浙教版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)基礎(chǔ)知識(shí)專項(xiàng)講練 專題2.24 一元二次方程（全章復(fù)習(xí)與鞏固）（知識(shí)講解）（附參考答案）

專題2.24一元二次方程（全章復(fù)習(xí)與鞏固）（知識(shí)講解）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.了解一元二次方程及有關(guān)概念；2.掌握通過配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程；3.掌握依據(jù)實(shí)際問題建立一元二次方程的數(shù)學(xué)模型的方法．【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、一元二次方程的有關(guān)概念通過化簡(jiǎn)后，只含有一個(gè)未知數(shù)(一元)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．

2.一元二次方程的一般式：

3.一元二次方程的解：

使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.

特別說明：判斷一個(gè)方程是否為一元二次方程時(shí)，首先觀察其是否是整式方程，否則一定不是一元二次方程；其次再將整式方程整理化簡(jiǎn)使方程的右邊為0，看是否具備另兩個(gè)條件：①一個(gè)未知數(shù)；②未知數(shù)的最高次數(shù)為2.對(duì)有關(guān)一元二次方程定義的題目，要充分考慮定義的三個(gè)特點(diǎn)，不要忽視二次項(xiàng)系數(shù)不為0．要點(diǎn)二、一元二次方程的解法1．基本思想一元二次方程一元一次方程2．基本解法直接開平方法、配方法、公式法、因式分解法．特別說明：解一元二次方程時(shí)，根據(jù)方程特點(diǎn)，靈活選擇解題方法，先考慮能否用直接開平方法和因式分解法，再考慮用公式法．要點(diǎn)三、一元二次方程根的判別式及根與系數(shù)的關(guān)系1.一元二次方程根的判別式一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判別式，通常用“”來表示，即（1）當(dāng)△>0時(shí)，一元二次方程有2個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）當(dāng)△=0時(shí)，一元二次方程有2個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；（3）當(dāng)△<0時(shí)，一元二次方程沒有實(shí)數(shù)根.2.一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系如果一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是，那么，.注意它的使用條件為a≠0，Δ≥0.特別說明：一元二次方程的根的判別式正反都成立．利用其可以解 決以下問題：

(1)不解方程判定方程根的情況；

(2)根據(jù)參系數(shù)的性質(zhì)確定根的范圍；

(3)解與根有關(guān)的證明題．

2.一元二次方程根與系數(shù)的應(yīng)用很多：

(1)已知方程的一根，不解方程求另一根及參數(shù)系數(shù)；

(2)已知方程，求含有兩根對(duì)稱式的代數(shù)式的值及有關(guān)未知數(shù)系數(shù)；

(3)已知方程兩根，求作以方程兩根或其代數(shù)式為根的一元二次方程．要點(diǎn)四、列一元二次方程解應(yīng)用題1.列方程解實(shí)際問題的三個(gè)重要環(huán)節(jié)：

一是整體地、系統(tǒng)地審題；

二是把握問題中的等量關(guān)系；

三是正確求解方程并檢驗(yàn)解的合理性.

2.利用方程解決實(shí)際問題的關(guān)鍵是尋找等量關(guān)系.

3.解決應(yīng)用題的一般步驟：

審(審題目，分清已知量、未知量、等量關(guān)系等)；

設(shè)(設(shè)未知數(shù)，有時(shí)會(huì)用未知數(shù)表示相關(guān)的量)；

列(根據(jù)題目中的等量關(guān)系，列出方程)；

解(解方程，注意分式方程需檢驗(yàn)，將所求量表示清晰)；驗(yàn)(檢驗(yàn)方程的解能否保證實(shí)際問題有意義）；

答(寫出答案，切忌答非所問).

4.常見應(yīng)用題型

數(shù)字問題、平均變化率問題、利息問題、利潤(rùn)(銷售)問題、形積問題等.

特別說明：列方程解應(yīng)用題就是先把實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題（列方程），然后由數(shù)學(xué)問題的解決而獲得對(duì)實(shí)際問題的解決.【典型例題】類型一、一元二次方程??概念??方程的解??整體思想??韋達(dá)定理1．若關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則a的取值范圍是（

