2023年高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末調(diào)研模擬試題（含解析）

2022-2023高二下數(shù)學(xué)模擬試卷

考生須知：

1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色

字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。

2.請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。

3.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.執(zhí)行如圖的程序框圖，如果輸入N=l（）,那么輸出的S=（）

,111

A.1+-+-++——

2310

,111

B.1H-------1-----------FH----------------------------

1x21x2x3Ix2x3xxlO

,111

C.1+-+-++——

2311

11

D.1+——+-----+H----------------------------

1x21x2x3Ix2x3xxl1

2.已知函數(shù)/（九）=Acos（wx+。）卜>0,I^|<y的部分圖象如圖所示，其中N,P的坐標(biāo)分別為（3不，-A

*0,則函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間不可能為（）

9兀33萬(wàn)

D.T,-T

3.下列說(shuō)法中正確的個(gè)數(shù)是（）

①命題："X、yeR,若以一1|+僅-1=0,則x=y=l"，用反證法證明時(shí)應(yīng)假設(shè)x/1或尸1；

②若a+b〉2,則。、b中至少有一個(gè)大于1；

③若一1、x、y、z、T成等比數(shù)列，則丁=±2；

④命題：“3九?0,1],使得x+，<2"的否定形式是：總有x+122"'”.

XX

A.1B.2C.3D.4

21

4.設(shè)a>0,b>0,若2。+匕=1,則一+一的最小值為

ab

A.2>/2B.8C.9D.10

JI1

5.在平行四邊形ABC。中，NBAD=一,點(diǎn)E在AB邊上，AD=AE=-AB=\,將ADE沿直線折起成

32

..A'DE,/為AC的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）

A.直線AE與直線B尸共面B.BF=g

C..A'EC可以是直角三角形D.A'CIDE

6.在AABC中，角A,B,。的對(duì)邊分別是。，b,c,若Z;sin2A+J5asin8=0,b=>/2c?則一的值為（）

a

A1oI、幣

A.1B.-----C.——D.-----

357

7.已知具有線性相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量x,3'的一組數(shù)據(jù)如下表:

X24568

y2040607080

根據(jù)上表，利用最小二乘法得到）'關(guān)于x的線性回歸方程為夕=10.5X+。，貝!1。的值為（）

A.1B.1.5C.2D.2.5

8.下圖來(lái)自古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底所研究的幾何圖形，此圖由三個(gè)半圓構(gòu)成，三個(gè)半圓的直分別為直角三角形ABC

的斜邊BC,直角邊A3,AC.若A5=4,AC=3,在整個(gè)圖形中隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的概率為（7。3）

A

B_______________C-

2316

A.—B.—

2525

2516

C.—D.

4141

9.某研究機(jī)構(gòu)對(duì)兒童記憶能力x和識(shí)圖能力y進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，得到如下數(shù)據(jù):

記憶能力x46810

識(shí)圖能力y3568

4

由表中數(shù)據(jù)，求得線性回歸方程為，9=若某兒童的記憶能力為12時(shí)，則他的識(shí)圖能力約為（）

A.9.2B.9.5C.9.8D.10

10.已知隨機(jī)變量之服從二項(xiàng)分布B（n,p）,且E（g=7,D（&）=6,則p等于（）

11.有7張卡片分別寫有數(shù)字1,1,1,2,2,3,4,從中任取4張，可排出不同的四位數(shù)個(gè)數(shù)為（）

A.78B.102C.114D.120

12.已知函數(shù)/（X）=^+2&1M-灰，若％=2是函數(shù)/G）的唯一極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)左的取值范圍是（）

<2~/~1

A.—℃）,—B.一0°，5C.（0,2]D.[2,~FOO）

I4」V2J

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.如圖，正方體A3CO—A4G2中，E為線段8月的中點(diǎn)，則AE與所成角的余弦值為一.

