2023-2024學(xué)年上海市靜安區(qū)高二年級(jí)上冊(cè)12月月考數(shù)學(xué)模擬試卷（附答案）

2023_2024學(xué)年上海市靜安區(qū)高二上冊(cè)12月月考數(shù)學(xué)

模擬試卷

一、填空題(滿分42分，1-6題每題3分，7-12題每題4分)

1.過(guò)點(diǎn)尸(2,-1)且與直線2x+了-5=0平行的直線的一般方程為.

2.在長(zhǎng)方體/BCD-44GA中，AB=3,AD=4,AAl=6,則直線ZG與平面/BCD所成角的大

小為?

3.已知圓G：(x-a)2+V=36與圓C2:尤2+(y-2)2=4內(nèi)切，貝?。?。=.

4.過(guò)點(diǎn)(2,3)且與橢圓爐+2「=8有相同焦點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

5.已知直線4：x+("+l)y+機(jī)-2=0,/2：2mx+4y+16=0平行，則這兩條平行直線之間的距離

為.

6.已知機(jī))是空間的兩條不同直線，是兩個(gè)不同的平面，下列四個(gè)命題中真命題的編號(hào)

是.

①.mLa,nilP，ahp,則加_L〃②.m±a,m±n,alip,貝!)〃〃/?

③.m-Ln,mlla.alip,則〃_!_/?④.m±a,mlln,allP,則〃_L〃

7.若直線工+*吊口+2=0(。?1<)的傾斜角的取值范圍是.

8.已知直線》+吵+1=0與圓=2交于/、B兩點(diǎn)，若ACU3面積為"，則加的值

2

為.

9.已知廠是橢圓］+「=1的右焦點(diǎn)，尸是橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，則尸尸周長(zhǎng)的最大值

為.

10.在數(shù)學(xué)史上，平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之積為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡稱為卡西尼卵形。在平面直角坐

標(biāo)系中，動(dòng)點(diǎn)P(x,y)到兩個(gè)定點(diǎn)片(-1,0),工(1,0)的距離之積等于2,化簡(jiǎn)得曲線

C:X2+/+1=2VX2+1>則|。尸|的最大值為.

II.如圖，在底面半徑為1,高為6的圓柱內(nèi)放置兩個(gè)球，

使得兩個(gè)球與圓柱側(cè)切，且分別與圓柱的上下底切.

一個(gè)與兩球均相切的平面斜截圓柱側(cè)面，得到的截線是一個(gè)橢圓.

則該橢圓的離心率為.

12.已知線段MN是圓C:（x-l）2+y2=4的一條動(dòng)弦，且|〃M=2,若點(diǎn)P為直線2尤->+6=0上

的任意一點(diǎn)，則|2兩-PN|的最小值為

二、選擇題（本大題共4題，每題4分，共16分，每題只有一個(gè)正確答案）

13.已知圓錐的底面半徑為2,其側(cè)面展開(kāi)圖為一個(gè)半圓，則該圓錐的表面積為（）

A.4加B.8"C.12萬(wàn)D.207r

14.設(shè)直線乙：》一2〉一2=0與4關(guān)于直線/：2x--y-4=0對(duì)稱，則直線人的方程是（）

A.1lx+2j-22=0B.llx-hy+22=0C.5%+>-11=0D.10x+y-22=0

15.已知圓C:（x-1）2+3-1）2=4,尸為直線/:2x+y+2=0上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)。作圓C的切線R4,

切點(diǎn)為4,當(dāng)△尸/C的面積最小時(shí)，△尸/C的外接圓的方程為（）

9

C.D

41-

16.已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓￡:[+（■=1（。>6>0）的左、右焦點(diǎn)分別是大，外，離心率為，.四,

尸是橢圓E上的點(diǎn)，9的中點(diǎn)為N,|ON|+|g|=2,過(guò)尸作圓0:/+（了-4）2=1的一條切線,

切點(diǎn)為8,貝>]|依|的最大值為（）

A.2夜B.2瓜C.275D.5

三、解答題（本大題共5題，滿分42分，解答要有論證過(guò)程與運(yùn)算步驟）

17.（本題滿分6分）本題共有2個(gè)小題，第1小題滿分3分，第2小題滿分3分.