）A． B．且 C．且 D．【答案】B【分析】根據(jù)一元二次方程的定義和根的判別式得出a≠0，Δ=22-4a×（-1）=4+4a＞0，再求出即可．解：∵關(guān)于x的一元二次方程ax2+2x-1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，∴a≠0，Δ=22-4a×（-1）=4+4a＞0，解得：a＞-1且a≠0，故選：B．【點(diǎn)撥】本題考查了根的判別式，能熟記根的判別式的內(nèi)容是解此題的關(guān)鍵，注意：一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c為常數(shù)，a≠0），當(dāng)b2-4ac＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)b2-4ac=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)b2-4ac＜0時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根．舉一反三：【變式1】若關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是（）A． B． C．且 D．且【答案】B【分析】本題分兩種情形討論：當(dāng)k=0時(shí)，判斷此時(shí)方程是否有根；當(dāng)k≠0時(shí)，根據(jù)判斷判別式列出不等式求解即可.解：當(dāng)k=0時(shí)，方程為-6x+9=0，此時(shí)方程的解為，符合題意；當(dāng)k≠0時(shí)，∵關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)根，∴，∴，又k≠0，∴且k≠0，綜上所述，當(dāng)時(shí)，關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)根.故選：B.【點(diǎn)撥】本題考查了一元二次方程根的判別式的應(yīng)用，以及分類討論數(shù)學(xué)思想，進(jìn)行分類討論是解題的關(guān)鍵.【變式2】已知關(guān)于x的一元二次方程標(biāo)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（）A． B．C．且 D．且【答案】C【分析】由一元二次方程定義得出二次項(xiàng)系數(shù)k≠0；由方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，得出“△>0”，解這兩個(gè)不等式即可得到k的取值范圍．解：由題可得：,解得：且；故選：C．【點(diǎn)撥】本題考查了一元二次方程的定義和根的判別式，涉及到了解不等式等內(nèi)容，解決本題的關(guān)鍵是能讀懂題意并牢記一元二次方程的概念和根的判別式的內(nèi)容，能正確求出不等式（組）的解集等，本題對(duì)學(xué)生的計(jì)算能力有一定的要求．2．已知，是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則代數(shù)式的值是（

）A．4045 B．4044 C．2022 D．1【答案】A【分析】根據(jù)一元二次方程的解，以及一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系即可求解．解：∵，是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴，，故選A【點(diǎn)撥】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，一元二次方程根的定義，掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】已知m為方程的根，那么的值為（

）A． B．0 C．2022 D．4044【答案】B【分析】根據(jù)題意有，即有，據(jù)此即可作答．解：∵m為的根據(jù)，∴，且m≠0，∴，則有原式=，故選：B．【點(diǎn)撥】本題考查了利用未知數(shù)是一元二次方程的根求解代數(shù)式的值，由m為得到是解答本題的關(guān)鍵．【變式2】若m、n是一元二次方程x2＋3x﹣9＝0的兩個(gè)根，則的值是（

