圓解答題（解析版）-三年（2020-2022）中考數(shù)學(xué)真題匯編（湖北）

專題21圓解答題

1.（2022?荊門）如圖，已知扇形AOB中,ZAOB=60",半徑R=3.

（1）求扇形AOB的面積S及圖中陰影部分的面積S明;

（2）在扇形AOB的內(nèi)部，。01與0A,OB都相切，且與通只有一個(gè)交點(diǎn)C,此時(shí)我們稱

試求OOi的面積S-

【分析】（1）根據(jù)扇形的面積公式就可以求出，陰影的面積用扇形的面積減去三角形的

面積;

（2）設(shè)。0∣與OA相切于點(diǎn)E,連接0Q,O1E,通過解三角形就可以求出半徑，再利用圓

的面積進(jìn)行計(jì)算.

【解答】解：（1）?.?∕A0B=60°,半徑R=3,

60π×32_3n

'.S=360=丁，

VOA=OB,ZAOB=60°,

?,.ΔOΛB是等邊二角形,

9√3

??SAOAB=-4~,

陰影部分的面積S陰=孚一季.

Z4?

（2）設(shè)。0∣與OA相切于點(diǎn)E,連接0Q,O1E,

;相切兩圓的連心線必過切點(diǎn)，

.?.0>01、C三點(diǎn)共線,

在RtAOO]E中，

VZEOO1=30°,

Λ001=20ιE,

ΛO1E=1,

的半徑OIE=L

?C2

??s?—九r—五.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相切兩圓的性質(zhì).構(gòu)造直角三角形是常用的方法，本題的關(guān)鍵是求

得圓的半徑.

2.(2022?十堰)如圖，^ABC中，ΛB=ΛC,D為AC上一點(diǎn)，以CD為直徑的。。與AB相切

于點(diǎn)E,交BC于點(diǎn)F,FG±ΛB,垂足為G.

(1)求證：FG是C)O的切線；

(2)若BG=1,BF=3,求CF的長(zhǎng).

【分析】(1)由等腰三角形的性質(zhì)可證∕B=∕C=∕OFC,可證OF〃AB,可得結(jié)論；

(2)由切線的性質(zhì)可證四邊形GFoE是矩形，可得OE=GF=2√Σ,由銳角三角函數(shù)可求

解.

【解答】(1)證明：如圖，連接0F,

ΛZB=ZC,

VOF=OC,

ΛZC=ZOFC,

ΛZOFC=ZB,

Λ0F√AB,

VFG±ΛB,

ΛFG±OF,

又YOF是半徑，

.?.GF是。。的切線；

(2)解：如圖，連接OE,過點(diǎn)0作OluCF于H,

VBG=1,BF=3,ZBGF=90o,

ΛFG=√BF2-BG2=√9τrI=2√2,

與AB相切于點(diǎn)E,

ΛOElAB,

XVAB1GF,OFJLGF,

四邊形GFOE是矩形，

Λ0E=GF=2√2,

.?.OF=OC=2√Σ,

XV0H±CF,

ΛCH=FH,

??_CHBG

.COSrC-COSdD=玩=而，

.1CH

??=2√∑,

?_2>∕?

??rCnll=3，

.E4√2

?*CF=—?

【點(diǎn)評(píng)】本題考查切線的性質(zhì)和判定，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，矩形的判定和性

質(zhì)，銳角三角函數(shù)等知識(shí)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問題是解題的關(guān)鍵.

3.（2022?宜昌）石拱橋是我國(guó)古代人民勤勞和智慧的結(jié)晶（如圖1）,隋代建造的趙州橋距

今約有1400年歷史，是我國(guó)古代石拱橋的代表.如圖2是根據(jù)某石拱橋的實(shí)物圖畫出的

幾何圖形，橋的主橋拱是圓弧形，表示為靠.橋的跨度（弧所對(duì)的弦長(zhǎng)）AB=26m,設(shè)第

所在圓的圓心為0,半徑OCLAB,垂足為D.拱高（弧的中點(diǎn)到弦的距離）CD=5m.連接

0B.

（1）直接判斷AD與BD的數(shù)量關(guān)系；

（2）求這座石拱橋主橋拱的半徑（精確到1m）.

【分析】（1）根據(jù)垂徑定理便可得出結(jié)論；

（2）設(shè)主橋拱半徑為R,在RtaOBD中，根據(jù)勾股定理列出R的方程便可求得結(jié)果.

【解答】解：（1）V0C±ΛB,

ΛAD=BD;

（2）設(shè)主橋拱半徑為R,由題意可知AB=26,CD=5,

1

ΛBD=^AB=13,

OD=OC-CD=R-5,

VZODB=90°,

ΛOD2+BD2=OB2,

：.（R-5）2+132=R2,

解得R=I9.4QI9,

答：這座石拱橋主橋拱的半徑約為19m.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了垂徑定理，勾股定理.此題難度不大，解題的關(guān)鍵是方程思想的應(yīng)

用.

4.(2021?十堰)如圖，已知AB是。。的直徑，C為。。上一點(diǎn)，/0CB的角平分線交。。于

點(diǎn)D,F在直線AB上，且DFLBC,垂足為E,連接AD、BD.

(1)求證：DF是。O的切線；

(2)若tan∕A=4,G)O的半徑為3,求EF的長(zhǎng).

【分析】(1)連接0D,貝IJNODC=NOCD,CD平分NOCB,則/0CD=NBCD=NODC,所以

0D〃CE,又CEJ_DF,貝IJODJ_DF,所以DF是。0的切線；

(2)在RtZ?ABD中，tan/A=黑=會(huì)則AD=2BD,由勾股定理可得，BD2+AD2=AB2,即

BD2+(2BD)2=62,解得BD=竽，在RtABDE中，BD=縹，由勾股定理可得，BE2+DE2

6V5612EFBE

=BD92,BPBE92+(2BE)9=(—)92,解得BE=M貝IJDE=容，由(1)知BE〃0D,-=一，

5??DFOD

PP—6Q

即誦----=￡，解得EF=q.

