2022-2023學年湖南省郴州市蓉城中學高二數(shù)學理上學期摸底試題含解析

2022-2023學年湖南省郴州市蓉城中學高二數(shù)學理上學期摸底試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.（理，平行班）在數(shù)列，，（），則=（

）。A.

B.

C.

D.參考答案：A2.在等比數(shù)列{}中，若，則的值為(

)A．-4 B．-2 C．4 D．2參考答案：B3.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是

A、（，+∞） B、（－∞，）C、（0，）

D、（e，+∞）參考答案：C4.已知點P是雙曲線右支上一點，、分別是雙曲線的左、右焦點，I為的內(nèi)心，若成立，則雙曲線的離心率為（

）A、4

B、

C、2

D、

參考答案：C5.下列命題中，不是真命題的是（

）A．命題“若，則”的逆命題.B．“”是“且”的必要條件.C．命題“若，則”的否命題.D．“”是“”的充分不必要條件.參考答案：A命題“若，則”的逆命題為：若，則,顯然是錯誤的，當m=0時則不成立，故A是假命題.6.從寫上0,1,2,…,9十張卡片中，有放回地每次抽一張，連抽兩次，則兩張卡片數(shù)字各不相同的概率是

(

)A.

B.

C.

D.1參考答案：A7.已知點A（-3,1,4），則點A關于原點的對稱點的坐標是（

）A.(1，-3，-4)

B.(-4，1，3)

C.(3，-1，-4)

D.(4，-1，3)參考答案：C8.已知橢圓的標準方程為，則橢圓的焦點坐標為（）A．（﹣3，0），（3，0） B．（0，﹣3），（0，3） C．（﹣，0），（，0） D．（0，﹣），（0，）參考答案：B【考點】橢圓的簡單性質(zhì)．【分析】根據(jù)題意，由橢圓的標準方程分析可得該橢圓的焦點在y軸上，且a2=10，b2=1，計算可得c的值，進而由焦點坐標公式可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，橢圓的標準方程為，則其焦點在y軸上，且a2=10，b2=1，則c2=a2﹣b2=9，即c=3，故其焦點的坐標為（0，3），（0，﹣3）；故選：B．9.滿足條件a=6，b=5，B=120°的△ABC的個數(shù)是（）A．零個 B．一個 C．兩個 D．無數(shù)個參考答案：A【考點】HP：正弦定理．【分析】由余弦定理可得：52=62+c2﹣12ccos120°，化簡解出即可判斷出結論．【解答】解：由余弦定理可得：52=62+c2﹣12ccos120°，化為：c2+6c+11=0，△=62﹣44=﹣8＜0，因此方程無解．∴滿足條件a=6，b=5，B=120°的△ABC的個數(shù)是0．故選；A．10.拋物線y2=8x的焦點坐標為（）A．（﹣2，0） B．（2，0） C．（0，2） D．（1，0）參考答案：B【考點】拋物線的簡單性質(zhì)．【分析】根據(jù)拋物線的標準方程，進而可求得p，根據(jù)拋物線的性質(zhì)進而可得焦點坐標．【解答】解：拋物線y2=8x，所以p=4，∴焦點（2，0），故選B．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知圓C以坐標原點為圓心，且與直線相切，則圓C的方程為

▲

；圓C與圓的位置關系是

▲

．參考答案：，相交圓C的半徑為原點到直線的距離圓C的方程為，圓的圓心為(2,0)，半徑為1，兩圓的圓心距離為2，圓C與圓的位置關系為相交，故答案為；相交.

12.在平面直角坐標系xOy中，已知圓C：與x軸交于A，B兩點，若動直線l與圓C相交于M，N兩點，且的面積為4，若P為MN的中點，則的面積最大值為_____．參考答案：8【分析】根據(jù)題意求出點A、B的坐標，然后根據(jù)△CMN的面積為4求得MN的長以及高PD的長，再利用面積公式，求得結果.【詳解】當y=0時，解得x=-1或x=3，即A（-1,0），B（3,0）圓的標準方程：圓心C（1,2）半徑r=△CMN的面積為4即則，即要使△PAB的面積最大，則此時三角形的高PD=2+2=4，AB=3-(-1)=4則△PAB的面積故答案為8【點睛】本題主要考查了直線與圓的位置關系，以及面積公式等綜合知識，解題的關鍵是在于能否知道直線與圓的相交關系，屬于中檔題.13.如圖，它滿足①第n行首尾兩數(shù)均為n，②表中的遞推關系類似楊輝三角，則第n行(n≥2)左起第2個數(shù)是______________.

1

2

2

3

4

3

4

7

7

4

5

11

14

11

56

16

25

25

16

6……………………..參考答案：解：方法1如圖，設第n行(n≥2)左起第2個數(shù)組成的數(shù)列為{an}：2，4，7，11，16，…由題意得a3=a2+2，a4=a3+3，a5=a4+4，……，an=an-1+n－1，由疊加法可得a3+a4+a5+…+an-1+an=(a2+a3+a4+……+an-1)+(2+3+4+…+n－1)，化簡后得，an=2+(2+3+4+…+n－1)，即.

