2022-2023學(xué)年四川省成都等各市高一下數(shù)學(xué)期末試題分類匯編立體幾何壓軸題1

20222023學(xué)年四川省成都等各市高一下數(shù)學(xué)期末試題分類匯編：立體幾何壓軸題1一、多選題1．已知圓錐頂點(diǎn)為S，高為1，底面圓的直徑長(zhǎng)為．若為底面圓周上不同于的任意一點(diǎn)，則下列說(shuō)法中正確的是（

）A．圓錐的側(cè)面積為B．面積的最大值為C．圓錐的外接球的表面積為D．若，為線段上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為【答案】BCD【分析】對(duì)A：根據(jù)圓錐的側(cè)面積公式分析運(yùn)算；對(duì)B：根據(jù)題意結(jié)合三角形的面積公式分析運(yùn)算；對(duì)C：根據(jù)題意可得圓錐的外接球即為的外接圓，利用正弦定理求三角形的外接圓半徑，即可得結(jié)果；對(duì)D：將平面與平面展開(kāi)為一個(gè)平面，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取到最小值，結(jié)合余弦定理分析運(yùn)算.【詳解】對(duì)A：由題意可知：，故圓錐的側(cè)面積為，A錯(cuò)誤；對(duì)B：面積，在中，，故為鈍角，由題意可得：，故當(dāng)時(shí)，面積的最大值為，B正確；對(duì)C：由選項(xiàng)B可得：，為鈍角，可得，由題意可得：圓錐的外接球半徑即為的外接圓半徑，設(shè)其半徑為，則，即；故圓錐的外接球的表面積為，C正確；對(duì)D：將平面與平面展開(kāi)為一個(gè)平面，如圖所示，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取到最小值，此時(shí)，在，，則為銳角，則，在，則，由余弦定理可得，則，故的最小值為，D正確.故選：BCD.2．?dāng)?shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美、寓意獨(dú)特的幾何體，“等腰四面體”就是其中之一，它是三組對(duì)棱分別相等的四面體．已知等腰四面體ABCD中，三組對(duì)棱長(zhǎng)分別是，，，則對(duì)該等腰四面體的敘述正確的是（

）A．該四面體ABCD的體積是．B．該四面體ABCD的外接球表面積是32πC．D．一動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿四面體ABCD的表面經(jīng)過(guò)棱AD到點(diǎn)C的最短距離是【答案】ABD【分析】將等腰四面體放入長(zhǎng)方體中，即可由長(zhǎng)方體的性質(zhì)求解AB,利用三角形全等即可判斷C，由展開(kāi)圖，利用兩點(diǎn)距離最小即可判斷D.【詳解】如圖，將等腰四面體補(bǔ)成長(zhǎng)方體，設(shè)該長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別是，，，則解得，，，則該等腰四面體的體積為：．故A正確，由于，，，所以,,故所以,故C錯(cuò)誤，由于等腰四面體的三條棱分別是長(zhǎng)方體的三條面對(duì)角線，所以長(zhǎng)方體的外接球即為等腰四面體的外接球，而長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng)度為，故外接球的半徑為，故表面積為，故B正確，將平面和平面沿著翻折到一個(gè)平面內(nèi)，連接,則即為最短距離，由于，，，則四邊形為平行四邊形，設(shè)與交于點(diǎn),則為與的中點(diǎn)，在中，,故在中，故D正確，故選：ABD．3．四棱錐的四個(gè)側(cè)面都是腰長(zhǎng)為，底邊長(zhǎng)為2的等腰三角形，則該四棱錐的高為（

）A． B． C． D．【答案】ACD【分析】滿足要求的四棱錐有三種情形，對(duì)三種情況進(jìn)行討論求出結(jié)果.【詳解】滿足要求的四棱錐有如下三種情形.（1）

如圖，四條側(cè)棱長(zhǎng)均為，則四棱錐為正四棱錐，連接交于點(diǎn)，連接，則平面，是四棱錐的高，則，，所以，四棱錐的高為；（2）

如圖，有兩條側(cè)棱長(zhǎng)為，作平面，記，，是四棱錐的高，于是，，且.解得，.四棱錐的高為；（3）

如圖，三條側(cè)棱（、、）長(zhǎng)為，一條側(cè)棱，，，設(shè)與交于點(diǎn).記.由等腰三角形三線合一可得：,平面，平面，，則平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平面，過(guò)O作，因?yàn)槠矫嫫矫?所以平面，是四棱錐的高，則有，，.因?yàn)?，于是?將前面的結(jié)果代入上式，解得或.顯然，故.，在中，由余弦定理得,，，四棱錐的高為.故選：ACD.4．棱長(zhǎng)為2的正方體中，是線段上的動(dòng)點(diǎn)，下列正確的是（

