中考數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)與經(jīng)典題型練習(xí) 相似三角形中的母子型相似模型(解析版)

專題13相似三角形中的母子型相似模型

【模型展示】

特點(diǎn)當(dāng)NABD=NACB時(shí)

?ABDSAACB

號(hào)質(zhì)：AB2=AD?AC

其中：

NA是公共角

AB是公共邊

________BD與BC是對(duì)應(yīng)邊

結(jié)論AB2=AD?AC

【模型證明】

特殊母子型——射影定理

解決方在Rt?ACB與Rt?ADC中,當(dāng)ZABC=ZACD時(shí)，有

案Rt?ACBsRtAADCsRtACDB

射影定理：AC?=4O?AB

BC2=BD?AB

CD'=AD?BD

相

子

母

①

由線段乘積相等轉(zhuǎn)化成線段比例式相等；

②

分子和分子組成一個(gè)三角形、分母和分母組成一個(gè)三角形：

③

第②步成立，直接從證這兩個(gè)三角形相似，逆向證明到線段乘積相等：

④

第②步不成立，則選擇替換掉線段比例式中的個(gè)別線段，之后再重復(fù)第

步

三

：

【題型演練】

一、單選題

1.如圖，在放ΔABC中，CD是斜邊上的高，則圖中的相似三角形共有（）

C

A.1對(duì)B.2對(duì)C.3對(duì)D.4對(duì)

【答案】C

【分析】根據(jù)相似三角形的判定定理及己知即可得到存在的相似三角形.

【詳解】VZACB=90o,CDlAB

Λ?ABC^?ACD,ZSACDsZ?CBD,ΔABC∞?CBD

所以有三對(duì)相似三角形，

故選：C.

【點(diǎn)睛】考查相似三角形的判定定理：（1）兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似；（2）兩邊對(duì)應(yīng)

成比例且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似；（3）三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似.

2.如圖，正方形ABCD中，E、F分別在邊CD,AD±,BEICF于點(diǎn)G,若BC=4,AF=I,

則CE的長(zhǎng)為（）

12n16

A.3Bn.—D.—

55

【答案】A

【分析1過(guò)D做DHIFC于點(diǎn)H,由正方形ABCD的性質(zhì)，通過(guò)證明MFDCSXFHD和

AFDHSACBG計(jì)算得到GC，再通過(guò)證明AECGSACDF從而求得CE的長(zhǎng).

【詳解】如下圖，過(guò)D做。，IFCr點(diǎn)H

ZDHF=90

：正方形ABCD

?ZFDC≈90且AD=CZ)=BC=4

VAF=I

.?.ED=A￡>-4/=4—1=3

?"?FC=√FD2+cb2=√32+42=5

又ADHF=ZFDC=90

/?AFDCs叢FHD

.FHFD3

"~FD^~FC~5

"：FD=3

9

二FH=-

5

又：正方形ABCD

'ADHBC

"DFH=NBCG

?.?BElCF于點(diǎn)G

?,?NBGC=NCGE=9。

??.AFDHSACBG

.Ge=BC=4

"~FH~~FD~3

：.GC=-

5

,：NFCD=NECG且NFDC=NCGE=90

.?.AECGSACDF

12

：.EC=空=$二

~FCCD45

33

???EC=-FC=-×5=3

55

故選：A.

方法二：

VZBEC+ZFCD=90o,

ZDFC+ZFCD=90o,

.?.ZBEC=ZDFC,

又YNCDF=NBCE,

BC=CD,

ΛΔBCE^?CDF,

.?.CE=DF=4-1=3;

【點(diǎn)睛】本題考察了三角形勾股定理、相似三角形、正方形的知識(shí)；求解的關(guān)鍵是熟練掌握

正方形、相似三角形的性質(zhì)，從而完成求解.

3.如圖，RJABe中，ZC=90o.AB=?5,BC=9,點(diǎn)P,0分別在BC,AC上，CP=3x,

CQ=4x(O<x<3).把APCQ繞點(diǎn)、P旋轉(zhuǎn),得到△2/)￡，點(diǎn)。落在線段P。上.若點(diǎn)。在

/B4C的平分線上，則CP的長(zhǎng)為()

A.5B.5.5C.6D.6.5

【答案】C

【分析】先根據(jù)勾股定理求出4C的長(zhǎng)，再根據(jù)計(jì)算可知袋=；=空，結(jié)合定理兩邊成比

BC3AC

例且?jiàn)A角相等的三角形相似證明△PQCSXBAC,再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出

NCPQ=NB,由此可得出尸?！ㄟB接根據(jù)PQ//AB和點(diǎn)。在NBAC的平分線上

可證NAf)Q=ND4Q,由此可得AQ=。。，分別表示A。和。。由此可得方程12-4x=2x,

解出居即可求出CR

【詳解】解：■在RQABC中,AB=I5,BC=9,

/?AC=√AB2-BC2=√152-92=12.

..PC3xXQC4ΛX

*BC^T^3,AC~^12~3f

.PCQC

*BC^AC,

VZC=ZC,

:?叢PQCSABAC,

：?NCPQ=NB,

：?PQ11AB,

連接A。，

-：PQ//AB,

：.NADQ=NDAB.