14.高三某位同學(xué)參加物理、化學(xué)、政治科目的等級(jí)考，已知這位同學(xué)在物理、化學(xué)、政治科目考試中達(dá)A的概率分

573

別為二、寸、;，這三門科目考試成績(jī)的結(jié)果互不影響，則這位考生至少得1個(gè)A的概率為

684

15.已知函數(shù)y=〃x)的圖象在點(diǎn)處的切線方程是y=x+2,則/(i)+r(i)=.

16.在長(zhǎng)方體ABCO—ABCR中，AB=O,5C=M=1>點(diǎn)M為線段A4的中點(diǎn)，點(diǎn)p為對(duì)角線AG上的

動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q為底面ABCD上的動(dòng)點(diǎn)，則MP+PQ的最小值為.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.(12分)在12件產(chǎn)品中，有1()件正品，2件次品，從這12件產(chǎn)品中任意抽取3件.

(1)共有多少種不同的抽法？

(2)抽出的3件中恰有1件次品的抽法有多少種？

(3)抽出的3件中至少有1件次品的抽法有多少種？

18.(12分)已知拋物線。：丁=必2(。>())的焦點(diǎn)為尸，直線x=2與x軸相交于點(diǎn)與曲線C相交于點(diǎn)N,且

|W|=-|FA^|

(1)求拋物線C的方程；

(2)過(guò)拋物線C的焦點(diǎn)口的直線/交拋物線于P,Q兩點(diǎn)，過(guò)P,Q分別作拋物線的切線，兩切線交于點(diǎn)A,求證點(diǎn)A

的縱坐標(biāo)為定值.

19.(12分)(1)求過(guò)點(diǎn)「：一且在兩個(gè)坐標(biāo)軸上截距相等的直線方程.

(2)求過(guò)點(diǎn)一；：，且與直線....=0垂直的直線的方程；

20.(12分)已知函數(shù)/(x)=ML—

X+1X

(I)求函數(shù)/(幻在點(diǎn)(1J⑴)處的切線方程；

(口)當(dāng)x>0,且xw1時(shí)，/(x)+-。-2),求a的取值范圍.

X-1

21.(12分)在AABC中，角A8,。所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為。，4c,且滿足csin8=J^cosC,^一°?=2〃.

(I)求C的大??；

(II)若AABC的面積為21月，求》的值.

22.(10分)已知函數(shù)/(x)=|2x+a|—|x-l|.

(1)當(dāng)a=l時(shí)，解不等式f(x)>2；

(2)當(dāng)。=0時(shí)，不等式/。)>/一，一7對(duì)任意xeR恒成立，求實(shí)數(shù)，的取值范圍.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、B

【解析】

分析：由題意結(jié)合流程圖運(yùn)行程序即可確定程序的輸出結(jié)果.

詳解：結(jié)合所給的流程圖運(yùn)行程序如下：

首先初始化數(shù)據(jù)：N=10,A=l,S=0,T=I,

第一次循環(huán)：T=-=\,S=S+T=1,Z=k+1=2,此時(shí)不滿足Z>N；

k

第二次循環(huán)：7=工=」一,S=S+T=l+」一#=k+l=3,此時(shí)不滿足%>N；

k1x21x2

第三次循環(huán)：T=-=—i—,S=S+T=l+」一+—!—?=2+1=4,此時(shí)不滿足上〉N；

k1x2x31x21x2x3

一直循環(huán)下去,

]1

第十次循環(huán)：T=~=S=S+T=1H----1-+---■-d---------------%=斤+1=11,此

kIx2x3xxlO1x21x2x3Ix2x3xxlO

時(shí)滿足Z>N,跳出循環(huán).

則輸出的S=]H----1--------F?+

1x21x2x3Ix2x3xxlO

本題選擇B選項(xiàng).

點(diǎn)睛：識(shí)別、運(yùn)行程序框圖和完善程序框圖的思路

(1)要明確程序框圖的順序結(jié)構(gòu)、條件結(jié)構(gòu)和循環(huán)結(jié)構(gòu).

(2)要識(shí)別、運(yùn)行程序框圖，理解框圖所解決的實(shí)際問(wèn)題.

