2022-2023學(xué)年河南省高一年級(jí)下冊(cè)冊(cè)6月“雙新”大聯(lián)考數(shù)學(xué)模擬試題（含解析）

2022-2023學(xué)年河南省高一下冊(cè)6月"雙新"大聯(lián)考數(shù)學(xué)模擬

試題(含解析)

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)

中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

I.復(fù)數(shù)z=α+2ai(αeR)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)N位于第一象限，則tanNN°x=()

A.1B.2C.3D.4

【正確答案】B

【分析】確定N(a,2α),根據(jù)三角函數(shù)定義得到答案.

【詳解】根據(jù)題意：N(α,2α),a>0,故tan∕NOx=-=2.

a

故選：B.

2.不共線的平面向量A,B滿足戶=2,2,則平面向量A,B的夾角為()

【正確答案】D

【分析】由伍+得到萬(wàn)$=_黯，再利用平面向量的夾角公式求解.

【詳解】因?yàn)閃+b)JLd,所以(\+6)/=方+1.力=0,即展B=_22,

又廬=2/，即W=陽(yáng)司,

所以c°M'%靛-J2_72

一一-T'

因?yàn)镚6∈[0,π],所以伍可=,

故選：D

3.有一組樣本數(shù)據(jù)如下：56,62,63,63,65,66,68,69,71,74,76,76,77,78,

79,79,82,85,87,88,95,98,則其25%分位數(shù)與75%分位數(shù)的和為（）

A.144B.145C.148D.153

【正確答案】C

【分析】由百分位數(shù)的定義求解即可.

【詳解】因?yàn)?5%x22=5.5,所以樣本數(shù)據(jù)的25%分位數(shù)為第六個(gè)數(shù)據(jù)即66；

因?yàn)?5%χ22=16.5,所以樣本數(shù)據(jù)的75%分位數(shù)為第十七個(gè)數(shù)據(jù)即82.

所以25%分位數(shù)與75%分位數(shù)的和為66+82=148.

故選：C.

4.設(shè)a,。為兩個(gè)不同的平面，/,〃?為兩條不同的直線，且∕ua,mu∕,則“a//￡”是

“///加”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【正確答案】D

【分析】根據(jù)線面位置關(guān)系即可判斷.

【詳解】①若a"β,且∕ua,加U/7,

/,加可能平行，可能垂直，可能異面，

故“a//”是的不充分條件；

②若IHm,

a,A可能平行，可能相交，可能垂直.

故則是“/〃機(jī)”的既不充分也不必要條件.

故選:D.

5.連續(xù)拋擲一枚均勻的骰子兩次，向上的點(diǎn)數(shù)分別記為a,b,ξ=a+b,則()

A.事件“J是偶數(shù)”與Z為奇數(shù)，6為偶數(shù)”互為對(duì)立事件

B.事件=2”發(fā)生的概率為A

C.事件=2”與“自彳5”互為互斥事件

D.事件”>8且M<32”的概率為L(zhǎng)

【正確答案】D

【分析】。為偶數(shù)，6為奇數(shù)時(shí)，兩個(gè)事件均不包含，A錯(cuò)誤，確定α=b=l,計(jì)算概率得

到B錯(cuò)誤，事件=2”與“J≠5”可以同時(shí)發(fā)生，C錯(cuò)誤，列舉得到D概率正確，得到答

案.

【詳解】對(duì)選項(xiàng)A：α為偶數(shù)，b為奇數(shù)時(shí)，兩個(gè)事件均不包含，錯(cuò)誤；

對(duì)選項(xiàng)B：ξ=2,則n=6=l,發(fā)生的概率為Jx」=一,錯(cuò)誤；

6636

對(duì)選項(xiàng)C：事件“占=2”與“J聲5”可以同時(shí)發(fā)生，錯(cuò)誤；

對(duì)選項(xiàng)D：ξ=a+h>S,ab<32,

則?分別為（6,5）,（6,4）,（6,3）,（5,6）,（5,5）,（5,4）,（4,6）,（4,5）,（3,6）共9種情況，

91

概率為P=——=-,正確；

6×64

故選:D.