-+EF3?

【解答】解：(1)如圖，連接0D,

VOC=OD,

ΛZODC=ZOCD,

YCD平分NOCB,

ΛZOCD=ZBCD,

ΛZODC=ZBCD,

Λ0D∕7CE,

.?.ZCEF=ZODE,

VCElDF,

ΛZCEF=90o,

ΛZ0DE=90o,即OD_LDF,

???DF是。。的切線；

(2)YAB是。。的直徑，

ΛZADB=90°,

DΓ)-1

.?.tanNA=曙=京貝IJAD=2BD,

在RtZ?ABD中，ZADB=90o,ΛB=2r=6,

ΛBD2+ΛD2=ΛB2,即BD2+(2BD)2=62,

解得BD=誓，

由(1)知DF是。0的切線，

ΛZBDF=ZA,

VBElDF,

ΛZBEF=90o,

AtanZBDF==1,則DE=2BE,

在RtZ^BDE中，BD=第，

由勾股定理可得，BE2+DE2=BD2,BPBE2+(2BE)2=(W)2,

解得BE=S則DE=S

由(1)知BE/70D,

6

EFBEEF7

BP12------=解得EF=

DF—OD,≡+EF3

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查切線的性質(zhì)和判定，三角函數(shù)，勾股定理，平行線分線段成比例

等內(nèi)容，要判定切線需證明垂直，作出正確的輔助線是解題關(guān)鍵.

5.(2021?孝感)如圖，在RtZ?ABC中，ZACB=90o,。。與BC,AC分別相切于點(diǎn)E,F,

Bo平分NABC,連接OA.

(1)求證：AB是。。的切線;

（2）若BE=AC=3,。。的半徑是1,求圖中陰影部分的面積.

【分析】（1）有切點(diǎn)則連圓心，證明垂直關(guān)系；無切點(diǎn)則作垂線，證明等于半徑;

（2）將不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形間的換算.

【解答】（1）證明：

連接OE,0F,過點(diǎn)0作ODJ_AB于點(diǎn)D,

IBC與。0相切于點(diǎn)E,

Λ0E±BC,

；BO是NABC的平分線，

Λ0D=0E,OD是圓的一條半徑，

.?.AB是。0的切線，

故：AB是G）O的切線.

（2）VBC,AC與圓分別相切于點(diǎn)E、點(diǎn)F,

Λ0E±BC,0F±AC,

.?.四邊形OECF是正方形，

...OE=OF=EC=FC=I,

.?.BC=BE+EC=4,又AC=3,

?,?S陰極=④（SZiABC-S正方形OECF-優(yōu)弧所對(duì)的S匐形KOF）

_53π

=2--8^?

53π

故圖中陰影部分的面積是：--一.

28

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓切線的判定以及圖形面積之間的轉(zhuǎn)化，不規(guī)則圖形面積的算法一

般將它轉(zhuǎn)化為若干個(gè)基本規(guī)則圖形的組合，分析整體與部分的和差關(guān)系.

6.(2020?十堰)如圖，AB為半圓0的直徑，C為半圓0上一點(diǎn)，AD與過點(diǎn)C的切線垂直,

垂足為D,AD交半圓0于點(diǎn)E.

(1)求證：AC平分/DAB；

(2)若AE=2DE,試判斷以0,?,E,C為頂點(diǎn)的四邊形的形狀，并說明理由.

【分析】(1)連接03由切線的性質(zhì)可知NOCD+ND=180°,進(jìn)而得到OC〃AD,得到N

DAC=ZACO,再由OC=OA得到NACO=NoAC,進(jìn)而得到NDAC=NOAC即可證明：

(2)連接EC、BC、E0,過C點(diǎn)作CHJ_AB于H點(diǎn)，先證明ZDCE=NCAE,進(jìn)而得到ADCE

^ΔDΛC,再由AE=2DE結(jié)合三角函數(shù)求出NEAC=30°,最后證明AEAO和aECO均為等

邊三角形即可求解.

【解答】解：(1)證明：連接0C,如下圖所示：

；CD為圓0的切線，

ΛZOCD=90°，

ΛZD+ZOCD=180°,

ΛOC√AD,

ΛZDAC=ZACO,

又OC=OA,

ΛZACO=ZOAC,

NDAC=∕OAC,

.?.AC平分NDAB.

(2)四邊形EAoC為菱形，理由如下:

連接EC、OC,OE如下圖所示，

由圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)可知，NB+NAEC=180°,

又/AEC+/DEC=I80°,

ΛZDEC=ZB,

又NB+NCAB=90°,

ZDEC+ZDCE=90o,

ΛZCAB=ZDCE,

又NCAB=NCAE,

ΛZDCE=ZCΛE,且ND=∕D,

ΛΔDCE^ΔDΛC,

設(shè)DE=x,則AE=2x,AD=AE+DE=3x,

CDDE

??—,

ADCD

99

ΛCD"=AD?DE=3x,

CD=√3x,

在RtAACD中,tanZDAC==?=?,

ΛZDAC=30°,

DAO=2NDAC=60°,且OA=OE,

AOAE為等邊三角形，

由同弧所對(duì)的圓周角等于圓心角的一半可知：ZE0C=2ZEAC=60o,

ZXEOC為等邊三角形，

...EA=AO=OE=EC=CO,

BPEA=AO=OC=CE,

.?.四邊形EAOC為菱形.