）A．4 B．5 C．6 D．12【答案】C【分析】由于m、n是一元二次方程x2＋3x?9＝0的兩個(gè)根，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得m＋n=?3，mn=?9，而m是方程的一個(gè)根，可得m2＋3m?9=0，即m2＋3m=9，那么m2＋4m＋n=m2＋3m＋m＋n，再把m2＋3m、m＋n的值整體代入計(jì)算即可．解：∵m、n是一元二次方程x2＋3x?9＝0的兩個(gè)根，∴m＋n＝?3，mn＝?9，∵m是x2＋3x?9＝0的一個(gè)根，∴m2＋3m?9＝0，∴m2＋3m＝9，∴m2＋4m＋n＝m2＋3m＋m＋n＝9＋（m＋n）＝9?3＝6．故選：C．【點(diǎn)撥】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是熟練掌握一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）兩根x1、x2之間的關(guān)系：x1＋x2=?，x1?x2=．類型二、解一元二次方程??直接開平方法?配方法?因式分解法?公式3．用適當(dāng)?shù)姆椒ń夥匠蹋?）；（配方法）（2）；（公式法）（3）；（因式分解法）（4）．（選擇適當(dāng)?shù)姆椒ǎ敬鸢浮?1)， (2)， (3)， (4)，【分析】（1）利用配方法求解，先將常數(shù)項(xiàng)移到等號(hào)右邊，再利用完全平方公式進(jìn)行配方，最后兩邊同時(shí)開方即可；（2）利用公式法求解，先計(jì)算的值，再根據(jù)公式求解；（3）先移項(xiàng)，再利用提取公因式法進(jìn)行因式分解，即可求解；（4）利用因式分解法求解．（1）解：移項(xiàng)得，配方得，即，兩邊開方，得，，；（2）解：，，，，，，，；（3）解：，，，或，，；（4）解：，去括號(hào)、移項(xiàng)得，因式分解得，或，，．【點(diǎn)撥】本題考查解一元二次方程，涉及公式法、配方法、因式分解法等，能夠根據(jù)方程特點(diǎn)選擇合適的方法是解題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】（1）用配方法解方程：；（2）公式法解方程：．【答案】（1），；（2），．【分析】（1）先將二次項(xiàng)的系數(shù)化為，然后根據(jù)配方法的步驟求解即可；（2）先確定一元二次方程中、、的值，然后代入求根公式求解即可．解：（1）兩邊都除以2，得：，移項(xiàng)，得，配方，得，，∴或，∴，；（2）∵，∴，，，∴，∴，∴，．【點(diǎn)撥】本題考查了一元二次方程的解法，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用配方法和公式法解方程．【變式2】按照指定方法解下列方程：（公式法）；（配方法）；（因式分解法）．【答案】(1)， (2)， (3)，【分析】（1）根據(jù)公式法解一元二次方程；（2）根據(jù)配方法解一元二次方程；（3）根據(jù)因式分解法解一元二次方程．（1）解：，，，，，；（2）解：方程整理得：，配方得：，即，開方得：，解得：，；（3）解：方程整理得：，分解因式得：，可得或，解得：，．【點(diǎn)撥】本題主要考查解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解題的關(guān)鍵．4．用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠? (2)【答案】(1)， (2)【分析】（1）直接利用因式分解法，即可求解；（2）先移項(xiàng)，再利用因式分解法，即可求解．（1）解：∴，即，解得：，；（2）解：∴，∴，即解得：．【點(diǎn)撥】本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法，結(jié)合方程的特點(diǎn)選擇合適、簡(jiǎn)便的方法是解題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋? (2)．【答案】(1)， (2)，【分析】（1）先分解因式，即可得出兩個(gè)一元一次方程，求出方程的解即可；（2）求出的值，再代入公式求出即可．解：（1），，或，，；（2），△，，，．【點(diǎn)撥】本題考查了解一元二次方程的應(yīng)用，能選擇適當(dāng)?shù)姆椒ń庖辉畏匠淌墙獯祟}的關(guān)鍵，此題是一道中檔題目，難度適中．【變式2】解方程：x2－2x－3＝0 (2)【答案】(1)， (2)【分析】（1）先把方程的左邊分解因式，再得到兩個(gè)一次方程，再解一次方程即可；（2）先把方程化為再把左邊分解因式，再解方程即可．（1）解：x2－2x－3＝0，∴或解得：，（2）整理得：∴∴或解得：【點(diǎn)撥】本題考查的是利用因式分解的方法解一元二次方程，掌握“因式分解法解方程的基本步驟”是解本題的關(guān)鍵．類型三、解一元二次方程??換元法??分式方程??無理方程5．閱讀下列“問題”與“提示”后，將解方程的過程補(bǔ)充完整，求出的值．【問題】解方程：【提示】可以用“換元法”解方程．【答案】見分析；，是原方程的根．【分析】設(shè)，則原方程可變形為：，利用因式分解法解一元二次方程，然后根據(jù)二次根式的非負(fù)性可得，再利用配方法解方程，最后注意方程的根要進(jìn)行檢驗(yàn)．解：設(shè)，∴原方程可變形為：，，，，∴，即，∵，∴，則有，配方，得：，解得：，，經(jīng)檢驗(yàn)：，是原方程的根．【點(diǎn)撥】本題考查了解一元二次方程，解無理方程：解無理方程的基本思想是把無理方程轉(zhuǎn)化為有理方程來解，在變形時(shí)要注意根據(jù)方程的結(jié)構(gòu)特征選擇解題方法．注意：用乘方法來解無理方程，往往會(huì)產(chǎn)生增根，應(yīng)注意驗(yàn)根．舉一反三：【變式1】解方程：.【答案】或．【分析】利用換元法，根據(jù)方程的特點(diǎn)設(shè)，則原方程可化為，解方程求y，再求x即可.解：設(shè)，則原方程可化為解得，或．當(dāng)時(shí)，，解得,.當(dāng)時(shí)，，方程無解．經(jīng)檢驗(yàn),都是原方程的根，∴原方程的根是,.