6.幾何定理：以任意三角形的三條邊為邊，向外構(gòu)造三個(gè)等邊三角形，則這三個(gè)等邊三角

形的外接圓圓心恰為另一個(gè)等邊三角形（稱(chēng)為拿破侖三角形）的頂點(diǎn).在/BC中，已知

C=-,AC=B外接圓的半徑為6,現(xiàn)以其三邊向外作三個(gè)等邊三角形，其外接圓

6

圓心依次記為4,B-Ct,則ziH5'C的面積為（）

A.3B.2C.√3D.√2

【正確答案】C

【分析】根據(jù)正弦定理確定/B=Ji，外接圓圓心為對(duì)應(yīng)等邊三角形的中心，確定

Tl

∕B'CC'=一,利用勾股定理得到8'C'=2,AAB'C'為等邊三角形,計(jì)算面積即可.

2

【詳解】“8C中，-^-=2√3,故48=6，AC=5

SinC

故3=C=C,A=—,C5=2√3×sin-=3,

633

外接圓圓心為對(duì)應(yīng)等邊三角形的中心，如圖所示，連接8'C,CC'

JTTT

故∕*CC'=2

62

5,C=-×√3×-=1>C,C=-×3×-=√i,故8'C'=√∏I=2,

3232

TT2.7171

ZC'B'C=~,ZA'BC'=—,則Z∕1‘8'C'=

333

根據(jù)對(duì)稱(chēng)性知：A'C'=B'C?,故AHB'C'為等邊三角形,

其面積S=,x2x2x^^=V3.

22

故選：C.

7.448C中，6=生，是角8的平分線，且8Λ∕=4,則3B4+8C的最小值為（）

3

A.16+4√3B.16+8√3C.12+8√3D.

12+16√3

【正確答案】B

【分析】根據(jù)等面積法得'+1=J,從而利用基本不等式“1”的妙用即可得解.

ac4

【詳解】根據(jù)題意，設(shè)∕8=c,8C=a,ZC=b,如圖,

2JrTr

因?yàn)镾JBC=S"aw+S^cw,ΛABC=-,BM=4,則NNBM=NCBA/=§

所以！∕8?8C?sin48C=38?8Λ∕?sinN∕8Λ∕+%C?6Λ∕?sinNC8Λ∕,

222

即LCX立=LX4X立+LX4>A

222222

所以αc=4α+4c,貝IJaC=4(α+c),故=即工+1=工，

ac4ac4

所以

3BA+BC=3。+。=44+—+-|>44+2=16+8√3,

ClCJ

當(dāng)且僅當(dāng)主=應(yīng)，即α=4√J+4,C='+4:0時(shí),等號(hào)成立，

ac3

所以36Z+8C的最小值為16+8√L

故選：B.

8.在五面體/BCDEb中，底面NBCZ）為矩形，AB=2AD=2,V4DE和ABCF均為

等邊三角形，EFHCD,EF=3,則該五面體的外接球的半徑為（）

?√38RMr√19n√38

4422

【正確答案】A

【分析】連接/C,BD交于點(diǎn)M,取ER的中點(diǎn)。，計(jì)算各線段長(zhǎng)度，確定外接球球心

在直線OM上，考慮球心O'在線段M。上和球心?！贛o延長(zhǎng)線上的兩種情況，利用勾股

定理計(jì)算得到答案..

【詳解】連接NC,BD交于點(diǎn)M,取EF的中點(diǎn)。，

EA=ED,FB=FC,EF//平面4BCD,故0在平面ZBC。的投影為M,

連接OM,則OM1平面ABCD,

取BC中點(diǎn)G,連接FG,作GHLEF,垂足為H,

如圖所示：五面體有外接球，則幾何體有對(duì)稱(chēng)性（球心與某個(gè)面的中心連線為相關(guān)點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)

