第17講　導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值（原卷版）

第17講導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值基礎(chǔ)知識(shí)1.函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)條件f(x)在x0處可導(dǎo),f'(x0)=0一般地,設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镈,設(shè)x0∈D,如果對(duì)于x0附近的任意不同于x0的x,都有f(x)<f(x0)f(x)>f(x0)極值f(x)在x0處取值

f(x)在x0處取值

極值點(diǎn)為極大值點(diǎn)

為極小值點(diǎn)

2.函數(shù)的最值(1)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)的函數(shù)f(x)在[a,b]上必有最大值與最小值.(2)若函數(shù)f(x)在[a,b]上單調(diào)遞增,則為函數(shù)的最小值,為函數(shù)的最大值;若函數(shù)f(x)在[a,b]上單調(diào)遞減,則為函數(shù)的最大值,為函數(shù)的最小值.

3.實(shí)際應(yīng)用題理解題意、建立函數(shù)模型,使用導(dǎo)數(shù)方法求解函數(shù)模型,根據(jù)求解結(jié)果回答實(shí)際問(wèn)題.常用結(jié)論導(dǎo)數(shù)研究不等式的關(guān)鍵是函數(shù)的單調(diào)性和最值,各類不等式與函數(shù)最值的關(guān)系如下:不等式類型與最值的關(guān)系?x∈D,f(x)>M?x∈D,f(x)min>M?x∈D,f(x)<M?x∈D,f(x)max<M?x0∈D,f(x0)>M?x∈D,f(x)max>M?x0∈D,f(x0)<M?x∈D,f(x)min<M?x∈D,f(x)>g(x)?x∈D,[f(x)-g(x)]min>0?x∈D,f(x)<g(x)?x∈D,[f(x)-g(x)]max<0?x1∈D1,?x2∈D2,f(x1)>g(x2)?x1∈D1,?x2∈D2,f(x1)min>g(x2)max?x1∈D1,?x2∈D2,f(x1)>g(x2)?x1∈D1,?x2∈D2,f(x1)min>g(x2)min?x1∈D1,?x2∈D2,f(x1)>g(x2)?x1∈D1,?x2∈D2,f(x1)max>g(x2)max?x1∈D1,?x2∈D2,f(x1)>g(x2)?x1∈D1,?x2∈D2,f(x1)max>g(x2)min(注:上述的大于、小于分別改為不小于、不大于,相應(yīng)的與最值關(guān)系對(duì)應(yīng)的不等號(hào)也改變)分類訓(xùn)練探究點(diǎn)一利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的極值問(wèn)題微點(diǎn)1由圖象判斷函數(shù)極值例1設(shè)三次函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f'(x),函數(shù)y=x·f'(x)的部分圖象如圖3-17-1所示,則下列說(shuō)法正確的是 ()圖3-17-1A.f(x)的極大值為f(3),極小值為f(-3)B.f(x)的極大值為f(-3),極小值為f(3)C.f(x)的極大值為f(3),極小值為f(-3)D.f(x)的極大值為f(-3),極小值為f(3)[總結(jié)反思]可導(dǎo)函數(shù)在極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)一定為零,是否為極值點(diǎn)以及是極大值點(diǎn)還是極小值點(diǎn)要看在極值點(diǎn)左、右兩側(cè)導(dǎo)數(shù)的符號(hào).微點(diǎn)2已知函數(shù)求極值例2函數(shù)f(x)=lnx-x的極大值是.

[總結(jié)反思]求函數(shù)極值的一般步驟:①先求函數(shù)f(x)的定義域,再求函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù);②求f'(x)=0的根;③判斷在f'(x)=0的根的左、右兩側(cè)f'(x)的符號(hào),確定極值點(diǎn);④求出具體極值.微點(diǎn)3已知極值求參數(shù)例3若函數(shù)f(x)=ax22+(1-2a)x-2lnx在區(qū)間(12A.(-∞,-1e) C.(-2,-1) D.(-∞,-2)[總結(jié)反思]根據(jù)極值求參數(shù)的值(或取值范圍)就是根據(jù)極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)等于零、極值點(diǎn)處的函數(shù)值即極值列出關(guān)于參數(shù)的方程組(或不等式組),通過(guò)解方程組(或不等式組)求得參數(shù)的值(或取值范圍).?應(yīng)用演練1.【微點(diǎn)1】若f(x)是R上的可導(dǎo)函數(shù),x=-1為函數(shù)y=f(x)ex的一個(gè)極值點(diǎn),則下列圖象一定不可能為函數(shù)f(x)圖象的是 ()圖3-17-22.【微點(diǎn)2】函數(shù)f(x)=x2-6x+2ex的極值點(diǎn)所在的區(qū)間為 ()A.(0,1) B.(-1,0) C.(1,2) D.(-2,-1)3.【微點(diǎn)2】函數(shù)f(x)=x6-3x2有 ()A.一個(gè)極大值和一個(gè)極小值B.兩個(gè)極大值和一個(gè)極小值C.一個(gè)極大值和兩個(gè)極小值D.兩個(gè)極大值和兩個(gè)極小值4.【微點(diǎn)3】若函數(shù)f(x)=x3-3bx+3在(-1,2)內(nèi)有極值,則實(shí)數(shù)b的取值范圍是 ()A.(0,4) B.[0,4) C.[1,4) D.(1,4)5.【微點(diǎn)3】已知函數(shù)f(x)=xlnx-12(m+1)x2-x有兩個(gè)極值點(diǎn),則實(shí)數(shù)m的取值范圍為A.(-1e,0) B.(-1,1C.(-∞,1e-1) 探究點(diǎn)二利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的最值問(wèn)題例4已知函數(shù)f(x)=ax+lnx,其中常數(shù)a<0.(1)當(dāng)a=-1時(shí),求f(x)的最大值;(2)若f(x)在區(qū)間(0,e]上的最大值為-3,求a的值.[總結(jié)反思](1)函數(shù)在閉區(qū)間上的最值在端點(diǎn)處或區(qū)間內(nèi)的極值點(diǎn)處取得,上述值中最大的即為最大值、最小的即為最小值.如果函數(shù)在一個(gè)區(qū)間上(不論區(qū)間的類型)有唯一的極值點(diǎn),則該點(diǎn)也是最值點(diǎn).(2)注意把不等式恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題.變式題(1)已知函數(shù)f(x)=x2-2lnx+a的最小值為3,則a=.