）A．的最大值為90° B．C．三棱錐的體積為定值 D．的最小值為4【答案】BC【分析】對(duì)A，令，在中，根據(jù)余弦定理求得，再在中根據(jù)余弦定理求解的表達(dá)式，判斷出當(dāng)時(shí)，即可；對(duì)B，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)與判定，證明平面即可；對(duì)C，根據(jù)體積公式結(jié)合長(zhǎng)方體的性質(zhì)證明即可；對(duì)D，把與矩形展開(kāi)在同一平面內(nèi)，再分析最小值即可【詳解】對(duì)A，在正方體中，連接，如圖，而，則，令，在中，，由余弦定理得，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)有，則，中，，，當(dāng)時(shí)，，即是鈍角，A不正確；對(duì)B，因平面，平面，則，正方形中，，，平面，于是得平面，又平面，因此，，B正確；對(duì)C，由題意，到平面的距離為定值，故為定值，C正確；對(duì)D，把與矩形展開(kāi)在同一平面內(nèi)，連接交于點(diǎn)，如圖，在中，，由余弦定理得：，因點(diǎn)M在線段上，，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)M與重合時(shí)取“=”，所以的最小值為，D錯(cuò)誤；故選：BC5．如圖，在長(zhǎng)方體中，，M，N分別為棱，的中點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．M，N，A，B四點(diǎn)共面B．直線與平面相交C．直線和所成的角為D．平面和平面所成銳二面角的余弦值為【答案】BD【分析】對(duì)于A：連接，根據(jù)、、與面位置關(guān)系即可判斷；對(duì)于B：為中點(diǎn)，連接，易得，根據(jù)它們與面的位置關(guān)系即可判斷；C：若分別是中點(diǎn)，連接，易知直線和所成的角為，再證明△為等邊三角形即可得大??；D：若分別是中點(diǎn)，求面和面的夾角即可，根據(jù)面面角的定義找到其平面角即可.【詳解】對(duì)于A：連接，如下圖面，而面，面，所以M，N，A，B四點(diǎn)不共面，A錯(cuò)誤；對(duì)于B：若為中點(diǎn)，連接，N為棱的中點(diǎn)，由長(zhǎng)方體性質(zhì)知：，顯然面，若面，而平面，顯然有矛盾，所以直線與平面相交，B正確；C：若分別是中點(diǎn)，連接，由長(zhǎng)方體性質(zhì)易知：，而，故，即直線和所成的角為，設(shè)，由已知，易知，即為等邊三角形，所以為，所以直線和所成的角為，C錯(cuò)誤；D：若分別是中點(diǎn)，顯然，易知共面，所以平面和平面的夾角，即為面和面的夾角，而面面，長(zhǎng)方體中，，如下圖，為和面夾角的平面角，，D正確.故選：BD6．勒洛四面體是一個(gè)非常神奇的“四面體”，它能像球一樣來(lái)回滾動(dòng)．勒洛四面體是以正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)為球心，以正四面體的棱長(zhǎng)為半徑的四個(gè)球的相交部分圍成的幾何體．如圖所示，設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為2，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．勒洛四面體能夠容納的最大球的半徑為B．勒洛四面體被平面截得的截面面積是C．勒洛四面體表面上交線的長(zhǎng)度為D．勒洛四面體表面上任意兩點(diǎn)間的距離可能大于2【答案】ABD【分析】A選項(xiàng)：求出正四面體的外接球半徑，進(jìn)而得到勒洛四面體的內(nèi)切球半徑，得到答案；B選項(xiàng)，作出截面圖形，求出截面面積；C選項(xiàng)，根據(jù)對(duì)稱性得到交線所在圓的圓心和半徑，求出長(zhǎng)度；D選項(xiàng)，作出正四面體對(duì)棱中點(diǎn)連線，在C選項(xiàng)的基礎(chǔ)上求出長(zhǎng)度.【詳解】A選項(xiàng)，先求解出正四面體的外接球，如圖所示：取的中點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則為等邊的中心，外接球球心為，連接，則為外接球半徑，設(shè)，由正四面體的棱長(zhǎng)為2，則，，，，，由勾股定理得：，即，解得：，此時(shí)我們?cè)俅瓮暾某槿〔糠掷章逅拿骟w，如圖所示：圖中取正四面體中心為，連接交平面于點(diǎn)，交于點(diǎn)，其中與共面，其中即為正四面體外接球半徑，設(shè)勒洛四面體內(nèi)切球半徑為，則，故A正確；B選項(xiàng)，勒洛四面體截面面積的最大值為經(jīng)過(guò)正四面體某三個(gè)頂點(diǎn)的截面，如圖所示：面積為，B正確；C選項(xiàng)，由對(duì)稱性可知：勒洛四面體表面上交線所在圓的圓心為的中點(diǎn)，故，又，由余弦定理得：，故，且半徑為，故交線的長(zhǎng)度等于，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，將正四面體對(duì)棱所在的弧中點(diǎn)連接，此時(shí)連線長(zhǎng)度最大，如圖所示：連接，交于中點(diǎn)，交于中點(diǎn)，連接，則，則由C選項(xiàng)的分析知：，所以，故勒洛四面體表面上兩點(diǎn)間的距離可能大于2，D正確.故選：ABD.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：勒洛四面體考試中經(jīng)?？疾?，下面是一些它的性質(zhì)：①勒洛四面體上兩點(diǎn)間的最大距離比四面體的棱長(zhǎng)大，是對(duì)棱弧中點(diǎn)連線，最大長(zhǎng)度為，②表面6個(gè)弧長(zhǎng)之和不是6個(gè)圓心角為的扇形弧長(zhǎng)之和，其圓心角為，半徑為.7．已知正方體的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)為線段上的動(dòng)點(diǎn)，則（

）A．//平面B．的最小值為C．直線與平面、平面、平面所成的角分別為，則D．點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)為，則到平面的距離為【答案】ACD【分析】根據(jù)正方體的幾何性質(zhì)結(jié)合線面平行判定定理、勾股定理、余弦定理、線面夾角的定義、點(diǎn)到平面的距離，逐項(xiàng)盤(pán)點(diǎn)即可得答案.【詳解】對(duì)于A，如圖連接在正方體中，因?yàn)?，所四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面，同理可得，又平面，平面，所以平面，由平面，所以平面平面，因?yàn)槠矫妫?，故A正確.對(duì)于B，如圖將平面和平面展開(kāi)到同一個(gè)平面，連接的最小值即為，在正方體可得平面，平面，所以，且，所以則平面中，由余弦定理得，即，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，如圖，過(guò)作于，