1

2

2

3

4

3

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7

7

4

5

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56

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25

25

16

6……………………..……..….….方法2注意觀察每行第二個數(shù)字的規(guī)律：都是當行上所有行的最左邊數(shù)字和加1，例如：第二行第二個數(shù)2＝1+1；第三行第二個數(shù)4＝(1+2)+1；第四行第二個數(shù)7＝(1+2+3)+1；第五行第二個數(shù)11＝(1+2+3+4)+1；第六行第二個數(shù)16＝(1+2+3+4+5)+1；…；所以第n行第二個數(shù)＝(1+2+...+n－1)+1，即.14.某班有學生60人，現(xiàn)將所有學生按1，2，3，…，60隨機編號．若采用系統(tǒng)抽樣的方法抽取一個容量為5的樣本（等距抽樣），已知編號為4，a，28，b，52號學生在樣本中，則a+b=．參考答案：56【考點】系統(tǒng)抽樣方法．【專題】計算題；方程思想；綜合法；概率與統(tǒng)計．【分析】求出樣本間隔即可得到結論．【解答】解：∵樣本容量為5，∴樣本間隔為60÷5=12，∵編號為4，a，28，b，52號學生在樣本中，∴a=16，b=40，∴a+b=56，故答案為：56【點評】本題主要考查系統(tǒng)抽樣的應用，根據(jù)條件求出樣本間隔即可，比較基礎．15.拋物線上一點P到其焦點的距離為9，則其橫坐標為_______。參考答案：7

略16.若y＝（m－1）x2＋2mx＋3是偶函數(shù)，則m＝_________．參考答案：略17.在區(qū)間（0，1）中隨機地取出兩個數(shù)，則兩數(shù)之和大于的概率是．參考答案：【考點】幾何概型．【分析】本題考查的知識點是幾何概型的意義，關鍵是要找出（）0，1）中隨機地取出兩個數(shù)所對應的平面區(qū)域的面積，及兩數(shù)之和大于對應的平面圖形的面積大小，再代入幾何概型計算公式，進行解答．【解答】解：如圖，當兩數(shù)之和小于時，對應點落在陰影上，∵S陰影==，故在區(qū)間（0，1）中隨機地取出兩個數(shù)，則兩數(shù)之和大于的概率P=1﹣=．故答案為：．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.在如圖所示的圓錐中，OP是圓錐的高，AB是底面圓的直徑，點C是弧AB的中點，E是線段AC的中點，D是線段PB的中點，且PO=2，OB=1．（1）試在PB上確定一點F，使得EF∥面COD，并說明理由；（2）求點A到面COD的距離．參考答案：【考點】點、線、面間的距離計算；棱柱、棱錐、棱臺的體積．【分析】（1）連接BE，設BE∩OC=G，由題意G為△ABC的重心，可得=2，連接DG，利用EF∥平面COD，可得EF∥DG，進而得出F點的位置．（2）由PO⊥平面ABC，可得OC⊥PO，利用線面面面垂直的判定與性質(zhì)定理可得OC⊥平面POB．OC⊥OD．利用VA﹣OCD=VD﹣AOC，即可得出．【解答】解：（1）連接BE，設BE∩OC=G，由題意G為△ABC的重心，∴=2，連接DG，∵EF∥平面COD，EF?平面BEF，平面BEF∩平面COD=DG，∴EF∥DG，∴==2，又BD=DP，∴DF=PF=PB．∴點F是PB上靠近點P的四等分點．（2）由PO⊥平面ABC，OC?平面ABC，∴OC⊥PO，又點C是弧AB的中點，OC⊥AB，∴OC⊥平面POB．OD?平面POB，∴OC⊥OD．S△COD=OC?OD==．∵VA﹣OCD=VD﹣AOC，∴?S△COD?d=?PO，∴d=，∴點A到面COD的距離．【點評】本題考查了空間位置關系、空間距離、線面面面平行與垂直的判定與性質(zhì)定理、三棱錐的體積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．19.（本題滿分16分）已知橢圓：的離心率為，其長軸長與短軸長的和等于6．（1）求橢圓的方程；（2）如圖，設橢圓的上、下頂點分別為，是橢圓上異于的任意一點，直線分別交軸于點，若直線與過點的圓相切，切點為．證明：線段的長為定值．參考答案：（1）；（2）定值為2，證明見解析．試題分析：（1）根據(jù)橢圓的離心率、長軸與短軸的關系建立的方程可求得橢圓的方程；；（2）設∴＝．∵，即，∴＝，∴，即線段的長為定值2．考點：1、橢圓的方程及幾何性質(zhì)；2、直線與圓的位置關系；3、直線與橢圓的位置關系；4、定值問題．20..在長方體ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是邊長為2的正方形，E是AB的中點，F(xiàn)是BB1的中點.（1）求證：EF∥平面A1DC1；（2）若，求二面角的正弦值.參考答案：（1）見解析（2）【分析】（1）由于長方體中，因此只要證，這由中位線定理可得，從而可得線面平行；（2）以為軸建立空間直角坐標系，寫出各點坐標，求出平面和平面的法向量，由法向量的夾角與二面角相等或互補可得．【詳解】（1）證明：連接，∵分別為的中點，∴∵長方體中，，，∴四邊形是平行四邊形，∴，∴∵平面，平面，∴平面（2）解：在長方體中，分別以為軸建立如圖所示空間直角坐標系，則，，，，，，∴，，，設平面的一個法向量，則，取，則同樣可求出平面的一個法向量∴∴二面角的正弦值為.【點睛】本題考查線面平行的證明，考查用空間向量法求二面角．本題屬于基礎題型．21.已知函數(shù).（1）若在處的切線方程為，求m，n的值；（2）若m為區(qū)間[1,4]上的任意實數(shù)，且對任意，總有成立，求實數(shù)t的最小值.參考答案：（1），（2）3【分析】（1）由題意得，即，又，即可解得n.（2）根據(jù)，，可得∴，故在上單調(diào)遞增,假設，可得且，即可去掉絕對值，令，依題意，應滿足在上單調(diào)遞減，在上恒成立.即在上恒成立，令，討論可得若，，若，，分析可得的最小值.【詳解】解：（1）∵∴，即，解得.（2）依題意∴，故在上單調(diào)遞增，不妨設，則且，原不等式即為.令，依題意