第18講　導(dǎo)數(shù)與不等式（II）-利用導(dǎo)數(shù)研究恒成立問(wèn)題（原卷版）

第18講導(dǎo)數(shù)與不等式/第2課時(shí)利用導(dǎo)數(shù)研究恒成立問(wèn)題/基礎(chǔ)知識(shí)一般地,若a>f(x)對(duì)x∈D恒成立,則只需a>f(x)max;若a<f(x)對(duì)x∈D恒成立,則只需a<f(x)min.若存在x0∈D,使a>f(x0)成立,則只需a>f(x)min;若存在x0∈D,使a<f(x0)成立,則只需a<f(x)max.由此構(gòu)造不等式,求解參數(shù)的取值范圍.分類(lèi)討論法:常見(jiàn)有兩種情況,(1)先利用綜合法,結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)之間的大小關(guān)系的決定條件,確定分類(lèi)討論的標(biāo)準(zhǔn),分類(lèi)后,判斷不同區(qū)間函數(shù)的單調(diào)性,得到最值,構(gòu)造不等式求解;(2)直接通過(guò)導(dǎo)函數(shù)的式子,看出導(dǎo)函數(shù)值正負(fù)的分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn),通常導(dǎo)函數(shù)為二次函數(shù)或者一次函數(shù).提示一:求解參數(shù)范圍時(shí),一般會(huì)涉及分離參數(shù),試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點(diǎn)的情況,通常需要設(shè)出導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn),難度較大.提示二:破解不等式求參問(wèn)題,時(shí)常會(huì)通過(guò)不等式的同解變形,構(gòu)造一個(gè)與背景函數(shù)相關(guān)的函數(shù),利用函數(shù)最值確定參數(shù)的取值范圍.在構(gòu)造函數(shù)或求最值的過(guò)程中常用的放縮方法有函數(shù)放縮法、基本不等式放縮法、疊加不等式放縮法等.分類(lèi)訓(xùn)練探究點(diǎn)一恒成立與能成立問(wèn)題例1已知函數(shù)f(x)=alnx+1x+bx,且曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程為2x-y+1=0(1)求實(shí)數(shù)a,b的值及函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)若關(guān)于x的不等式f(x)-2≥32x+mx恒成立,求實(shí)數(shù)[總結(jié)反思]由不等式恒成立(能成立)求參數(shù)取值范圍的思路及關(guān)鍵:(1)一般有兩個(gè)解題思路:一是分離參數(shù);二是不分離參數(shù).(2)兩種思路都是將問(wèn)題歸結(jié)為求函數(shù)的最值,至于用哪種方法,關(guān)鍵是看參數(shù)是否已分離.變式題1已知f(x)=12x2+x,g(x)=ln(x+1)-a(1)若存在x0∈[0,2],使得f(x0)>g(x0),求實(shí)數(shù)a的取值范圍;(2)若對(duì)任意的x1,x2∈[0,2],恒有f(x1)>g(x2),求實(shí)數(shù)a的取值范圍;(3)若對(duì)任意的x2∈[0,2],存在x1∈[0,2],使得f(x1)>g(x2),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.變式題2已知函數(shù)f(x)=ax3-(a2-4)x+4,當(dāng)x=1時(shí),函數(shù)f(x)有極大值.(1)求函數(shù)f(x)的解析式;(2)若存在x0∈[-3,2],使得f(x0)+m≥0能成立,求m的取值范圍.探究點(diǎn)二可化為恒成立問(wèn)題的導(dǎo)數(shù)問(wèn)題例2已知函數(shù)f(x)=lnx-ax,a∈R.(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;(2)設(shè)g(x)=x3-xsinx+x5,當(dāng)a≥0時(shí),判斷是否存在x0,使得f(x0)≥g(x0)[總結(jié)反思](1)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,再由單調(diào)性來(lái)證明不等式是函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式綜合中的一個(gè)難點(diǎn),解題技巧是構(gòu)造輔助函數(shù),把不等式的證明轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性或求最值,從而證得不等式,而如何根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)特征構(gòu)造一個(gè)可導(dǎo)函數(shù)是用導(dǎo)數(shù)證明不等式的關(guān)鍵.(2)可化為不等式恒成立問(wèn)題的基本類(lèi)型:類(lèi)型1:函數(shù)f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞增,只需f'(x)≥0.類(lèi)型2:函數(shù)f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞減,只需f'(x)≤0.類(lèi)型3:?x1,x2∈D,f(x1)>g(x2),只需f(x)min>g(x)max.類(lèi)型4:?x1∈D1,?x2∈D2,f(x1)>g(x2),只需f(x)min>g(x)min.類(lèi)型5:?x1∈D1,?x2∈D2,f(x1)<g(x2),只需f(x)max<g(x)max.變式題1已知函數(shù)f(x)=ex-lnxa-m(1)若函數(shù)f(x)在[1,2]上是減函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍;(2)當(dāng)a=1時(shí),求證:對(duì)任意m∈[-2,2],函數(shù)f(x)的圖像均在x軸上方.變式題2已知函數(shù)f(x)=ax-2sinx+xcosx.(1)求曲線y=f(x)在點(diǎn)(π,f(π))處的切線在y軸上的截距;(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,π2]上是增函數(shù),求實(shí)數(shù)a同步作業(yè)1.若存在x0∈[1e,e],使得不等式2x0lnx0+x02-mx0+3≥0成立,則實(shí)數(shù)A.1e+3e-2B.3eC.4 D.e2-12.(多選題)關(guān)于函數(shù)f(x)=ex-ax,x∈R,下列說(shuō)法正確的是 ()A.當(dāng)a=1時(shí),f(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞增B.當(dāng)a=0時(shí),f(x)-lnx≥3在(0,+∞)上恒成立C.對(duì)任意a<0,f(x)在(-∞,0)上一定存在零點(diǎn)D.存在a>0,f(x)有唯一極小值3.當(dāng)x∈[-2,1]時(shí),不等式ax3-x2+4x+3≥0恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為 ()A.[-6,-2] B.[-6,-98C.[-5,-2] D.[-4,-3]4.當(dāng)x∈[1,e2]時(shí),函數(shù)f(x)=a(x-1x)-3lnx(a∈R)的圖像有在函數(shù)g(x)=-ax的圖像下方的部分,則實(shí)數(shù)aA.(-∞,0) B.(-∞,6eC.(-∞,3e) D.(-∞,35.(多選題)已知a>0,b>0,則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是 ()A.若aa·bb=1,則a+b≥2B.若ea+2a=eb+3b,則a>bC.a(lna-lnb)≥a-b恒成立D.aea-blnb<6.已知函數(shù)f(x)=ex(x-b)(b∈R).若存在x0∈[12,2],使得f(x0)+x0f'(x0)>0,則實(shí)數(shù)b的取值范圍是