于，平面于，連接由正方體易得平面，平面，又直線與平面、平面、平面所成的角分別為，所以，則，因?yàn)槠矫?，平面，則，且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又在矩形中可得，所以，在中，，所以，即，故C正確；對(duì)于D，連接，連接交平面于，過(guò)作交于在正方體中可得，，平面，因?yàn)槠矫?，所以，又平面，所以平面，又平面，所以，同理可得，因?yàn)槠矫妫云矫?，即平面，因?yàn)檎叫蔚拿鎸?duì)角線，所以為正三角形，又，所以，則，因?yàn)檎襟w的體對(duì)角線，所以，因?yàn)椋?，即，因?yàn)槠矫妫缘狡矫娴木嚯x為，由于點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)為，則為中點(diǎn)，于是到平面的距離為，故D正確.故選：ACD.8．魏晉時(shí)期著名數(shù)學(xué)家劉徽解釋了《九章算術(shù)商功》中記錄的空間幾何體“塹堵、陽(yáng)馬、鱉臑”的形狀和產(chǎn)生過(guò)程，即：“邪解立方得兩塹堵，邪解塹堵，其一為陽(yáng)馬，一為鱉臑，陽(yáng)馬居二，鱉臑居一，不易之率也”，其意思是：把正方體或長(zhǎng)方體斜向分解成兩個(gè)塹堵，再把塹堵斜向分解得到一個(gè)陽(yáng)馬和一個(gè)鱉臑，兩者的體積比為定值．如圖，在長(zhǎng)方體被平面截得兩個(gè)“塹堵”，其中一個(gè)“塹堵”又被平面截為一個(gè)“陽(yáng)馬”和一個(gè)“鱉臑”，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．“陽(yáng)馬”是一個(gè)底面為矩形，且有一條側(cè)棱垂直于底面的四棱錐，“鱉臑”為四個(gè)面全是直角三角形的三棱錐B．“陽(yáng)馬”的體積是“鱉臑”的體積的2倍C．“陽(yáng)馬”的最長(zhǎng)棱和“鱉臑”的最長(zhǎng)棱不相等D．若，“鱉臑”的所有頂點(diǎn)都在同一球面上，且該球的表面積為，則長(zhǎng)方體的體積的最大值為2【答案】ABD【分析】對(duì)于A，根據(jù)長(zhǎng)方體的性質(zhì)結(jié)合線面垂直的性質(zhì)和判定分析判斷，對(duì)于B，根據(jù)棱錐的體積公式計(jì)算判斷，對(duì)于C，計(jì)算出各個(gè)棱長(zhǎng)后分析判斷，對(duì)于D，根據(jù)鱉臑”的外接球就是長(zhǎng)方體的外接球，求出長(zhǎng)方體的對(duì)角線【詳解】對(duì)于A，因?yàn)樗倪呅问蔷匦危矫妫浴瓣?yáng)馬”是一個(gè)底面為矩形，且有一條側(cè)棱垂直于底面的四棱錐，因?yàn)槠矫?，平面，所以，同理可得，又因?yàn)椋?，所以都為直角三角形，所以“鱉臑”為四個(gè)面全是直角三角形的三棱錐，正確，對(duì)于B，設(shè)，則，，所以“陽(yáng)馬”的體積是“鱉臑”的體積的2倍，正確，對(duì)于C，設(shè)，則“陽(yáng)馬”的最長(zhǎng)棱為，“鱉臑”的最長(zhǎng)棱為，所以“陽(yáng)馬”的最長(zhǎng)棱和“鱉臑”的最長(zhǎng)棱相等，錯(cuò)誤，對(duì)于D，設(shè)“鱉臑”的外接球的半徑為，則由“鱉臑”的外接球的表面積為，得，解得因?yàn)椤镑M臑”的外接球與長(zhǎng)方體的外接球是同一個(gè)球，所以，設(shè)，則，，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，則長(zhǎng)方體的體積為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以長(zhǎng)方體的體積的最大值為2，正確，故選：ABD9．如圖，在棱長(zhǎng)為的正方體中，分別為棱，的中點(diǎn)，為面對(duì)角線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則（

）A．三棱錐的體積為定值B．線段上存在點(diǎn)，使平面C．線段上存在點(diǎn)，使平面平面D．設(shè)直線與平面所成角為，則的最大值為【答案】ABD【分析】對(duì)于A選項(xiàng)，利用等體積法判斷；對(duì)于B、C、D三個(gè)選項(xiàng)可以建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解【詳解】易得平面平面，所以到平面的距離為定值，又為定值，所以三棱錐即三棱錐的體積為定值，故A正確．對(duì)于B,如圖所示,以為坐標(biāo)原點(diǎn),為軸,為軸,為軸,建立空間直角坐標(biāo)系,則，,，，，所以，，，設(shè)（），則所以，平面即解之得當(dāng)為線段上靠近的四等分點(diǎn)時(shí)，平面.故B正確對(duì)于C，設(shè)平面的法向量則，取得設(shè)平面的法向量,則取,得,平面平面設(shè),即,解得，，不合題意線段上不存在點(diǎn),使平面//平面，故C錯(cuò)誤．對(duì)于D，平面的法向量為則因?yàn)樗运缘淖畲笾禐椋蔇正確．故選：ABD10．在棱長(zhǎng)為4的正方體中，，，，，分別是，，，，的中點(diǎn)，點(diǎn)是線段上靠近的三等分點(diǎn)，點(diǎn)是線段上靠近的三等分點(diǎn)，為底面上的動(dòng)點(diǎn)，且面，則（