另解：連接EC,過點(diǎn)0作OF,AD于點(diǎn)F,

1

AAF=EF=抑=DE,

VZOCD=ZCDF=Z0FD=90o,

???四邊形OCDF是矩形，

Λ0C=DF=DE+EF=2DE,

ΛOC√AE,OC=AE,

.?.四邊形OCEA是平行四邊形，

VOA=OC,

.?.四邊形OCEA是菱形.

另解二：連接BE、EC交OC于F,

IAB為OO的直徑，OC/7AD,

ΛZΛEB=ZCFE=90o,

四邊形DEFC為矩形，

ΛCF=DE=∣AE,

VZDAC=ZCAB,

ΛCE=CD,

.?.EF=FB,OF為ZkABF中位線，

OF=CF=∣AE,

ΛOC√AE,OC=AE,

.?.四邊形AOCE為平行四邊形，

VOA=OC,

.?.四邊形AOCE為菱形.

OB

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓周角定理、相似三角形的判定和性質(zhì)、三角函數(shù)、菱形的判定等

知識(shí)點(diǎn)，屬于綜合題，熟練掌握其性質(zhì)和定理是解決本題的關(guān)鍵.

7.(2020?荊門)如圖，AC為。。的直徑，AP為。O的切線，M是AP上一點(diǎn)，過點(diǎn)M的直線

與。O交于點(diǎn)B,D兩點(diǎn)，與AC交于點(diǎn)E,連接AB,AD,AB=BE.

(1)求證：AB=BM;

(2)若AB=3,AD=?,求。。的半徑.

【分析】(1)根據(jù)切線的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)即可求出答案.

(2)連接BC,先求出EM與AE的長(zhǎng)度，再證明AMAES^CBA,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即

可求出答案.

【解答】解：(1)；AP為。。的切線，AC為。。的直徑，

ΛAP±AC,

ΛZCAB+ZPAB=90°,

NAMD+NAEB=90°,

VAB=BE,

ΛZAEB=ZCAB,

ΛZAMD=ZPAB,

ΛAB=BM.

(2)連接BC,

：AC為直徑，

.?∕ABC=90°,

,.ZC+ZCΛB=90o,

.,NCAB+NPAB=90°

,.ZC=ZPAB,

.βZAMD=ZMAB,ZC=ZD,

?.ZAMD=ZD=ZC,

24

?AM=AD=g,

.?AB=3,AB=BM=BE,

?EM=6,

_______________1o

?.由勾股定理可知：AE=VEM2-AM2=苛,

??NAMD=NC,ZEAM=ZABC=90o,

??ΔMAE^ΔCBA,

.MEAE

'CA=AB,

18

,_L_?

'CA一3"

?.CΛ=5,

的半徑為2.5.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓的綜合問題，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用切線的性質(zhì)，相似三角形的性

質(zhì)與判定，勾股定理以及等腰三角形的性質(zhì).

8.（2020?宜昌）如圖，在四邊形ABCD中，ΛD/7BC,ΛB=2√3a,ZABC=60°,過點(diǎn)B的（D

0與邊AB,BC分別交于E,F兩點(diǎn).OG±BC,垂足為G,0G=a.連接OB,0E,0F.

D

(1)若BF=2a,試判斷ABOF的形狀，并說明理由；

(2)若BE=BF,求證：。。與AD相切于點(diǎn)A.

【分析】(1)由垂徑定理得到BG=FG=a,則BG=OG,FG=OG,所以4BOG和aOFG都是

等腰直角三角形，則∕B0F=90°,從而可判斷ABOF為等腰直角三角形.

(2)連接EF,如圖，先證明aBEF為等邊三角形，再證明點(diǎn)E、0、G共線，即EGJ_BF,

接著計(jì)算出BE=2BG=2√5a=AB,則可判斷點(diǎn)A與點(diǎn)E重合，然后證明AG1.AD,從而得

到。0與ΛD相切于點(diǎn)?.

【解答】(1)解：Z?BOF為等腰直角三角形.

理由如下：VOG±BC,

ΛBG=FG=iBF=a,

V0G=a,

ΛBG=OG,FG=OG,

Λ?B0G和AOFG都是等腰直角三角形，

???NBOG=NFOG=45°,

ΛZB0F=90o,

而OB=OF,

???4BOF為等腰直角三角形.

(2)證明：連接EF,如圖，

VZEBF=60o,BF=BE,

ΛΔBEF為等邊三角形，

ΛEB=EF,

TOG垂直平分BF,

???點(diǎn)E、0、G共線，

即EG±BF,

V0G=a,Z0BG=30o,

.,.BG=√30G=√3a,

ΛBE=2BG=2√3a,

而AB≈2√3a,

點(diǎn)A與點(diǎn)E重合,

VAD√BC,AG±BF,

ΛAG±AD,

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的

切線.也考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)和垂徑定理.

9.(2020?咸寧)如圖，在RtZ?ABC中，NC=90°,點(diǎn)0在AC上，以O(shè)A為半徑的半圓0

交AB于點(diǎn)D,交AC于點(diǎn)E,過點(diǎn)D作半圓0的切線DF,交BC于點(diǎn)F.

(1)求證：BF=DF;

(2)若AC=4,BC=3,CF=I,求半圓0的半徑長(zhǎng).

【分析】(l)連接0D,由切線性質(zhì)得N0DF=90°,進(jìn)而證明NBDF+NA=NA+NB=90°,

得NB=NBDF,便可得BF=DF；

(2)設(shè)半徑為r,連接0D,0F,則0C=4-r,求得DF,再由勾股定理，利用OF為中間

變量列出r的方程便可求得結(jié)果.