；點(diǎn)D在NBAC的平分線上，

：.ADAQ=ΛDAB,

：./A。。=ZDAQ,

：.AQ=DQ.

?'PD=PC^3x,QC=4x

：.在RmCPQ中，根據(jù)勾股定理PQ=5x.

：.DQ=2x.

YAQ=12-4Λ-,

Λ12-4X=2Λ,解得X=2,

CP=3x=6.

故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查幾何變換——旋轉(zhuǎn)綜合題，勾股定理，相似三角形的性質(zhì)和判定，平行線

的性質(zhì)和判定，熟練掌握定理并能靈活運(yùn)用是解決此題的關(guān)鍵.

4.如圖，RtZkABC中，AC±BC,AD平分NBAC交BC于點(diǎn)D,DE1.AD交AB于點(diǎn)E,

M為AE的中點(diǎn),BFLBC交CM的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,BD=4,CD=3.下列結(jié)論①NAED=NADC；

DE3

②一=-;③AC?BE=12;④3BF=4AC,其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)有（）

DA4

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】C

【詳解】①NAED=90°-NEAD,ZADC=90o-ZDAC,VZEAD=ZDAC,

.,.ZAED=ZADC.故本選項(xiàng)正確；

ARRD4

②YAD平分NBAC,.*.一=—=一，；.設(shè)AB=4x,則AC=3x,

ACCD3

在直角AABC中，AC2+BC2=AB2,則(3x)2+49=(4x)2,

解得：X=">

VZEAD=ZDAC,ZADE=ZACD=90O,

Λ?ADE^?ACD,得DE：DA=DC:AC=3：√7,故不正確；

③由①知∕AED=∕ADC,

.,.ZBED=ZBDA,

又；/DBE=NABD,

.?.?BED^>?BDA,

ΛDE:DA=BE:BD,由②知DE：DA=DC:AC,

.,.BE：BD=DC:AC,

ΛAC?BE=BD?DC=12.

故本選項(xiàng)正確；

④連接DM,

在Rt?ADE中，MD為斜邊AE的中線，

則DM=MA.

.?.ZMDA=ZMAD=ZDAC,

；.DM〃BF〃AC,

由DM〃BF得FM：MC=BD:DC=4：3；

由BF〃AC得△FMBs∕?CMA,有BF：AC=FM:MC=4：3,

Λ3BF=4AC.

故本選項(xiàng)正確.

綜上所述，①③④正確，共有3個(gè).

5.如圖，在他ZkABC中，NBAC=90。，BA=CA=6M,。為8C邊的中點(diǎn)，點(diǎn)E是C4

延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，把ACnE沿QE翻折，點(diǎn)C落在C'處，Ee與AB交于點(diǎn)凡連接BC'.當(dāng)

FA

W=24時(shí)，Be的長(zhǎng)為（）

EA3

A.?B.6√10C.yD.6√2

【答案】D

【分析】如圖，連接CC,過(guò)點(diǎn)C作EC于從設(shè)AB交DE于N,過(guò)點(diǎn)、N作NTLEF

于7,過(guò)點(diǎn)力作AM/_LECTM.證明NCe'8=90。，求出CC',8C即可解決問(wèn)題.

【詳解】解：如圖，連接CC',過(guò)點(diǎn)C作CHLEC于H.設(shè)48交OE于M過(guò)點(diǎn)N作NTLEF

于T,過(guò)點(diǎn)D作DMLEC于M.

VZFAE=ZCAB=WO,—?-,

EA3

：.EF：AF：AE=5：4：3,

VCH//AF,

.??EAF^>?EHC',

：.EC：C'H：EH=EF:AF：AE=5:4：3,

設(shè)EH=3k,C'H=4k,EC'=EC=5k,則CH=2%,

由翻折可知，NAEN=NTEN,

"：NAlEA,NTLET,

：.NNAE=NNTE,

?：NE=NE,

：.?NEA^ANET(AAS),

：.AN=NT,EA=ET,

設(shè)4E=3m,AF=4m,EF=5m,AN=NT=x,則AE=ET^3m,TF=2m,

在RtAFNT中,FN2^NT2+FT2,

:?(4wx)2=Λ2+(2m)2,

,3

解得：x=-m,

2

VAC=Λβ=6√Γθ,NCAB=90。，

：.BC=0AC=?2yβ,

.,.CD=BD=6>∕5，

*：DMlCM1NDCM=45。,

.*.CM=DM=3Λ∕ΓO,

'：AN//DM.

.AN_EA

"~DM~'EM1

3

ANDM_1,

~EA~EM~3nΓ-2

EM-6Λ∕ΓO,

Eo9√Γδ=5Z,

?L9√io

5

?18>∕1()36>∕Γθ

??C/7-------,CΓl------------,

55

.?.CC,=jcH2+C,H2=Jd8『)2+(36羋1=∕2,

y18λ

YDC=DC=DB,

：.NCeB=90。,

22

???Bc=J(BC)2-CC2=λ∕(12√5)-(18√2)二6公，

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查翻折變換，解直角三角形，等腰直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)，

全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決

問(wèn)題，學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問(wèn)題.