已知直線乙：（〃z+2）x+叼-8=0與直線4：mx+y-4=0,meR.

-L/2>求〃z的值；

⑵若點(diǎn)尸（1,"）在直線4上，直線/過(guò)點(diǎn)尸，且在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為0,求直線/的一般方程.

18.(本題滿分8分)本題共有2個(gè)小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分4分.

如圖，已知三棱錐尸-4BC中，24_L平面48C,AB1BC,PA=8,AB=6,AC=\Q.

(1)求點(diǎn)A到平面PBC的距離;

(2)求三棱錐尸-A8C的表面積.

19.(本題滿分8分)本題共有2個(gè)小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分4分.

已知直線加：3x+4y+12=0^n[UC,x2+y2+2x-4y+l=0

(1)求與直線m垂直且經(jīng)過(guò)圓心的直線的一般方程；

(2)求與直線加平行且與圓C相切的直線的一般方程.

20.（滿分10分）本題共有3個(gè)小題，第1小題滿分3分，第2小題滿分3分，第3小題滿分4

分.

已知線段AB的端點(diǎn)B的坐標(biāo)是（6,5）,端點(diǎn)/在圓G：（x_4+（”3）2=4上運(yùn)動(dòng).

（1）求線段48的中點(diǎn)尸的軌跡的方程；

⑵設(shè)圓G與曲線C2的兩交點(diǎn)為N,求線段的長(zhǎng)；

⑶若點(diǎn)C在曲線C?上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)。在x軸上運(yùn)動(dòng)，求的最小值.

21.（滿分10分）本題共有3個(gè)小題，第1小題滿分3分，第2小題滿分3分，第3小題滿分4

分.

,爐2=1（a>6>0）的離心率為*

己知橢圓。：二+4，橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形面積

a2b2

為2.已知直線了=左（》-1）（1>0）與橢圓。交于4,8兩點(diǎn)，且與x軸，y軸交于N兩點(diǎn).

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若=求左的值；

(3)若點(diǎn)。的坐標(biāo)為求證:QAQB為定值.

2023_2024學(xué)年上海市靜安區(qū)高二上冊(cè)12月月考數(shù)學(xué)

模擬試卷

一、填空題（滿分42分，1-6題每題3分，7-12題每題4分）

1.過(guò)點(diǎn)且與直線2x+y-5=0平行的直線的一般方程為.2x+y-3=0

2.在長(zhǎng)方體MCD—中，/3=3,/。=4,/4=6,則直線/G與平面/BCD所成角的大

r、,6

/J、為.arctan—

3.已知圓G:（x—a）?+/=36與圓G：%?+（y—2）2=4內(nèi)切，則。=.±2^/3,

4.過(guò)點(diǎn)（2,3）且與橢圓一+2產(chǎn)=8有相同焦點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.[+]=1

5.已知直線4：x+（機(jī)+1）＞+機(jī)-2=0,/2：2%x+4y+16=0平行，則這兩條平行直線之間的距離

為,走

5

6.已知叱〃是空間的兩條不同直線，/，是兩個(gè)不同的平面，下列四個(gè)命題中真命題的編號(hào)是—

①④

①.m±a.nllp.allP,則加_L〃②.mLa.mVn.alip,則〃〃/?

③.m±n.mlla.all（3,則〃_L〃④.m±a.mlln.allfi,則〃J_/?

jrRXTT

7.若直線x+ysinc+2=0（aeR）的傾斜角的取值范圍是.

9.已知產(chǎn)是橢圓。+「=i的右焦點(diǎn)，p是橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，則尸尸周長(zhǎng)的最大值為.

V5+2V2

定義法:

10.在數(shù)學(xué)史上，平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之積為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡稱為卡西尼卵形。在平面直角坐

標(biāo)系xOy中，動(dòng)點(diǎn)尸(蒼了)到兩個(gè)定點(diǎn)片(-1,0),8(1,0)的距離之積等于2,化簡(jiǎn)得曲線

C:X2+/+1=2A/X2+1，則|。尸|的最大值為.百

11.如圖，在底面半徑為1,高為6的圓柱內(nèi)放置兩個(gè)球，使得兩個(gè)球與圓柱側(cè)切，且分別與圓

柱的上下底切.一個(gè)與兩球均相切的平面斜截圓柱側(cè)面，得到的截線是一個(gè)橢圓.則該橢圓的離心率

12.已知線段兒W是圓C:(x-l)2+/=4的一條動(dòng)弦，且|九亞|=2,若點(diǎn)尸為直線2x-y+6=0上

8V5-10V3

的任意一點(diǎn)，則|2月7-麗|的最小值為.