【解答】解:(1)連接0D,如圖1,

；過點(diǎn)D作半圓0的切線DF,交BC于點(diǎn)F,

ΛZ0DF=90o,

/AI)0+/BDF=90°,

VOA=OD,

.?.ZOAD=ZODA,

ΛZ0AD+ZBDF=90o,

VZC=90o,

ΛZ0AD+ZB=90o,

ΛZB=ZBDF,

ΛBF=DF;

(2)連接OF,OD,如圖2,

設(shè)圓的半徑為r,則OD=OE=r,

VAC=4,BC=3,CF=I,

.?.0C=4-r,DF=BF=3-1=2,

B

Λr2+22=(4-r)2+l2,

._13

,?r^"8"?

13

故圓的半徑為??

τ8

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了切線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，已知切線,

往往連接半徑為輔助線，第（2）題關(guān)鍵是由勾股定理列出方程.

10.（2022?荊門）如圖，AB為。。的直徑，點(diǎn)C在直徑AB上（點(diǎn)C與A,B兩點(diǎn)不重合）,

OC=3,點(diǎn)D在（Do上且滿足AC=AD,連接DC并延長(zhǎng)到E點(diǎn)，使BE=BD.

（1）求證：BE是。。的切線；

（2）若BE=6,試求COSNCDA的值.

【分析】（1）根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角可得∕ADB=90°,從而可得NBDE+NADC=

90°,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及對(duì)頂角相等可得/ECB=/ADC,然后根據(jù)等腰三角形

的性質(zhì)可得NE=∕BDE,從而可得NE+NBCE=90°,最后利用三角形內(nèi)角和定理可得N

EBC=90o,即可解答;

（2）設(shè)OO的半徑為r,則AC=AD=3+r,在RtAABD中，利用勾股定理可求出r=5,

從而求出BC=2,然后在RtAEBC中，根據(jù)勾股定理可求出EC的長(zhǎng)，從而利用銳角三角

函數(shù)的定義進(jìn)行計(jì)算即可解答.

【解答】（1）證明：：AB為（DO的直徑，

.?.∕ADB=90°,

ΛZBDE+ZADC=90o,

VAC=AD,

.?.ZACD=ZADC,

VZACD=ZECB,

ΛZECB≈ZADC,

VEB=DB,

.?.ZE=ZBDE,

ΛZE+ZBCE=90o,

ΛZEBC=180o-(ZE+ZECB)=90o,

TOB是。。的半徑，

JBE是。O的切線；

(2)解：設(shè)。。的半徑為r,

V0C=3,

ΛΛC=ΛD=A0+0C=3+r,

VBE=6,

ΛBD=BE=6,

在RtZ?ABD中，BD2+AD2=AB2,

Λ36+(r+3)2=(2r)2,

Λrι=5,r2=-3(舍去),

,BC=OB-OC=5-3=2,

在RtZ?EBC中，EC=√EB2+BC2=√62÷22=2√10,

?BC2√10

??c°sNzErrCnB=反=近=河,

ΛcosZCDΛ=cosZECB=?,

√io

.".cosZCDA的值為---.

10

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的判定與性質(zhì)，解直角三角形，熟練掌握切線的判定與性質(zhì)，

以及銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.

11.(2022?恩施州)如圖，P為。。外一點(diǎn)，PA、PB為。。的切線，切點(diǎn)分別為A、B,直線

Po交。0于點(diǎn)D、E,交AB于點(diǎn)C.

(1)求證：ZΛDE=ZPAE.

(2)若∕ADE=30°,求證：AE=PE.

(3)若PE=4,CD=6,求CE的長(zhǎng).

【分析】（I）連接OA,利用切線的性質(zhì)定理，圓周角定理，同圓的半徑相等，等腰三角

形的性質(zhì)和等角的余角相等解答即可；

（2）利用（1）的結(jié)論，直徑所對(duì)的圓周角為直角，三角形的外角的性質(zhì)和等腰三角形

的判定定理解答即可；

A-UyA—V144-X

（3）CE=x,則DE=CD+CE=6+x,OA=OE=詈，OC=OE-CE=?,0P=0E+PE=上尹，

利用相似三角形的判定與性質(zhì)得出比例式即可求得結(jié)論.

【解答】（1）證明：連接0A,如圖，

;PA為。0的切線，

ΛA01PA,

ΛZ0AE+ZPAE=90o.

TDE是。。的直徑，

ΛZDAE=90o,

ΛZADE+ZAED=90o.

VOA=OE,

ΛZOAE=ZAED,

ΛZADE=ZPAE；

(2)證明：由(1)知：NADE=NPAE=30°,

VZDAE=90o,

ΛZΛED=90o-ZADE=60°.

「NAED=NPAE+NAPE,

???NAPE=NPAE=30°,

ΛAE=PE;

(3)解：設(shè)CE=x,則DE=CD+CE=6+x,

ΛOA=OE=?,

,OC=OE-CE=亍，

1A-4-Y

OP=OE+PE=上尹.

〈PA、PB為。。的切線，

ΛPA=PB,Po平分NAPB,

ΛP01AB.

YPA為。。的切線，

ΛΛ01PA,

ΛΔOΛC^ΔOPΛ,

.OAOP

?.=，

OCOA

6+X14+X

?2_2

??6-X—6+X'

22

即：χ2+10x-24=0.

解得：x=2或-12(不合題意，舍去)，

.?.CE=2.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了圓的切線的性質(zhì)，切線長(zhǎng)定理，等腰三角形的判定與性質(zhì)，圓

周角定理，垂徑定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，連接OA是解決此類問題常添加的輔助

線.

12.(2022?湖北)如圖，正方形ABCD內(nèi)接于。0,點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，連接CE交BD于點(diǎn)F,

延長(zhǎng)CE交G)O于點(diǎn)G,連接BG.

