2023-2024學(xué)年上海市高二年級下冊期中數(shù)學(xué)模擬試題 四（含解析）

2023-2024學(xué)年上海市高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)模擬試題

一、填空題(本題滿分54分，共有12題，1-6題每題4分，7-12每題5分)

1,函數(shù)∕3=v+lnx的導(dǎo)數(shù)/?)=—..

【正確答案】3x2+-

X

【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)計算公式直接計算即可.

【詳解】函數(shù)y=d的導(dǎo)數(shù)為V=3χ2,

函數(shù)N=InX的導(dǎo)數(shù)為了=」，

X

根據(jù)導(dǎo)數(shù)加法運算公式，函數(shù)/(x)=Y+lnx的導(dǎo)數(shù)/'(x)=3χ2+g.

?1

故答案為.3/+上

X

13

2.已知尸(BI力)=§,P(A)=-,則尸(46)=.

【正確答案】-

5

【分析】由已知條件，利用條件概率計算公式直接求解即可.

13

【詳解】VP(B?A)^-,P(A)=~,

：.P(ZB)=P(8I∕)?P(∕)=g

故L

5

3.兩名女生,4名男生排成一排,則兩名女生不相鄰的排法共有種(以數(shù)字作答)

【正確答案】480

【詳解】分析：由題意,先排男生,再插入女生,即可得兩名女生不相鄰的排法.

詳解：由題意，其中4名男生共有=24種不同的排法，

再將兩名女生插入4名男生之間，共有4=20中不同的方法，

所以兩名女生不相鄰的排法共有24x20=480中不同的排法.

點睛：本題主要考查了排列的應(yīng)用，其中認真分析題意，得道現(xiàn)排四名男生，在把兩名女生插入四名男生

之間是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力.

4.二項式展開中d的系數(shù)為.

【正確答案】?

16

【分析】利用二項式定理，寫出展開式的通項即可求解.

【詳解】二項式（，+］）JcY=CL7

的展開式為4+I=G

令2r一5=3,解得r=4,

所以展開中V的系數(shù)為C>?=—,

UJ16

故—

16

5.設(shè)隨機變量X服從正態(tài)分布N（2,σ?2）,若P（X≤1）=0.2,則P（X<3）=

【正確答案】0.8

【分析】根據(jù)正態(tài)分布的概念及性質(zhì)即可求解概率.

【詳解】解：因為P（X≥3）=P（X≤l）=0?2,

所以尸(X<3)=l-P(X23)=1-0.2=0.8,

故答案為.0.8

6.某次比賽中，9名評委對選手表現(xiàn)進行百分制打分，將選手的9個得分去掉一個最高分，去掉一個最低

分，7個剩余分數(shù)的平均分為91.現(xiàn)場工作人員做了9個分數(shù)的莖葉圖，后來一個數(shù)據(jù)模糊，無法辨認，在

圖中以X表示（見下圖），則X的值為.

877

94010x91

【正確答案】4

【分析】根據(jù)已知條件及莖葉圖的特點，結(jié)合平均數(shù)公式即可求解.

【詳解】根據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù)，可知去掉的最低分為87,最高分為90,

所以剩余7個數(shù)為87,90,90,91,91,90+X,94,

因為7個剩余分數(shù)的平均分為91,

,,87+90+90+91+91+90+x+94?

所ec以--------------------------------=91,解得X=4，

7

所以X的值為4.

故答案為?4

7.函數(shù)y=x+2cosx在（0,乃）上的單調(diào)遞減區(qū)間為

Jr5

【正確答案】（一,一%）

66

【分析】求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系求解.

【詳解】Vy=x+2cosx,X∈(0,π)

:V=1-2SinX,X∈(0,π)

π5

當(dāng)y'=l-2sinx<0,即x∈(-,-乃)時,

66

函數(shù)N=x+2cosx單調(diào)遞減，

Ji5

故答案為G，、).

66

本題考查函數(shù)的單調(diào)性.求函數(shù)單調(diào)區(qū)間常用方法：1、定義法；2、根據(jù)基本函數(shù)單調(diào)性；3、根據(jù)復(fù)合函

數(shù)單調(diào)性；4、導(dǎo)數(shù)法；5、圖像法.