軸），

___________歷

在RtVmG中，HG=y∣FG2-HF2=—

IB

OH=MG=—QOH//MG,故四邊形OMG〃為矩形，做OM=HG=旺,

22

連接0z,又因?yàn)榱f=YS,所以O(shè)Z=JOAl?+,?R+）=也

2V442

底面NBCD為矩形，OMJ.平面ZBe7),

外接球球心在直線。M上，且到多邊形各頂點(diǎn)距離相等,

B

若球心0'在線段MO上，設(shè)。'Λ∕=x,則0，。=注—χ,

2

（歷Y即f+2=[YI-χ]+-,解得X=Wl>1（舍）,

X2+AM2=—-X+OE2,

242442

若球心。'在Mo延長(zhǎng)線上，設(shè)0(7=x,外接球的半徑為火，連接

顯然0'E=。2=火，則OE1+x1=后且AM2+（0M+x?=R2,

Z>2

95r上Q-

2√τ∑228

故

即

-=火-++X=RR-189=

4444

k

x/J

X2

初迄A.

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)

中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的

得。分.

9.已知彳是復(fù)數(shù)Z的共輒復(fù)數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是()

A.z2=∣z∣2

B.z+彳一定是實(shí)數(shù)

C.若％?是純虛數(shù)，則Z的實(shí)部和虛部絕對(duì)值相等

D.i2023.z=2+i'則同="

【正確答案】BC

【分析】舉反例排除A,根據(jù)復(fù)數(shù)的分類(lèi)與共加復(fù)數(shù)的概念，結(jié)合復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算與模的運(yùn)

算，即可判斷BCD.

【詳解】對(duì)于A,當(dāng)復(fù)數(shù)z=i時(shí)，?=-1，∣z∣2=l,故A錯(cuò)；

對(duì)于B,設(shè)z=α+bi(α,6∈R),則5"=α-bi,所以z+l^=2α∈R,故B對(duì)；

對(duì)于C,設(shè)z=α+bi(α,6∈R),則z?=(α+bi)2=α?—〃+2"i,

a1-b'=O

因?yàn)閆?是純虛數(shù)，所以＜,則α=±bwθ,即時(shí)=例≠0,故C對(duì);

lab≠0

對(duì)于D,設(shè)Z=Q+bi(Q,bGR),

因?yàn)閕2023=j505χ4+3=??=_j,所以i2023?z=T(。+〃)=力—山=2+i,

—a=1a=-l

所以〈，解得〈，貝(lz=-l+2i,

[b=2[b=2

故三=—l-2i，所以同=717厲=6，故D錯(cuò)?

故選：BC.

10.2021年3月，中共中央、國(guó)務(wù)院印發(fā)了《關(guān)于實(shí)現(xiàn)鞏固拓展脫貧攻堅(jiān)成果同鄉(xiāng)村振興有

效銜接的意見(jiàn)》，某村在各級(jí)政府的指導(dǎo)和支持下，開(kāi)展新農(nóng)村建設(shè)，兩年來(lái)，經(jīng)濟(jì)收入實(shí)

現(xiàn)翻番.為更好地了解經(jīng)濟(jì)收入變化情況，統(tǒng)計(jì)了某村新農(nóng)村建設(shè)前后農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入構(gòu)成

比例.得到如下扇形圖：

第三產(chǎn)業(yè)收入

/%今第三產(chǎn)業(yè)收入/\28%\

種植［?其他收入

種植f60%其他收入

收入（37%

收入（\「/30%I/

殖收入殖收入

建設(shè)前經(jīng)濟(jì)收入構(gòu)成比例建設(shè)后經(jīng)濟(jì)收入構(gòu)成比例

則下面結(jié)論中正確的是（）

A.新農(nóng)村建設(shè)后，種植收入增加了14%

B.新農(nóng)村建設(shè)后，其他收入增加了一倍以上

C.新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入持平

D.新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入與第三產(chǎn)業(yè)收入的總和超過(guò)了經(jīng)濟(jì)收入的一半

【正確答案】BD

【分析】設(shè)新農(nóng)村建設(shè)前經(jīng)濟(jì)收入為α,則新農(nóng)村建設(shè)后經(jīng)濟(jì)收入為2“，根據(jù)扇形圖，逐項(xiàng)

分析即可.