【點(diǎn)撥】本題考查了換元法解分式方程，用換元法解一些復(fù)雜的分式方程是比較簡(jiǎn)單的一種方法，根據(jù)方程特點(diǎn)設(shè)出相應(yīng)未知數(shù)，解方程能夠使問題簡(jiǎn)單化，注意求出方程解后要驗(yàn)根【變式2】解方程：.【答案】或．【分析】根據(jù)方程的特點(diǎn)用完全平方公式將分式化為，設(shè)，原方程化為解一元二次方程求y，再求x即可.解：.，，設(shè)，原方程化為解得，.當(dāng)時(shí)，，方程無解，后者解得或．當(dāng)時(shí)，，解得或．經(jīng)檢驗(yàn)：或都是原方程的根，∴原方程的根是,.【點(diǎn)撥】本題考查了換元法解分式方程，用換元法解一些復(fù)雜的分式方程是比較簡(jiǎn)單的一種方法，根據(jù)方程特點(diǎn)設(shè)出相應(yīng)未知數(shù)，解方程能夠使問題簡(jiǎn)單化，注意求出方程解后要驗(yàn)根．6．閱讀下面材料，解答后面的問題．解方程：－＝0.解：設(shè)y＝，則原方程可化為y－＝0，方程兩邊同時(shí)乘y，得y2－4＝0，解得y1＝2，y2＝－2.經(jīng)檢驗(yàn)，y1＝2，y2＝－2都是方程y－＝0的解．當(dāng)y＝2時(shí)，＝2，解得x＝－1；當(dāng)y＝－2時(shí)，＝－2，解得x＝.經(jīng)檢驗(yàn)，x1＝－1，x2＝都是原分式方程的解．所以原分式方程的解為x1＝－1，x2＝.上述這種解分式方程的方法稱為換元法．問題：若在方程－＝0中，設(shè)y＝，則原方程可化為________________；若在方程－＝0中，設(shè)y＝，則原方程可化為________________；模仿上述換元法解方程：－－1＝0.【答案】（1）；（2）；（3）x＝－.【分析】（1）將所設(shè)的y代入原方程即可；（2）將所設(shè)的y代入原方程即可；（3）利用換元法解分式方程，設(shè)y＝，將原方程化為y?＝0，求出y的值并檢驗(yàn)是否為原方程的解，然后求解x的值即可．解：（1）將y＝代入原方程，則原方程化為?＝0；（2）將y＝代入方程，則原方程可化為y?＝0；（3）原方程可化為－＝0，設(shè)y＝，則原方程可化為y－＝0，方程兩邊同時(shí)乘y，得y2－1＝0，解得y1＝1，y2＝－1，經(jīng)檢驗(yàn)，y1＝1，y2＝－1都是方程y－＝0的解；當(dāng)y＝1時(shí)，＝1，該方程無解；當(dāng)y＝－1時(shí)，＝－1，解得x＝－，經(jīng)檢驗(yàn)，x＝－是原分式方程的解，所以原分式方程的解為x＝－.【點(diǎn)撥】本題考查了分式方程的解法，關(guān)鍵是如何換元，題目比較好，有一定的難度．舉一反三：【變式1】解方程：【答案】無解【分析】通過去去分母把分式方程化成整式方程，再求解整式方程，最后把解代入最簡(jiǎn)公分母進(jìn)行檢驗(yàn)即可解答．解：兩邊同乘得：，去括號(hào)得：，移項(xiàng)合并得：，解得：．檢驗(yàn)：經(jīng)檢驗(yàn)是方程的增根，原方程無解．【點(diǎn)撥】本題主要考查了解分式方程，熟練掌握解分式方程的一般步驟是解題的關(guān)鍵．求出解后的檢驗(yàn)是本題的易錯(cuò)點(diǎn)．【變式2】閱讀理解∶轉(zhuǎn)化思想是常用的數(shù)學(xué)思想之一．在研究新問題或復(fù)雜問題時(shí)，常常把問題轉(zhuǎn)化為熟悉的或比較簡(jiǎn)單的問題來解決．如解一元二次方程是轉(zhuǎn)化成一元一次方程來解決的；解分式方程是轉(zhuǎn)化為整式方程來解決的．由于“去分母”可能產(chǎn)生增根，所以解分式方程必須檢驗(yàn)．利用轉(zhuǎn)化思想，我們還可以解一些新的方程，如無理方程(根號(hào)下含有末知數(shù)的方程)．解無理方程關(guān)鍵是要去掉根號(hào)，可以將方程適當(dāng)變形后兩邊同時(shí)平方，將其轉(zhuǎn)化為整式方程．由于“去根號(hào)”可能產(chǎn)生增根，所以解無理方程也必須檢驗(yàn)．例如：解方程．解：兩邊平方得：．解得：，經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的根，∴代入原方程中不合理，是原方程的增根．原方程的根是．解決問題∶填空∶已知關(guān)于x的方程＝x有一個(gè)根是，那么a的值為_____；求滿足x的x的值．【答案】(1)2 (2)【分析】（1）把代入方程得，然后解關(guān)于的無理方程即可；（2）利用乘方把無理方程轉(zhuǎn)化為得，解得，，然后進(jìn)行檢驗(yàn)確定原方程的根；（1）解：把代入方程得，兩邊平方得，解得，經(jīng)檢驗(yàn)是方程的解；所以的值為2；故答案為：2；（2）解：，方程兩邊平方得，解得，，經(jīng)檢驗(yàn)，代入原方程中不合理，是原方程的增根，是原方程的根，原方程的根是；【點(diǎn)撥】本題考查了無理方程：解無理方程的基本思想是把無理方程轉(zhuǎn)化為有理方程來解，在變形時(shí)要注意根據(jù)方程的結(jié)構(gòu)特征選擇解題方法．用乘方法（即將方程兩邊各自乘同次方來消去方程中的根號(hào)）來解無理方程，往往會(huì)產(chǎn)生增根，應(yīng)注意驗(yàn)根．類型三、一元二次方程??韋達(dá)定理??根的判別式7．已知關(guān)于x的一元二次方程．（1）求證：無論k取何值，方程都有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．（2）如果方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為，，且k與都為整數(shù)，求k所有可能的值．【答案】（1）見分析；（2）0或-2或1或-1【分析】（1）計(jì)算判別式的值，然后根據(jù)判別式的意義得到結(jié)論；（2）先利用因式分解法得出方程的兩個(gè)根，再結(jié)合k與都為整數(shù)，得出k的值；解：（1）∵△==∴無論k取何值，方程都有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．（2）∵∴∴=0∴，或，當(dāng)，時(shí)，∵k與都為整數(shù)，∴k=0或-2當(dāng)，時(shí)，∴，∵k與都為整數(shù)，∴k=1或-1∴k所有可能的值為0或-2或1或-1【點(diǎn)撥】本題考查了根的判別式以及因式分解法解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是：（1）牢記“當(dāng)△＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根”；（2）利用因式分解法求出方程的解．