）A．B．三棱錐的外接球的球心到面的距離為C．多面體為三棱臺(tái)D．在底面上的軌跡的長(zhǎng)度是【答案】ACD【分析】在平面中，由中位線定理、平行直線判斷定理，以及平行的傳遞性可得，可判斷選項(xiàng)A正確；確定三棱錐的外接球的球心在直線上位置，即可求出球心到面的距離，可判斷選項(xiàng)B錯(cuò)誤；根據(jù)棱臺(tái)的定義判斷多面體為三棱臺(tái)，可判斷選項(xiàng)C正確；找到過(guò)點(diǎn)與面平行的平面，即可找到點(diǎn)的軌跡，可判斷選項(xiàng)D正確.【詳解】根據(jù)題意，可知平面，如圖畫(huà)出平面，取的中點(diǎn)，連接，在中，由中位線定理可知，所以為中點(diǎn)，則在中，由中位線定理得，，由，得，由平行線性質(zhì)，所以，可得所以，選項(xiàng)A正確；依題意，由于為直角三角形，則其外心為點(diǎn)，又因?yàn)槠矫?，可知三棱錐的外接球的球心在直線上（如圖），設(shè)，由中，得，即，解得，，則球心到面的距離為，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；由題意，可知平面平面，延長(zhǎng)，與交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，由于，且，所以為的中點(diǎn)，同理為的中點(diǎn)，所以與重合，即多面體三條側(cè)棱交于一點(diǎn)，故多面體為三棱臺(tái)，選項(xiàng)C則正確；取的中點(diǎn)，連接，由題意易知，平面，平面，所以平面，同理平面，平面，平面，，所以平面平面，當(dāng)點(diǎn)時(shí)，平面，所以平面，則在底面上的軌跡為，且，選項(xiàng)D正確.故選：ACD【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：多面體與球切、接問(wèn)題的求解方法（1）涉及球與棱柱、棱錐的切、接問(wèn)題時(shí)，一般過(guò)球心及多面體的特殊點(diǎn)(一般為接、切點(diǎn))或線作截面，把空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題求解．（2）若球面上四點(diǎn)P、A、B、C構(gòu)成的三條線段PA、PB、PC兩兩垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有關(guān)元素“補(bǔ)形”成為一個(gè)球內(nèi)接長(zhǎng)方體，根據(jù)4R2＝a2＋b2＋c2求解．（3）正方體的內(nèi)切球的直徑為正方體的棱長(zhǎng)．（4）球和正方體的棱相切時(shí)，球的直徑為正方體的面對(duì)角線長(zhǎng)．（5）利用平面幾何知識(shí)尋找?guī)缀误w中元素間的關(guān)系，或只畫(huà)內(nèi)切、外接的幾何體的直觀圖，確定球心的位置，弄清球的半徑(直徑)與該幾何體已知量的關(guān)系，列方程(組)求解．11．如圖，平面四邊形是由正方形和直角三角形組成的直角梯形，，，現(xiàn)將沿斜邊翻折成（不在平面內(nèi)），若為的中點(diǎn)，則在翻折過(guò)程中，下列結(jié)論正確的是（

）A．與不可能垂直B．三棱錐體積的最大值為C．若都在同一球面上，則該球的表面積是D．直線與所成角的取值范圍為（）【答案】BCD【分析】對(duì)于A選項(xiàng)：根據(jù)線面垂直的判斷定理，由，當(dāng)時(shí)，平面，則；對(duì)于B選項(xiàng)：取的中點(diǎn)，連接，根據(jù)，則平面平面時(shí)，三棱錐體積的最大值，從而可判斷；對(duì)于C，根據(jù)，可得都在同一球面上，且球的半徑為，從而可判斷；對(duì)于D選項(xiàng)：由可以看成以為軸線，以為平面角的圓錐的母線，即可求得與所成角的取值范圍.【詳解】解：對(duì)于A選項(xiàng)：由，則，當(dāng)時(shí)，且，此時(shí)滿足平面，因此，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，取的中點(diǎn)，連接，則，且，因?yàn)?，?dāng)平面平面時(shí)，三棱錐體積的最大值，在中，，則，此時(shí)，所以三棱錐體積的最大值為，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)?，所以都在同一球面上，且球的半徑為，所以該球的表面積是，故C正確；對(duì)于D，作，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所有，，所以，所以，所以，可以看成以為軸線，以為平面角的圓錐的母線，所以與夾角為，與夾角為，又不在平面內(nèi)，，，所以與所成角的取值范圍，所以正確，故選：BCD.【點(diǎn)睛】本題考查線面平行與垂直的判定定理及異面直線所成的角，多面體的外接球問(wèn)題，棱錐的體積問(wèn)題，考查了折疊問(wèn)題，考查轉(zhuǎn)化思想，計(jì)算能力與空間想象能力，有一定的難度.12．如圖，在菱形中，，，將沿折起，使A到，點(diǎn)不落在底面內(nèi)，若為線段的中點(diǎn)，則在翻折過(guò)程中，以下說(shuō)法正確的是（

）A．存在某一位置，使得B．異面直線，所成的角為定值C．四面體的表面積的最大值為D．當(dāng)二面角的余弦值為時(shí)，四面體的外接球的半徑為【答案】ACD【分析】假設(shè)存在某一位置，使得，根據(jù)空間線面垂直的判定，可判斷A；作出異面直線，所成的角，結(jié)合余弦定理計(jì)算可判斷B；利用基本不等式結(jié)合三棱錐表面積的計(jì)算，可判斷C；判斷四面體為正四面體，補(bǔ)成正方體，可求得外接球半徑，判斷D.【詳解】對(duì)于A，不妨假設(shè)存在某一位置，使得，連接交于點(diǎn)O，連接，取的中點(diǎn)為N，連接，為線段的中點(diǎn)，故；由于在菱形中，，而為線段的中點(diǎn)，故，由于平面，故平面，平面，故，而，故，即為正三角形，則，故，又，且，故,由于，故，因?yàn)椋瑵M足，即當(dāng)時(shí)，使得，A正確；對(duì)于B，因?yàn)?，故異面直線，所成的角即為或其補(bǔ)角，而，由于長(zhǎng)不是定值，故不是定值，即異面直線，所成的角不為定值，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由題意可知,因?yàn)?，故，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào)，故的最大值為2，而，則四面體的表面積的最大值為，C正確；對(duì)于D，因?yàn)?，故為二面角的平面角，即，所以，即，而，則四面體為正四面體，故將其補(bǔ)成如圖所示正方體，且正方體棱長(zhǎng)為，則該正方體的外接球即為四面體的外接球，正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)即為外接球直徑，則外接球半徑為，即四面體的外接球半徑為，D正確，故選：ACD【點(diǎn)睛】難點(diǎn)點(diǎn)睛：本題綜合考查了空間線線、線面位置以及異面直線所成角以及幾何體表面積和體積問(wèn)題以及多面體外接球問(wèn)題，綜合性強(qiáng)，難度較大，解答的關(guān)鍵是要能靈活應(yīng)用空間幾何的相關(guān)知識(shí)，充分發(fā)揮空間想象，結(jié)合相關(guān)定義解決問(wèn)題.二、單選題13．如圖，三棱錐中，平面ABC，，，，點(diǎn)C到PA的距離，若BH和平面CDH所成角的正弦值為，則BC長(zhǎng)度為（