二、填空題

6.如圖，在「ABC中，點(diǎn)。在AB上，請(qǐng)?jiān)偬硪粋€(gè)適當(dāng)?shù)臈l件，使AADCS^ACB,那么

可添加的條件是.

A

【答案】NACZ)=NABC(答案不唯一，也可以增加條件：NADC=NAcB或AC?=AZλAB).

【分析】題目中相似的兩個(gè)三角形已經(jīng)有一個(gè)公共角，可以再增加一對(duì)相等的角，用兩組角

相等判定兩三角形相似，也可以增加兩組對(duì)應(yīng)邊成比例，利用兩組邊對(duì)應(yīng)成比例及夾角相等

判定兩三角形相似.

【詳解】若增加條件：NACO=NA8C,

?.'ZACD=ZABC,HZA=ZA,

.'.VADC:VACB.

【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定，比較簡(jiǎn)單，熟練掌握相似三角形的三種判定方法是解

題的關(guān)鍵.

94

7.如圖，在RrAABC中，ZΛCB=90o,CDJ_A8于點(diǎn)。，已知4D=y,BO=g,那么BC

【答案】亞

5

【分析】證明ABCDS根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列式計(jì)算即可.

【詳解】解：?.?∕AC8=9()o,CDlAB,

：.NACB=NcDB=90。，

VZB=ZB,

：ABCDsABAC,

：.BC2=-,

25

?.?sc>o

...BC=

5

故答案為：M3.

5

【點(diǎn)睛】本題考查三角形相似的判定和性質(zhì)，牢記相關(guān)知識(shí)點(diǎn)并能結(jié)合圖形靈活應(yīng)用是解題

關(guān)鍵.

8.如圖，在一ABC中，NABC=45°,AB=2√∑,AD=AE-ZDAE=90o,CE=√5,則

CD的長(zhǎng)為.

【分析】在CD上取點(diǎn)F,使NDEF=/ADB，證明6皿的^）郎，求解。尸=4,再證明

KEFs=CDE,利用相似三角形的性質(zhì)求解CF即可得到答案.

【詳解】解：在CD上取點(diǎn)F,使ZDEF=ZADB，

由JA￡>2+AE?=JDE2，

.?.DE=√2AD=√2AE,

.2ABC=45°,ZADE=45°,

且ZADC=ZADE+ZEDC=ZABD+ZBAD,

.?.ZBAD=ZEDC,

ZBDA=ZDEF,

.,.ADBSDEF>

DFDFr-

：.—=—=√2,NEFD=ZABD=45°,

ABAD

AB=2√2，

.?.DF=4,

X?,ZAED?450?ZCDE+ZC，NEFD=NCEF+NC=45。,

.-.ZCEF=ZCDE，

,ZC=ZC,

.?jCEFS.CDE,

CEDC

'CF^CE'

又.DF=4,CE=√5,

√5_CF+4

.?.CF=1或CF=5（舍去），

經(jīng)檢驗(yàn)：Cr=I符合題意，

.?.CD=CF+4=5.

故答案為：5.

本題考查的是等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，分式方程與一元二次方程的解法,

相似三角形的判定與性質(zhì)，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

9.如圖，在二ABC中，AB=AC,點(diǎn)。在BC邊上，/540=90。—,點(diǎn)/在AC上，

所垂足為E，若CD=2,AD=4√5,則線段EF的長(zhǎng)為.

【答案】華

【分析】過(guò)A作AHlBC于H,根據(jù)已知條件得至∣J∕ABE=g∕ACB,求得/ABE=NDBE,

根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AE=DE,AB=BD,設(shè)AB=BD=AC=X,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)

得到AH=8,過(guò)C作CGLAD交AD的延長(zhǎng)線于G,再根據(jù)相似”角形的性質(zhì)即可得到結(jié)

論.

【詳解】解：過(guò)A作AH_LBC于H,

A

VBFlAD,

ΛZABE÷ZBAD=90o,

ΛZBAD=90o-ZABE,

VZBAD=90o-∣ZACB,

ΛZABE=∣ZACB,

VAB=AC,

ΛZABC=ZACB,

.,.ZABE=∣ZABD,

ΛZABE=ZDBE,

YNAEB=NDEB=90。，BE=BE,

Λ?ABE^?DBE(ASA),

AE=DE,AB=BD,

設(shè)AB=BD=AC=X,

/.BC=x+2,BH=CH=???.DH=^?^-2,

22

VZAHD=ZBED=90o,ZADH=ZBDE,

Λ?ADH<^?BDE,

ADDHDH

BD~DE~ΛD,

~T

x~2√5

.?.x=10或x=-8（不符題意，舍去）,

AAB=BD=AC=IO,DH=4,

.'.AH=8,

過(guò)C作CG±AD交AD的延長(zhǎng)線于G,

ΛZG=ZAHD=90o,

VZADH=ZCDG,

Λ?ADH^ΔCDG,

.ADAH_DH

,,~CD~~CG~~DGt

.4√584

??-------------------f

2CGDG

.4百2?∣5

??CG=-------,Dkj=------,

55

VEF±AD,DG±AD,

ΛEF∕∕CG,

???△AEFs△AGC,

AD

EF_AE_2,

~CG~~AG~~AG

EF2√5

?4√5+2√5-

55

解得：EF=延，

11

故答案為：拽.

