2023年高考模擬考數(shù)學試卷1（文）（解析版）

2023年高考數(shù)學模擬考試卷1（文）

第I卷

一、選擇題

1.集合A={x∣2sinx=l,x∈R},β=∣X∣Λ2-3x≤0∣,則AB=()

A.[0,3]B?[}c?[?`?]d?

K答案DD

K解析H由2sinx=l得SinX=J解得x=2+2Aπ或」?+2h兀火∈Z,

266

所以A=]幻X=7+2E或+2kτι,k∈Z?,

又由f-3x≤0解得0<x<3,所以8={x∣0≤x≤3},

所以4B=。，詈}，故選:D.

2.已知實數(shù)d匕滿足(α+bi)(2-i)=2+i(其中i為虛數(shù)單位)，則復數(shù)z=b+αi的共朝

復數(shù)為()

?43.c43.c34.、34.

A.—+-iB.-------1C.-+—iD.-------1

55555555

K答案HB

K解析》實數(shù)。，%滿足（α+歷）（2-i）=2+i（其中i為虛數(shù)單位）,

2

2+i(2+i)_34.”3,8」,

故

2-i(2-i)(2+i)5555

43-43

復數(shù)z=b+ai=1+1i的共輛復數(shù)z=g-gi,故選：B

3.若卜+4=包同,且a_LO,則向量α+6與d的夾角為（)

π

A.

6

2π

C.

T

K答案UA

K解析》因為所以“?0=0

又因為人+司=羊同,所以同+|可=軀）及『=

∣~+2a?hIa3W

所以,+司=+=J同2+2./+^2=2忖，所以α+A與0的夾角表示為,+仇。），

(q+b'αt∕∣2+a-b?a?GW?/?

則COS

∣^+?∣?∣tz∣(7+?∣?∣t7∣+?∣2∣?∣2

IT

所以α+b與d的夾角為彳.故選：A.

6

4.某校組織了一次航空知識競賽，甲、乙兩個班級各派8名同學代表參賽.兩個班級的數(shù)

學課代表合作，將甲、乙兩班所有參賽同學的得分繪制成如圖所示的莖葉圖，則下列結論

錯誤的是（）

甲乙

967

8420801259

30904

A.甲班參賽同學得分的極差比乙班參賽同學得分的極差小

B.甲班參賽同學得分的中位數(shù)比乙班參賽同學得分的中位數(shù)低

C.甲班參賽同學得分的平均數(shù)為84

D.乙班參賽同學得分的第75百分位數(shù)為89

K答案XD

R解析11對A,甲班參賽同學得分的極差為93-76=17,乙班參賽同學得分的極差為

94-71=23,故正確;

QOIQA

對B,甲班參賽同學得分的中位數(shù)是學吧=83,乙班參賽同學得分的中位數(shù)是

82+85

=83.5,故正確;

-2-

76+79+80+82+84+88+90+93

對C,甲班參賽同學得分的平均數(shù)為=84,故正確;

8

3

對D,乙班參賽同學得分為71,80,81,82,85,89,90,94,8×-=6,取第6個與第

7個數(shù)的平均數(shù)為第75百分位數(shù)，即為歿史=89.5,故錯誤.故選：D

5?已知?>°，23=2,則的最小值是（）

A.2B.2√2C.4D.2石

K答案》c

K解析』因為2J8>'=2*?23>'=2*+3>=2,所以x+3y=l,

因為x>0,y>O,所以L+-L=(χ+3y)(L+-!-]=2+土+2N2+2,f^^=4.

X3ylkx3yJ3yx?3yx

當且僅當/=型，即X=:，y=!時等號成立.故選：C

3yX26

6.已知拋物線C：V=4x的焦點為F,動點M在C上，圓M的半徑為1,過點F的直線

與圓M相切于點N,則FM?FN的最小值為()

C.1D.2

K答案》B

K解析UFM-FN=IFNI2=IFMI2-1=(?+-^)2-1=(?+1)2-1≥1-1=O,

當XM=O即點M為坐標原點時，取最小值，故選:B.

7.中國古代有計算多項式值的秦九韶算法，下圖是實現(xiàn)該算法的程序框圖，若輸入的

x=2∕=2,一次輸入的〃為2、2、5,則輸出的S等于()

(?)

/輸手S/

(?)

A.34B.17C.12D.7

K答案》B

R解析H程序運行時，變量值變化如下:

x=2,H=2,R=O,s=0,

4=2,5=2,Z=I,不滿足%>〃；

α=2,s=6,k=2,不滿足k>n；

α=5,S=I7,k=3,),兩k>t^ι.