【詳解】設(shè)新農(nóng)村建設(shè)前經(jīng)濟(jì)收入為α,則新農(nóng)村建設(shè)后經(jīng)濟(jì)收入為2°,

則由扇形圖可得新農(nóng)村建設(shè)前種植收入為0.6α,其他收入為0.（）44,養(yǎng)殖收入為0.3α,

新農(nóng)村建設(shè)后種植收入為0.74“，其他收入為0.1“，養(yǎng)殖收入為0.6”.

對(duì)A,新農(nóng)村建設(shè)后，種植收入增加了0.744-0.6a=0.14α,故A錯(cuò)誤；

對(duì)B,其他收入為0.10,0.14>2x0.04q=0.08α,故增加了一倍以上，故B正確；

對(duì)，C,養(yǎng)殖收入為0.6”，因?yàn)?.6a=2x0.3。，即新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入增加了一倍，故

C錯(cuò)誤；

對(duì)D,因?yàn)轲B(yǎng)殖收入與第三產(chǎn)業(yè)收入總和為1.16α,由1.164>,x2α=4,所以養(yǎng)殖收入

2

與第三產(chǎn)業(yè)收入的總和超過(guò)了經(jīng)濟(jì)收入的一半，故D正確.

故選：BD.

11.在一次考試中，小明同學(xué)將比較難的第8題、第12題、第16題留到最后做，做每道題

的結(jié)果相互獨(dú)立.假設(shè)小明同學(xué)做對(duì)第8、12、16題的概率從小到大依次為四，p2,

/zi（p∣>0）,做這三道題的次序隨機(jī)，小明連對(duì)兩題的概率為p，則（）

A.p與先做哪道題次序有關(guān)B.第8題定為次序2,p最大

C.第12題定為次序2,P最大D.第16題定為次序2,P最大

【正確答案】D

【分析】先判斷得小明連對(duì)兩題，則第二題為必對(duì)題；再分別求得小明做的第二題為第8

題、第12題與第16題對(duì)應(yīng)的概率，從而利用作差法與因式分解即可得解.

【詳解】小明連對(duì)兩題，則第二題為必對(duì)題，

若小明做的第二題為第8題，則做題順序?yàn)?2、8、16與16、8、12,且其概率均為

記此時(shí)連對(duì)兩題的概率為pv

則=；[(1一。2)P∣P3+PlPl(1-A)]+∣[(1-Pi)“。2+PsPlQ一夕2)]

=A(A+A)-2AAA;

同理：若小明做的第二題為第12題，記連對(duì)兩題的概率為Pi?，

則212=。2(夕|+。3)-2。也2。3；

若小明做的第二題為第16題，記連對(duì)兩題的概率為Phi

則216=P3(。1+。2)-20。2。3；

2+20

所以A-02=Pl(p2+P3)-P,P2Pi-[P2(P1p3)-PiP2Pi]=-p2)P3<'

P12-四6=22(Pl+2)-2AAA-[A(Pl+A)-2P1P2P3]=(A-A)A?0'

則Ps<P12,P?2<P?6'

所以小明做的第二題為第16題，對(duì)于的P=46最大，故ABC錯(cuò)誤，D正確.

故選：D.

12.如圖，在四棱錐尸—中，AD/7BC,BC=CD=LHD=2,E為邊的中

2

點(diǎn)，異面直線以與8所成的角為90。，ZADCZPAB=90°,二面角P—C0—/的

大小為45。，則()

A.四邊形ZBC。為直角梯形

B,在平面以B內(nèi)，使得直線Cw〃平面P8E的點(diǎn)M有無(wú)數(shù)個(gè)

C.PA=2

D.直線以與平面PCE所成角的正弦值為L(zhǎng)

3

【正確答案】ABD

【分析】確定四邊形NBCD為直角梯形，A正確，"的軌跡為兩平面的交線，B正確，計(jì)

算HI=4,C錯(cuò)誤，確定N/P”為直線尸/與平面PCE所成角，計(jì)算得到D正確，得到

答案.