Il

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判

定和性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

10.如圖，在二ABC中，A8=AC,8。平分ZASC,￡在剛延長(zhǎng)線上，且DE=BD,若BC=8,

AE=2,則CD的長(zhǎng)為.

【答案】√57-3

【分析】通過(guò)證△皿9AFBO(SAS),得到求出BF=2,ZDAE=ΛDFB?AD=DF，進(jìn)而

「r'i~'Γ?

求出CF的長(zhǎng)，進(jìn)而得到NBAD=/DFC,從而證-CFDSCAB,得到二=”，將證得邊

CABC

的關(guān)系CA=6+CD以及其他各值代入即可得到答案.

【詳解】解：：BD平分/ABC,DE=BD

ΛZABD=ZDBC,ZAED=ZABD

ΛZDBC=ZAED

如圖，在BC上取點(diǎn)，使BF=AE

則在4AfZ)與FBD中,

AE=FB

,ZAED=ZDBC

DE=BD

∕?AED^∕?FBD(SΛS)

?'?AE=BF=2,ZDAE-ZDFB，AD=DF

ΛCF=BC-BF=8-2=6

VZBAD=ISO0-ZDAf,ZDFC=ISO0-ZDfB

/.ZBAD=ZDFC

又TNC=NC

??..CFDs:CAB

.CFCD

,'CA~~BC

VAB=AC

ΛZABC=ZACB

ZBAD=ZDFC

???ZFDC=1SOo-ZDFC-ZC=180o-ZBAD-ZABC

VZC=180o-ZBAD-ZABC

?ZFDC=ZC

ΛDF=FC=6,則AD=DF=6

ΛCA=6+CD

XVCF=6,BC=8

,6CD

6+CD-8

解得CD=后-3.

故答案為：√57-3.

【點(diǎn)睛】本題考查的全等三角形判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)

等知識(shí)點(diǎn)，是中考綜合性題目，而且還要會(huì)解一元二次方程，用方程法解幾何問(wèn)題.解答此

題的關(guān)鍵是利用性質(zhì)找到邊與邊之間的關(guān)系.

三、解答題

11.【基礎(chǔ)鞏固】（1）如圖1,在AABC中，。為AB上一點(diǎn)，ZACD=ZB.求證：AC2=

AD?AB.

【嘗試應(yīng)用】（2）如圖2,在DABCf）中，E為BC上一點(diǎn)，尸為CO延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，NBFE

=∕A.若BF=4,BE=3,求AO的長(zhǎng).

圖1圖2

【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)ΛD=y.

【分析】(I)證明AAOCsZVia;,即可得出結(jié)論；

(2)證明43FES∕?BCF,得出8F2=8E?BC,求出8C,則可求出AD

【詳解】(1)證明：VZACD=ZB,NA=NA,

Λ?ΛDC^ΔACB,

ADAC

..="--，

ACAB

.".AC2=AD?AB.

(2)?.?四邊形ABC。是平行四邊形，

：.AD=BC,ZA=ZC,

又,：4BFE=4A,

：.ABFE=AC,

又：NFBE=NCBF,

；.△BFEsZ?8CR

BFBE

??----=-----，

BCBF

：.BF2=BE-BC.

.RR_B尸2_4,_16

BE33

【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，正確

掌握相似三角形的判定方法是解題關(guān)鍵.

12.如圖，在AABC中，。為BC邊上的一點(diǎn)，J≡LAC=2√6.CD=4,BD=2,求證：

【答案】證明見(jiàn)解析.

【分析】根據(jù)AC=2√^,CD=4,BD=2,可得妥=三，根據(jù)NC=NC,即可證明結(jié)論.

BCAC

【詳解】解：；人。=2能，Co=4,BD=2

.AC2√6√6CD4_√6

BC-4+2一號(hào)'AC~2√6-3

.ACCD

BCAC

VZC=ZC

?ACD∞?BCA.

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，掌握知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵.

ΛΓ）AQ

13.如圖，在Rtz?A8C中，NACB=90。，點(diǎn)。在AB上，且——=——

ACAB

(1)求證△ACDs△ABC；

(2)若AO=3,BD=I,求CO的長(zhǎng).

C

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）√6

【分析】（1）根據(jù)相似三角形的判定兩邊成比例且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似，即可得出

^ACDABC

（2）由一Aec得ZApC=∕4CB=90°,ZACD=AB,推出二AC。一CBD`由相似三

角形的性質(zhì)得乎=絲，即可求出Co的長(zhǎng).