2

(1)求證：FB=FE?FGi

(2)若AB=6,求FB和EG的長(zhǎng).

【分析】(1)利用相似三角形的判定與性質(zhì)解答即可；

(2)連接OE,利用平行線分線段成比例定理求得FB；利用相交弦定理求EG即可.

【解答】（1）證明：???四邊形ABCD是正方形,

.?AD=BC,

.?.AD=BC.

.-.ZDBA=ZG.

VZEFB=ZBFG,

Λ?EFB^ΔBFG,

?FB__E_F_

??_=，

FGFB

.?.FB2=FE?FG;

(2)解：連接OE,如圖,

.?AB=AI)=6,NA=90°,

?BD=√AD2+AB2=6√2.

,.0B=∣BD=3√2.

.?點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，

?.OE±AB,

.?四邊形ABCD是正方形，

?.BC±AB,ZDBA=45o,AB=BC,

?.OE√BC,OE=BE=；AB.

.OFOE1

"FB-BC-2，

.OB-BF1

BF=2"

.3√2-BF1

"-BF-=2,

,.BF=2√2;

.?點(diǎn)E為AB的中點(diǎn),

ΛΛE=BE=3,

ΛEC=√BE2+BC2=3√5.

VAE?BE=EG?EC,

?3>∕5

..ErGr=—?-.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，圓周角定理，垂徑定理及其推論，相似三角形

的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，勾股定理，相交弦定理，靈活運(yùn)用上述定理及性質(zhì)是解

題的關(guān)鍵.

13.（2022?鄂州）如圖，ΔABC內(nèi)接于。0,P是。0的直徑AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn),NPCB=20AC,

過點(diǎn)0作BC的平行線交PC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D.

（1）試判斷PC與。0的位置關(guān)系，并說明理由；

1

⑵若PC=4,tanA=?,求ZkOCD的面積.

【分析】（1）由圓周角定理得出NACB=90°,進(jìn)而得出∕OAC+NOBC=90°,由等腰三

角形的性質(zhì)得出/OBC=NOCB,結(jié)合已知得出/PCB+/OCB=90°,得出OCLPC,即可得

出PC是。0的切線；

、I1,口1BC1,.,PBPCBC1,,?

（2）由tanA=*,得出芯=一，由4PCBsaPAC,得α出芯=芯=k=一，進(jìn)而f求出t

乙AC2PCPAAC2

PCPR

PB=2,PA=8,0C=3,由平行線分線段成比例定理得出左=而，進(jìn)而求出CD=6,即

可求出AOCD的面積.

【解答】解：（I）PC是。。的切線，理由如下：

TAB是。。的直徑，

ΛZACB=90o,

ΛZ0AC+Z0BC=90o,

VOB=OC,

ΛZOBC=ZOCB,

VZPCB=ZOΛC,

ΛZPCB+Z0CB=90o,

ΛZPC0=90",BPOC±PC,

?.?0C是半徑，

.?.PC是。。的切線；

(2)在Rtz?ACB中，tanA=器

tanA=?,

BC_1

?β?~——，

AC2

VZPCB=ZOAC,ZP=ZP,

ΛΔPCB^ΔPAC,

φPB_PC_BC_1

,ΦPC-PA^AC-2,

VPC=4,

ΛPB=2,PΛ=8,

JAB=PA-PB=8-2=6,

Λ0C=0B=0A=3,

?.,BC〃OD,

PCPB「42

.?.—=—，rBIP—=—,

CDOBCD3

ΛCD=6,

VOClCD,

11

ΛSΔ0CD=?OCCD??×3×6=9.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，解直角三角形，掌握?qǐng)A周角定理，切線的判

定與性質(zhì)，解直角三角形，相似三角形的判定與性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，三角

形面積的計(jì)算公式是解決問題的關(guān)鍵.

14.(2022?武漢)如圖，以AB為直徑的。。經(jīng)過aABC的頂點(diǎn)C,AE,BE分別平分NBAC和

ZABC,AE的延長(zhǎng)線交。0于點(diǎn)D,連接BD.

(1)判斷aBDE的形狀，并證明你的結(jié)論；

(2)若AB=I0,BE=2√Iθ,求BC的長(zhǎng).

D

【分析】(1)由角平分線的定義可知，ZBΛE=ZCΛD=ZCBD,ZΛBE=ZEBC,所以NBED

=ZDBE,所以BD=ED,因?yàn)锳B為直徑，所以NADB=90°,所以aBDE是等腰直角三角

形.

(2)連接0C、CD,OD,OD交BC于點(diǎn)F.因?yàn)镹DBC=NCAD=NBAD=/BCD.所以BD=

DC.因?yàn)镺B=OC.所以O(shè)D垂直平分BC.由aBDE是等腰直角三角形，BE=2√10,可得

BD=2√5.因?yàn)镺B=OD=5.設(shè)OF=t,則DF=5-t.在RtABOF和RtABDF中，52-√

=(2√5)2-(5-t)2,解出t的值即可.

【解答】(1)解：ABDE為等腰直角三角形.

證明：VAE平分NBAC,BE平分NABC,

/BAE=NCAD=∕CBD,ZABE=ZEBC.

VZBED=ZBAE+ZABE,ZDBE=ZDBC+ZCBE,

ΛZBED=ZDBE.

ΛBD=ED.

?.?AB為直徑，

ΛZADB=90°,

ΛΔBDE是等腰直角三角形.

另解：計(jì)算NAEB=I35°也可以得證.

(2)解：連接0C、CD、0D,OD交BC于點(diǎn)F.

,.?NDBC=NCAD=/BAD=ZBCD.

ΛBD=DC.

VOB=OC.

Λ0D垂直平分BC.

