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[學(xué)業(yè)水平訓(xùn)練]eq\a\vs4\al(1.)下列各種情況中,一條直線垂直于一個平面內(nèi)的:①三角形的兩條邊;②梯形的兩條邊;③圓的兩條直徑;④正六邊形的兩條邊.不能保證該直線與平面垂直的是()A.①③ B.②C.②④ D.①②④解析:選C.因為線面垂直的判定定理中平面內(nèi)的兩條直線必須相交,而②④中不能確定兩條邊是否相交,故不能保證該直線與平面垂直,故選C.eq\a\vs4\al(2.)空間四邊形ABCD中,若AD⊥BC,BD⊥AD,那么有()A.平面ABC⊥平面ADCB.平面ABC⊥平面ADBC.平面ABC⊥平面DBCD.平面ADC⊥平面DBC解析:選D.∵AD⊥BC,AD⊥BD,BC∩BD=B,∴AD⊥平面BCD.又∵AD平面ADC,∴平面ADC⊥平面DBC.eq\a\vs4\al(3.)如圖,如果MC⊥平面ABCD所在的平面,那么MA與BD的位置關(guān)系是()A.平行 B.垂直相交C.垂直異面 D.相交但不垂直解析:選C.因為MC⊥平面ABCD,BD平面ABCD,所以MC⊥BD.又BD⊥AC,AC∩MC=C且AC,MC在平面ACM內(nèi),所以BD⊥平面ACM.又AM平面ACM,所以BD⊥MA,但BD與MA不相交.eq\a\vs4\al(4.)長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=2eq\r(3),CC1=eq\r(2),則二面角C1-BD-C的大小為()A.30° B.45°C.60° D.90°解析:選A.如圖,連接AC交BD于O,連接C1O.因為AB=AD,所以底面為正方形,所以AC⊥BD.又因為BC=CD,所以C1D=C1B,O為BD的中點,所以C1O⊥BD.所以∠C1OC就是二面角C1-BDC的平面角.則在△C1OC中,CC1=eq\r(2),CO=eq\f(1,2)eq\r((2\r(3))2+(2\r(3))2)=eq\r(6),tan∠C1OC=eq\f(CC1,CO)=eq\f(\r(2),\r(6))=eq\f(\r(3),3),所以∠C1OC=30°.eq\a\vs4\al(5.)如圖所示,已知六棱錐P-ABCDEF的底面是正六邊形,PA⊥平面ABC,PA=2AB,則下列結(jié)論正確的是()A.PB⊥ADB.平面PAB⊥平面PBCC.直線BC∥平面PAED.直線PD與平面ABC所成的角為45°解析:選D.∵PA⊥平面ABC,∴∠ADP是直線PD與平面ABC所成的角.∵六邊形ABCDEF是正六邊形,∴AD=2AB,即tan∠ADP=eq\f(PA,AD)=eq\f(2AB,2AB)=1,∴直線PD與平面ABC所成的角為45°,故選D.eq\a\vs4\al(6.)如圖,直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=90°,M為線段BB1上的一動點,則直線AM與直線BC的位置關(guān)系為________.解析:∵三棱柱ABC-A1B1C1為直三棱柱,∴BB1⊥平面ABC.又BC平面ABC,∴BB1⊥BC.又AB⊥BC,且AB∩BB1=B,AB,BB1在平面ABB1A1內(nèi),∴BC⊥平面ABB1A1.又AM平面ABB1A1,∴BC⊥AM.答案:垂直eq\a\vs4\al(7.)如圖,四棱錐S-ABCD的底面ABCD為正方形,SD⊥底面ABCD,則下列結(jié)論中正確的有________個.①AC⊥SB;②AB∥平面SCD;③SA與平面ABCD所成的角是∠SAD;④AB與SC所成的角等于DC與SC所成的角.解析:①∵SD⊥平面ABCD,AC平面ABCD,∴SD⊥AC.又AC⊥BD,且SD∩BD=D,SD,BD平面SDB,∴AC⊥平面SBD.又SB平面SBD,∴AC⊥SB.②∵AB∥DC,DC平面SCD,AB?平面SCD,∴AB∥平面SCD.③∵SD⊥平面ABCD,∴∠SAD就是SA與平面ABCD所成的角.④∵AB∥CD,∴AB與SC所成的角為∠SCD.綜上,4個都正確.答案:4eq\a\vs4\al(8.)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面△ABC是等邊三角形,且AB=eq\r(3),AA1=eq\f(3,2),則二面角A1-BC-A等于________.解析:如圖,取BC的中點D,連接AD,A1D.因為△ABC是等邊三角形,所以AD⊥BC.又AA1⊥平面ABC,BC平面ABC,所以BC⊥AA1,又AA1∩AD=A,且AA1,A1D平面AA1D,所以BC⊥平面AA1D.