ADCD

【詳解】⑴嘿噂

Z4=ZA，

??.工Aa)ABC；

(2)丁二ACDFABC,

.?.ZWC=Z4CB=90°,ZACD=NB,

??.NCDB=I80。-90°=90°=ZAcO,

??.^ACD_C8。,

,CDBD?,

,■---=■-，即CD^=AD-BD=3×2=6,

ADCD

CD=√6.

【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，掌握相似三角形的判定定理與性質(zhì)是解題的關(guān)

鍵.

14._ABC中，NABC=90°，BDLAC,點(diǎn)E為BD的中點(diǎn)，連接AE并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)尸,

且有ΛF=CF,過(guò)F點(diǎn)作FHj_AC于點(diǎn)兒

C

⑴求證：-ADESaCDB;

（2）求證：AE=2EF；

（3）若FH=6求BC的長(zhǎng).

【答案】（I）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析；（3）4.

【分析】（1）先根據(jù)垂直的定義可得NADE=NCD8=90。，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得

ΛDAE=NDCB,然后根據(jù)相似三角形的判定即可得證；

ΛΠDF1

⑵先根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得而=而=屋再根據(jù)等腰三角形的三線合一可得

Λ∩

AH=CH,從而可得麗=2,然后根據(jù)平行線分線段成比例定理即可得證;

n/7Λ∕7

（3）先根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)可得恁二罷，從而可得OEB。的長(zhǎng)，再根據(jù)相似

FHAF

三角形的判定可得“ABDBCD,然后利用相似;角形的性質(zhì)可求出CD的反，最后在

RtABCD中，利用勾股定理即可得.

【詳解】證明：（1）BDlAC,FH1AC,

：.AADE=ZCDB=90o,BDFH,

?;AF=C尸，

:.ZDAE=ZDCB,

在—VADE和VM?DB中,，（仁ZA以DEE==Z功CDNB

.\_ADE_CDB：

（2）點(diǎn)E為BD的中點(diǎn),

；.DE=BE=1BD,

2

由（1）己證：_ADE_CDB，

.AQDEI

"^CD~~DB~2,

設(shè)At>="（α>0）,則CD=24,AC=AD+CD^3a,

FHLAC,AF=CF,

13

.?.AH=CH=-AC=-a（等腰三角形的三線合一）,

22

.'DH=AH-AD=La,

2

X?,BDFH,

.空=QjL=2

EFDH?，

-a

2

即AE=2￡F；

（3）由（2）已證：AE=2EF,

：.AE=-AF.

3

BDFH,

ADEAHF,

DEAEUDE2

‘而=赤’即n；

解得OE=

.?.BD=2DE=+B

3

ZABC=90°,BDlAC,

:.ABAC+ZABD=ABAC+ZC

,-.ZABD=ZC，

,,,[ZADB=ZBDC=91

在△ABD和ABCD中，〈人

[ZABD=ZC

.,..ABD..BCD，

.ADBD

~BD~~CD^

由(2)可知，設(shè)AO=bS>0),則CD=2。,

解得b=還或b=-述（不符題意，舍去）,

33

則在RtABCD中，BC^BD-+CD2

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，熟

練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

ABAD

15.如圖，在AABC中，。是BC上的點(diǎn)，E是AD上一點(diǎn)，且一=—,NBAD=NECA.

ACCE

(1)求證：AC2=BC?CD;

（2）若AQ是AABC的中線，求一的值.

AC

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）紅

2

【分析】（1）首先利用相似三角形的判定得出，63ACE：.,得ZB=NEAC,進(jìn)而求出

?ABC∞?Λ4C,再利用相似三角形的性質(zhì)得出答案即可：

）由可證ZCDE=ZCED,進(jìn)而得出,再由（）可證，

（24MD∞AACECf）=CE1AC=√2CD

由此即可得出線段之間關(guān)系.

【詳解】(1)證明：—,ZBAD=NECA,

ACCE

.?.ΔR4∕)sΔACE，

.?.ZB=NE4C,

ZACBADCA,

.?.?ABCs∕?ZMC,

ACBC

~CD~~AC'

:.AC2=BC.CD.

(2)解：B3ACE，

,?ZBDA^ZAEC,

.?"CDE=NCED,

.'.CD=CE，

是AABC的中線，

.?.BC=2BD=2CD,

.?.AC2=BC.CD=2CD2,即：AC≈√2CD.

.CECD√2

"AC~&CD-2,

【點(diǎn)睛】此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及重心的性質(zhì)等知識(shí)，根據(jù)已知得出

BADSACE是解題關(guān)鍵.

16.如圖，已知矩形ABC。的兩條對(duì)角線相交于點(diǎn)0,過(guò)點(diǎn)A作AGIBZ)分別交BD、BC于

點(diǎn)G、E.

(1)求證：EB?=EGEA;

(2)連接CG,若BE=CE.求證：NCGE=NDBC?

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析

【分析】（D易證ABEGS∕?4EB,利用對(duì)應(yīng)邊成比例即可解決；

（2）由（1）的結(jié)論及BE=CE,易證明△CEGSAAEC,從而可得/CGE=/ACE,由OB=OC,

可得NCGE=NDBC.