舉一反三：【變式1】已知關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)根．求的取值范圍；設(shè)方程的兩根分別是、，且，試求k的值．【答案】(1)；(2).【分析】(1)根據(jù)一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根得到，求出的取值范圍即可；(2)根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得出方程解答即可．(1)解：∵原方程有實(shí)數(shù)根，∴，∴，∴.(2)∵，是方程的兩根，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得：，，又∵，∴，∴，∴，解之，得：，．經(jīng)檢驗(yàn)，都符合原分式方程的根，∵，∴．【點(diǎn)撥】本題主要考查了根的判別式以及根與系數(shù)關(guān)系的知識(shí)，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)根的判別式的意義求出k的取值范圍，此題難度不大．【變式2】已知關(guān)于x的方程x2－（m＋2）x＋（2m－1）=0．（1）求證：方程恒有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）若此方程的一個(gè)根是1，請(qǐng)求出方程的另一個(gè)根，并求以此兩根為邊長(zhǎng)的直角三角形的周長(zhǎng)．【答案】（1）見詳解；（2）4＋或4＋.【分析】（1）根據(jù)關(guān)于x的方程x2－（m＋2）x＋（2m－1）=0的根的判別式的符號(hào)來證明結(jié)論.（2）根據(jù)一元二次方程的解的定義求得m值，然后由根與系數(shù)的關(guān)系求得方程的另一根.分類討論：①當(dāng)該直角三角形的兩直角邊是2、3時(shí)，②當(dāng)該直角三角形的直角邊和斜邊分別是2、3時(shí)，由勾股定理求出得該直角三角形的另一邊，再根據(jù)三角形的周長(zhǎng)公式進(jìn)行計(jì)算.解：（1）證明：∵△=[-（m＋2）]2－4（2m－1）=（m－2）2＋4，∴在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，m無論取何值，（m－2）2+4≥4＞0，即△＞0.∴關(guān)于x的方程x2－（m＋2）x＋（2m－1）=0恒有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.（2）∵此方程的一個(gè)根是1，∴12－1×（m＋2）＋（2m－1）=0，解得，m=2，則方程的另一根為：m＋2－1=2+1=3.①當(dāng)該直角三角形的兩直角邊是1、3時(shí)，由勾股定理得斜邊的長(zhǎng)度為，該直角三角形的周長(zhǎng)為1＋3＋=4＋.②當(dāng)該直角三角形的直角邊和斜邊分別是1、3時(shí)，由勾股定理得該直角三角形的另一直角邊為；則該直角三角形的周長(zhǎng)為1＋3＋=4＋.8．已知關(guān)于x的一元二次方程有，兩實(shí)數(shù)根．（1）若，求及的值；（2）是否存在實(shí)數(shù)，滿足？若存在，求出求實(shí)數(shù)的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】（1），；（2）存在，【分析】（1）根據(jù)題意可得△＞0，再代入相應(yīng)數(shù)值解不等式即可，再利用根與系數(shù)的關(guān)系求解即可；（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得關(guān)于m的方程，整理后可即可解出m的值．解：（1）由題意：Δ=(?6)2?4×1×(2m?1)>0，∴m<5，將x1=1代入原方程得：m=3，又∵x1?x2=2m?1=5，∴x2=5，m=3；（2）設(shè)存在實(shí)數(shù)m，滿足，那么有，即，整理得：，解得或．由（1）可知，∴舍去，從而，綜上所述：存在符合題意．【點(diǎn)撥】本題主要考查了根的判別式，以及根與系數(shù)的關(guān)系，關(guān)鍵是掌握一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系：（1）△＞0?方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）△=0?方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；（3）△＜0?方程沒有實(shí)數(shù)根．以及根與系數(shù)的關(guān)系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩根時(shí)，，．舉一反三：【變式1】若是關(guān)于x的一元二次方程的兩個(gè)根，則．現(xiàn)已知一元二次方程的兩根分別為m，n．（1）若，求的值；（2）若，求的值．【答案】（1）；（2）-1．【分析】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得到．（1）把，代入，即可求出的值；（2）把，代入，得到．利用整體代入即可求解．解：∵已知一元二次方程的兩根分別為m，n，∴．（1）當(dāng)時(shí)，，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，是方程的根，∴；（2）當(dāng)時(shí)，．∴．【點(diǎn)撥】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，根據(jù)題意得到是解題關(guān)鍵．【變式2】已知關(guān)于的一元二次方程．（1）求證：無論為何實(shí)數(shù)，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）若方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，滿足，求的值．【答案】（1）見分析