8.已知隨機變量X服從二項分布8(〃,p),若E(X)=40,D(X)=20,則P=.

【正確答案】g##05

【分析】根據(jù)二項分布期望與方差計算公式列出方程組求解即可

【詳解】因為隨機變量X服從二項分布8(〃,p),

E(X)=叨=40解得P=；.

所以《Z)jx)=印(I-P)=20

??^^

9.已知X,y的對應(yīng)值如下表所不:

Xo2468

y1/27+12/n+l3加+313

若y與X線性相關(guān)，且回歸直線方程為y=L2x+0.2,則加=

【正確答案】1

【分析】根據(jù)線性回歸方程過樣本中心點直接計算即可.

【詳解】根據(jù)表格可知，X=0+2+4+6+8^4,

5

—l+(m+l)+(2加+1)+(3m+3)+136m+19

N=5=，

因為y與X線性相關(guān)，且回歸直線方程為y=1.2x+0.2,

6?I1o

所以~一-=1.2×4+0.2,得6加+19=25,解得機=1.

5

故1

10.已知〃23,若對任意的x,都有(X+2)"=4(X-1)"+4(X-1)"T+135?(X-I)T,則

n=.

【正確答案】6

【詳解】?.?(x+2)”=[(X—1)+3『.?.C：32=135；.或〃;D=15；.〃=6.(負舍)

點睛：求二項展開式有關(guān)問題的常見類型及解題策略

(1)求展開式中的特定項.可依據(jù)條件寫出第r+1項，再由特定項的特點求出，?值即可.

(2)已知展開式的某項,求特定項的系數(shù).可由某項得出參數(shù)項,再由通項寫出第r+1項，由特定項得出r值,

最后求出其參數(shù).

11.如圖/BCDEF_4'B'C'D'E'F'為正六棱柱，若從該正六棱柱的6個側(cè)面的12條面對角線中，隨機

選取兩條，則它們共面的概率是.

【正確答案】—

11

【分析】共面分為平行和相交，平行時，只需要考慮對面平行中的直線即可，相交時分為：在側(cè)面內(nèi)相交,

兩個相鄰交于一個點，相隔一個面中相交于對角線延長線上，分別分析幾種情況下對角線共面的個數(shù)，再

利用古典概型的概率計算公式，計算結(jié)果即可.

【詳解】解：由題意知，若兩個對角線在同一個側(cè)面，因為有6個側(cè)面，所以共有6組；

若相交且交點在正六棱柱的頂點上，因為有12個頂點，所以共有12組，

若相交且交點在對角線延長線上時，如圖所示，連接AD,C'D,E'D,AB',AF',

先考慮下底面，根據(jù)正六邊形性質(zhì)可知EE,所以E'F'〃AD〃B'C',

且B'C'=EF≠AD,故∕OC為'共面，且Z0E'F'共面，

故/E',OE'相交，且Cz>,ZB'相交，故共面有2組，

則正六邊形對角線AD所對應(yīng)的有2組共面的面對角線，

同理可知正六邊形對角線BE,C尸所對的分別有兩組，共6組，

故對于上底面對角線N'。'，BE,CF同樣各對兩組，共6組，

若對面平行，一組對面中有2組對角線平行，三組對面共有6組，

6+12+12+66

所以共面的概率是——不-----=—.

故色

11

12.已知正實數(shù)X,y滿足InX=戶*+lny,則y-e-”的最大值為.

2

【正確答案】4##e-

e^

YIn—/、

【分析】把已知等式變形為xe'=ln'e，，利用函數(shù)/(x)=xe'(x>O)的單調(diào)性得x)的關(guān)系，從而

y

將y-eτ轉(zhuǎn)化為X的函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)求得其最大值即可.