【詳解】對(duì)選項(xiàng)A：AD//BC,BC=-AD,且//OC=90°,故四邊形/88為直角

2

梯形，正確；

對(duì)選項(xiàng)B：GW與平面尸8E平行，M的集合為平面，設(shè)為α,

則/ea且Λ∕∈平面尸N6,故必的軌跡為兩平面的交線，正確；

對(duì)選項(xiàng)C：PALCD,CDLAD,PACAD=A,尸4,。匚平面故。0_1平

面尸ZO，

POU平面PNO，故CD_LP。，乂4DLCD,

平面PCZ)Cl平面ZBCO=C。，且U平面Z6C。，PZ)U平面尸C。，

故NPO/為二面角尸—CO—Z的平面角，NPQZ=45。，P4=4D=4,錯(cuò)誤；

對(duì)選項(xiàng)D：如圖所示，過(guò)4作ZG垂直于CE的延長(zhǎng)線于G,連接PG,作，PG于"，

PALAB，PALCD,ZB與CD相交，4B,CDu平面ABCD,

故/M1,平面/3Cz),CGU平面/3CD,故PNJ.CG,

P

G

AGlCG,AG∏CG=G,∕G,CGu平面尸∕G,故CGL平面尸/G,

平面尸/G,故4H1CG,

又AHIPG,PGΓ∣CG=G,PG,CGu平面PCG,故平面PCG,

故NAPH為直線PA與平面PCE所成角，

△ZGE為等腰直角三角形，故AG=芋AE=應(yīng),PG=y∣PA2+AG2=3√2-

4G1

SinZAPH=-=-,正確；

PG3

故選：ABD.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

——?1—?1——.―.―.

13.設(shè)Λ/為AZ8C內(nèi)一點(diǎn),且∕Λ∕=-Z8+-∕C,CM=xC3+yC/,則x+N=

23,

2

【正確答案】I

【分析】將病=J通+1元，轉(zhuǎn)化為兩=1而+,0求解.

2326

【詳解】解：因?yàn)槿f(wàn)7=,刀+」就，

23

所以麗—G=L（而—B）—1而，即國(guó)=，赤+?^B,

2v>326

又因?yàn)檎f(shuō)r=x赤+y0，

112

所以X=_,y=_,則x+y=一,

263

故I

14.一組數(shù)據(jù)由8個(gè)數(shù)組成，將其中一個(gè)數(shù)由6改為4,另一個(gè)數(shù)由10改為12,其余數(shù)不

變，得到新的一組數(shù)據(jù)，則新的一組數(shù)的方差相比原一組數(shù)的方差的增加值為.

【正確答案】3

【分析】利用方差公式求解.

【詳解】解：設(shè)原一組數(shù)據(jù)的方差為S：,平均數(shù)為了，

新一組數(shù)據(jù)的方差為S；,易知平均數(shù)不變，

+x2222

則=([(%一亍)2(2-^)+???+(6-X)+(10-X)+(x8-x),

2222

5^=∣[(x,-x)+(x2-X)+...+(4-X)+(12—元J+(χ8-χ)],

2222

所以￡_￡=l[(4-x)+(12-X)]-1[(6-X)+(IO-X)]=3,

故3

Tt

15.如圖，四邊形/8C。中，/C與8。相交于點(diǎn)。，NC平分ND48,NABC=-,

3

AB=3BC,貝IJCoSZcMB=.

【分析】由余弦定理求出ZC=J78C，再由正弦定理求出SinNBZC=叵，即得解;

14

Tt

【詳解】在A∕8C中，NABC=-,AB=3BC,不妨記BC=w,則∕8=3m,

3

由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB×BC×cosZABC

=9〃/+〃/-2X3〃2X〃2XL=7加2,

2

所以AC=由m，

BCAC

由正弦定理得,則SiSCjC.…C

SinZBACsin∕4SC工』

AC√7∕n2√7

又NC平分NY)4S,

所以CoSNZ）Z6=cos2N8ZC=l—2sin2N6ZC=l—2=—.

∣^2√7J14

故答案為.—

14

16.某學(xué)校圍棋社團(tuán)組織高一與高二交流賽，雙方各挑選業(yè)余一段、業(yè)余二段、業(yè)余三段三

位選手，段位越高水平越高，已知高二每個(gè)段位的選手都比高一相應(yīng)段位選手強(qiáng)一些，比賽

共三局，每局雙方各派一名選手出場(chǎng)，且每名選手只賽一局，勝兩局或三局的一方獲得比賽

勝利，在比賽之前，雙方都不知道對(duì)方選手的出場(chǎng)順序.則第一局比賽高一獲勝的概率為

,在一場(chǎng)比賽中高一獲勝的概率為.