）A．1 B． C． D．2【答案】A【分析】利用線面垂直的判定定理證明平面，再由，進(jìn)而證明平面，進(jìn)而可證明為和平面所成的角，則，求出，設(shè)，由，解方程即可得出答案.【詳解】因?yàn)槠矫妫瑒t平面，所以，又因?yàn)椋?，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)?，?平面，所以平面，平面，所以，因?yàn)?，，，所以點(diǎn)是的中點(diǎn)，又因?yàn)?，所以是等腰直角三角形，由平面，所以平面，所以為和平面所成的角，因?yàn)閯t，所以，則，因?yàn)槭堑妊苯侨切?，所以，設(shè)，所以，又，又因?yàn)?，所以，解得?故選：A.14．如圖1，在以為底邊的等腰中，，分別是，上的點(diǎn)，，，將沿折起，得到如圖2所示的四棱錐.若為的中點(diǎn)，平面，則二面角的余弦值等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】如圖，連接交于點(diǎn)，易得，，故，則即為二面角的平面角，即可得解.【詳解】如圖，連接交于點(diǎn)，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，，所以，因?yàn)椋?，所以，所以，，將沿折起，則，所以即為二面角的平面角，因?yàn)槠矫?，平面，所以，所?故選：A.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求二面角常用的方法：（1）幾何法：二面角的大小常用它的平面角來(lái)度量，平面角的作法常見(jiàn)的有：①定義法；②垂面法，注意利用等腰三角形的性質(zhì)；（2）空間向量法：分別求出兩個(gè)平面的法向量，然后通過(guò)兩個(gè)平面法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結(jié)合實(shí)際圖形判斷所求二面角是銳角還是鈍角.15．如圖，在棱長(zhǎng)為的正方體中，點(diǎn)是平面內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足，則直線與直線所成角的余弦值的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】求得點(diǎn)的軌跡是平面內(nèi)以點(diǎn)為圓心，半徑為的圓，可得，進(jìn)而可得出題中所求角等于直線與直線的夾角，然后過(guò)點(diǎn)作平面于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，找出使得最大和最小時(shí)的位置，進(jìn)而可求得所求角的余弦值的取值范圍.【詳解】連接交平面于點(diǎn)，延長(zhǎng)線段至點(diǎn)，使得，連接、、，如下圖所示：已知在正方體中，底面，平面，，又四邊形為正方形，所以，，，平面，平面，，同理，，平面，三棱錐的體積為，，，可得，所以，線段的長(zhǎng)被平面與平面三等分，且與兩平面分別垂直，而正方體的棱長(zhǎng)為，所以，，如下圖所示：其中，不妨設(shè)，由題意可，所以，，可得，所以，點(diǎn)在平面內(nèi)以點(diǎn)為圓心，半徑為的圓上.因?yàn)?，所以，直線與直線的夾角即為直線與直線所成角.接下來(lái)要求出線段與的長(zhǎng)，然后在中利用余弦定理求解.如圖，過(guò)點(diǎn)作平面于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，根據(jù)題意可知，，且，所以，，.如圖所示，，當(dāng)點(diǎn)在處時(shí)，最大，當(dāng)點(diǎn)在處時(shí)，最小.這兩種情況下直線與直線夾角的余弦值最大，為；當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)處時(shí)，為直角，此時(shí)余弦值最小為.綜上所述，直線與直線所成角的余弦值的取值范圍是.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查異面直線所成角的取值范圍的求解，解題的關(guān)鍵就是確定點(diǎn)的軌跡，考查推理能力與計(jì)算能力，屬于難題.16．設(shè)正三棱錐的底面的邊長(zhǎng)為2，側(cè)面與底面所成的二面角的余弦值為，則此三棱錐的體積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)的中點(diǎn)為，連接，設(shè)為等邊的中心，連接，由正三棱錐的性質(zhì)可得平面，為側(cè)面與底面所成的二面角的平面角，從而結(jié)合已知可求出高，進(jìn)而可求出其體積.【詳解】設(shè)的中點(diǎn)為，連接，設(shè)為等邊的中心，連接，則平面，因?yàn)槿忮F為正三棱錐，所以，所以，所以為側(cè)面與底面所成的二面角的平面角，因?yàn)榈冗叺倪呴L(zhǎng)為2，所以，因?yàn)閭?cè)面與底面所成的二面角的余弦值為，所以，解得，所以，所以三棱錐的體積為，故選：D