X

XXXγIn-

【詳解】由InX=ye'+Iny得In—=ye?所以一In-=Xe則xe'=ln二?e,

yyyy

χX

因為x>O,e*>O,、八，所以In—>。，

e>Uy

令/(x)=XeX(X〉0),則/'(x)=e*(x+l)>0,所以/(x)在(0,+“)上單調(diào)遞增,

所以由XeJt=In±?e"7,即f(x)=f?n-?,得x=ln±,所以^=之，

?Vy)ye

--XX1χ-l

所fc以rly—e，=--=—―.

eee

令g(x)==?(?x>°),則g'(χ)=二?'

ee

令g'(x)>O,得0<χ<2;令g'(x)<O,得x>2,

所以g(χ)在(0,2)上單調(diào)遞增，在(2,+8)上單調(diào)遞減，

所以g(x)maχ=g(2)=二，即歹一e-'的最大值為4.

e^e

故~~y*

e

關(guān)鍵點點睛：本題解決的關(guān)鍵對已知等式進行同構(gòu)變形XeX=In'?e%,從而利用函數(shù)的單調(diào)性得出變量

y

間的關(guān)系，由此得解.

二.選擇題(本題滿分20分，共有4題，每題5分)

13.如圖是根據(jù)x/的觀測數(shù)據(jù)（Xj,yJ（i=l,2,L,10）得到的散點圖，可以判斷變量X,F具有線性相關(guān)

關(guān)系的圖是（）

A.①②B.③④C.②③D.①④

【正確答案】B

【分析】根據(jù)變量X，V具有線性相關(guān)關(guān)系，則散點在某條直線附近，從左下至右上或從左上至右下即可.

【詳解】根據(jù)變量x,y具有線性相關(guān)關(guān)系，則散點在某條直線附近，從左下至右上或從左上至右下，

所以③④圖的變量兀丁具有線性相關(guān)關(guān)系.

故選：B

14.已知α是1,3,3,5,7,8,10,11的75%分位數(shù)，在1,3,3,5,7,8,10,11中隨機取兩個數(shù),這兩個數(shù)都小于。的概

率為（）

151513

A.—B.—C.—D.—

4142828

【正確答案】C

【分析】先根據(jù)百分位數(shù)的計算公式求出。，再根據(jù)古典概型的概率計算公式解求解.

【詳解】因為8x75%=6,所以α=任刊=9,

2

8個數(shù)中有6個數(shù)小于9,所以隨機取兩個數(shù)，

C215

這兩個數(shù)都小于。的概率為0=途='.

C828

故選:C.

15.公安部新修訂的《機動車登記規(guī)定》正式實施后，小型汽車的號牌已經(jīng)可以采用“自主編排”的方式進

行編排.某人欲選由48、C、。、E中的兩個不同字母，和0、1、2、3、4,5、6、7、8、9中的3個不同數(shù)字，組成的三

個數(shù)字都相鄰的一個號牌，則他選擇號牌的方法種數(shù)最多有（）種.

A.7200B.14400C.21600D.43200

【正確答案】D

【分析】先計算挑選出兩個不同字母和3個不同數(shù)字的情況數(shù)，再求解三個數(shù)字都相鄰的情況即可

【詳解】由題意，選取4從C、。、E中的兩個不同字母，和0、1、2、3、4、5、6、7、8、9中的3個不同數(shù)字共有

C；C：o=12OO種情況，當(dāng)兩個字母和3個數(shù)字確定后，再組成的三個數(shù)字都相鄰的一個號牌總共有

P；P；=36種情況，根據(jù)分步計數(shù)的乘法原理可得，選擇號牌的方法種數(shù)最多有1200x36=43200種

故選：D

16.若函數(shù)y=∕(χ)的圖像上存在兩個不同的點P,。，使得在這兩點處的切線重合，則稱/(χ)為“切線重

合函數(shù)”，下列函數(shù)中不是“切線重合函數(shù)''的為()

A.=-X2+1B.y=sinx

C.y=x+cosXD.y=x2+sinx

【正確答案】D

【分析】“切線重合函數(shù)”的充分條件是，存在X∣≠X2有/(xJ=∕'(X2)，據(jù)此逐項分析驗證即可.