【正確答案】①.L②.1

36

【分析】第一局先安排2個(gè)對(duì)手共9種不同安排方法，利用古典概型求解，安排一場(chǎng)三局比

賽的出場(chǎng)順序共36種，列出高一獲勝的安排方法，利用古典概型求解.

【詳解】設(shè)41=1,2,3）為高一出場(chǎng)選手，4G=1,2,3）為高二出場(chǎng)選手，其中i表示段位，

則第一局比賽中，共有

（4,4）,（4,82）,（4,83）,（4,4）,（4,82）,（4,83），（&4），（4,82），（4，罵），共9個(gè)基本

事件，其中高一能取得勝利的基本事件為（4，4），（4,4），（4，與），共3個(gè)，

31

所以第一局比賽高一獲勝的概率為尸=一=一，

93

在一場(chǎng)三局比賽中，共有不同的3×3×2×2=36種安排方法，

其中高一能獲勝的安排方法為（4耳，432,4名）,（44,4名，4與）,（4與，4片，4鳥(niǎo)），

綜）共種,故在一場(chǎng)比賽中

（A3B2,A,B3,A2Bi）,—444,（AXB3,A3B2,A2Bx）,6

高一獲勝的概率為尸=9=!.

366

?,11

故一；一

36

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算

步驟.

17.后疫情時(shí)代，為了可持續(xù)發(fā)展，提高人民幸福指數(shù)，國(guó)家先后出臺(tái)了多項(xiàng)減稅增效政

策.某地區(qū)對(duì)在職員工進(jìn)行了個(gè)人所得稅的調(diào)查，經(jīng)過(guò)分層隨機(jī)抽樣，獲得2000位在職員

工的個(gè)人所得稅(單位：百元)數(shù)據(jù)，按[0』0),[10,20),[20,30),[30,40),[40,50),

[50,60),[60,70),[70,80),[80,90)分成九組，制成如圖所示的頻率分布直方圖：

頻率

(2)根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)該市的70%職工年個(gè)人所得稅不超過(guò)加(百元)，求〃?的最

小值；

(3)已知該地區(qū)有20萬(wàn)在職員工，規(guī)定：每位在職員工年個(gè)人所得稅不超過(guò)5000元的正

常收取，若超過(guò)5000元，則超出的部分退稅20%,請(qǐng)估計(jì)該地區(qū)退稅總數(shù)約為多少.

【正確答案】(1)/=0.015

(2)m=48.8

(3)13800000

【分析】(1)根據(jù)頻率和為1計(jì)算得到答案.

(2)根據(jù)前5組的頻率之和與前4組的頻率之和得到40＜根＜50,根據(jù)比例關(guān)系解得答

案.

(3)各區(qū)間分別超出500,1500,2500,3500元,計(jì)算平均值得到答案.

【小問(wèn)1詳解】

10×(0.003×3+0.007+0.006+2t+0.023+0.025)=1,解得/=0.015.

【小問(wèn)2詳解】

前5組的頻率之和為：10×(0.003+0.007+0.015+0.023+0.025)=0.73；

前4組的頻率之和為：IOX(0.003+0.007+0.015+0.023)=0.48；

nι—400.7—0.48

故40<加<50,--------二----------，解得加=48.8.

100.25

【小問(wèn)3詳解】

區(qū)間在[50,60),[60,70),[70,80),[80,90)內(nèi)的個(gè)人所得稅分別取55,65,75,85作為

代表.

則分別超出500,1500,2500,3500元，

則退稅總數(shù)約為：

200000×(5OO×O.15+15OO×0.06+2500X0.03+3500X0.03)X20%=13800000.

18.如圖，在中，內(nèi)角/,B,C的對(duì)邊分別為α,b,c,a=3,bc=a2-b2-C2-

(1)求/8/C；

(2)過(guò)點(diǎn)/作Zd48，交線段BC于點(diǎn)。，且/D=Z)C,求Z0.