.17．已知某圓錐的內(nèi)切球（球與圓錐側(cè)面?底面均相切）的體積為，則該圓錐的表面積的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求得內(nèi)切球半徑，再畫(huà)圖設(shè)底面半徑為，利用三角函數(shù)值代換表達(dá)出表面積的公式，再設(shè)，根據(jù)基本不等式求最小值即可【詳解】設(shè)圓錐的內(nèi)切球半徑為，則，解得，設(shè)圓錐頂點(diǎn)為，底面圓周上一點(diǎn)為，底面圓心為，內(nèi)切球球心為，內(nèi)切球切母線于，底面半徑，，則，又，故，又，故，故該圓錐的表面積為，令，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào).故選：A.三、填空題18．已知直四棱柱，，底面為平行四邊形，側(cè)棱底面，以為球心，半徑為2的球面與側(cè)面的交線的長(zhǎng)度為.【答案】【分析】根據(jù)已知，結(jié)合圖形，利用弧長(zhǎng)公式、勾股定理、線面垂直計(jì)算求解.【詳解】如圖，連接，直四棱柱，，所以，在中，由余弦定理有：，代入數(shù)據(jù)，解得，所以，即，又，，所以平面，在平面上，以點(diǎn)為圓心，作半徑為1的圓，交棱于點(diǎn)，得到弧，在上任取一點(diǎn)與都構(gòu)成直角三角形，根據(jù)勾股定理可知弧上任取一點(diǎn)到點(diǎn)的長(zhǎng)度為2，所以以為球心，半徑為2的球面與側(cè)面的交線的長(zhǎng)度為弧的長(zhǎng)，因?yàn)?，所以根?jù)弧長(zhǎng)公式有：弧的長(zhǎng)度為.故答案為：.19．如圖，在三棱柱中，，E是棱AB上一點(diǎn)，且滿足，若平面把三棱柱分成大、小兩部分，則大、小兩部分的體積比為．【答案】【分析】取的三等分點(diǎn)，連接，可得，設(shè)三棱柱的底面面積為，高為，得到三棱柱的體積為，進(jìn)而求得三棱臺(tái)的體積為，即可求解.【詳解】如圖所示，由在三棱柱中，是棱上一點(diǎn)，且滿足，即點(diǎn)為的三等分點(diǎn)，取的三等分點(diǎn)，連接，可得，設(shè)三棱柱的底面面積為，高為，則三棱柱的體積為，因?yàn)榉謩e為的三等分點(diǎn)，可得，即，所以三棱臺(tái)的體積為，所以兩部分的體積比為.故答案為：.20．某兒童玩具的實(shí)物圖如圖1所示，從中抽象出的幾何模型如圖2所示，由，，，四條等長(zhǎng)的線段組成，其結(jié)構(gòu)特點(diǎn)是能使它任意拋至水平面后，總有一條線段所在的直線豎直向上，則.【答案】/【分析】根據(jù)題意可得兩兩連接后所得到的四面體為正四面體，且是其外接球的球心，設(shè)出棱長(zhǎng)，在直角三角形中建立等式關(guān)系，求得，的長(zhǎng)度，即可求得結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意可得，，，相等且兩兩所成的角相等，兩兩連接后所得到的四面體為正四面體，且是其外接球的球心，延長(zhǎng)交面于，連接，則為的外心，設(shè)，則，，,，因?yàn)?，所以解得?故答案為：.21．如圖，在邊長(zhǎng)為的正方形中，分別為、的中點(diǎn)，現(xiàn)將，，分別沿折起使點(diǎn)重合，重合后記為點(diǎn)，得到三棱錐，則三棱錐的外接球的表面積為.【答案】【分析】由題意可知折疊成的三棱錐三條側(cè)棱兩兩垂直，可得三棱錐的外接球的直徑等于以為長(zhǎng)、寬、高的長(zhǎng)方體的對(duì)角線，再結(jié)合已知數(shù)據(jù)可求得結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意得三棱錐中，，因?yàn)閮蓛纱怪?，所以三棱錐的外接球直徑，所以三棱錐的外接球的半徑為，所以三棱錐的外接球的表面積為，故答案為：22．如圖，直四棱柱中，底面為平行四邊形，，點(diǎn)是半圓弧上的動(dòng)點(diǎn)(不包括端點(diǎn))，點(diǎn)是半圓弧上的動(dòng)點(diǎn)(不包括端點(diǎn))，若三棱錐的外接球表面積為，則的取值范圍是．【答案】【分析】先由余弦定理求出，從而得到，確定BC的中點(diǎn)E為三棱錐的外接球球心在平面的投影，再證明出為AD的中點(diǎn)，N為的中點(diǎn)，即EN⊥平面ABCD，故球心在線段EN上，從而確定當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)N重合時(shí)，三棱錐的外接球半徑最小，點(diǎn)P與或重合，此時(shí)最長(zhǎng)，故三棱錐的外接球半徑最大，畫(huà)出圖形，求出相應(yīng)的外接球半徑和表面積，最后結(jié)合點(diǎn)是半圓弧上的動(dòng)點(diǎn)(不包括端點(diǎn))，故最大值取不到，求出表面積的取值范圍.【詳解】因?yàn)?，由余弦定理得：，因?yàn)?，由勾股定理逆定理得：，直四棱柱中，底面為平行四邊形，故⊥CD，點(diǎn)是半圓弧上的動(dòng)點(diǎn)(不包括端點(diǎn))，故BC為直徑，取BC的中點(diǎn)E，則E為三棱錐的外接球球心在平面的投影，設(shè)與AD相交于點(diǎn)M，與相交于點(diǎn)N，連接EM，ED，則EM=ED因?yàn)?，故，，故三角形DEM為等邊三角形，，即為AD的中點(diǎn)，同理可得：N為的中點(diǎn)，連接EN，則EN⊥平面ABCD，故球心在線段EN上，顯然，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)N重合時(shí)，三棱錐的外接球半徑最小，假如點(diǎn)P與或重合，此時(shí)最長(zhǎng)，故三棱錐的外接球半徑最大，如圖1，點(diǎn)P與點(diǎn)N重合，連接OC，設(shè)，則OE=2R，，由勾股定理得：，即，解得：，此時(shí)外接球表面積為；如圖2，當(dāng)點(diǎn)P與或重合時(shí)，連接，其中，設(shè)，則，由勾股定理得：，，故，解得：，此時(shí)外接球半徑為，故外接球表面積為，但因?yàn)辄c(diǎn)是半圓弧上的動(dòng)點(diǎn)(不包括端點(diǎn))，故最大值取不到，綜上：的取值范圍是.故答案為：【點(diǎn)睛】幾何體外接球問(wèn)題，通常要找到幾何體的一個(gè)特殊平面，利用正弦定理或幾何性質(zhì)找到其外心，求出外接圓的半徑，進(jìn)而找到球心的位置，根據(jù)半徑相等列出方程，求出半徑，再求解外接球表面積或體積.23．如圖，在四棱錐中，底面，底面為矩形，且，，則該四棱錐的外接球的表面積為.【答案】【分析】將四棱錐補(bǔ)成長(zhǎng)方體，求出長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng)，即可得外接球的半徑，進(jìn)而得表面積.【詳解】將四棱錐補(bǔ)成長(zhǎng)方體如圖：則此四棱錐的外接球即為長(zhǎng)方體的外接球，長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng)為，所以四棱錐的外接球的直徑為3，即半徑，則該四棱錐的外接球的表面積為.故答案為：.24．如圖，在正三棱柱中，，，分別為，的中點(diǎn)．若側(cè)面的中心為，為側(cè)面內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，平面，且的軌跡長(zhǎng)度為，則三棱柱的表面積為．【答案】/【分析】連接交于，取的中點(diǎn)，過(guò)作，分別交于，連接，由面面平行的判定定理可證得平面平面，所以的軌跡為線段，再由相似比求出，即可求出三棱柱的表面積.【詳解】