輸出S=I7.

故選：B.

8.已知函數(shù)y=f(χ)的圖象的一部分如圖所示，則該函數(shù)K解析》式可能是()

A./(x)=x2?sinxB./(x)=x2?cosx

C.f(x)=COSΛ?1Π^>∕X2+1-xjD./(x)=COSΛ?1Π^>∕X2+1+xj

K答案DD

K解析D由圖象可知：f(χ)圖象關于原點對稱，則f(χ)為奇函數(shù)，

(Ty?cos(-x)=Vcosxy=f?cosx為偶函數(shù)，排除B；

令Y?sinx=(),解得：x=Aπ(?∈Z),貝IJy=X??sinx與X軸交點間距離相等，與圖象不

符，排除A；

當XW(0,1)時，ln(√?+T-x)=ln-y==-<lnl=0,COSX>0,

COSΛ-?IΠ^√X2+1-xj<0,即在X=O右側y=cosx?ln(Gn-X)函數(shù)值先為負數(shù)，與圖

象不符，排除C.

故選：D.

9.如圖，在邊長為2的正方形ABa)中，E,F分別為8C,C。的中點，H為EF的中

點，沿AE,EF,￡4將正方形折起，使8,C,。重合于點。，在構成的三棱錐

0-4E/中，下列結論錯誤的是（）

B.三棱錐O-AEF的體積為:

C.直線A”與平面EOf"所成角的正切值為2a

D.AEL平面OAH

K答案2D

K解析》翻折前，ABlBE,ADA.DF,故翻折后，OA±OE,OAVOF,

又OECOF=0,OE,OFu平面EOF,.?.OA_L平面Eo尸，故A正確；

由題意可知，三棱錐的側棱A0_L底面OEF,

則%”=匕”XlXIX2=；,故B正確；

連接?！埃珹H,則NoH4為A”與平面EoF所成的角，

OE=OF=I,H是Ef的中點，OELOF,

.-.OH=-EF=-.又。A=2,.?tan∕0∕M=絲=2&,故C正確;

22OH

.OA_L平面EOF,EFU平面EOF,:.OA±EF,

又OHLEF,OACOH=0,04,0HU平面Q4”，；.￡F1_平面。4”.

：AE與EF不平行，

「AE不可能與平面OAH垂直，故D錯誤.

故選：D.

10.已知數(shù)列｛an｝的前n項和組成的數(shù)列｛S,｝滿足s∣=1,5=5,5,,+2-3Sntl+2S?=0,

則數(shù)列｛4｝的通項公式為（）

1,Z7=1

A.a,,=/B.a

n2π^l+2,n≥2

1,〃=1

C.aD.q,=2"

n2^,π>2

K答案UC

K解析W因為S=I,5,=5,

所以4=E=I,a2-S2-S1-4,故可排除A,D；

又因為，+2-357+25〃=0,

所以Sn+2—S,,+1=-S),

2(5B+∣n

即ant2=M"1,

a-,4

又因為一=：=4λ,

所以當n≥2時，數(shù)列｛4,,｝是首項為4,公比為2的等比數(shù)列,

所以勺=4χ2"-2=2",

1,/?=1

2",n≥2'

故選：C.

與g(x)=cos］X+OJ有相同的對稱軸,

且f（x）在［0,5π］內(nèi)恰有3個零點,則9的取值范圍為（）

K答案XD

K解析W由題知,因為“X）與g（x）有相同對稱軸,

所以O=L

2

即〃x)=2SinGX+"-I,。"/,

1「5兀

令t=3X+φwφ,~+φ,

5π

即y=2sinf-l在φ,-+φ上有3個零點,

TTSTT5π

因為o≤0≤],所以三≤三+e≤3兀

畫出y=2sineT圖象如下所示:

解得一f≤9<g,故O≤夕≤g;當∕≤e≤E時,y=2sin/—1在8,一+夕上有3個零點,

33662L2

只需等≤"+e43τt,解得弓≤e≤g,綜上：O≤9≤J或m≤*≤g.故選:D

O232632

12.已知菱形A3。的邊長為2,NBAD=60,將ABCD沿對角線3。翻折，使點C到點

P處，且二面角A-BD-P的平面角的余弦值為則此時三棱錐P-ABO的外接球的體

積與該三棱錐的體積比值為（）

A2>∕28-?∕2π??.n,K

A.------nB.-------C.4TtD.6y]2τt

33

R答案HC

工解析2連接8DAC交于O,連接PO,易得。為B。與AC的中點,

四邊形ABCD為菱形，.?.AC?L3D,即AOJ.BD,POLBD,

，二面角A-BO-P的平面角為NAOP,.?.cosNAOP=-；

又AB=A￡)=2,ZBAD=60,.?.4O=Po=√5,BD=2；

在，AOP中，由余弦定理得：PA=y∣AO2+PO1-2AO?POcosZAOP=2√2：

PD=AD=2,PB=AB=2,.?.PD2+AD2≈PB2+AB2?PA2-

.??皿加皿,.??三棱錐P的夕卜接球球心為孫中點，半徑為抑3

三棱錐P-ABD的外接球體積V=-π×(√2j,=也爭

?,?AOlBD,PoLBD,AOPO=0,AO,POu平面AOP,二L平面AoP,

COSNAoP=-L0。<ZAOP<180o,.?.SinNAoP=迪，

33

:.Sλ0i,=^AO-POsinZAOP=42,

■V=LS.BD=

,?vP-ABD3°aopDU3

8√2π

..?三棱錐P-ABD的外接球的體積與該三棱錐的體積之比為--=-?=4π.

P-ABD2Λ∕2

3

故選：C.

第II卷

二、填空題

13.已知數(shù)列｛/｝是公差為d的等差數(shù)列，且各項均為正整數(shù)，如果4=l,a,,=16,那么

n+d的最小值為.

K答案X9

K解析》由等差數(shù)列的通項公式/=4+("-l)d,得1+(〃-l)d=16,

(∕ι-l)J=15=15×l=5×3,

因為數(shù)列的各項均為正整數(shù),

/7-1=1577-1=1H-1=5n-↑=3

所以d=l'或d=15，或d=3'或

d=5

72=16n=2n=677=4

所以d=l'或d=15'或d=3'或

d=5f

所以〃+d最小值為9.

故K答案H為：9

14.從長度為1,3,5,7,9的5條線段中任取3條，則這三條線段能構成一個三角形的

概率為.

K答案_》?3

K解析W從5條線段中任取3條線段的基本事件有

{(1,3,5),(1,3,7),(1,3,9),(1,5,7),(1,5,9),(1,7,9),(3,5,7),(3,5,9),(3,7,9),(5,7,9)},總數(shù)為10,能構

成三角形的情況有：(3,5,7),(3,7,9),(5,7,9),共3個基本事件，故概率為得.

3

故R答案H為：

15.在平面直角坐標系XOy中，圓(XT)?+(y-2)2=4上一點到直線小一到+2(〃一m)=0

的最大距離為.

K答案H3

K解析H圓(X-I)2+(y-2)2=4的圓心為(1,2),半徑為2,

因為直線“Zt—孫+2(w—m)=0為∕n(x-2)+∕ι(2-y)=0,

所以直線，我-〃>+2(〃-加)=0恒過點(2,2),

若圓(X-I)2+(y-2>=4上一點到直線，噂-利+2(〃-加)=0的距離最大，

則圓心(1,2)與點(2,2)連線與直線爾-利+2(〃-咐=0垂直，

又圓心與(2,2)距離d="(1-2)2+(2-2)2=i,

所以最大距離為d+r=l+2=3,

故R答案11為：3.

16.己知函數(shù)f(x),g(x)的定義域為R,若對VXeR,I(X)+g(2-X)=5,

g(x)-∕(x-4)=7,g(2—x)=g(2+x)成立，且g(2)=4,貝IJ

/(1)+/(2)+/(3)++/(22)+/(23)=.

K答案》-25

K解析》因為“x)+g(2-x)=5①，且g(2-x)=g(2+x)②，

g(x)-∕(x-4)=7BPg(x+2)-∕(x-2)=7,結合②可得g(2—x)—/(x—2)=7③，①③相

減有/(X)+∕(X-2)=-2,故F(X+2)+"x)=-2④,Bp∕(x+2)=∕(x-2),故f(x)周期

為4.

在①中令X=0,有/(0)+g⑵=5,又g(2)=4,可得/(0)=1.

由④，令X=0,x=l?∕(0)+∕(2)=∕(l)+∕(3)=-2,結合/(x)周期為4,貝U

/(1)+/(2)+/(3)++∕(22)+∕(23)

=/(0)+/(1)+/(2)+/(3)++/(22)+/(23)T(O)

=6("0)+"l)+42)+∕(3))T(0)

=6x(T)-I=—25

故K答案H為：-25

三、解答題

17.(12分)如圖，四邊形ABCD是正方形，DE工平面ABe￡>,AF//DE，

AD=DE=2AF=4.

(1)求證：AC_L平面8DE；

(2)求三棱錐3-OEF的體枳.