、2兀

【正確答案】(1)—

3

(2)1

【分析】(1)利用余弦定理，結(jié)合整體法即可得解；

(2)先由題意求得/C,再利用正弦定理求得J從而在RtZ?48Q中求解即可.

【小問(wèn)1詳解】

因?yàn)閎e=/—〃一，，則/+0?—Q2=—be，

而此士海，旦/…h(huán)2+c2-a2-be1

所以由余弦定理得，cosZ-BAC-..................=-----=—,

2fbc2bc2

2兀

又?C∈(O,τι),所以NBZC=-.

3

【小問(wèn)2詳解】

π

因?yàn)?。工/8,則/"。=一，

2

27ΓTrTr

所以ND4C=NBAC-NB4D=--------=—,

326

π

又力。=。。，則NC=NzMC=—

6

?03×?

得，c=qJτ=5

所以在“BC中，由正弦定理一

sinZBAC?/?

SinNBACsinC~τ

2πππ

又∕B=τt-∕BAC—/C=π--------

366

所以在RtZ?∕3Z）中，AD=-AB=-C=I.

33

19.如圖，三棱柱∕8C-48∣G中，△ABB1為等邊三角形,AB=BC=2,CA=CB∣,

CAICB1.

（1）證明：平面CAB11平面ABBlAl；

（2）求直線8司和平面4瑪G所成角的正弦值.

【正確答案】（1）證明見(jiàn)解析

⑵浮

【分析】（1）連接8%交力用于。，連接CO,證明CoJ.8?？傻镁€面垂直，再由面面垂

直的判定定理得證;

C?z1d

（2）利用等體積法求出點(diǎn)Bi到平面ABC的距離d,再由線面角公式sιn6>=--求解即可.

【小問(wèn)1詳解】

連接84交期于。，連接C0,如圖,

因?yàn)锳458∣為等邊三角形，所以A44e為等邊三角形，四邊形/8片同是菱形,

所以/4J,力田，又CA=CBI,CA1CB1,。是Z片的中點(diǎn)，

所以CoLZ用且CO=JZ4，

所以ABx=AB=2,BO=V3，

222222

在Δ50C中，CO+BO=I+(√3)=2=BC,所以Co_L8。，

又8OΓM4=。，BO,ABiU平面ABBIAI,

所以CO，平面力8片4,又COU平面

所以平面CABx，平面ABB[A]；

【小問(wèn)2詳解】

設(shè)4到平面NBC的距離為d,

,CABlr∑

因?yàn)椤?。中，AB=BC=2,AC=T=<2,

√2

又S”明=*X22=G?CO=X,

v

所以由匕…8C=c-ABBλ>可得§d?SaHBC=§C°?SMBBJ

,_S△，陽(yáng)_G_2λ∕^l^

即=d五=〒，

2

設(shè)直線BBl和平面ABC所成角為θ,

2幅

則?cd7V2T,

sinθ=-=—l—=--

BBT27

因?yàn)槠矫鍭BCH平面AyBxC],所以求直線BBl和平面4gG所成角的正弦值為—.

7

20.大學(xué)畢業(yè)生小張和小李通過(guò)了某單位的招聘筆試考試，正在積極準(zhǔn)備結(jié)構(gòu)化面試，每天

_3

相互進(jìn)行多輪測(cè)試，每輪由小張和小李各回答一個(gè)問(wèn)題，已知小張每輪答對(duì)的概率為一，

4

2

小李每輪答對(duì)的概率為§.在每輪活動(dòng)中，小張和小李答對(duì)與否互不影響，各輪結(jié)果也互不

影響.

（1）求兩人在兩輪活動(dòng)中都答對(duì)的概率；

（2）求兩人在兩輪活動(dòng)中至少答對(duì)3道題的概率；

（3）求兩人在三輪活動(dòng)中，小張和小李各自答對(duì)題目的個(gè)數(shù)相等且至少為2的概率.

