?shù)表示）參考答案：【考點(diǎn)】互斥事件的概率加法公式．【分析】由題意知本題是一個(gè)古典概型和互斥事件，分別求兩個(gè)事件的概率是我們熟悉的古典概型，這兩個(gè)事件是不能同時(shí)發(fā)生的事件，所以用互斥事件的概率公式得到結(jié)果．【解答】解：由題意知本題是一個(gè)古典概型和互斥事件，∵事件A為“抽得紅桃K”，∴事件A的概率P=，∵事件B為“抽得為黑桃”，∴事件B的概率是P=，∴由互斥事件概率公式P（A∪B）=．故答案為：．16.已知點(diǎn)P（1，1），圓C：x2+y2﹣4x=2，過點(diǎn)P的直線l與圓C交于A，B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為M（M不同于P），若|OP|=|OM|，則l的方程是．參考答案：3x+y﹣4=0【考點(diǎn)】直線與圓的位置關(guān)系．【專題】計(jì)算題；直線與圓．【分析】圓C的方程可化為（x﹣2）2+y2=6，所以圓心為C（2，0），半徑為，設(shè)M（x，y），運(yùn)用?=0，化簡整理求出M的軌跡方程．由于|OP|=|OM|，故O在線段PM的垂直平分線上，可得ON⊥PM，由直線垂直的條件：斜率之積為﹣1，再由點(diǎn)斜式方程可得直線l的方程．【解答】解：圓C的方程可化為（x﹣2）2+y2=6，所以圓心為C（2，0），半徑為，設(shè)M（x，y），則=（x﹣2，y），=（1﹣x，1﹣y），由題設(shè)知?=0，故（x﹣2）（1﹣x）+y（1﹣y）=0，即（x﹣1.5）2+（y﹣0.5）2=0.5．由于點(diǎn)P在圓C的內(nèi)部，所以M的軌跡方程是（x﹣1.5）2+（y﹣0.5）2=0.5．M的軌跡是以點(diǎn)N（1.5，0.5）為圓心，為半徑的圓．由于|OP|=|OM|，故O在線段PM的垂直平分線上，又P在圓N上，從而ON⊥PM．因?yàn)镺N的斜率為，所以l的斜率為﹣3，故l的方程為y﹣1=﹣3（x﹣1），即3x+y﹣4=0．故答案為：3x+y﹣4=0．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查圓和圓的位置關(guān)系，直線和圓相交的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．17.已知

求的最小值_____________．參考答案：5

略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.

已知函數(shù).(Ⅰ)求的最小正周期.（Ⅱ）求在區(qū)間上的最大值與最小值.參考答案：19.如圖，棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的所有棱長都等于2，∠ABC=60°，平面AA1C1C⊥平面ABCD，∠A1AC=60°．（Ⅰ）證明：BD⊥AA1；（Ⅱ）求二面角D﹣A1A﹣C的平面角的余弦值；（Ⅲ）在直線CC1上是否存在點(diǎn)P，使BP∥平面DA1C1？若存在，求出點(diǎn)P的位置；若不存在，說明理由．參考答案：【考點(diǎn)】二面角的平面角及求法；直線與平面平行的性質(zhì)．【專題】綜合題；空間位置關(guān)系與距離．【分析】法一：（Ⅰ）連接BD交AC于O，則BD⊥AC，連接A1O，可證A1O⊥底面ABCD，從而建立空間直角坐標(biāo)系，求出向量的坐標(biāo)，證明向量的數(shù)量積為0即可得到BD⊥AA1；（Ⅱ）確定平面AA1C1C、平面AA1D的法向量，利用向量的夾角公式，可求二面角D﹣A1A﹣C的平面角的余弦值；（Ⅲ）解：假設(shè)在直線CC1上存在點(diǎn)P，使BP∥平面DA1C1，求出平面DA1C1的法向量，利用數(shù)量積為0，即可求得結(jié)論．法二：（Ⅰ）先證明BD⊥平面AA1O，即可證得AA1⊥BD；（Ⅱ）過O作OE⊥AA1于E點(diǎn)，連接OE，則∠DEO為二面角D﹣AA1﹣C的平面角，求出OE、DE，即可求得二面角D﹣A1A﹣C的平面角的余弦值；（Ⅲ）存在這樣的點(diǎn)P，連接B1C，在C1C的延長線上取點(diǎn)P，使C1C=CP，連接BP，可得四邊形BB1CP為平行四邊形，進(jìn)而利用線面平行的判定可得結(jié)論．【解答】法一：（Ⅰ）證明：連接BD交AC于O，則BD⊥AC，連接A1O，在△AA1O中，AA1=2，AO=1，∠A1AO=60°∴A1O2=AA12+AO2﹣2AA1?Aocos60°=3∴AO2+A1O2=A12∴A1O⊥AO，∵平面AA1C1C⊥平面ABCD，平面AA1C1C∩平面ABCD=AO∴A1O⊥底面ABCD∴以O(shè)B、OC、OA1所在直線為x軸、y軸、z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則A（0，﹣1，0），B（，0，0），C（0，1，0），D（﹣，0，0），A1（0，0，）