(1)證明：因為四邊形ABCD是正方形，所以ACIBO,

因為OE/平面ABC。，ACU平面ABC。，所以AC_L￡)E,

又因為BDCDE=D，8。。EU平面BOE,所以ACj?平面BOE.

(2)解：因為DEI平面A8C3,ADU平面A8C3,所以DEIAD,

因為A尸〃DE,所以點R到Z)E的距離為4,SADEF=∕X4X4=8,

因為43_LAD,DEJ.AB,ADcDE=D,A。,DEu平面Af）E尸,

所以平面ADEF,

所以點B到平面DEF的距離為4,

所以k郎=丁18'4=方32.

JTTT

18.(12分)如圖，在√1BC中，NACB=ZCAB=-,AC=2,點M在線段AB上.

6

(2)點N是線段CB上一點，MN=B且BM+8N=4+百，求證：5ΔS,WW=?SΔΛSC.

(1)解：在VOu7中，CoSNCM4=叵，.?.sinZCAYA=—

66

?“AC?sm;2×

由正弦定理.———=———,得CM=----------2_=—jτXr=6.

-⑶匕工SinNcAMsinZCMASinNCMAB

^6^

(2)證明：在一BWN中，MN=后,BM+BN=4+?β

由余弦定理得：

MN2=BM2+BN2-2BM-BNcosZABC=（BM+BN）2-2BM-BN-（l+~）

即（近『=（4+√5）2-2BM?BN{1+?jBMBN=4√3

又SBMN=L3M?BNsin工=1χ4GXL=后,SABC=LX2x2月=2港

26222

??S4BMN=5SΔABC

19.（12分）為了慶祝神舟十四號成功返航，學校開展了“航天知識”講座，為了解講座效

果，從高一甲乙兩班的學生中各隨機抽取5名學生的測試成績，這10名學生的測試成績

（百分制）的莖葉圖如圖所示.

甲乙

79

63868

6902

（1）若焉，G分別為甲、乙兩班抽取的成績的平均分，S1p,舐分別為甲、乙兩班抽取

的成績的方差，則看，，S1JS：.（填“>”或“V”）

（2）若成績在85分（含85分）以上為優(yōu)秀,

（i）從甲班所抽取的5名學生中任取2名學生，則恰有1人成績優(yōu)秀的概率;

（ii）從甲、乙兩班所抽取的成績優(yōu)秀學生中各取1人，則甲班選取的學生成績不低于乙

班選取的學生成績的概率.

77+78+83+86+96員」9+86+88+90+92=87,

解：（1）由莖葉圖知，x==84,

φ5

甲

所以X＜Xz4;

5,∣,[(77-84尸+。8_84)2+(83-84)2+(86-84)2+(96-84)2]=46.8,

22

Sl=([(79-87)2+(86_87)2+(88_87)2+(90-87)+(92-87)]=20,

所以器＞發(fā).

（2）（i）抽取的兩名學生成績分別為χ,y,把他們記為袖y）,

從甲班所抽取的5名學生中任取2名學生，他們的成績組成的不同結果：

（77,78）,（77,83）,（77,86）,（77,96）,（78,83）,（78,86）,（78,96）,（83,86）,（83,96）,（86,96）,共10

個，

恰有1人成績優(yōu)秀的事件A有：（77,86）,（77,96）,（78,86）,（78,96）,（83,86）,（83,96）,共6個,

所以恰有1人成績優(yōu)秀的概率P（A）=，='

（ii）依題意，甲班成績優(yōu)秀學生有2人，成績分別為86,96,乙班成績優(yōu)秀學生有4

人,成績分別為86,88,90,92,

從甲、乙兩班所抽取的成績優(yōu)秀學生中各取1人，按甲班的在前、乙班的在后寫在括號

內(nèi)，不同結果有：

（86,86）,（86,88）,（86,90）,（86,92）,（96,86）,（96,88）,（96,90）,（96,92）,共8個,

甲班選取的學生成績不低于乙班選取的學生成績的事件5有：

（86,86）,（96,86）,（96,88）,（96,90）,（96,92）,共5個，

所以甲班選取的學生成績不低于乙班選取的學生成績的概率P（B）=J.

O

20.(12分)已知函數(shù)/(x)=∕nrT∏Λ?T.

(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；

(2)函數(shù)g(x)=],若"x)>g(x)在(0,+功上恒成立，求實數(shù)〃?的取值范圍.

解：(1)函數(shù)/(x)的定義域為(。,+8),r(χ)=w2-∕=gl,

①當加≤0時，f(x)<O,所以/(x)在上(0,+8)為單調(diào)遞減函數(shù),

②當初>o時，令r(x)<o解得o<x<L,令yχ4>0解得χ>L,

m''m

所以“X)在(Oq上為單調(diào)遞減函數(shù)，在(2,+∞)為單調(diào)遞增函數(shù).