(∕yγ

【詳解】對于A,/(x)=χjV+1顯然是偶函數(shù)，/(χ)=4χ3-2χ=4x[x+TJ[x-丁，

當(dāng)x<一當(dāng)時，/(x)<0,單調(diào)遞減，當(dāng)一日<χ<0時，/(x)>0單調(diào)遞增，

當(dāng)0<x<也時，/(x)<0,單調(diào)遞減，當(dāng)％〉也時，單調(diào)遞增；

22

在x=±巫時，∕G)=0,都取得極小值，由于是偶函數(shù)，在這兩點的切線是重合的，故A是“切

2

線重合函數(shù)”；

對于B,/(x)=SinX是正弦函數(shù)，顯然在頂點處切線是重合的，故B是“切線重合函數(shù)”；

對于C,考察力(肛乃-1),8(3肛3萬一1)兩點處的切線方程，?.?y=1-sinx,

.?.A,B兩點處的切線斜率都等于1,在/點處的切線方程為少一(%-l)=l?(x-")，化簡得：y=χ+l,

在B點處的切線方程為y-(3%-l)=l?(x-3%)，化簡得y=χ+l,顯然重合，

.?.C是“切線重合函數(shù)”；

對于D,y'=2x+cosx,令g(x)=2x+cosx,則g'(x)=2-sinx>0,

g(x)是增函數(shù)，不存在χ≠X2時，g(xj=g(x2)，所以D不是“切線重合函數(shù)”；

故選：D.

三.解答題(本題滿分76分，共有5題，解答下列各題必須在答題紙的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要

的步驟)

17.如圖，三棱柱Z8C-48]G中，44]J?底面/3C,AB=AC,。是BC的中點.

<ι

BlG

：IA

,/八、

BD''C

(1)求證：6C上平面

(2)若/"4C=90°,BC=4,三棱柱/BC-ZeG的體積是8百，求異面直線4。與44所成角的

大小.

【正確答案】(1)詳見解析；(2)arccos—

5

【分析】(1)由題意，因為44］，底面/8C,所以44∣J?8C,又Z3=/C是BC的中點，BClAD,

利用線面垂直的判定定理，即可證得SC_L平面4月。；

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，求解向量麗,荏I,利用向量所成角的公式，即可求解.

【詳解】(1)因為，底面/8G所以力4LBC

又AB=AC,。是比■的中點，BCLAD

AAi與交于A

所以BC，平面

(2)根據(jù)NBZC=90°,ZB=4C,BC=4求得AB=AC=2血

A4BC的面積等于4

三棱柱45。—44G的體積是

1

SMBC-AA4-AA'=8√3,.?.AA'2√3

如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，

Σ>(√2,√2,0)∕l(0,0,0),5l(2√2,0,2√3)

4D=(√2,√2,-2√3)ZS1=(2√2,0,2√3)

異面直線AxD和AB1所成的角為。

。福?麗√5

，COSe=I_=一

網(wǎng)|4。|5

18∣所成的角為arccos-

本題考查了立體幾何中的直線與平面垂直的判定和異面直線所成的角的求解問題，意在考查學(xué)生的空間想

象能力和邏輯推理能力；解答本題關(guān)鍵在于能利用直線與直線、直線與平面、平面與平面關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化,

通過嚴密推理，明確角的構(gòu)成.同時對于立體幾何中角的計算問題，往往可以利用空間向量法，通過求解平

面的法向量，利用向量的夾角公式求解.

18.已知關(guān)于X的不等式“_3X+2>0的解集為{小伍或x)2},(b<2).

(1)求實數(shù)"，b的值；

a2b，?

(2)當(dāng)χ>0,y>0,且滿足一+——=1時，有2x+yZ-+左+2恒成立，求左的取值范圍.

Xy

【正確答案】(1)a=b=l

⑵[-3,2]

【分析】(1)由不等式的解集，結(jié)合韋達定理列出方程，即可求得α,b的值.

(2)由(1)中的結(jié)果，結(jié)合基本不等式，可得(2x+y*n=8,然后代入不等式，即可求得左的范圍.

【小問1詳解】

因為關(guān)于X的不等式辦2一3χ+2>0的解集為卜,?；?”},

Γ3

b+2=±??