【詳解】（1）：四邊形488是矩形

/.ZABE=90o

.,.ZABG+ZEBG=90o

???AGIBZ)

.?ZABG+ZBAG=90o

.*.NEBG=NBAG

RtLBEGsRmAEB

.EBEG

''~EA~~EB

JEB2=EG.EA

(2)由(1)有：EB?=EGEA

?'BE=CE

?,-CE^EG-EA

.CEEA

"~EG~^CE

'：ZCEG=ZAEC

：.ACEGS2AEC

NCGE=NACE

：四邊形A88是矩形

：.AC=BD

：.OB=OC

：.NDBC=NACE

??.NCGE=ZDBC

【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)是解

題的關(guān)鍵.

17.如圖，在AABC中，點(diǎn)D在BC邊上，點(diǎn)E在AC邊上，且AD=AB,ZDEC=ZB.

(1)求證：△AEDS2^ADC;

(2)若AE=I,EC=3,求AB的長(zhǎng).

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）2

【分析】（1）利用三角形外角的性質(zhì)及∕DEC=∕ADB可得出NADE=/C,結(jié)合

NDAE=NCAD即可證出^AED^?ADC;

（2）利用相似三角形的性質(zhì)可求出AD的長(zhǎng)，再結(jié)合AD=AB即可得出AB的長(zhǎng).

【詳解】解：（I）證明：；NDEC=NDAE+NADE,ZADB=ZDAE+ZC,NDEC=∕ADB,

ΛZADE=ZC.

XVZDAE=ZCAD,

.?.ZXAEDs△ADC.

（2）V?AED∞?ADC,

.ADAE,AD1

??------=-------，即ur----=----,

ACAD1+3AD

ΛAD=2或AD=-2（舍去）.

XVAD=AB,

.?.AB=2

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：（1）利用“兩角對(duì)應(yīng)相等,

兩三角形相似“證出△AEDS^ADC；（2）利用相似三角形的性質(zhì)，求出AD的氏.

18.如圖，銳角AABC中，CD,BE分別是AB,AC邊上的高，垂足為D,E.

（2）若將點(diǎn)D,E連接起來(lái)，則AAED和AABC能相似嗎？說(shuō)說(shuō)你的理由.

【答案】（1）見(jiàn)詳解；（2）相似，理由見(jiàn)詳解；

【分析】（1）根據(jù)己知條件，利用相似三角形的判定方法AA進(jìn)行證明即可得到結(jié)論；

（2）連接DE,根據(jù)（1）中的結(jié)論，可得對(duì)應(yīng)邊成比例，交換下比例項(xiàng)，即可得到結(jié)論.

【詳解】證明：（I）VCD,BE分別是AB,AC邊上的高，

NADC=/AEB=90°.

Λ?ACD^?ABE

(2)連接DE,

ACDs△ABE,

ΛAD:AE=AC:AB.

ΛAD:AC=AE:AB.

VZA=ZA.

Λ?AED<^?ABC,

【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定方法，正確連接輔助線，熟練運(yùn)用相似三角形的判定進(jìn)

行證明是解題的關(guān)鍵.

19.如圖，AB是，。的直徑，4λ8D是。的弦，BC是：O的切線，切點(diǎn)為/OC/MD,

BA、Q）的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)￡.

⑵若。的半徑為4,ED=3AE,求AE的長(zhǎng).

【答案】（I）見(jiàn)解析；（2）A￡=1.

【分析】（I）連接OD,由題意易證ACDO好Z?CBO,然后根據(jù)三角形全等的性質(zhì)可求證;

（2）由題意易得△EDAS^EBD,然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)及ED=3AE可求解.

【詳解】（I）證明：連接OD,如圖所示：

??ZDAO≈ZCOB,NADO=NCOD,

又OA=OD,

:NDAO=NADO,

.??ZCOD=ZCOB,

OD=OB1OC=OC.

??ΔCDO^?CBO,

.??ZCDO=ZCBO,

BC是〈Q的切線，

.ZCBO=ZCDO=90o,

點(diǎn)D在Oh,

,CD是(。的切線；

(2)由(I)圖可得：

ZADO+ZEDA=90o,ZODB=ZDBO,

A8是：。的直徑，

ZADB=90o,即ZADO+ZODB=90o,

NEDA=/ODB=/DBO,

又NE=NE,

??ΔEDASZ?EBD,

ED2=AEEB，

)0的半徑為4,ED=3AE，

AB=8,EB=AE+8,

9A￡：2=AE?(AE+8),

解得：AE=L

【點(diǎn)睛】本題主要考查圓的切線定理與判定定理和相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握?qǐng)A的

切線定理及判定定理是解題的關(guān)鍵.

20.如圖1,在菱形ABC。中，AC是對(duì)角線，AB=AC=6,點(diǎn)E、F分別是邊AB、8C上的

動(dòng)點(diǎn)，且滿足AE=BF,連接AF與CE相交于點(diǎn)G.

(1)求NCGb的度數(shù).

(2)如圖2,作D"ICE交CE于點(diǎn)H,若CF=4,AF=2√7,求GH的值.