「△BDE是等腰直角三角形，BE=2√10,

ΛBD=2√5.

：AB=10,

.?.0B=0D=5.

設(shè)OF=t,則DF=5-t.

在RtaBOF和RtZXBDF中，52-t2=(2√5)2-(5-t)2,

解得t=3,

.?.BF=4.

ΛBC=8.

另解：分別延長(zhǎng)AC,BD相交于點(diǎn)G.則AABG為等腰三角形，先計(jì)算AG=I0,BG=4√5,

AD=4√5,再根據(jù)面積相等求得BC

【點(diǎn)評(píng)】此題是圓的綜合題，主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，證

明aBDE是等腰直角三角形是解題關(guān)鍵.

15.(2022?隨州)如圖，已知D為G)O上一點(diǎn)，點(diǎn)C在直徑BA的延長(zhǎng)線上，BE與OO相切，

交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,且BE=DE.

(1)判斷CD與。0的位置關(guān)系，并說明理由；

(2)若AC=4,SinC=

①求。0的半徑；

【分析】(1)結(jié)論：CD是OO的切線；只要證明ODLCD即可;

（2）①根據(jù)SinC=寺，構(gòu)建方程求解即可；

ADAC4yj2

②證明^CDAsΔCBD,推出=777=-F=—，設(shè)AD=V∑k,BD=2k,利用勾股定

iBDCD4√22

理求解即可.

【解答】解：（1）結(jié)論：CD是。。的切線；

理由：如圖，連接OD.

VEB=ED,OB=OD,

ΛZEBD=ZEDB,ZOBD=ZODB,

TBE是。。的切線，OB是半徑,

Λ0B±BE,

ΛZ0BE=90o,

ΛZEBD+Z0BD=90o,

ΛZEDB+Z0DB=90o,

ΛOD±DE,

TOD是半徑，

???CD是。。的切線；

（2）①設(shè)OD=OA=r,

VOD±CD,

??°D_1

??sιπC=Q^?=?,

?__r__1

??—―,

r+43

Λr=2,

???。。的半徑為2；

②在RtΔCOD中，CD=√OC2-OD2=√62-22=4√2,

VAB是直徑,

ΛZΛDB=90o,

ΛZDBA+ZBAD=90o,

VOD=OA,

ΛZOΛD=ZODΛ,

VZADC+Z0DA=90o,

ΛZADC=ZCBD,

VZC=ZC,

.β.ΔCDΛ^ΔCBD,

.ADAC_4_√2

??BD一CD-4√2^2,

設(shè)AD=√Σk,BD=2k,

VAD2+BD2=AB2,

Λ(√2k)2+(2k)2=42,

.?.k=等(負(fù)根已經(jīng)舍去),

【點(diǎn)評(píng)】本題考查作切線的判定和性質(zhì)，解直角三角形，相似三角形的判定和性質(zhì)等知

識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，屬于中考?？碱}型.

16.(2021?隨州)如圖，D是以AB為直徑的。0上一點(diǎn)，過點(diǎn)D的切線DE交AB的延長(zhǎng)線于

點(diǎn)E,過點(diǎn)B作BC_LDE交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)C,垂足為點(diǎn)F.

(1)求證：AB=BC;

(2)若。O的直徑AB為9,SinA=?

①求線段BF的長(zhǎng)；

②求線段BE的長(zhǎng).

【分析】(1)連接0D,則ODLDE,利用BCLDE,可得OD〃BC,通過證明得出NA=NC,

結(jié)論得證;

⑵①連接BD,在RtAABD中，利用SinA=/求得線段BD的長(zhǎng)；在RtABDF中，利用

SinZA=SinZFDB,解直角三角形可得結(jié)論；

②利用4EBFSAE0D,列出比例式即可得到結(jié)論.

【解答】解：（1）證明：連接OD,如圖1,

圖1

〈DE是。。的切線，

ΛODlDE.

VBC±DE,

.?OD√BC.

ΛZODA=ZC.

VOA=OD,

ΛZODA=ZA.

ΛZA=ZC.

ΛAB=BC.

(2)①連接BD,則NADB=90°,如圖2,

?RtΔABDψ,

???ABD1.

.sιnA=?θ=?*ABn=n9,

ΛBD=3.

VOB=OD,

ΛZODB=ZOBD.

VZ0BD+ZA=ZFDB+Z0DB=90o,

ΛZA=ZFDB.

ΛsinZA=sinZFDB.

在RtABDF中,

BF1

VsinZBDF=≡=J,

ΛBF=1.

②由（1）知：OD〃BF,

Λ?EBF^ΔEOD.

.BEBF

φ*OE=OD>

解得：BE=2

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了圓的切線的性質(zhì)，垂徑定理，圓周角定理，三角形相似的判定

與性質(zhì)，解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的判定，平行線的判定與性質(zhì).連接過

切點(diǎn)的半徑和直徑所對(duì)的圓周角是解決此類問題常添加的輔助線.

17.（2021?湖北）如圖，AB為。0直徑，D為（DO上一點(diǎn)，BCLCD于點(diǎn)C,交Θ0于點(diǎn)E,CD

與BA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F,BD平分NABC.

（1）求證：CD是。0的切線；

（2）若AB=I0,CE=I,求CD和DF的長(zhǎng).

【分析】（1）連接0D,只要證明CDLOD即可，利用角平分線，等腰三角形的性質(zhì)以及直

角三角形兩銳角互余可得結(jié)論；

（2）連接AE交OD于H,先證明四邊形HECD是矩形，利用矩形的性質(zhì)、垂徑定理勾股定

理得到AOAH的三邊長(zhǎng)，再利用AOAHS∕^OFD即可求得DF的長(zhǎng).