（2）0，-2【分析】（1）根據(jù)根的判別式即可求證出答案；（2）可以根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得與的、的關(guān)系式，進(jìn)一步可以求出答案.解：(1)證明：∵，∵無論為何實(shí)數(shù)，，∴，∴無論為何實(shí)數(shù)，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；(2)由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得：，，∵，∴，∴，∴，化簡(jiǎn)得：，解得，．【點(diǎn)撥】本題主要考查根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握概念和運(yùn)算技巧即可解題.類型四、一元二次方程的應(yīng)用9．為進(jìn)一步促進(jìn)義務(wù)教育均衡發(fā)展，某市加大了基礎(chǔ)教育經(jīng)費(fèi)的投入，已知2018年該市投入基礎(chǔ)教育經(jīng)費(fèi)5000萬元，2020年投入基礎(chǔ)教育經(jīng)費(fèi)7200萬元．求該市這兩年投入基礎(chǔ)教育經(jīng)費(fèi)的年平均增長(zhǎng)率；如果按（1）中基礎(chǔ)教育經(jīng)費(fèi)投入的年平均增長(zhǎng)率計(jì)算．該市計(jì)劃2021年用不超過當(dāng)年基礎(chǔ)教育經(jīng)費(fèi)的5%購(gòu)買電腦和實(shí)物投影儀共1500臺(tái)，調(diào)配給農(nóng)村學(xué)校．若購(gòu)買一臺(tái)電腦需3500元，購(gòu)買一臺(tái)實(shí)物投影需2000元，則最多可購(gòu)買電腦多少臺(tái)？【答案】(1)該市這兩年投入基礎(chǔ)教育經(jīng)費(fèi)的年平均增長(zhǎng)率為20% (2)2021年最多可購(gòu)買電腦880臺(tái)【分析】（1）設(shè)該市這兩年投入基礎(chǔ)教育經(jīng)費(fèi)的年平均增長(zhǎng)率為x，根據(jù)2018年及2020年投入的基礎(chǔ)教育經(jīng)費(fèi)金額，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)年平均增長(zhǎng)率求出2021年基礎(chǔ)教育經(jīng)費(fèi)投入的金額，再根據(jù)總價(jià)＝單價(jià)×數(shù)量，即可得出關(guān)于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范圍，取其中的最大值即可．（1）解：設(shè)該市這兩年投入基礎(chǔ)教育經(jīng)費(fèi)的年平均增長(zhǎng)率為x，根據(jù)題意得：5000（1＋x）2=7200，解得：x1=0.2=20%，x2=?2.2（舍去）．答：該市這兩年投入基礎(chǔ)教育經(jīng)費(fèi)的年平均增長(zhǎng)率為20%；（2）解：2021年投入基礎(chǔ)教育經(jīng)費(fèi)為7200×（1＋20%）=8640（萬元），設(shè)購(gòu)買電腦m臺(tái)，則購(gòu)買實(shí)物投影儀（1500?m）臺(tái)，根據(jù)題意得：3500m＋2000（1500?m）≤86400000×5%，解得：m≤880，答：2021年最多可購(gòu)買電腦880臺(tái)．【點(diǎn)撥】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用以及一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)2018年及2020年投入的基礎(chǔ)教育經(jīng)費(fèi)金額，列出關(guān)于x的一元二次方程；（2）根據(jù)總價(jià)＝單價(jià)×數(shù)量，列出關(guān)于m的一元一次不等式．舉一反三：【變式1】某造紙廠為節(jié)約木材，實(shí)現(xiàn)企業(yè)綠色低碳發(fā)展，通過技術(shù)改造升級(jí)，使再生紙項(xiàng)目的生產(chǎn)規(guī)模不斷擴(kuò)大．該廠3，4月份共生產(chǎn)再生紙800噸，其中4月份再生紙產(chǎn)量是3月份的2倍少100噸．求4月份再生紙的產(chǎn)量；若4月份每噸再生紙的利潤(rùn)為1000元，5月份再生紙產(chǎn)量比上月增加．5月份每噸再生紙的利潤(rùn)比上月增加，則5月份再生紙項(xiàng)目月利潤(rùn)達(dá)到66萬元．