連接交于，取的中點(diǎn)，過(guò)作，分別交于，連接，易得，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，平面，因?yàn)?，且都在面?nèi)，所以平面平面，所以的軌跡為線段，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所以，故三棱柱的表面積為.故答案為：.25．在平面四邊形中，，，，則的最大值為.【答案】【分析】設(shè)，利用三角函數(shù)函數(shù)得，再利用余弦定理結(jié)合三角恒等變換即可得到最值.【詳解】設(shè)，，則，代入數(shù)據(jù)得，，，在中運(yùn)用余弦定理得，即，，所以當(dāng)，即時(shí)，的最大值為3，則的最大值為.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵在于引角，設(shè)，再利用三角函數(shù)和余弦定理得到，最后結(jié)合誘導(dǎo)公式和三角恒等變換即可求出最值.26．如圖，在正四棱錐中，點(diǎn)分別為側(cè)棱，底邊的中點(diǎn).平面與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，，則該正四棱錐的外接球的表面積為.【答案】/【分析】設(shè)，則在中由余弦定理可得，在中由余弦定理可得，則可求得，設(shè)與交于點(diǎn)，連接，正四棱錐外接球的球心在上，設(shè)為，再在中可求出外接球的半徑，從而可求出外接球的表面積.【詳解】設(shè)，則，因?yàn)椤?，所以∽，所以，所以，因?yàn)樵诘妊?，，，所以由余弦定理得，化?jiǎn)得，因?yàn)?，所以在中由余弦定理得?，化簡(jiǎn)得，解得，設(shè)與交于點(diǎn)，連接，因?yàn)樗睦忮F為正四棱錐，所以平面，且正四棱錐外接球的球心在上，設(shè)為，因?yàn)檎叫蔚倪呴L(zhǎng)為，所以所以，所以，設(shè)正四棱錐外接球的半徑為，則，因?yàn)椋?，解得，所以正四棱錐的外接球的表面積為,故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查四棱錐與其外接球問(wèn)題，考查余弦定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是分別和中利用余弦定理結(jié)合已知條件列方程可求出正四棱錐的棱長(zhǎng)，從而可求出其外接球的半徑，考查空間想象能力和計(jì)算能力，屬于較難題.27．已知為球的球面上的三個(gè)點(diǎn)，且，球心到平面的距離為，若球的表面積為，則三棱錐體積的最大值為.【答案】/【分析】取中點(diǎn)，得到，，進(jìn)而得到三棱錐體積表達(dá)式，結(jié)合基本不等式求解即可.【詳解】如下圖所示，取中點(diǎn)，因?yàn)?，所以，即是外接圓圓心，所以球心到平面的距離為,因?yàn)榍虻谋砻娣e為，則球的半徑，即，在直角中，，所以，設(shè)，則，三棱錐體積為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，此時(shí)三棱錐體積取得最大值為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查立體幾何的綜合問(wèn)題.關(guān)鍵要找出中點(diǎn)是外接圓圓心，進(jìn)而結(jié)合棱錐體積公式進(jìn)行計(jì)算.本題考查數(shù)形結(jié)合能力、轉(zhuǎn)化與化歸能力，屬于中檔題.四、解答題28．如圖，在斜三棱柱中，，等腰的斜邊，在底面ABC上的投影恰為AC的中點(diǎn).(1)求二面角的正弦值；(2)求的長(zhǎng)；(3)求到平面的距離.【答案】(1)1(2)(3).【分析】（1）設(shè)中點(diǎn)為，則平面，然后由面面垂直的判定可得平面平面，從而可得二面角為直二面角；（2）由面面垂直的性質(zhì)可得平面，則，再結(jié)合可得平面，則，從而可得為菱形，進(jìn)而可求得結(jié)果；（3）利用等體積法求解即可.【詳解】（1）設(shè)中點(diǎn)為，因?yàn)樵诘酌鍭BC上的投影恰為AC的中點(diǎn).所以平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平面，所以二面角的正弦值?.（2）因?yàn)槠矫嫫矫?，且平面平面又因?yàn)?，所以平面，因?yàn)槠矫?，所?因?yàn)?，，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，所以為菱形，所以，因?yàn)榈妊男边?，所以，所以，所以，所以在直角中，，所以，所以為等邊三角形，所?（3）設(shè)到平面的距離為，連接，因?yàn)槠矫妫矫?，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以，所?29．如圖，四棱錐的底面為直角梯形，，底面，平面平面，點(diǎn)在棱上，且.(1)證明：平面；(2)求二面角的正弦值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）在線段上取點(diǎn)使得，連接，，由題可得四邊形為平行四邊形，則，由線面平行的判定定理，即可得出答案．（2）在平面中，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，由平面平面，結(jié)合面面垂直的性質(zhì)定理可得平面，即，由底面，可得，進(jìn)而可得平面，則為二面角的平面角，在直角梯形中，設(shè)，由，解得，即可得出答案．【詳解】（1）證明：在線段上取點(diǎn)使得，連接，，因?yàn)椋?，，所以，則，且，所以．又因?yàn)椋?，所以四邊形為平行四邊形．所以，又平面，平面，所以平面．?）在平面中，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，平面，所以平面，又平面，所以，因?yàn)榈酌?，平面，所以，因?yàn)槠矫?，平面，，所以平面，所以，，所以為二面角的平面角，在直角梯形中，設(shè)，由，可得所以，則，即，所以，所以二面角的正弦值為．