【正確答案】（1）-

4

【分析】（1）根據(jù)相互獨(dú)立事件的概率公式計(jì)算即可；

（2）兩人分別答兩次，總共四次中至少答對(duì)3道題，分五種情況計(jì)算可得答案；

（3）分小張和小李均答對(duì)兩個(gè)題目、均答對(duì)三個(gè)題目?jī)煞N情況計(jì)算即可.

【小問(wèn)1詳解】

依題意，設(shè)事件M="小張兩輪都答對(duì)問(wèn)題“，N="小李兩輪都答對(duì)問(wèn)題”，

339224

所以P（M）=-X-=-,P（TV）=-X-=-.因?yàn)槭录?N相互獨(dú)立，

4416339

941

所以?xún)扇嗽趦奢喕顒?dòng)中都答對(duì)的概率為P（MN）=P（M）P（N）=-X-=-.

【小問(wèn)2詳解】

設(shè)事/="甲第一輪答對(duì)"，B="乙第一輪答對(duì)“，C=”甲第二輪答對(duì)“，D="乙第

二輪答對(duì)"，E=“兩人在兩輪活動(dòng)中至少答對(duì)3道題”，

則E=ABCDUABCDDABCDDABCDDABCD，

由事件的獨(dú)立性與互斥性，可得

P(E)=P(ABCD)+P(ABCD)+P(ABCD)+P(ABCD)+P(ABCD)

=P(A)P(B)P(C)P(D)+P(A)P(B)P(C)P(D)+P(J)P(B)P(C)P(D)+P(A)P(B)P?P(D)

+P(A)P(B)P(C)P(D)

323212323132321232312

=——X——X——×-----1-----×——X——×------1-----X-X——×------1-----×—X——X------1-----X——X——×—=——,

434343434343434343433

2

故兩人在兩輪活動(dòng)中至少答對(duì)3道題的概率為;.

【小問(wèn)3詳解】

設(shè)事件4，4分別表示甲三輪答對(duì)2個(gè)，3個(gè)題目，B2,反分別表示乙三輪答對(duì)2個(gè)，3

個(gè)題目，

則P(4)=3χ3χ3χL=2,p(4)=ja[=2,p(8)=3χ2χ2χ2=±

34446413/⑷64')3339

設(shè)事件0=”兩人在三輪活動(dòng)中，小張和小李各自答對(duì)題目的個(gè)數(shù)相等且至少為2”，

則0=4層114員，且次，A3,B2,與分別相互獨(dú)立，

所以

P(Q)=尸("2)+P(ΛΛ)=尸(4)P(^)+P(4)尸闖=去：+去5=/

649642716

所以?xún)扇嗽谌喕顒?dòng)中，小張和小李各自答對(duì)題目的個(gè)數(shù)相等且至少為2的概率為2.

16

21.已知四邊形/8C。為菱形，AC=A,ZDAB=-,沿著4C將它折成如圖所示的直二

面角0—ZC—8,BE^-(AD+CD}

B

（1）求CE;

（2）求平面CDE與平面/8C所成的二面角的余弦值.

【正確答案】（I）J歷

⑵亞

17

【分析】（1）由面面垂直的性質(zhì)可得OM工平面/8C,由向量運(yùn)算可得ZM/〃BE,據(jù)此

利用勾股定理求解即可；

（2）作輔助線如圖，根據(jù)題意可證明NBHE為平面CZ）E與平面/8C的二面角的平面角，

解直角三角可得解.

【小問(wèn)1詳解】

記AC中點(diǎn)為M,連結(jié)DM,如圖，

由菱形中ND48=可知，/8C和C為正三角形，且NC=4,

則Z）MIZC且Z）Λ∕=4×-=2√3.

2

因?yàn)槠矫嫫矫?8C,平面ZeZ）Γ∣平面∕8C=∕C,Z）MU平面Ne。，

所以。Mj,平面N8C,

礪=；加+珂=TE+皮）=一;x2痂=一;麗,

又BE,DM不共線，

所以。/〃BE,所以8E_L平面/8C,而B(niǎo)CU平面48C,

所以8E_L8C,

在Rtz?8EC中，BE=LDM=瓜BC=AC=4,

2

所以EC=y∣BE2+BC2=√3+