所以“>0,且,C0,可得彳：一，

c,2b=T

a

即Q=6=1

【小問2詳解】

—a2b12

由(1)知。=6=1,則l—I—=y1,即—I—=1

?yXy

所以(2x+y)[l+2]=4+竺+上之4+2I竺.上=8

IXjJVX?yX

竺=上

x=2

當(dāng)且僅當(dāng)《二VCX時，即9=4時'等號成立.

12

—I—=1

IXy

故2x+y≥左2+左+2恒成立，

即(左~+%+2)≤(2X+y)min=8恒成立,

所以(左+3)("2)≤0,解得-3≤無≤2

??∈［-3,2］

19.為保護學(xué)生視力，讓學(xué)生在學(xué)校專心學(xué)習(xí)，促進學(xué)生身心健康發(fā)展，教育部于2021年1月15日下

發(fā)文件《關(guān)于加強中小學(xué)生手機管理工作的通知》，對中小學(xué)生的手機使用和管理作出了規(guī)定.某中學(xué)研

究型學(xué)習(xí)小組調(diào)查研究“中學(xué)生每日使用手機的時間從該校中隨機調(diào)查了IOO名學(xué)生，得到如下統(tǒng)計

表：

時間tmin[0,12)[12,24)[24,36)[36,48)[48,60)[60,72]

人數(shù)1036341064

(1)估計該校學(xué)生每日使用手機的時間的平均數(shù)(同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表)；

(2)以頻率估計概率，若在該校學(xué)生中隨機挑選3人，記這3人每日使用手機的時間在［48,72］的人

數(shù)為隨機變量X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望E(X).

【正確答案】(1)27.36min

3

(2)分布列見解析，—

10

【分析】(I)由平均數(shù)的定義求解即可；

(2)由題意知該校學(xué)生每日使用手機的時間在［48,72］內(nèi)的概率估計為瑞=：,則X?8(3,奈)，

由二項分布的概率公式求概率，即可得出分布列，和數(shù)學(xué)期望.

【小問1詳解】

由題意得，隨機選取的該校這IOO名學(xué)生每日使用手機的時間的平均數(shù)為

_,1036CC34410-6“42736.、

X=6X-----F118o×------F30X------F42×------F54X------F66×------------27.36(min).

IOOIOOIOOIOOIOOIOOIOO?,

所以估計該校學(xué)生每日使用手機的時間的平均數(shù)為27.36min.

【小問2詳解】

由題意知該校學(xué)生每日使用手機的時間在［48,72］內(nèi)的概率估計為W=A,則X?

3

所以P(X=O)=CIIq243

篇J(XTETooo

3

磊，P(x=3)=1

?1000

所以X的分布列為:

X0123

729243271

P

100010001000Tooo

79Q04407Ia13、

所以E(X)=OX^-+Ix——+2×——+3×——=二.(或E(X)=3乂一=一.

',100010001000100010v710IOj

20.已知數(shù)列｛%｝是公差為2的等差數(shù)歹∣J,其前8項的和為64.數(shù)列｛"｝是公比大于0的等比數(shù)列，A=3,

?-?=18.

(1)求數(shù)列｛4｝和｛4｝的通項公式；

(2)記g=(—1)"[,"∈N*,求數(shù)列｛c,｝的前2〃項和S2,,;

α+2

(3)^dn="?n∈N?求數(shù)列｛4｝的前〃項和7；.

【正確答案】(1)an=2n-↑,6“=3"

2

(2)S2n=8n

(3)T=------------------

“22(2〃+1)?3”

【分析】(1)設(shè)等差數(shù)列的首項為力,利用等差數(shù)列的前〃項和公式求出4,進而求出等差數(shù)列的通項公

式；設(shè)等比數(shù)列的公比為4,利用通項公式和已知條件求出4,進而求出等比數(shù)列的通項公式；

(2)先求出。2,1+。2“=16〃-8,再利用分組求和法和等差數(shù)列的求和公式進行求解；

(3)先得到~~?-T-..?,?]，再利用裂項抵消法進行求和.