30．如圖，斜三棱柱中，，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，平面⊥平面．(1)求證：直線平面；(2)設(shè)直線與直線的交點(diǎn)為點(diǎn)，若三角形是等邊三角形且邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱，且異面直線與互相垂直，求異面直線與所成角；(3)若，在三棱柱內(nèi)放置兩個(gè)半徑相等的球，使這兩個(gè)球相切，且每個(gè)球都與三棱柱的三個(gè)側(cè)面及一個(gè)底面相切．求三棱柱的高．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)(3)【分析】（1）證明出四邊形為平行四邊形，從而，得到線面平行；（2）先證明出為三等分點(diǎn)，然后運(yùn)用余弦定理求出可得；（3）因?yàn)樵谌庵鶅?nèi)放置兩個(gè)半徑相等的球，使這兩個(gè)球相切，且每個(gè)球都與三棱柱的三個(gè)側(cè)面及一個(gè)底面相切，故小球的半徑即為三棱柱直截面的內(nèi)切圓的半徑，利用面積公式得到內(nèi)切圓半徑，畫(huà)出立體幾何圖形，結(jié)合相關(guān)關(guān)系求出三棱柱的高.【詳解】（1）斜三棱柱中，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，所以，且，所以四邊形為平行四邊形，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面；?）因?yàn)锳C=BC，為的中點(diǎn)，所以CD⊥AB，因?yàn)槠矫妗推矫?，交線為AB，CD平面ABC，所以CD⊥平面，故⊥平面，所以,又與互相垂直，,面故面,得.即為直角三角形，在中，為中點(diǎn)，，所以為的三等分點(diǎn)，設(shè)，由余弦定理可得：解之：，所以故⊥平面，在中，.與所成的角為（3）過(guò)作于，過(guò)作于，連為直截面，小球半徑為的內(nèi)切圓半徑因?yàn)?，所以，故AC⊥BC，則設(shè)所以，由解得，；由最小角定理由面,易知，內(nèi)切圓半徑為：則【點(diǎn)睛】定義法求解二面角，需要先作出輔助線，找到二面角的平面角，再求出各邊長(zhǎng)，利用余弦定理求解該角的余弦值，或根據(jù)直角三角形銳角三角函數(shù)求出該角的正弦，余弦或正切值，得到答案.31．如圖，在四棱臺(tái)中，底面是邊長(zhǎng)為2的菱形，，平面平面，點(diǎn)分別為的中點(diǎn)，均為銳角.(1)求證：；(2)若異面直線與所成角正弦值為，四棱錐的體積為1，求二面角的平面角的余弦值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）由面面垂直的性質(zhì)得到平面，從而得到；（2）幾何法：通過(guò)面面垂直作過(guò)二面角的平面角，通過(guò)幾何計(jì)算求解；空間向量法：建立坐標(biāo)系用空間向量求解.【詳解】（1）底面是菱形，，又平面平面，且平面平面，平面，平面，又平面，.（2）解法一：由（1）知面，又平面，平面平面，作交線，垂足為，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面，則面，又平面，所以.再作，垂足為，面，面，所以面，又面則，所以為二面角的平面角，因?yàn)槠矫妫缘降酌娴木嚯x也為.作，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面＝，平面，所以平面，所以，又為銳角，所以又，所以為等邊三角形，故，所以，因?yàn)椋?，所?所以二面角的平面角的余弦值為.解法二：由（1）知面，又平面，平面平面，作，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面＝，平面，所以平面，如圖，建立直角坐標(biāo)系：為原點(diǎn)，為軸方向，軸.因?yàn)槠矫?，所以到底面的距離也為.所以，又為銳角，所以又，所以為等邊三角形，故，在空間直角坐標(biāo)系中：，設(shè)，則則，設(shè)平面的法向量為，，取設(shè)平面的法向量為，，取所以，由題知二面角為銳角，故二面角的平面角的余弦值為.32．如圖，在五邊形中，四邊形為矩形，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，，，．沿，將，折起，使得，重合于點(diǎn)，得到四棱錐，為側(cè)棱靠近的三等分點(diǎn)．(1)求與所成的角；(2)求平面與平面所成銳二面角的正切值．【答案】(1)(2)【分析】（1）由線面垂直的判定定理可得面，然后由余弦定理可得，再結(jié)合勾股定理即可得到，從而可得面，即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，先由條件找到所求二面角，然后通過(guò)計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】（1）由題可知，，，，且，．又，面，面，所以面．又面，所以．在中，由余弦定理可得，．在中，，由余弦定理可得，，所以，即．又，面，面，所以面．又面，所以．故與所成的角為．

（2）

因?yàn)?，，所以，．又，所以延長(zhǎng)，必交于一點(diǎn)．所以平面平面．又面，過(guò)點(diǎn)作，連接，則或其補(bǔ)角為所求．又，所以．又，所以．在中，由余弦定理可得，．設(shè)點(diǎn)到的距離為，在中，運(yùn)用等面積法則有．所以，在中，．所以平面與平面所成銳二面角的正切值為．33．如圖，在三棱錐中，.點(diǎn)是的中點(diǎn)，，連接.(1)求證：平面平面；(2)求點(diǎn)到平面的距離.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）取的中點(diǎn)為點(diǎn)，連接，利用等腰三角形性質(zhì)求得，利用勾股定理得，從而利用線面垂直證面面垂直即可；（2）利用等體積法求解距離即可.【詳解】（1）取的中點(diǎn)為點(diǎn)，連接.，在中，.在中，