高中數(shù)學(xué)北師大版必修2第一章6.1垂直關(guān)系的判定作業(yè)-1

[學(xué)業(yè)水平訓(xùn)練]eq\a\vs4\al(1.)下列各種情況中，一條直線垂直于一個平面內(nèi)的：①三角形的兩條邊；②梯形的兩條邊；③圓的兩條直徑；④正六邊形的兩條邊．不能保證該直線與平面垂直的是()A．①③ B．②C．②④ D．①②④解析：選C.因為線面垂直的判定定理中平面內(nèi)的兩條直線必須相交，而②④中不能確定兩條邊是否相交，故不能保證該直線與平面垂直，故選C.eq\a\vs4\al(2.)空間四邊形ABCD中，若AD⊥BC，BD⊥AD，那么有()A．平面ABC⊥平面ADCB．平面ABC⊥平面ADBC．平面ABC⊥平面DBCD．平面ADC⊥平面DBC解析：選D.∵AD⊥BC，AD⊥BD，BC∩BD＝B，∴AD⊥平面BCD.又∵AD平面ADC，∴平面ADC⊥平面DBC.eq\a\vs4\al(3.)如圖，如果MC⊥平面ABCD所在的平面，那么MA與BD的位置關(guān)系是()A．平行 B．垂直相交C．垂直異面 D．相交但不垂直解析：選C.因為MC⊥平面ABCD，BD平面ABCD，所以MC⊥BD.又BD⊥AC，AC∩MC＝C且AC，MC在平面ACM內(nèi)，所以BD⊥平面ACM.又AM平面ACM，所以BD⊥MA，但BD與MA不相交．eq\a\vs4\al(4.)長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AD＝2eq\r(3)，CC1＝eq\r(2)，則二面角C1-BD-C的大小為()A．30° B．45°C．60° D．90°解析：選A.如圖，連接AC交BD于O，連接C1O.因為AB＝AD，所以底面為正方形，所以AC⊥BD.又因為BC＝CD，所以C1D＝C1B，O為BD的中點，所以C1O⊥BD.所以∠C1OC就是二面角C1-BDC的平面角．則在△C1OC中，CC1＝eq\r(2)，CO＝eq\f(1,2)eq\r(（2\r(3)）2＋（2\r(3)）2)＝eq\r(6)，tan∠C1OC＝eq\f(CC1,CO)＝eq\f(\r(2),\r(6))＝eq\f(\r(3),3)，所以∠C1OC＝30°.eq\a\vs4\al(5.)如圖所示，已知六棱錐P-ABCDEF的底面是正六邊形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，則下列結(jié)論正確的是()A．PB⊥ADB．平面PAB⊥平面PBCC．直線BC∥平面PAED．直線PD與平面ABC所成的角為45°解析：選D.∵PA⊥平面ABC，∴∠ADP是直線PD與平面ABC所成的角．∵六邊形ABCDEF是正六邊形，∴AD＝2AB，即tan∠ADP＝eq\f(PA,AD)＝eq\f(2AB,2AB)＝1，∴直線PD與平面ABC所成的角為45°，故選D.eq\a\vs4\al(6.)如圖，直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC＝90°，M為線段BB1上的一動點，則直線AM與直線BC的位置關(guān)系為________．解析：∵三棱柱ABC-A1B1C1為直三棱柱，∴BB1⊥平面ABC.又BC平面ABC，∴BB1⊥BC.又AB⊥BC，且AB∩BB1＝B，AB，BB1在平面ABB1A1內(nèi)，∴BC⊥平面ABB1A1.又AM平面ABB1A1，∴BC⊥AM.答案：垂直eq\a\vs4\al(7.)如圖，四棱錐S-ABCD的底面ABCD為正方形，SD⊥底面ABCD，則下列結(jié)論中正確的有________個．①AC⊥SB；②AB∥平面SCD；③SA與平面ABCD所成的角是∠SAD；④AB與SC所成的角等于DC與SC所成的角．解析：①∵SD⊥平面ABCD，AC平面ABCD，∴SD⊥AC.又AC⊥BD，且SD∩BD＝D，SD，BD平面SDB，∴AC⊥平面SBD.又SB平面SBD，∴AC⊥SB.②∵AB∥DC，DC平面SCD，AB?平面SCD，∴AB∥平面SCD.③∵SD⊥平面ABCD，∴∠SAD就是SA與平面ABCD所成的角．④∵AB∥CD，∴AB與SC所成的角為∠SCD.綜上，4個都正確．答案：4eq\a\vs4\al(8.)在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面△ABC是等邊三角形，且AB＝eq\r(3)，AA1＝eq\f(3,2)，則二面角A1-BC-A等于________．解析：如圖，取BC的中點D，連接AD，A1D.因為△ABC是等邊三角形，所以AD⊥BC.又AA1⊥平面ABC，BC平面ABC，所以BC⊥AA1，又AA1∩AD＝A，且AA1，A1D平面AA1D，所以BC⊥平面AA1D.