,/5

1.2PM-PN=PM+(PM-PN)^PM+NM^PM+MA

TTA

2.\MN\=2,CM=CN=2,AN=\AMCN=-^\CA\=

M

■■^PM-PN^PA^d^

N

二、選擇題(本大題共4題，每題4分，共16分，每題只有一個(gè)正確答案)

13.已知圓錐的底面半徑為2,其側(cè)面展開(kāi)圖為一個(gè)半圓，則該圓錐的表面積為()C

A.4〃B.8萬(wàn)C.12萬(wàn)D.20萬(wàn)

14.設(shè)直線4：x—2〉—2=0與4關(guān)于直線/：2x—>—4=0對(duì)稱，則直線，2的方程是()A

A.llx+2)—22=0B.llx+y+22=0

C.5x+j/-ll=0D.lOx+y-22=0

15.已知圓C:(x-l)2+(y-1)2=4,尸為直線/:2%+v+2=0上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸作圓C的切線尸/,

切點(diǎn)為/,當(dāng)AR4c的面積最小時(shí)，AR4c的外接圓的方程為()C

16.已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓E：*；l(a>6>0)的左、右焦點(diǎn)分別是片，鳥(niǎo)，離心率為*河，

P是橢圓￡上的點(diǎn)，兒明的中點(diǎn)為N,|ON|+|N團(tuán)=2,過(guò)P作圓Q:尤2+(了-4丫=1的一條切線，

切點(diǎn)為8,則|所|的最大值為()B

A.272B.2屈C.275D.5

三、解答題(本大題共5題，滿分48分，解答要有論證過(guò)程與運(yùn)算步驟)

17.(本題滿分6分)本題共有2個(gè)小題，第1小題滿分3分，第2小題滿分3分.

已知直線4：(m+2)x+四一8=0與直線4：mx+y-4=0,加eR.

(1)^A-L4>求”?的值；

(2)若點(diǎn)尸(1,機(jī))在直線/2上，直線/過(guò)點(diǎn)尸，且在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為0,求直線/的方程.

(1)由題意得："7(機(jī)+2)+〃z=0,解得：加=-3或0,

經(jīng)檢驗(yàn)，均滿足要求，所以加=-3或0；

(2)將點(diǎn)尸(1,"?)代入(中，機(jī)+"2-4=0,解得：m=2,

因?yàn)橹本€/過(guò)點(diǎn)P,且在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為0,

當(dāng)兩截距均為0時(shí)，設(shè)直線/為了=依，代入尸。,2),可得人=2,

此時(shí)直線/為2x-y=0；

當(dāng)兩截距不為0時(shí)，設(shè)直線/為三+2=1,代入P(l,2),可得"=T,

n-n

故此時(shí)直線/為無(wú)-y+1=0；

綜上：直線/的方程為2x7=0或x7+l=0.

18.(本題滿分8分)本題共有2個(gè)小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分4分.

如圖，已知三棱錐尸-4BC中，尸/，平面4BC,AB1BC,PA=8,AB=6,AC=IQ.

(1)求點(diǎn)A到平面PBC的距離；

(2)求三棱錐P-48c的表面積.

(1)解：因?yàn)锳C=IO,AB=6,則BC=dAC?-AB?710。-6?=8,

則％4BC=；/B/C=：X6X8=24,所以，/—Bc=；Sac?刃=gx24x8=64.