(3)如圖3,點(diǎn)。為線段CE中點(diǎn),將線段EO繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到線段EM,當(dāng)ΔM4C

構(gòu)成等腰三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出AE的長(zhǎng).

【答案】(1)60°；(2)也；(3)2或36—3

7

【分析】(1)根據(jù)菱形的性質(zhì)得到AA8C,AACD是等邊三角形，然后根據(jù)等邊三角形的

性質(zhì)證明AAB/絲Z?C4E,得到N8AF=/ACE,從而結(jié)合三角形的外角性質(zhì)求解即可；

(2)延長(zhǎng)GA至點(diǎn)K使得AK=CG,首先結(jié)合(1)的結(jié)論推出△4FCS^CFG,得到

CF2=FGAF從而求出GF,AG,CG,再證明△AOKgZXCQG,推出ZkOKG是等邊三角

形，從而求出OG,最后根據(jù)30。角的直角三角形的性質(zhì)求解即可；

(3)分別根據(jù)等腰三角形的定義進(jìn)行分類討論，并結(jié)合相似三角形的判定與性質(zhì)以及全等

三角形的判定與性質(zhì)求解即可.

【詳解】解：(I)：四邊形ABCD是菱形，AB=AC,

.,.AB=AC=BC=AD=CD,

Λ?ABC,AACZ)是等邊三角形.

ZABC=ZCAE,

在4ABF與^CAE中，

AB^CA

<NABF=ZCAE

BF=AE

：.?ABF^ΛCAE(SAS),

：.ZBAF=ZACE,

o

.?.ZCGF=ZGAC+NACG=ZGΛC+NBAF=ZBAC=60i

(2)如圖所示，延長(zhǎng)GA至點(diǎn)K使得AK=CG.

ABAF=AACE,

：.ZFAC^ZGCF,

'：ZGFC^ZAFC,

XAFCSXCFG'

.FGFCCG

"~FC~^FA~^AC'

'：CF-=A,AF=2√7,AC=6,

.r,c,-8√7Ar_6/”一12幣

777

VZFGC=60o,ZADC=60°,

???ZAGC+NADC=I80。，

o

：.ZGAD+ZGCD=ISO9

u：ZKAD+ZGAD=ISOo,

"KAD=NGCD,

又?：DC=DA,

：.∕?ADK^ΛCDG(SAS),

IDK=DG,ZKDA=ZGDC,

:?NKDG=/ADC=60°,

???△￡>KG是等邊三角形，

1O

NAGD=NDGH=60°,DG^KG^AK+AG^AG+CG^-∕i,

7

DHVCE,NDGH=60°,

(3)①若AM=A/C,則AMAC為等腰三角形，

此時(shí)，取AC中點(diǎn)為點(diǎn)P,連接OP,OM,BM,

:NMEO=60。,EO=EM,

...△OEM為等邊三角形，

,//尸GC=60°,

NMEg/FGC,

:,ME//AF,

為CE的中點(diǎn)，P為4C的中點(diǎn)，

,OP為△AEC的中位線，0P〃AB,

:△ABC為等邊三角形，AMAC為等腰三角形，尸為AC的中點(diǎn)，

，由“三線合一”知，B、M、P三點(diǎn)共線，

o

aBP-LAC1AP=PC=^AC=3,ZABP=^ZABC=301

???AOEM為等邊三角形,

：?OE=OM,ZOEM=ZOME9

YOE=OC,

：.OM=OCfNOMC=NOCM,

：.ZOEM+ZOCM=ZOME+ZOMC

即：ZOEM+ZOCM=ZEMC,

/.ZEMC=90o,CMLEM.

：.在RtACEM中,Z￡CM=90°-60°=30°,

此時(shí)，如圖所示，將AAEC繞著C點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。至ABNC,連接MM

則NACE=N8C7V,NNBC=60。,

,.βNECM=30。，

ZΛCE÷ZMCB=30o,

，/BCN+NMCB=NMCN=30。,

：./MCN=/MCE=34。,

?；CE=CMNMCN=NMCE,CM=CMt

：?叢MCEQ叢MCN,

：.ZCMN=ZCME=90。,

：.E.M、N三點(diǎn)共線，

???△ECN為等邊三角形，

'."NNBC=NACB=60。,

：.BN//AC,

β.?ZBPC=90o,

：?/NBM=90。,

'：NCWN=90。，

.,.NBMN+∕CMP=9V,

'：NBMN+NBNM=90°,

.'.ZBNM=ZCMP1

：?XBMNsAPCM,

.BM_NM

,*PC-MC,

NM

——=tan/MCN=tan30。，

MC

?.也=tan3。。=走

PC3

VPC=3,

：?BM=6,

?∕?ZΔABPΦ,AP=3,NABP=30。,

工BP=36

：.PM=BP-BM=26,

VZMBC=30o,ZOMC=90o-ZOME=30o,

ZMBC+ZMCB=ZOMC÷ZOMP,

.?ZMCB=ZOMPt

,:OP//AB,

工NOPe=N8A060。，

ZOPM=90o-60o=30o,

MoPMSdMBC,

.OPPM

**MB^^SC,

即：牛=也,

√36

：.0P=?,

TOP"AEC的中位線，

."E=2OP=2;