2

(2)由/(x)>g(x)得，IWC—?nx—1>

InX+1X

??"1〉---------1—,

Xev

IrLr+1X?-Inx1-x

令F(X)=+/，F(xiàn)(6=Kh

X

當Xw(0,l)時產(chǎn)'(x)>0,x∈(l,-κχ))?,F(x)<0,

所以尸(力在(0,1)單調(diào)遞增，在(L+∞)單調(diào)遞減，

ΛF(XLX=F(1)=1+;

遼】

故機>1+—??

e

22

21.(12分)已知橢圓C:=r+二=l(o>b>O)的右頂點A(2,0),P為橢圓C上的動點，且

Crb"

點P不在X軸上，。是坐標原點，49尸面積的最大值為1.

(1)求橢圓C的方程及離心率；

(2)過點”(7,0)的直線P”與橢圓C交于另一點。，直線ARAQ分別與y軸相交于點

E,F.當IEFl=2時，求直線PH的方程.

χ2V2

解：⑴橢圓Ur+4=l(α>b>0),A(2,0),.?a=2,

a^b^

P為橢圓C上的動點，且點尸不在X軸上，O是坐標原點，過點尸作PKLX軸，垂足為

K,故AoP面積為SVMj=gx∣Q4∣x∣PKI=；x2x|PK|,

若要AoP面積最大，則需IPKI最長，此時點尸在y軸上，即IPKI=IOH時，使得AOP

面積最大，SVAOP=^×?OA?×?PK?^^×2×?OP?^1,.-.?OP?=1,

.?b=?,c=?∣a2-b2=?∣4-?=?/??

.?.橢圓C的方程為三+y2=ι,離心率為e=￡=且.

4?a2

(2)P為橢圓C上的動點，過點”(7,0)的直線P”與橢圓C交于另一點Q,

可記P(XQl),Q(X2,>2)，

當直線尸〃的斜率不存在時.，即P”,X軸時，?P^<2b=2,此時直線AP,AQ分別與).

軸相交于點E,F.此時|政|<歸a<2,不符合題意.

當直線尸”的斜率存在時，設直線PH的方程為：γ=Ar(x+D,(?≠0),

y=k(x+?),

聯(lián)立｛χ22_,消去y可得三+∕2(χ+l)2=l,化簡得(l+4k2)χ2+8%2χ+4*-4=0,由

韋達定理可得

4?2-4

Mp16注一164,3,+1

2

(I+*l+4k-1+4Z

由P(XQJ,Q(x2,y2),A(2,0),則直線外的方程為：y=-?(x-2),直線QA的方程

再一Z

為：y=f(x-2),因為直線AP,AQ分別與y軸相交于點EF,令x=0分別代入直線

X)-Z

州,直線QA可得：點E(0,二?),小0,二組],

Ix∣-2j[X2-2)

λ∣ef∣=∣-?--?l=21^4--?l

IX1—2x-y—2∣Ix∣-2七一2|

又P(國,M),。&2，必)在直線尸”方程y=M(χ+i),(AWo)上，所以有

yl=&(為+1),y2=>(X2+?)，

3女阮一天)

分別代入但Fl并化簡可得|即|=2y%

x∣~2X)—2x1x2-2(?,+X2)+4

4y∣3k2+

x1x2-2(x1+/)+4

.」■口,???2∣等卜2,則粵卜,解得八…±g

故直線產(chǎn)”的方程為：y=—^?(x+l)或y=-近?(x+l),

(二)選考題：請考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題計分.

22.［選修4-4：坐標系與參數(shù)方程］(10分)

在直角坐標系XQy中，直線/的參數(shù)方程為卜=8+0“C為參數(shù)).以坐標原點為極

y=∕sina

Q

點，X軸的正半軸為極軸建立坐標系，曲線C的極坐標方程為"==一；,直線/與

5-3cos2<9

曲線C相交于A,2兩點，Λ∕(√3,θ).

(I)求曲線C的直角坐標方程；

(2)若4M=2M8,求直線/的斜率.

..2_8________________8_______________4

解：⑴，05-3COS265(cos°e+si∏2。)-3(CoS°”sin?6)cos26>+4sin2θ,則

p1Cos2。+4夕2sin20=4,

丫2

"+4y2=4,即二+y2=ι,

4

2

故曲線C的直角坐標方程為三+V=L

4

(2)將直線/的參數(shù)方程為卜=6+