又A1D平面AA1D，所以BC⊥A1D，所以∠A1DA就是二面角A1-BCA的平面角，AD＝eq\r(3)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(3,2)，tan∠A1DA＝eq\f(A1A,AD)＝1，所以A1-BCA為45°.答案：45°eq\a\vs4\al(9.)如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP＝AB＝2，BC＝2eq\r(2)，E，F(xiàn)分別是AD，PC的中點．證明：PC⊥平面BEF.證明：如圖，連接PE，EC.在Rt△PAE和Rt△CDE中，PA＝AB＝CD，AE＝DE，∴PE＝CE，即△PEC是等腰三角形．又F是PC的中點，∴EF⊥PC.又BP＝eq\r(AP2＋AB2)＝2eq\r(2)＝BC，F(xiàn)是PC的中點，∴BF⊥PC.又BF∩EF＝F，∴PC⊥平面BEF.eq\a\vs4\al(10.)如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，E、F分別是A1B、A1C的中點，點D在B1C1上，A1D⊥B1C.求證：(1)EF∥平面ABC；(2)平面A1FD⊥平面BB1C1C.證明：(1)由E、F分別是A1B、A1C的中點知EF∥BC.因為EF平面ABC，BC平面ABC，所以EF∥平面ABC.(2)由三棱柱ABC-A1B1C1為直三棱柱知CC1⊥平面A1B1C1.又A1D平面A1B1C1，故CC1⊥A1D.又因為A1D⊥B1C，CC1∩B1C＝C，故A1D⊥平面BB1C1C.又A1D平面A1FD，所以平面A1FD⊥平面BB1C1C.[高考水平訓(xùn)練]eq\a\vs4\al(1.)如圖，三棱錐V-ABC中，VO⊥平面ABC，O∈CD，VA＝VB，AD＝BD，則下列結(jié)論中不一定成立的是()A．AC＝BCB．VC⊥VDC．AB⊥VCD．S△VCD·AB＝S△ABC·VO解析：選B.因為VA＝VB，AD＝BD，所以VD⊥AB.因為VO⊥平面ABC，AB平面ABC，所以VO⊥AB.又VO∩VD＝V，VO平面VCD，VD平面VCD，所以AB⊥平面VCD.又CD平面VCD，VC平面VCD，所以AB⊥VC，AB⊥CD.又AD＝BD，所以AC＝BC(線段垂直平分線的性質(zhì))．因為VO⊥平面ABC，所以VV-ABC＝eq\f(1,3)S△ABC·VO.因為AB⊥平面VCD，所以VV-ABC＝VB-VCD＋VA-VCD＝eq\f(1,3)S△VCD·BD＋eq\f(1,3)S△VCD·AD＝eq\f(1,3)S△VCD·(BD＋AD)＝eq\f(1,3)S△VCD·AB，所以eq\f(1,3)S△ABC·VO＝eq\f(1,3)S△VCD·AB，即S△VCD·AB＝S△ABC·VO.綜上知，A，C，D正確．eq\a\vs4\al(2.)如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各邊都相等，M是PC上的一動點，當(dāng)點M滿足______時，平面MBD⊥平面PCD.(只要填寫一個你認為是正確的條件即可)解析：連接AC，則AC⊥BD.∵PA⊥底面ABCD，BD平面ABCD，∴PA⊥BD.∵PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC，∴BD⊥PC.∴當(dāng)DM⊥PC(或BM⊥PC)時，即有PC⊥平面MBD，而PC平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.答案：DM⊥PC(或BM⊥PC等)eq\a\vs4\al(3.)如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，M，N，E分別是棱B1C1，A1D1，D1D的中點．求證：A1E⊥平面ABMN.證明：在△AA1N與△A1D1E中：eq\f(AA1,A1N)＝eq\f(A1D1,D1E)＝2，∠AA1N＝∠A1D1E＝90°，所以△AA1N∽△A1D1E，此時∠A1AN＝∠D1A1E，∵∠A1AN＋∠A1NA＝90°，∴∠D1A1E＋∠ANA1＝90°，∴A1E⊥AN，在正方體ABCDA1B1C1D1中，AB⊥平面A1ADD1，∵A1E平面A1ADD1，∴A1E⊥AB，∵AN∩AB＝A，AN平面ABMN，AB平面ABMN，∴A1E⊥平面ABMN.4．已知Rt△ABC，斜邊BCα，點A?α，AO⊥α，O為垂足，∠ABO＝30°，∠ACO＝45°，求二面角A-BC-O的大小．解：如圖，在平面α內(nèi)，過O作OD⊥BC，垂足為D，連接AD.∵AO⊥α，BCα，∴AO⊥BC.又∵AO∩OD＝O，∴BC⊥平面AOD.而AD平面AOD，∴AD⊥BC.∴∠ADO是二面角A-BC-O的平面角．由AO⊥α，OBα，OCα，知AO⊥OB，AO⊥OC.又∠ABO＝30°，∠ACO＝45°，∴設(shè)AO＝a，則AC＝eq\r(2)a，AB＝2a.在Rt△