(3)按照題目的要求完成解答并驗(yàn)證.

2、D

【解析】

利用排除法，根據(jù)周期選出正確答案.

【詳解】

3117T57r37r

根據(jù)題意，設(shè)函數(shù)小)=女。式…的周期為「則二守一丁彳，所以丁=乃.因?yàn)樵谶x項(xiàng)D中，區(qū)間長(zhǎng)

度為33等7r一9等7r=3〃

97r337t

???/(X)在區(qū)間—上不是單調(diào)減函數(shù).所以選擇D

OO

【點(diǎn)睛】

本題考查了余弦函數(shù)/(x)=Acos(wx+。)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問(wèn)題，解決此類問(wèn)題需要結(jié)合單調(diào)性、周期等.屬于

中等題.

3、C

【解析】

根據(jù)命題的否定形式可判斷出命題①的正誤；利用反證法可得出命題②的真假；設(shè)等比數(shù)列的公比為q,利用等比數(shù)

列的定義和等比中項(xiàng)的性質(zhì)可判斷出命題③的正誤；利用特稱命題的否定可判斷出命題④的正誤.

【詳解】

對(duì)于命題①，由于x=y=l可表示為X=1且y=l,該結(jié)論的否定為“XH1或，所以，命題①正確；

對(duì)于命題②，假設(shè)且hWl,由不等式的性質(zhì)得。+方42,這與題設(shè)條件矛盾，假設(shè)不成立，故命題②正確；

對(duì)于命題③，設(shè)等比數(shù)列—1、%、八z、t的公比為4,則匕=才>0,，y<o.

由等比中項(xiàng)的性質(zhì)得y2=(-l)x(T)=4,則y=-2,命題③錯(cuò)誤；

對(duì)于命題④，由特稱命題的否定可知，命題④為真命題，故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查命題真假的判斷，涉及反證法、等比中項(xiàng)以及特稱命題的否定，理解這些知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵，考查分析問(wèn)

題和解決問(wèn)題的能力，屬于基礎(chǔ)題.

4、C

【解析】

2|21

根據(jù)題意可知，利用“1”的代換，將一+:化為(一+：)(2a+b),展開再利用基本不等式，即可求解出答案。

abab

【詳解】

由題意知，a>0,b>0,且加+〃=1,貝!1

-+-=(-+-)(2a+/?)=5+—+—>5+2(—X—=9

abab'ab\ab

當(dāng)且僅當(dāng)一=；時(shí)，等號(hào)成立，一+丁的最小值為9,故答案選C。

abab

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了利用基本不等式的性質(zhì)求最值的問(wèn)題，若不滿足基本不等式條件，則需要?jiǎng)?chuàng)造條件對(duì)式子進(jìn)行恒等變

形，如構(gòu)造“1”的代換等。

5、C

【解析】

（1）通過(guò)證明尸是否共面，來(lái)判斷直線A'E與直線是否共面；

（2）取特殊位置，證明=L是否成立；（3）尋找AEC可以是直角三角形的條件是否能夠滿足；（4）用反證法

2

思想，說(shuō)明A'C_LO￡能否成立.

【詳解】

如圖，因?yàn)?,C,E,A四點(diǎn)不共面，所以面ABC,故直線4E與直線B尸不共面；

△?。暄刂本€?！暾燮鸪??！?位置不定，當(dāng)面4。七_(dá)1_面3。。后，此時(shí)8尸片（；

取。E中點(diǎn)，連接AG,CG,則A'G_LDE,若有AC_LOE,則OE_L面ACG

即有DE_LCG,在R&DGC中，C0=2,OG=L,NC￡>E=6O”明顯不可能，故不符合；

2

在一AEC中，AE=1,CE=5而AC=5>2,所以當(dāng)A'C=2時(shí)，一AEC可以是直角三角形；

【點(diǎn)睛】

本題通過(guò)平面圖形折疊，考查學(xué)生平面幾何知識(shí)與立體幾何知識(shí)銜接過(guò)渡能力，涉及反證法、演繹法思想的應(yīng)用，意

在考查學(xué)生的直觀想象和邏輯推理能力.