【解答】（1）證明：連接0D,

A

VBD平分NABC.

ΛZABD=ZDBC,

XVOB=OD,

ΛZOBD=ZODB,

ΛZDBC=ZODB,

又TBC_LCD,

ΛZC=90σ,

ΛZDBC+ZBDC=90o,

ΛZ0DB+ZBDC=90o,

即OD±DC,

，CD是Θ0的切線；

(2)解：連接AE交OD于點(diǎn)H,

:AB為。。直徑,

ΛZΛEB=90o,

ΛZHEC=90o,

VBC±CD,OD±DC,

ΛZODC=ZC=90o,

???四邊形HECD是矩形，

ΛDH=CE=I,HE=CD,ZEHD=90o,HE/7CD,

ΛOD±AE,

ΛAH=HE,

VAB=10,

??0A=0D=5,

.?0H=0D-DH=5-1=4,

ΛΛI(xiàn)I=√OA2-OH2=√52-42=3,

ΛHE=AH=3,

ΛCD=HE=3,

VHE√CD,

ΛΔOAH^ΔOFD,

.AHOH

e*FD-0D,

.34

??——,

FD5

15

.?.DF=*.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的判定方法，如何利用垂徑定理、勾股定理求線段的長(zhǎng)度等知

識(shí)點(diǎn)，能夠求證四邊形IIECD是矩形是解決本題的關(guān)鍵.

18.(2021?鄂州)如圖,在RtZiABC中,ZΛBC=90o,O為BC邊上一點(diǎn)，以0為圓心，OB

長(zhǎng)為半徑的。0與AC邊相切于點(diǎn)D,交BC于點(diǎn)E.

(1)求證：AB=AD;

(2)連接DE,若tanNEDC=/,DE=2,求線段EC的長(zhǎng).

【分析】(1)根據(jù)題意先得出AB切。0于點(diǎn)D,。。與AC邊相切于點(diǎn)D,根據(jù)切線長(zhǎng)定

理即可得出ΛB=ΛD;

(2)根據(jù)題意作出輔助線BD,根據(jù)角之間的互余關(guān)系推出NEBD=NEDC,再根據(jù)正切函

數(shù)的定義以及相似三角形的性質(zhì)推出各邊之間的關(guān)系，列出方程求解即可.

【解答】(1)證明：?.?NABC=90°,

ΛΛB±OB,

「AB經(jīng)過?0半徑的外端點(diǎn)B,

.?.AB切。0于點(diǎn)B,

又。O與AC邊相切于點(diǎn)D,

.?AB=AD.

(2)解：如圖,

連接BD,

YBE為。。的直徑，

ΛZBDE=90o,

.?ZCDE+ZADB=90o,

XVAB=AD,

???NADB=NABD,

ZCDE+ZABD=90°,

VZABC=90o,

ZABD+ZEBD=90o,

ΛZEBD=ZEDC,

又TtanNEDC=3，

1

ΛtanZEBD=

rDE1

即—=一，

BD2

VDE=2,

ΛBD=4,BE=2√5,

又?.?NC=NC,ZEBD=ZEDC,

ΛΔCDE^ΔCBD,

βCEDCDE1

**DC=BC=BD=2,

設(shè)CE=x,則DC=2x,

Λ(2x)2=x(x+2√5),

Λx1=0(舍去)，X2=

即線段EC的長(zhǎng)為工一.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查切線的性質(zhì)、圓周角定理和解直角三角形，解此類型題通常利用相關(guān)

的輔助線構(gòu)造相似三角形求解問題.

19.（2021?荊門）如圖，在AABC中，/BAC=90°,點(diǎn)E在BC邊上，過A,C,E三點(diǎn)的。

0交AB邊于另一點(diǎn)F,且F是前的中點(diǎn)，AD是。0的一條直徑，連接DE并延長(zhǎng)交AB邊

于M點(diǎn).

（1）求證：四邊形CDMF為平行四邊形；

（2）當(dāng)CD=IAB時(shí)，求SinZACF的值.

【分析】⑴連接DF、EF,根據(jù)圓周角定理得到NADF=NEDF,進(jìn)而證明NOFD=/EDF,

根據(jù)平行線的判定定理得到FC〃W，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到AF〃CD,根據(jù)平行四邊形的判

定定理證明結(jié)論；

（2）根據(jù)題意得到CD=2BM,證明ABEMS^CED,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到EC=2BE,

根據(jù)勾股定理、正弦的定義計(jì)算，得到答案.

【解答】（1）證明：連接DF、EF,

VZBAC=90°,

.?.FC是。。的直徑，

YF是靛的中點(diǎn)，

ΛAF=EF,

.?.NADF=NEDF,

VOF=OD,

ΛZADF=ZOFD,

ΛZOFD=ZEDF,

ΛFC√DM,

VOA≈0D,0F=0C,∕BAC=90°,

.?.四邊形AFDC為矩形，

ΛAF√CD,

.?.四邊形CDMF為平行四邊形；

(2)解：Y四邊形AFDC為矩形，四邊形CDMF為平行四邊形,

.1.CD=AF=FM=EF,

VCD=∣AB,

2

.?.CD=g(2CD+BM),

.?.CD=2BM,

VBM√CD,

ΛΔBEM^ΔCED,

.BMBE1

'"CD=EC=2,

ΛEC=2BE,

設(shè)BM=a,則CD=2a,BF=3a,EF=2a,

在RtZ?BEF中，BE=√BF2-EF2=√5a,

ΛEC=2√5a,

在RtZ?CEF中，F(xiàn)C=√EF2+EC2=2√6a,

在RtaFAC中，sin/ACF=囂=Il^=

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是圓周角定理、矩形的判定定理和平行四邊形的判定定理、相似三

角形的判定和性質(zhì)、正弦的定義，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出EC=2BE是解題的關(guān)鍵.

