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第三部分思想篇·素養(yǎng)升華第1講函數(shù)與方程思想SIXIANGFANGFAJIEDU思想方法·解讀函數(shù)思想的實(shí)質(zhì)是拋開(kāi)所研究對(duì)象的非數(shù)學(xué)特征,用聯(lián)系和變化的觀點(diǎn)提出數(shù)學(xué)對(duì)象,抽象其數(shù)學(xué)特征,建立各變量之間固有的函數(shù)關(guān)系,通過(guò)函數(shù)形式,利用函數(shù)的有關(guān)性質(zhì),使問(wèn)題得到解決.方程思想的實(shí)質(zhì)就是將所求的量設(shè)成未知數(shù),根據(jù)題中的等量關(guān)系,列方程(組),通過(guò)解方程(組)或?qū)Ψ匠?組)進(jìn)行研究,以求得問(wèn)題的解決.函數(shù)與方程思想在一定的條件下是可以相互轉(zhuǎn)化的,是相輔相成的.函數(shù)思想重在對(duì)問(wèn)題進(jìn)行動(dòng)態(tài)的研究,方程思想則是動(dòng)中求解,研究運(yùn)動(dòng)中的等量關(guān)系.SIXIANGFANGFAYINGYONG思想方法·應(yīng)用應(yīng)用一函數(shù)與方程思想在不等式中的應(yīng)用eq\x(典)eq\x(例)eq\x(悟)eq\x(通)典例1(1)(2020·河南模擬)若對(duì)任意正數(shù)x,不等式eq\f(2,x2+4)≤eq\f(2a+1,x)恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為(B)A.[0,+∞) B.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(1,4),+∞))C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4),+∞)) D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2),+∞))(2)(2020·運(yùn)城三模)若對(duì)任意x∈(0,+∞),xex-2lnx>2x+a恒成立,則a的取值范圍是(C)A.(-∞,-2ln2) B.(-∞,ln2)C.(-∞,2-2ln2) D.(-∞,2+2ln2)【解析】(1)依題意得,當(dāng)x>0時(shí),2a+1≥eq\f(2x,x2+4)=eq\f(2,x+\f(4,x))恒成立,又因?yàn)閤+eq\f(4,x)≥4,當(dāng)且僅當(dāng)x=2時(shí)取等號(hào),所以eq\f(2,x+\f(4,x))的最大值為eq\f(1,2),所以2a+1≥eq\f(1,2),解得a的取值范圍為eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(1,4),+∞)).故選B.(2)xex-2lnx>2x+a恒成立,∴a<xex-2lnx-2x,設(shè)f(x)=xex-2lnx-2x,對(duì)任意x∈(0,+∞),設(shè)t=lnx+x,則t∈R,設(shè)g(t)=et-2t,則g′(t)=et-2,令g′(t)=0,解得t=ln2,當(dāng)t<ln2時(shí),g′(t)<0,當(dāng)t>ln2,g′(t)>0,∴g(t)在(-∞,ln2)上是減函數(shù),在(ln2,+∞)上是增函數(shù),∴g(t)≥g(ln2)=2-2ln2,∴g(t)的最小值為2-2ln2,即f(x)的最小值為2-2ln2,∴a<2-2ln2,故選C.eq\x(方)eq\x(法)eq\x(感)eq\x(悟)函數(shù)與方程思想在不等式中的應(yīng)用函數(shù)與不等式的相互轉(zhuǎn)化,把不等式轉(zhuǎn)化為函數(shù),借助函數(shù)的圖象和性質(zhì)可解決相關(guān)的問(wèn)題、常涉及不等式恒成立問(wèn)題、比較大小問(wèn)題.一般利用函數(shù)思想構(gòu)造新函數(shù),建立函數(shù)關(guān)系求解.應(yīng)用二函數(shù)與方程思想在數(shù)列中的應(yīng)用eq\x(典)eq\x(例)eq\x(悟)eq\x(通)典例2(1)(2020·泰安模擬)已知函數(shù)f(x)=x3+lg(eq\r(x2+1)+x),若等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且f(a1-1)=-10,f(a2020-1)=10,則S2020=(C)A.-4040 B.0C.2020 D.4040(2)(2020·綏化模擬)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,公比為q,若S10=33S5,S6=63,則滿足anSn>10(an+Sn)的最小的n值為(C)A.3 B.4C.5 D.6【解析】(1)函數(shù)f(x)=x3+lg(eq\r(x2+1)+x)是奇函數(shù),f(a1-1)=-10,f(a2020-1)=10,可得:a1-1=-a2020+1,即a1+a2020=2,等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,則S2020=eq\f(a1+a2020,2)×2020=2020.