6、C

【解析】

在8sin2A+&。sin8=0中利用正弦定理和二倍角公式能求出角A，再依據(jù)余弦定理列出關(guān)于角A的關(guān)系式，化簡(jiǎn)

即得.

【詳解】

■:bsin2A+sinB=0，

.,.由正弦定理可得sinBsin2A+A/2sinAsinB=0，即2sinBsinAcosA+>/2sinAsin8=0?

5

由于sinBsinAH0,:.cosA=——.V0<A<萬(wàn)，

2

A=—.又。=^2c?

由余弦定理可得"4-c2一28ccosA=2c°+c2+2c2=5c2>>,?—=^~.故選C.

a5

【點(diǎn)睛】

本題主要考查正余弦定理解三角形以及三角恒等變換.

7、B

【解析】

回歸直線經(jīng)過(guò)樣本中心點(diǎn)（x,切.

【詳解】

樣本中心點(diǎn)為（5,54）,因?yàn)榛貧w直線經(jīng)過(guò)樣本中心點(diǎn)，所以54=10.5x5+。，。=1.5.

故選B.

【點(diǎn)睛】

本題考查回歸直線的性質(zhì).

8,D

【解析】

首先計(jì)算出圖形的總面積以及陰影部分的面積，再根據(jù)幾何概型的概率計(jì)算公式計(jì)算可得.

【詳解】

解：因?yàn)橹苯侨切蜛BC的斜邊為3C,45=4,AC=3,

所以AC?=AC2+.2=42+32=25,

以8C為直徑的圓面積為?［生］=—,以AB為直徑的圓面積為乃（絲］=啊，以AC為直徑的圓面積為

（2J4I2J4

q21A211］（S、2

所以圖形總面積5=二萬(wàn)x上+土乃x±+±x3x4=—+6,S陰用=S—上萬(wàn)?三=6,所以

424228陰12y2）

p=S陰影=6_|6

'S-25萬(wàn)—41?

-----hO

8

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題考查面積型幾何概型的概率計(jì)算問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題.

9、B

【解析】

…附八上-4+6+8+10-3+5+6+811114.1841

試題分析：x=----------------=7,y=-----------=—；.—-—x/+a:.a=------/.y--x------

4422510510

當(dāng)x=12時(shí)y=9.5

考點(diǎn)：回歸方程

10、B

【解析】

分析：根據(jù)隨機(jī)變量符合二項(xiàng)分布，根據(jù)二項(xiàng)分布的期望和方差的公式和條件中所給的期望和方差的值，得到關(guān)于〃和

P的方程組，解方程組得到要求的兩個(gè)未知量.

詳解：隨機(jī)變量W服從二項(xiàng)分布《?B（n,p）,且E?=7,D?=6,

貝！j由=7=np,=6=np（A-p）,

可得P=g，?=49.

故選B.

點(diǎn)睛：本題主要考查二項(xiàng)分布的期望與方差的簡(jiǎn)單應(yīng)用，通過(guò)解方程組得到要求的變量，這與求變量的期望是一個(gè)相

反的過(guò)程，但是兩者都要用到期望和方差的公式.

11,C

【解析】

分析：根據(jù)題意，分四種情況討論：①取出四張卡片中沒(méi)有重復(fù)數(shù)字，即取出四張卡片中的數(shù)字為1,2,3,4；②取出四

張卡片中4有2個(gè)重復(fù)數(shù)字，則2個(gè)重復(fù)的數(shù)字為1或2；③若取出的四張卡片為2張1和2張2；④取出四張卡片中

有3個(gè)重復(fù)數(shù)字，則重復(fù)數(shù)字為1,分別求出每種情況下可以排出四位數(shù)的個(gè)數(shù)，由分類計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得結(jié)論.

詳解：根據(jù)題意，分四種情況討論：

①取出四張卡片中沒(méi)有重復(fù)數(shù)字，即取出四張卡片中的數(shù)字為1,2,3,4；

此時(shí)有A：=24種順序，可以排出24個(gè)四位數(shù).