求的值；若4月份每噸再生紙的利潤(rùn)為1200元，4至6月每噸再生紙利潤(rùn)的月平均增長(zhǎng)率與6月份再生紙產(chǎn)量比上月增長(zhǎng)的百分?jǐn)?shù)相同，6月份再生紙項(xiàng)目月利潤(rùn)比上月增加了．求6月份每噸再生紙的利潤(rùn)是多少元？【答案】(1)4月份再生紙的產(chǎn)量為500噸 (2)的值20(3)6月份每噸再生紙的利潤(rùn)是1500元【分析】（1）設(shè)3月份再生紙產(chǎn)量為噸，則4月份的再生紙產(chǎn)量為噸，然后根據(jù)該廠3，4月份共生產(chǎn)再生紙800噸，列出方程求解即可；（2）根據(jù)總利潤(rùn)=每一噸再生紙的利潤(rùn)×數(shù)量列出方程求解即可；（3）設(shè)4至6月每噸再生紙利潤(rùn)的月平均增長(zhǎng)率為，5月份再生紙的產(chǎn)量為噸，根據(jù)總利潤(rùn)=每一噸再生紙的利潤(rùn)×數(shù)量列出方程求解即可；（1）解：設(shè)3月份再生紙產(chǎn)量為噸，則4月份的再生紙產(chǎn)量為噸，由題意得：，解得：，∴，答：4月份再生紙的產(chǎn)量為500噸；（2）解：由題意得：，解得：或（不合題意，舍去）∴，∴的值20；（3）解：設(shè)4至6月每噸再生紙利潤(rùn)的月平均增長(zhǎng)率為，5月份再生紙的產(chǎn)量為噸，∴答：6月份每噸再生紙的利潤(rùn)是1500元．【點(diǎn)撥】本題主要考查了一元一次方程的應(yīng)用，一元二次方程的應(yīng)用，正確理解題意，列出方程求解是解題的關(guān)鍵．【變式2】某商品原來每件的售價(jià)為60元，經(jīng)過兩次降價(jià)后每件的售價(jià)為48.6元，并且每次降價(jià)的百分率相同．（1）求該商品每次降價(jià)的百分率；（2）若該商品每件的進(jìn)價(jià)為40元，計(jì)劃通過以上兩次降價(jià)的方式，將庫(kù)存的該商品20件全部售出，并且確保兩次降價(jià)銷售的總利潤(rùn)不少于200元，那么第一次降價(jià)至少售出多少件后，方可進(jìn)行第二次降價(jià)？【答案】（1）10%；（2）6件【分析】（1）根據(jù)某商品原來每件的售價(jià)為60元，經(jīng)過兩次降價(jià)后每件的售價(jià)為48.6元，并且每次降價(jià)的百分率相同，可設(shè)每次降價(jià)的百分率為x，從而可以列出方程60（1-x）2=48.6，然后求解即可；（2）根據(jù)題意和（1）中的結(jié)果，可以列出相應(yīng)的不等式，然后即可求得第一次降價(jià)出售的件數(shù)的取值范圍，再根據(jù)件數(shù)為整數(shù)，即可得到第一次降價(jià)至少售出多少件后，方可進(jìn)行第二次降價(jià)．解：（1）設(shè)該商品每次降價(jià)的百分率為x，60（1-x）2=48.6，解得x1=0.1，x2=1.9（舍去），答：該商品每次降價(jià)的百分率是10%；（2）設(shè)第一次降價(jià)售出a件，則第二次降價(jià)售出（20-a）件，由題意可得，[60（1-10%）-40]a+（48.6-40）×（20-a）≥200，解得a≥，∵a為整數(shù)，∴a的最小值是6，答：第一次降價(jià)至少售出6件后，方可進(jìn)行第二次降價(jià)．【點(diǎn)撥】本題考查一元二次方程的應(yīng)用、一元一次不等式的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出等量關(guān)系和不等關(guān)系，列出相應(yīng)的方程和不等式，第一問是典型的的下降率問題，是中考常考題型．10．某藥店新進(jìn)一批桶裝消毒液，每桶進(jìn)價(jià)35元，原計(jì)劃以每桶55元的價(jià)格銷售，為更好地助力疫情防控，現(xiàn)決定降價(jià)銷售．已知這種消毒液銷售量（桶）與每桶降價(jià)（元）（）之間滿足一次函數(shù)關(guān)系，其圖象如圖所示：（1）求與之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）在這次助力疫情防控活動(dòng)中，該藥店僅獲利1760元．這種消毒液每桶實(shí)際售價(jià)多少元？【答案】（1）y=10x+100；（2）這種消毒液每桶實(shí)際售價(jià)43元【分析】（1）設(shè)與之間的函數(shù)表達(dá)式為，將點(diǎn)、代入一次函數(shù)表達(dá)式，即可求解；（2）根據(jù)利潤(rùn)等于每桶的利潤(rùn)乘以銷售量得關(guān)于的一元二次方程，通過解方程即可求解．