20.(2021?恩施州)如圖,在RtZ?A0B中，ZΛ0B=90o,OO與AB相交于點(diǎn)C,與AO相交

于點(diǎn)E,連接CE,已知∕A0C=2∕ACE.

(1)求證：AB為。。的切線；

(2)若A0=20,BO=15,求CE的長(zhǎng).

【分析】(1)證OCLAB即可證AB為。。的切線；

(2)作EHJ_AC于H,利用三角形相似和勾股定理分別求出EH和CH的長(zhǎng)度,再利用勾股

定理求出CE即可.

【解答】(1)證明：VOC=OE,

ΛZ0CE=Z0EC,

YZA0C=2ZACE,

1I

ΛZOCA=ZOCE+ZACE=^(ZOCE+ZOEC+ZΔOC)=^×180o=90°,

ΛOC±ΛB,

???AB為G)O的切線；

(2)解：作EH_LAC于H,

VAO=20,B0=15,

ΛAB=√OA2+OB2=√202÷152=25,

11

V-OA?OB=-AB?OC,

22

11

即一X20X15=—X25XOC,

22

Λ0C=12,

ΛAE=0A-0E=20-12=8,

VEH±AC,OC±AC,

ΛEH/7OC,

Λ?AEH^ΔAOC,

?_AE_E_H_

??,—,，

AOOC

8EH

即α一=，

VBC=√0B2-OC2=√152-122=9,

ΛAC=AB-BC=25-9=16,

VAH=√AE2-EH2=J82-（曾產(chǎn)=

ΛCH=AC-AH=16-?=等，

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查切線的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定，勾股定理等知識(shí)，熟練

利用勾股定理解直角三角形是解題的關(guān)鍵.

21.（2021?宜昌）如圖，在菱形ABCD中，0是對(duì)角線BD上一點(diǎn)（BO>DO）,OElAB,垂足

為E,以O(shè)E為半徑的。0分別交DC于點(diǎn)H,交EO的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,EF與DC交于點(diǎn)G.

（1）求證：BC是。。的切線；

（2）若G是OF的中點(diǎn)，0C=2,DG=L

①求曲的長(zhǎng)；

②求AD的長(zhǎng).

【分析】（1）過點(diǎn)0作OM±BC于點(diǎn)M,證明OM=OE即可;

（2）①先求出/HOE=120°,再求出0H=4,代入弧長(zhǎng)公式即可;

②過A作ANLBD,由4D0GSZ?DAN,對(duì)應(yīng)邊成比例求出AD的長(zhǎng).

【解答】解：（1）證明：如圖1,過點(diǎn)0作OMLBC于點(diǎn)M,

VBD是菱形ABCD的對(duì)角線，

ΛZΛBD=ZCBD,

VOMlBC,0E±AB,

ΛOE=OM,

???BC是。。的切線.

圖1

(2)①如圖2,

圖2

TG是OF的中點(diǎn)，OF=OH,

Λ0G=∣0H,

VAB∕/CD,OElAB,

Λ0F±CD,

ΛZ0GH=90o,

AsinZGHO=?,

ΛZGH0=30o,

ΛZG0H=60o,

ΛZHOE=120°,

V0G=2,

Λ011=4,

12∩X4XJIQ

二?由弧長(zhǎng)公式得到AE的長(zhǎng)：----——=-??.

1803

②如圖3,過A作AN_LBD于點(diǎn)N,

VDG=I,0G=2,0E=0H=4,

o∕Ξ

Λ0D=√5,0B=2√5,DN=?,

ΛΔDOG^ΔDAN,

CEQ

圖3

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了圓的切線的判定、圓中弧長(zhǎng)的計(jì)算，以及相似三角形的判定與

性質(zhì)，作高構(gòu)造出相似三角形是解題的關(guān)鍵.

22.(2020?武漢)如圖，在RtZ?ABC中，∕ABC=90°,以AB為直徑的。。交AC于點(diǎn)D,AE

與過點(diǎn)D的切線互相垂直，垂足為E.

(1)求證：AD平分NBAE；

(2)若CD=DE,求SinNBAC的值.

【分析】(1)連接0D,如圖，根據(jù)切線的性質(zhì)得到OD_LDE,則可判斷0D〃AE,從而得到

/1=ZODA,然后利用N2=/ODA得到/1=/2；

(2)連接BD,如圖，利用圓周角定理得到NADB=90°,再證明N2=N3,利用三角函

數(shù)的定義得到sin∕l=蓋，sin∕3=∣^,則AD=BC,設(shè)CD=x,BC=AD=y,證明ACDB

coΔCBA,利用相似比得到X：y=y：(x+y),然后求出x、y的關(guān)系可得到sinZBAC的值.

【解答】(1)證明：連接OD,如圖，

VDE為切線，

ΛODIDE,

VDE±AE,

Λ0D√ΛE,

ΛZl=ZODA,

VOA=OD,

ΛZ2=ZODA,

.?.Z1=Z2,

,AD平分NBAE；

(2)解：連接BD,如圖，

OAB為直徑,

ΛZADB=90°,

VZ2+ZΛBD=90o,Z3+ZABD=90o,

/.Z2=Z3,

?../1DE.DC

?SinZl=而，sιnZzq3=阮，

而DE=DC,

ΛAD=BC,

設(shè)CD=x,BC=ΛD=y,

VZDCB=ZBCA,Z3=Z2,

???ΔCDB^ΔCBA,

ΛCD：CB=CB：CA,即x：y=y：(x+y),

整理得χ2+xy-y2=0,解得X=匚芳y或X=（舍去）,

ΛsinZ3==