②取出四張卡片中4有2個(gè)重復(fù)數(shù)字，則2個(gè)重復(fù)的數(shù)字為1或2,

若重復(fù)的數(shù)字為1,在2,3,4中取出2個(gè)，有C；=3種取法，安排在四個(gè)位置中，

有&=12種情況，剩余位置安排數(shù)字1,可以排出3x12=36個(gè)四位數(shù)

同理，若重復(fù)的數(shù)字為2,也可以排出36個(gè)重復(fù)數(shù)字：

③若取出的四張卡片為2張1和2張2,在4個(gè)位置安排兩個(gè)1,有C：=6種情況，

剩余位置安排兩個(gè)2,則可以排出6x1=6個(gè)四位數(shù)；

④取出四張卡片中有3個(gè)重復(fù)數(shù)字，則重復(fù)數(shù)字為1,在2,3,4中取出1個(gè)卡片，

有C；=3種取法，安排在四個(gè)位置中，有C；=4種情況，剩余位置安排1,

可以排出3x4=12個(gè)四位數(shù)，則一共有24+36+36+6+12=114個(gè)四位數(shù)，故選C.

點(diǎn)睛：本題主要考查分類計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理及排列組合的應(yīng)用，屬于難題.有關(guān)排列組合的綜合問(wèn)題，往往是兩

個(gè)原理及排列組合問(wèn)題交叉應(yīng)用才能解決問(wèn)題，解答這類問(wèn)題理解題意很關(guān)鍵，一定多讀題才能挖掘出隱含條件.解題

過(guò)程中要首先分清“是分類還是分步”、“是排列還是組合”，在應(yīng)用分類計(jì)數(shù)加法原理討論時(shí)，既不能重復(fù)交叉討

論又不能遺漏，這樣才能提高準(zhǔn)確率.

12、A

【解析】

由f(x)的導(dǎo)函數(shù)形式可以看出，需要對(duì)k進(jìn)行分類討論來(lái)確定導(dǎo)函數(shù)為0時(shí)的根.

【詳解】

解：???函數(shù)/(X)的定義域是(0,+8)

XXX

,:X=2是函數(shù)的唯一一個(gè)極值點(diǎn)

...x=2是導(dǎo)函數(shù)/'(x)=0的唯一根，

:.爐一代2=0在(0,+8)無(wú)變號(hào)零點(diǎn)，

即％=*在xX)上無(wú)變號(hào)零點(diǎn)，令g(x)=*,

因?yàn)間'(x)=°'(x12),

所以g(x)在(0,2)上單調(diào)遞減，在x>2上單調(diào)遞增

所以g(x)的最小值為g(2)=?,

所以必須心上，

4

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查由函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)確定極值問(wèn)題.對(duì)參數(shù)需要進(jìn)行討論.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

【解析】

以。為原點(diǎn)，04為x軸，OC為y軸，05為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出AE與CDi所成角的余

弦值.

【詳解】

以。為原點(diǎn)，D4為x軸，0c為y軸，￡>"為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)正方體ABCD-A/iGOi中棱長(zhǎng)為2,

則A(2,0,0),E(2,2,1),C(0,2,()),Dt(0,0,2),

AE=(0，2,1),CD、=(0,-2,2),

設(shè)AE與CDi所成角為e,

AE與CDi所成角的余弦值為巫

10

故答案為巫.

10

本題考查異面直線所成角的余弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能

力，是中檔題.

一191

]4、---

192

【解析】

先求對(duì)立事件概率：三門科目考試成績(jī)都不是A,再根據(jù)對(duì)立事件概率關(guān)系求結(jié)果.

【詳解】

5731

這位考生三門科目考試成績(jī)都不是A的概率為-)(1-^-)=—,

1191

所以這位考生至少得1個(gè)A的概率為1--=—

192192

故答案為：.191

【點(diǎn)睛】

本題考查利用對(duì)立事件求概率，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.