解：（1）設(shè)與銷售單價(jià)之間的函數(shù)關(guān)系式為：，將點(diǎn)、代入一次函數(shù)表達(dá)式得：，解得：，故函數(shù)的表達(dá)式為：；（2）由題意得：，整理，得．解得，（舍去）．所以．答：這種消毒液每桶實(shí)際售價(jià)43元．【點(diǎn)撥】本題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用以及用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式等知識(shí)，正確利用銷量每件的利潤(rùn)總利潤(rùn)得出一元二次方程是解題關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】直播購(gòu)物逐漸走進(jìn)了人們的生活．某電商在抖音上對(duì)一款成本價(jià)為40元的小商品進(jìn)行直播銷售，如果按每件60元銷售，每天可賣出20件．通過市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每件小商品售價(jià)每降低5元，日銷售量增加10件．（1）若日利潤(rùn)保持不變，商家想盡快銷售完該款商品，每件售價(jià)應(yīng)定為多少元？（2）小明的線下實(shí)體商店也銷售同款小商品，標(biāo)價(jià)為每件62.5元．為提高市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)力，促進(jìn)線下銷售，小明決定對(duì)該商品實(shí)行打折銷售，使其銷售價(jià)格不超過（1）中的售價(jià)，則該商品至少需打幾折銷售？【答案】（1）50元；（2）八折【分析】（1）設(shè)每件的售價(jià)定為x元，根據(jù)利潤(rùn)不變，列出關(guān)于x的一元二次方程，求解即可；（2）設(shè)該商品至少打m折，根據(jù)銷售價(jià)格不超過（1）中的售價(jià)列出一元一次不等式，解不等式即可．解：（1）設(shè)每件的售價(jià)定為x元，則有：，解得：(舍)，答：每件售價(jià)為50元；（2）設(shè)該商品至少打m折，根據(jù)題意得：，解得：，答：至少打八折銷售價(jià)格不超過50元．【點(diǎn)撥】本題主要考查一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用以及一元一次不等式的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系列出方程是解決問題的關(guān)鍵．【變式2】重慶小面是重慶美食的名片之一，深受外地游客和本地民眾歡迎．某面館向食客推出經(jīng)典特色重慶小面，顧客可到店食用（簡(jiǎn)稱“堂食”小面），也可購(gòu)買搭配佐料的袋裝生面（簡(jiǎn)稱“生食”小面）．已知3份“堂食”小面和2份“生食”小面的總售價(jià)為31元，4份“堂食”小面和1份“生食”小面的總售價(jià)為33元．（1）求每份“堂食”小面和“生食”小面的價(jià)格分別是多少元？（2）該面館在4月共賣出“堂食”小面4500份，“生食”小面2500份，為回饋廣大食客，該面館從5月1日起每份“堂食”小面的價(jià)格保持不變，每份“生食”小面的價(jià)格降低．統(tǒng)計(jì)5月的銷量和銷售額發(fā)現(xiàn)：“堂食”小面的銷量與4月相同，“生食”小面的銷量在4月的基礎(chǔ)上增加，這兩種小面的總銷售額在4月的基礎(chǔ)上增加．求a的值．【答案】（1）每份“堂食”小面價(jià)格是7元，“生食”小面的價(jià)格是5元．（2）a的值為8．【分析】（1）設(shè)每份“堂食”小面和“生食”小面的價(jià)格分別是x、y元，根據(jù)題意列出二元一次方程組，解方程組即可；（2）根據(jù)題意列出一元二次方程，解方程即可．解：（1）設(shè)每份“堂食”小面和“生食”小面的價(jià)格分別是x、y元，根據(jù)題意列方程組得，，解得，，答：每份“堂食”小面價(jià)格是7元，“生食”小面的價(jià)格是5元．（2）根據(jù)題意得，，解得，（舍去），，答：a的值為8．【點(diǎn)撥】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用和一元二次方程的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是找準(zhǔn)題目中的等量關(guān)系，列出方程，熟練運(yùn)用相關(guān)知識(shí)解方程．11．如圖，某中學(xué)準(zhǔn)備在校園里利用圍墻的一段，再砌三面墻，圍成一個(gè)矩形花園ABCD（圍墻MN最長(zhǎng)可利用25m）