…∵，，∴∴BD⊥AA1…（Ⅱ）解：∵OB⊥平面AA1C1C，∴平面AA1C1C的法向量設(shè)⊥平面AA1D，，則由得到，∴…∴所以二面角D﹣A1A﹣C的平面角的余弦值是…（Ⅲ）解：假設(shè)在直線CC1上存在點(diǎn)P，使BP∥平面DA1C1設(shè)，則得…設(shè)⊥平面DA1C1，，則由得到，∴…又因?yàn)槠矫鍰A1C1，則?，∴，∴λ=﹣1即點(diǎn)P在C1C的延長線上且使C1C=CP

…（13分）法二：（Ⅰ）證明：過A1作A1O⊥AC于點(diǎn)O，由于平面AA1C1C⊥平面ABCD，由面面垂直的性質(zhì)定理知，A1O⊥平面ABCD，∴A1O⊥BD又底面為菱形，所以AC⊥BD∵A1O∩AC=O∴BD⊥平面AA1O∵AA1?平面AA1O∴AA1⊥BD…（Ⅱ）解：在△AA1O中，A1A=2，∠A1AO=60°，∴AO=AA1?cos60°=1所以O(shè)是AC的中點(diǎn)，由于底面ABCD為菱形，所以O(shè)也是BD中點(diǎn)由（Ⅰ）可知DO⊥平面AA1C過O作OE⊥AA1于E點(diǎn)，連接OE，則AA1⊥DE，故∠DEO為二面角D﹣AA1﹣C的平面角

…在菱形ABCD中，AB=2，∠ABC=60°∴AC=AB=BC=2，∴AO=1，DO=在Rt△AEO中，OE=OA?sin∠EAO=DE=∴cos∠DEO=∴二面角D﹣A1A﹣C的平面角的余弦值是…（Ⅲ）解：存在這樣的點(diǎn)P，連接B1C，∵A1B1ABDC，∴四邊形A1B1CD為平行四邊形，∴A1D∥B1C在C1C的延長線上取點(diǎn)P，使C1C=CP，連接BP

…∵B1BCC1，…∴BB1CP∴四邊形BB1CP為平行四邊形∴BP∥B1C，∴BP∥A1D∵BP?平面DA1C1，A1D?平面DA1C1，∴BP∥平面DA1C1

…（13分）【點(diǎn)評(píng)】本題考查線面位置關(guān)系，考查面面角，解題的關(guān)鍵是掌握線面平行、垂直的判定方法，正確作出面面角，考查利用向量方法解決立體幾何問題，屬于中檔題．20.（本題滿分12分）已知直線y=ax+1與雙曲線相交于A、B兩點(diǎn)，是否存在這樣的實(shí)數(shù)a，使得A、B關(guān)于直線y=2x對(duì)稱？如果存在，求出a的值，如果不存在，說明理由。參考答案：21.設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊的長分別為a，b，c，且b=3，c=1，△ABC的面積為，求cosA與a的值．參考答案：【考點(diǎn)】余弦定理的應(yīng)用．【專題】計(jì)算題；解三角形．【分析】利用三角形的面積公式，求出sinA=，利用平方關(guān)系，求出cosA，利用余弦定理求出a的值．【解答】解：∵b=3，c=1，△ABC的面積為，∴=，∴sinA=，又∵sin2A+cos2A=1∴cosA=±，由余弦定理可得a==2或2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三