15、4

【解析】

■:函數(shù)y=/(X)的圖象在點(diǎn)M(I,/(I))處的切線方程是y=X+2

.?.八1)=1,/(1)=1+2=3

“⑴+/")=4

故答案為4

3

16、-

4

【解析】

畫出圖形，利用折疊與展開法則使和在同一個(gè)平面，轉(zhuǎn)化折線段為直線段距離最小，即可求得MP+PQ的最小

值.

【詳解】

當(dāng)MP+PQ的最小值，即p到底面ABCD的距離的最小值與MP的最小值之和.Q為底面ABCD上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)。是P

在底面上的射影，即是PQ最小值.

展開三角形ACC｝與三角形A4G在同一個(gè)平面上,如圖：

長(zhǎng)方體A5CQ-44G2中，ABf，8C=A4|=1

222

長(zhǎng)方體ABCD-A.B^D,體對(duì)角線長(zhǎng)為:AC[=7(V2)+1+1=2

在RfAAC/中:sinNC|A4=；故NgAg=30

二.ACG=A4G故NCAG=30

/CAB】=60°

過(guò)點(diǎn)“作MQJ_AC,MQ即為MP+PQ最小值.

在RtMQM,MQ=立5^60°=-

24

3

故答案為:：.

4

【點(diǎn)睛】

解答折疊問(wèn)題的關(guān)鍵在于畫好折疊前后的平面圖形與立體圖形，并弄清折疊前后哪些條件發(fā)生了變化，哪些條件沒(méi)有發(fā)

生變化.這些未變化的已知條件都是我們分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的依據(jù).

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17、(1)220；(2)90；(3)100.

【解析】

(1)從這12件產(chǎn)品中任意抽出3件，是組合問(wèn)題，利用組合數(shù)的定義可得出結(jié)果；

(2)抽出的3件中恰好有1件次品是指2件正品，1件次品，利用組合計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)數(shù)原理可得出結(jié)果；

(3)在12件產(chǎn)品中任意抽出3件的抽法種數(shù)減去3件產(chǎn)品全是正品的抽法種數(shù)，用間接法求解.

【詳解】

(1)從這12件產(chǎn)品中任意抽出3件，共有C；2=220種不同的抽法；

(2)抽出的3件中恰好有1件次品的抽法，是指2件正品，1件次品，有G%C；=90種不同的抽法；

(3)抽出的3件中至少有1件次品的抽法種數(shù)，可以在12件產(chǎn)品中任意抽出3件的抽法種數(shù)減去3件產(chǎn)品全是正品的

抽法種數(shù)，

因此，共有g(shù)-G1=220-120=100種不同的抽法.

【點(diǎn)睛】

本題考查組合知識(shí)的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于基礎(chǔ)題.

18、(1)f=2y；(2)證明見(jiàn)解析

【解析】

(1)根據(jù)拋物線定義得=再根據(jù)點(diǎn)N坐標(biāo)列方程，解得結(jié)果，(2)利用導(dǎo)數(shù)求切線斜率，再根據(jù)切線方程

解得A點(diǎn)縱坐標(biāo)，最后利用直線與方程聯(lián)立方程組，借助韋達(dá)定理化簡(jiǎn)A的縱坐標(biāo).

【詳解】

解：(1)由已知拋物線。：爐=1共4>0)的焦點(diǎn)尸(0,，-1，

由阿M/FNI，得網(wǎng)=力腦7|=胸|+--,即

因?yàn)辄c(diǎn)N(2,4a),

所以工=4a，a>0..a--,

a2

所以拋物線方程：犬=2)，

(2)拋物線f=2y的焦點(diǎn)為

設(shè)過(guò)拋物線/=2)，的焦點(diǎn)的直線為y=Ax+g.