②若AM=AC,W∣J?AMC為等腰三角形，

如圖所示，取AC中點(diǎn)P,連接OP,延長(zhǎng)Ao交MC于。點(diǎn)，

由①可知，△EMC始終為直角三角形，NEMC=90。，NECM=30。,

且EM與AF始終平行，

ΛZEMC=ZAβC=90o,AQ_LMC于。點(diǎn),

?：OM=OC,

，O點(diǎn)在AQ上，

VZCOβ=60o,NCGF=60。，

，此時(shí)。點(diǎn)和G點(diǎn)重合，

???ZCPO=ZCAB=60。，ZCOQ=60o,

ZAPO=ZAOC=UOo,

：.?APO^?AOC,

.APAO_OP

,*AO^ΛC^CO,

VΛC=6,AP=3,

?*?AO2=AP?AC=3x6=18，

：.AO二3五，

,.?RtAOCQ中，ZOCQ=30。,

設(shè)OQ=χf則CQ=√3X，

222

在放ZiCAQ中，CQ+AQ=ACf

即：(√Ir)2+(3√Σ+J=6?,

解得：X=-3√Σ+3√ΠJ或X=-3四-3而(不合題意，舍去),

44

,-3√2÷3√i0,COZ^^,

42

.AOOP,l速=—WP

??由77=7^仔：6-3√2+3√iθ?

ACCC/-----------------------

2

解得：OP=3也-3,

2

VOP?ΔAEC的中位線，

."E=2OP=33：

dD

Xτ?∕

B

MQ

③若AC=MC,則E點(diǎn)在A8的延長(zhǎng)線上，此時(shí)與E點(diǎn)在邊AB上運(yùn)動(dòng)矛盾，故該種情況舍

去；

綜上，4E=2或3百-3.

【點(diǎn)睛】本題考查特殊平行四邊形的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，涉及到相似三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角

函數(shù)的運(yùn)用，等腰三角形的判定與性質(zhì)等,掌握基本圖形的性質(zhì)，熟練綜合分析是解題關(guān)鍵.

21.在Q△4BC中，NACB=90°,點(diǎn)。為AB上一點(diǎn).

(1)如圖1,若COLAS,求證：AC2=ADAB;

FH4AD

(2)如圖2,若AC=BC,EF工CD交CD于H,交AC于F,且——=-,求一的值；

HE9BD

(3)如圖3,若AC=BC,點(diǎn)//在CD上，NAHD=45°,CH=3DH,則tan∕AC7∕的值為.

【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)(3)互

37

mRD

【分析】(1)證出NB=NAC0,證明4CBOS-AQ),得出J=即可得出結(jié)論；

ADCD

(2)設(shè)FH=4a,則HE=9a(α>0).同(1)得CfP=HE?FH=36/，則C"=64,在

FH2APDP2

RNCHF中，tanNACQ=;J=W,過(guò)。作DPlAC于-,易證AP=Z)P,求出二廠=3=彳，

7CH3PCPC3

再由平行線分線段成比例定理即可得出答案：

(3)過(guò)點(diǎn)。作DMIAH于"，設(shè)DH=2x,則C"=6x(x>0),CD=DH+CH=^x,

證明2hsCDk得出/ZMH=NAC",—,求出AD=4χ,證明aHDM是

CDAD

等腰直角三角形，得出OM=HM=變OH=岳，由勾股定理得出4M=屆，由三角函

2

數(shù)定義即可得出答案.

【詳解】(1)證明：：CDlM,.?.NADC=Nq)8=90°,

：ZACB=90。，

.?.ZB+/BCD=ZACD+NBCD=90。,

：.AB=ZACD,

.?.ACBDs,.ACD,

.CDBD

..=,

ADCD

?'-CD2=AD?DB：

4

2脩

9-

??.設(shè)F4=4α,則HE=94(α>0),

VZ4Cβ=90o,EFlCD.

同(1)得:CH2=HE-FH=9a×4a=36a2>

?"?CH=6a>

FH4以2

在RNCHF中,tanZACD=-

CH6a3

過(guò)。作OpIAeTp,如圖2所示：

圖2

則DPHBC,

DP2

在RtOPC中，tanZACD=——=-,

PC3

VACBC，Z4CB=90。，

??.ZA=45°,

.?.A3是等腰直角三角形，

；?AP=DP,

.APDP2

"~PC~~PC~3'

VDPIIBC,

.ADAP_2

??---=---=一;

BDPC3

(3)解：過(guò)點(diǎn)。作DMIA”于如圖3所示:

圖3

?：CH=3DH,

.?.設(shè)DH=2Λ,則C"=6尤(x>0),

：.CD=DH+CH=8x，

VACBC,Z4CB=90o,

ΛZβ4C=450,

?ZBAC=ZAHD=450

乂?：ZADH=LCDA,

AΓ>Hs；CDk,