故選C.(2)根據(jù)題意,等比數(shù)列{an}中,若S10=33S5,則q≠1,則有eq\f(a11-q10,1-q)=33×eq\f(a11-q5,1-q),即(1-q10)=33(1-q5),變形可得:1+q5=33,解可得q=2;又由S6=63,則eq\f(a11-q6,1-q)=eq\f(a11-64,1-2)=63,解可得a1=1,則an=2n-1,則有Sn=eq\f(a11-qn,1-q)=2n-1,若anSn>10(an+Sn),即22n-31×2n+20>0,又由n∈N*,則有n≥5;故n的最小值為5;故選C.eq\x(方)eq\x(法)eq\x(感)eq\x(悟)數(shù)列的通項(xiàng)與前n項(xiàng)和都是以正整數(shù)為自變量的函數(shù),可用函數(shù)與方程思想處理數(shù)列問(wèn)題.涉及特殊數(shù)列(等差、等比數(shù)列),已知Sn與an關(guān)系問(wèn)題,應(yīng)用方程思想列方程(組)求解;涉及最值問(wèn)題或參數(shù)范圍問(wèn)題,應(yīng)用函數(shù)思想來(lái)解決.應(yīng)用三函數(shù)與方程思想在解析幾何中的應(yīng)用eq\x(典)eq\x(例)eq\x(悟)eq\x(通)典例3(1)(2019·昆明評(píng)估)以拋物線C的頂點(diǎn)為圓心的圓交C于A,B兩點(diǎn),交C的準(zhǔn)線于D,E兩點(diǎn).已知|AB|=4eq\r(2),|DE|=2eq\r(5),則C的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為(B)A.2 B.4C.6 D.8(2)如圖,已知雙曲線C:eq\f(x2,a2)-eq\f(y2,b2)=1(a>0,b>0)的右頂點(diǎn)為A,O為坐標(biāo)原點(diǎn),以A為圓心的圓與雙曲線C的一條漸近線交于P,Q兩點(diǎn),若∠PAQ=60°,且eq\o(OQ,\s\up6(→))=3eq\o(OP,\s\up6(→)),則雙曲線C的離心率為(B)A.eq\f(2\r(3),3) B.eq\f(\r(7),2)C.eq\f(\r(39),6) D.eq\r(3)【解析】(1)不妨設(shè)拋物線C:y2=2px(p>0),圓的方程設(shè)為x2+y2=r2(r>0),如圖,又可設(shè)A(x0,2eq\r(2)),Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(p,2),\r(5))),點(diǎn)A(x0,2eq\r(2))在拋物線y2=2px上,∴8=2px0,①點(diǎn)A(x0,2eq\r(2))在圓x2+y2=r2上,∴xeq\o\al(2,0)+8=r2,②點(diǎn)Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2),\r(5)))在圓x2+y2=r2上,∴5+eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)))2=r2,③聯(lián)立①②③,解得p=4(負(fù)值舍去),即C的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為p=4.故選B.(2)因?yàn)椤螾AQ=60°,|AP|=|AQ|,所以|AP|=|AQ|=|PQ|,設(shè)|AQ|=2R,又eq\o(OQ,\s\up6(→))=3eq\o(OP,\s\up6(→)),則|OP|=eq\f(1,2)|PQ|=R.雙曲線C的漸近線方程是y=eq\f(b,a)x,A(a,0),所以點(diǎn)A到直線y=eq\f(b,a)x的距離d=eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)·a-0)),\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2+-12))=eq\f(ab,\r(a2+b2)),所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(ab,\r(a2+b2))))2=(2R)2-R2=3R2,即a2b2=3R2(a2+b2),在△OQA中,由余弦定理得,|OA|2=|OQ|2+|QA|2-2|OQ||QA|·cos60°=(3R)2+(2R)2-2×3R×2R×eq\f(1,2)=7R2=a2.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2b2=3R2a2+b2,,a2=7R2,))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2=7R2,,b2=\f(21,4)R2,))所以雙曲線C的離心率為e=eq\f(c,a)=eq\r(\f(c2,a2))=eq\r(\f(a2+b2,a2))=eq\r(1+\f(b2,a2))=eq\r(1
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