設(shè)直線與拋物線的交點(diǎn)分別為尸，

f=2y

由1，消去)'得：/_2"_1=0,根據(jù)韋達(dá)定理得再々=-1

y=kx+—

I-2

拋物線f=2y,即二次函數(shù)y=g》2,對(duì)函數(shù)求導(dǎo)數(shù)，得y'=x,

所以拋物線在點(diǎn)P處的切線斜率為4=司

可得切線方程為y-y=不（》一石），化簡(jiǎn)得y=,

同理，得到拋物線在點(diǎn)。處切線方程為y=《門，

兩方程消去x,得兩切線交點(diǎn)A縱坐標(biāo)滿足力=竽，

X|X2=-1,

.?.%=—:，即點(diǎn)A的縱坐標(biāo)是定值—L.

22

【點(diǎn)睛】

本題考查拋物線方程、拋物線切線方程以后利用韋達(dá)定理求值，考查綜合分析求解能力，屬中檔題.

（2）

19、⑴；.3v=0§Jcv..7=0??2',7=0

【解析】

（1）需分直線過(guò)原點(diǎn)，和不過(guò)原點(diǎn)兩種情況，過(guò)原點(diǎn)設(shè)直線-=k>,不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線，然后代入

點(diǎn)求直線方程；（2）根據(jù)垂直設(shè)直線的方程是：+2,..=「代入點(diǎn)求解.

【詳解】

解：（1）當(dāng)直線過(guò)原點(diǎn)時(shí)，直線方程為：4,3y=r；

當(dāng)直線不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線方程為丫+丫=匚，

把點(diǎn)二三名代入直線方程，解得,_7，

所以直線方程為；+i_7=:

<2）設(shè)與直線人a_7+1=0垂直的直線1：的方程為：l+21+巾=0,把點(diǎn)血2次入可得，3+2x2=”，解

得工=丁.??過(guò)點(diǎn)一3口，且與直線/垂直的直線方程為：，，-：7=°.

【點(diǎn)睛】

本題考查了直線方程的求法，屬于簡(jiǎn)單題型.

20、（I）x+2y-3=0;（n）-l<a<2.

【解析】

(I)對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，再令x=l,可求得尸(1)=-,，回代可知/(力=坐+,，由導(dǎo)數(shù)可求得切線方程。(口)由

2x+1x

“X)---7=-221nx+——，令g(x)=21ax+上二匚由導(dǎo)數(shù)可知——在x>0,且XH1時(shí)恒成

X11%I尤/冗1X

——/\"、Inx2111r1八，

立。下證力(x)=/(x)-----=-——7+->0?所以。一_々_2?0。

x-11-xx

【詳解】

(I)函數(shù)/(X)的定義域?yàn)?0,+8)

X+11

-Inx2/(1),

因?yàn)閞(x)x+

(X+1)2X2

所以尸(l)=g+2/'(l),即/=

X+1]

lax1-Irvc

所以一(X)----+—1

-2

x+1x廠

令X=l,得/⑴=1,所以函數(shù)/(X)在點(diǎn)(1,7(1))處的切線方程為

y-l=-1(x-l),即x+2y-3=0.

⑷因?yàn)榘?一探占21nx+]-^-

X

]_%2-X2+2X-1(X-1)2

令g(元)=21nx+———,則g'(x)------------------------=——---------------9

X2X2

因?yàn)閄H1,所以g'(x)<0,所以g(x)在(0,1),(1,+8)上為減函數(shù),

又因?yàn)間(l)=0,所以,

當(dāng)x>l時(shí)，g(x)<g(l)=0,此時(shí)，」T-g(x)>0；

當(dāng)0cx<1時(shí)，g(x)>g(l)=0,此時(shí)，j?(x)>0,

假設(shè)〃(x)=〃x)-電二=久號(hào)+,有最小值。3>0),貝”2(X)-匕20,

XJLJ.XX

口r21nx17、八

即----+——b>0.

1-xx

若力>1,當(dāng)次6］：,，時(shí)，/z(x)-Z?<0；

若0<Z?Wl,當(dāng)時(shí)，h(x)-b<0,所以，不存在正數(shù)6,使/2(X)26.

Inx

所以，當(dāng)x>0,且XH1時(shí)，/(%)——