又A1D平面AA1D,所以BC⊥A1D,所以∠A1DA就是二面角A1-BCA的平面角,AD=eq\r(3)×eq\f(\r(3),2)=eq\f(3,2),tan∠A1DA=eq\f(A1A,AD)=1,所以A1-BCA為45°.答案:45°eq\a\vs4\al(9.)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,AP=AB=2,BC=2eq\r(2),E,F(xiàn)分別是AD,PC的中點.證明:PC⊥平面BEF.證明:如圖,連接PE,EC.在Rt△PAE和Rt△CDE中,PA=AB=CD,AE=DE,∴PE=CE,即△PEC是等腰三角形.又F是PC的中點,∴EF⊥PC.又BP=eq\r(AP2+AB2)=2eq\r(2)=BC,F(xiàn)是PC的中點,∴BF⊥PC.又BF∩EF=F,∴PC⊥平面BEF.eq\a\vs4\al(10.)如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,E、F分別是A1B、A1C的中點,點D在B1C1上,A1D⊥B1C.求證:(1)EF∥平面ABC;(2)平面A1FD⊥平面BB1C1C.證明:(1)由E、F分別是A1B、A1C的中點知EF∥BC.因為EF平面ABC,BC平面ABC,所以EF∥平面ABC.(2)由三棱柱ABC-A1B1C1為直三棱柱知CC1⊥平面A1B1C1.又A1D平面A1B1C1,故CC1⊥A1D.又因為A1D⊥B1C,CC1∩B1C=C,故A1D⊥平面BB1C1C.又A1D平面A1FD,所以平面A1FD⊥平面BB1C1C.[高考水平訓(xùn)練]eq\a\vs4\al(1.)如圖,三棱錐V-ABC中,VO⊥平面ABC,O∈CD,VA=VB,AD=BD,則下列結(jié)論中不一定成立的是()A.AC=BCB.VC⊥VDC.AB⊥VCD.S△VCD·AB=S△ABC·VO解析:選B.因為VA=VB,AD=BD,所以VD⊥AB.因為VO⊥平面ABC,AB平面ABC,所以VO⊥AB.又VO∩VD=V,VO平面VCD,VD平面VCD,所以AB⊥平面VCD.又CD平面VCD,VC平面VCD,所以AB⊥VC,AB⊥CD.又AD=BD,所以AC=BC(線段垂直平分線的性質(zhì)).因為VO⊥平面ABC,所以VV-ABC=eq\f(1,3)S△ABC·VO.因為AB⊥平面VCD,所以VV-ABC=VB-VCD+VA-VCD=eq\f(1,3)S△VCD·BD+eq\f(1,3)S△VCD·AD=eq\f(1,3)S△VCD·(BD+AD)=eq\f(1,3)S△VCD·AB,所以eq\f(1,3)S△ABC·VO=eq\f(1,3)S△VCD·AB,即S△VCD·AB=S△ABC·VO.綜上知,A,C,D正確.eq\a\vs4\al(2.)如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,且底面各邊都相等,M是PC上的一動點,當(dāng)點M滿足______時,平面MBD⊥平面PCD.(只要填寫一個你認為是正確的條件即可)解析:連接AC,則AC⊥BD.∵PA⊥底面ABCD,BD平面ABCD,∴PA⊥BD.∵PA∩AC=A,∴BD⊥平面PAC,∴BD⊥PC.∴當(dāng)DM⊥PC(或BM⊥PC)時,即有PC⊥平面MBD,而PC平面PCD,∴平面MBD⊥平面PCD.答案:DM⊥PC(或BM⊥PC等)eq\a\vs4\al(3.)如圖,在正方體ABCDA1B1C1D1中,M,N,E分別是棱B1C1,A1D1,D1D的中點.求證:A1E⊥平面ABMN.證明:在△AA1N與△A1D1E中:eq\f(AA1,A1N)=eq\f(A1D1,D1E)=2,∠AA1N=∠A1D1E=90°,所以△AA1N∽△A1D1E,此時∠A1AN=∠D1A1E,∵∠A1AN+∠A1NA=90°,∴∠D1A1E+∠ANA1=90°,∴A1E⊥AN,在正方體ABCDA1B1C1D1中,AB⊥平面A1ADD1,∵A1E平面A1ADD1,∴A1E⊥AB,∵AN∩AB=A,AN平面ABMN,AB平面ABMN,∴A1E⊥平面ABMN.4.已知Rt△ABC,斜邊BCα,點A?α,AO⊥α,O為垂足,∠ABO=30°,∠ACO=45°,求二面角A-BC-O的大小.解:如圖,在平面α內(nèi),過O作OD⊥BC,垂足為D,連接AD.∵AO⊥α,BCα,∴AO⊥BC.又∵AO∩OD=O,∴BC⊥平面AOD.而AD平面AOD,∴AD⊥BC.∴∠ADO是二面角A-BC-O的平面角.由AO⊥α,OBα,OCα,知AO⊥OB,AO⊥OC.又∠ABO=30°,∠ACO=45°,∴設(shè)AO=a,則AC=eq\r(2)a,AB=2a.在Rt△
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