(2)若函數(shù)f(x)=alnx-x2-2,x>0,A.[0,2e2] B.[0,2e3] C.(0,2e2] D.(0,2e3]例5已知函數(shù)f(x)=ax+ex-xlna(a>0,a≠1),對(duì)任意x1,x2∈[0,1],不等式|f(x2)-f(x1)|≤a-2恒成立,則a的取值范圍為 ()A.12,e2 B.[ee,+∞)C.12,+∞ D.[e2,ee]變式題(1)已知函數(shù)f(x)=aex-x+2a2-3的值域?yàn)镸,集合I=(0,+∞),若I?M,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

(2)若關(guān)于x的不等式ax-2a>2x-lnx-4有且只有兩個(gè)整數(shù)解,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 ()A.(2-ln3,2-ln2] B.(-∞,2-ln2)C.(-∞,2-ln3] D.(-∞,2-ln3)探究點(diǎn)三利用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題例6某地準(zhǔn)備在山谷中建一座橋梁,橋址位置的豎直截面圖如圖3-17-3所示.谷底O在水平線MN上,橋AB與MN平行,OO'為鉛垂線(O'在AB上).經(jīng)測(cè)量,左側(cè)曲線AO上任一點(diǎn)D到MN的距離h1(米)與D到OO'的距離a(米)之間滿足關(guān)系式h1=140a2;右側(cè)曲線BO上任一點(diǎn)F到MN的距離h2(米)與F到OO'的距離b(米)之間滿足關(guān)系式h2=-1800b(1)求橋AB的長(zhǎng)度.(2)計(jì)劃在谷底兩側(cè)建造平行于OO'的橋墩CD和EF,且CE為80米,其中C,E在AB上(不包括端點(diǎn)).橋墩EF每米造價(jià)k(萬(wàn)元),橋墩CD每米造價(jià)32圖3-17-3[總結(jié)反思](1)利用導(dǎo)數(shù)研究生活中的優(yōu)化問(wèn)題的關(guān)鍵:理清數(shù)量關(guān)系、選取合適的自變量建立函數(shù)模型.(2)注意:函數(shù)的定義域由實(shí)際問(wèn)題確定,最后要把求解的數(shù)量結(jié)果“翻譯”為實(shí)際問(wèn)題的答案.變式題如圖3-17-4所示,正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2,切去陰影部分后圍成一個(gè)正四棱錐,則當(dāng)正四棱錐的體積最大時(shí),該正四棱錐外接球的表面積為 ()圖3-17-4A.22B.52π25C.169π25D.338π同步作業(yè)1.函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f'(x)的圖象如圖K17-1所示,則 ()圖K17-1A.12為f(x)B.-2為f(x)的極大值點(diǎn)C.2為f(x)的極大值點(diǎn)D.45為f(x)2.對(duì)于函數(shù)f(x)=lnxx,下列說(shuō)法正確的是A.有極小值-1e C.有最小值1e D.有最大值3.函數(shù)f(x)=x+2cosx在[0,π]上的極小值點(diǎn)為 ()A.0 B.π6 C.5π6 4.函數(shù)f(x)=kx-lnx的極值點(diǎn)為x=2,則k的值為 ()A.2 B.1C.12 D.-5.若函數(shù)f(x)=x(x-c)2在x=2處有極大值,則常數(shù)c為 ()A.2 B.6 C.2或6 D.-2或-66.函數(shù)f(x)=ex-2x的最小值為.

7.從一張圓形鐵板上剪下一個(gè)扇形,將其制成一個(gè)無(wú)底圓錐容器,當(dāng)容器的體積最大時(shí),該扇形的圓心角是.

8.已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f'(x)=x4(x-1)3(x-2)2(x-3),則下列結(jié)論正確的是 ()A.f(x)在x=0處有極大值B.f(x)在x=2處有極小值C.f(x)在[1,3]上單調(diào)遞減D.f(x)有3個(gè)零點(diǎn)9.若x=-2是函數(shù)f(x)=(x2+ax-1)ex-1A.-1 B.-2e-3C.5e-3 D.110.函數(shù)f(x)=xex-2lnx-2x的最小值為 ()A.-2ln2 B.ln2C.2-2ln2 D.2+ln211.設(shè)函數(shù)f(x)=ln(x+k)+2,g(x)=ex2+1.若實(shí)數(shù)x1,x2滿足f(x1)=g(x2),且2x1-x2有極小值-2,則實(shí)數(shù)kA.3 B.2 C.1 D.-112.關(guān)于函數(shù)f(x)=|x-1|-lnx,下列說(shuō)法正確的是 ()A.f(x)在(1eB.f(x)有極小值0,無(wú)極大值C.f(x)的值域?yàn)?-1,+∞)D.f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱13.(多選題)已知函數(shù)f(