因?yàn)槭琙_L平面"C,AB>BCu平面48C,所以，BC1PA,ABVPA,

又因?yàn)?C_L4B,PA^AB=A,PA、48u平面尸所以，5cl平面尸

2222

因?yàn)镻8=ylPA+AB=78+6=10>則S&PBC=；PBSC=|xlOx8=40,

設(shè)點(diǎn)A到平面尸BC的距離為“，由匕(_詠=，BP^SAPBCh=64,

,3x643x6424

可得力=-----=-----=——

SNBC405-

(2)解：因?yàn)槭琋_L平面T!5C,/CU平面襤C,則PZ_L/C,

所以，S.,=-PA-AC=-xSxlQ=40,S..=-PA-AB=-xSx6=24,

Pr222P2n

故三棱錐P-48c的表面積為S=SAABC+SAPAB+SAPAC+5APSC=24+24+40+40=128.

19.(本題滿分8分)本題共有2個(gè)小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分4分.

己知直線加：3無(wú)+4>+12=0和圓。./+/+2》一4>+1=0

(1)求與直線〃z垂直且經(jīng)過(guò)圓心的直線方程；

(2)求與直線m平行且與圓C相切的直線方程.

(1)設(shè)與直線機(jī)：3尤+4了+12=0垂直的直線為4》一37+。=0

圓C可化為(x+l)2+(>-2)2=4,圓心為C(T,2),

又因?yàn)橹本€機(jī)經(jīng)過(guò)圓心，所以4x(7)-3x2+a=0,即0=10,

故所求直線方程為4x-3了+10=0.

(2)設(shè)與直線機(jī)：3x+4y+12=0平行的直線為3x+4y+c=0(cwl2).

又因?yàn)橹本€3尤+4y+c=0與圓C相切，

所以圓心C(T2)到直線3x+4y+c=0的距離等于半徑，即?~L=2，

所以卜+5|=10,c=-15或5,

故所求直線方程為%+4了-15=0或3x+4y+5=0.

20.(本題滿分10分)本題共有3個(gè)小題，第1小題滿分3分，第2小題滿分3分，第3小題滿

分4分.

已知線段的端點(diǎn)B的坐標(biāo)是(6,5),端點(diǎn)/在圓。:(x-4)2+(y-3)2=4上運(yùn)動(dòng).

(1)求線段的中點(diǎn)P的軌跡CZ的方程；

⑵設(shè)圓q與曲線C2的兩交點(diǎn)為N,求線段血W的長(zhǎng)；

⑶若點(diǎn)C在曲線C,上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)0在x軸上運(yùn)動(dòng)，求MQ|+|CQ|的最

(1)解：設(shè)點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(X，V),點(diǎn)/的坐標(biāo)為(如外),

由于點(diǎn)2的坐標(biāo)為(6,5),且點(diǎn)P是線段的中點(diǎn)，所以x=>

x=2x-6_

于是有n5①

因?yàn)辄c(diǎn)/在圓G：(了一4)2+3-3)2=4上運(yùn)動(dòng)，即：(/—4)2+(%-3)2=4②,

把①代入②，得(2x-6-4)2+(2y-5-3)2=4,整理，^(x-5)2+(y-4)2=1,

所以點(diǎn)尸的軌跡C2的方程為(x-5)2+(y-4)2=1.

(2)解：將圓G：(x-4)2+(y-3)2=4與圓C2：(x-5)2+(y-4)2=l的方程相減得：2x+2v-19=0,

由圓C2:(x-5『+(y-盯=1的圓心為(5,4),半徑為1,且(5,4)到直線2x+2了-19=0的距離

,|10+8-19|V2

d—I-—=~-~,

722+224

則|MN|==理

(3)解:圓G：(x-4)2+(y-3)、4是以G(4,3)為圓心，半徑八=2的圓,

圓G是以G(5,4)為圓心，半徑汽=1的圓,

所以31+\QC\>\QC\-rl+IQC?I-2=|0Gl+lQGI-3①，當(dāng)且僅當(dāng)/在線段。G且C在線段OG

上時(shí)，取等號(hào).

設(shè)Cs（4,-3）為G（4,3）關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)，則|。GH。C3|，代入①式得：

\QA\+\QC\>|ec31+|ec21-3...|C2C31-3=5V2-3,當(dāng)且僅當(dāng)C?，。，共線時(shí),取等號(hào).

所以+|C0|的最小值為5行一3.

21.（本題滿分10分）本題共有3個(gè)小題，第1小題滿分3分，第2小題滿分3分，第3小題滿

分4分.

已知橢圓C:/+，=l（a>6>0）的離心率為橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形面積

為2.