2(2H—1)?3(2"+l)?3

【小問1詳解】

因為｛4｝是公差為2的等差數(shù)列，且§8=64,

Q7

所以8α∣+%χ-x2=64,解得4=1,

所以氏=1+2(〃-1)=2〃-1；

設(shè)等比數(shù)列出｝的公比為q?>0),

因為4=3,b3-b2=18,

所以3g2_3q=18,即q2_g_6=0,

解得q=-2(舍去)或q=3,

所以6,,=3x3"τ=3".

【小問2詳解】

由⑴得C1)"片=(—1)"?(2"-1)2,

則C21+。2.=(-1)2,,^'?[2(2∕7-1)-1]2+(-1)2"?(4H-1)2

=-(-I)2"?(4〃-3)2+(-l)2n-(4〃-I)2

=(4π-I)2-(4/7-3)2=16/7-8,

則Sln=(Cl+C2)+(C3+C?4)+???+(C2,,.1+C2,,)

=8[l+3+5+???+(2∕7-l)]

=8X叩+S=/

2

【小問3詳解】

jtz2-?2(〃+2)—2

由(1)得""=——=-一E-

allan+ibn(2n-1)(2?+1)-3

2?+2_1]__________1

(2M-l)(2n+l)?3z,~2(2n-l)?3n^1^(2rt+l)?3n

則北=4+rf2+J3H----Fdn

=2^1×30-3x3l)+(3x3'^5×3^+S×32-7×33)++((2κ-l)?3,,^'^(2π+l)?3n^

=1(J_______

2l×30(2w+l)?3,,

11

-2^2(2M+1)?3Z,,

方法點睛：本題中考察了數(shù)列求和的兩種采用方法，第二問考察了并項求和法，第三問考察了裂項抵消法,

技巧性較強.

21.已知平面直角坐標(biāo)系內(nèi)一橢圓C:2記兩焦點分別為耳,F,且閨瑪|=26.

滔+y=1,2

(1)求。的方程;

(2)設(shè)C上有三點。、R、S,直線。R、QS分別過耳，F(xiàn)2,連接RS.

①若。(0,1),求△0?S的面積；

②證明：當(dāng)△。KS面積最大時，必定經(jīng)過C的某個頂點.

【正確答案】(1)-+y2=l

4-

(2)①竺回；②證明見解析

49

【分析】(1)由定義求得參數(shù)即可得方程；

(2)①求出直線、QS,分別聯(lián)立橢圓方程求得R、S坐標(biāo)，即可求得面積；

②設(shè)直線?；鸷椭本€QS的方程為X=一J5",X=ny+?/?，設(shè)0(/J°)，H(XI，凹)，S(X2，%)，

分別聯(lián)立橢圓方程結(jié)合韋達定理得瓦，—

乂y2

,SAQRS_|?；鸩穦。Sl一M一%％,一%

)結(jié)合器=4(1-元)，即可化簡整理得

S4QFM一|。凰?|。周—二?r

?/??o[?o+τj

22

SAQRS=fM=-L，最后證明(。)≤即可?

2T?/X/(1)

%+48

【小問1詳解】

可知2C=2√LC=√3,所以∕=∕+c?2=1+3=4,因此α=2.所以C的方程為?+V=1.

【小問2詳解】

①可知直線QR的方程為y=^-x+↑,直線0S的方程為y=-^χ+l.

(8/3-(01、

分別聯(lián)立橢圓方程可解得火~9~~，S,

7777

②證明：設(shè)直線QR和直線QS的方程為x=my-6x=ny+也,設(shè)0(??,%)，尺(西,弘)，S(x2,%).

*_2y∕3m

2

聯(lián)立QR和橢圓得:(w+4)∕-2√3wy-l=0,可得,"+4,同理可

?o?i

W2+4

2√3n

又因為XO=叩o-c,x0=+c,所以％+%=-26m=-2G“°+",所以J"+,L=-2g%o-6,

y0yly0乂

即—=-2GXO-7；

乂

)λ+λ

同理可得X+及=2幣n=2√5"°一",≡2√3X0-6,即%?=一7.

y0y2y0%%

λSAQRS；