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江蘇省蘇中三市2024年高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)1.考生要認(rèn)真填寫(xiě)考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2.試題所有答案必須填涂或書(shū)寫(xiě)在答題卡上,在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知拋物線:,直線與分別相交于點(diǎn),與的準(zhǔn)線相交于點(diǎn),若,則()A.3 B. C. D.2.設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為,若,則的值為()A. B. C. D.3.在中,內(nèi)角的平分線交邊于點(diǎn),,,,則的面積是()A. B. C. D.4.已知函數(shù)()的最小值為0,則()A. B. C. D.5.將函數(shù)的圖象分別向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度與向左平移(>0)個(gè)單位長(zhǎng)度,若所得到的兩個(gè)圖象重合,則的最小值為()A. B. C. D.6.“”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分又不必要條件7.甲、乙、丙、丁四位同學(xué)高考之后計(jì)劃去三個(gè)不同社區(qū)進(jìn)行幫扶活動(dòng),每人只能去一個(gè)社區(qū),每個(gè)社區(qū)至少一人.其中甲必須去社區(qū),乙不去社區(qū),則不同的安排方法種數(shù)為()A.8 B.7 C.6 D.58.如圖所示,用一邊長(zhǎng)為的正方形硬紙,按各邊中點(diǎn)垂直折起四個(gè)小三角形,做成一個(gè)蛋巢,將體積為的雞蛋(視為球體)放入其中,蛋巢形狀保持不變,則雞蛋(球體)離蛋巢底面的最短距離為()A. B.C. D.9.下列四個(gè)圖象可能是函數(shù)圖象的是()A. B. C. D.10.一物體作變速直線運(yùn)動(dòng),其曲線如圖所示,則該物體在間的運(yùn)動(dòng)路程為()m.A.1 B. C. D.211.已知,則的大小關(guān)系為A. B. C. D.12.已知函數(shù),則在上不單調(diào)的一個(gè)充分不必要條件可以是()A. B. C.或 D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.在的展開(kāi)式中,的系數(shù)等于__.14.已知是函數(shù)的極大值點(diǎn),則的取值范圍是____________.15.函數(shù)f(x)=x2﹣xlnx的圖象在x=1處的切線方程為_(kāi)____.16.若,則=______,=______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)選修4-5:不等式選講設(shè)函數(shù)f(x)=|x-a|,a<0.(1)證明:f(x)+f(-1(2)若不等式f(x)+f(2x)<12的解集非空,求18.(12分)已知函數(shù).(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期;(2)求在上的最大值和最小值.19.(12分)選修4-5:不等式選講已知函數(shù)的最大值為3,其中.(1)求的值;(2)若,,,求證:20.(12分)如圖,在四棱錐中,底面是直角梯形且∥,側(cè)面為等邊三角形,且平面平面.(1)求平面與平面所成的銳二面角的大小;(2)若,且直線與平面所成角為,求的值.21.(12分)如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,底面ABCD為菱形,PA⊥底面ABCD,∠BAD=60°,AB=PA=4,E是PA的中點(diǎn),AC,BD交于點(diǎn)O.(1)求證:OE∥平面PBC;(2)求三棱錐E﹣PBD的體積.22.(10分)已知函數(shù)的最大值為,其中.(1)求實(shí)數(shù)的值;(2)若求證:.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】
根據(jù)拋物線的定義以及三角形的中位線,斜率的定義表示即可求得答案.【詳解】顯然直線過(guò)拋物線的焦點(diǎn)如圖,過(guò)A,M作準(zhǔn)線的垂直,垂足分別為C,D,過(guò)M作AC的垂線,垂足為E根據(jù)拋物線的定義可知MD=MF,AC=AF,又AM=MN,所以M為AN的中點(diǎn),所以MD為三角形NAC的中位線,故MD=CE=EA=AC設(shè)MF=t,則MD=t,AF=AC=2t,所以AM=3t,在直角三角形AEM中,ME=所以故選:C【點(diǎn)睛】本題考查求拋物線的焦點(diǎn)弦的斜率,常見(jiàn)于利用拋物線的定義構(gòu)建關(guān)系,屬于中檔題.2、C【解析】
求得等比數(shù)列的公比,然后利用等比數(shù)列的求和公式可求得的值.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為,,,,因此,.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列求和公式的應(yīng)用,解答的關(guān)鍵就是求出等比數(shù)列的公比,考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.3、B【解析】
利用正弦定理求出,可得出,然后利用余弦定理求出,進(jìn)而求出,然后利用三角形的面積公式可計(jì)算出的面積.【詳解】為的角平分線,則.,則,,在中,由正弦定理得,即,①在中,由正弦定理得,即,②①②得,解得,,由余弦定理得,,因此,的面積為.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查三角形面積的計(jì)算,涉及正弦定理和余弦定理以及三角形面積公式的應(yīng)用,考查計(jì)算能力,屬于中等題.4、C【解析】
設(shè),計(jì)算可得,再結(jié)合圖像即可求出答案.【詳解】設(shè),則,則,由于函數(shù)的最小值為0,作出函數(shù)的大致圖像,結(jié)合圖像,,得,所以.故選:C【點(diǎn)睛】本題主要考查了分段函數(shù)的圖像與性質(zhì),考查轉(zhuǎn)化思想,考查數(shù)形結(jié)合思想,屬于中檔題.5、B【解析】
首先根據(jù)函數(shù)的圖象分別向左與向右平移m,n個(gè)單位長(zhǎng)度后,所得的兩個(gè)圖像重合,那么,利用的最小正周期為,從而求得結(jié)果.【詳解】的最小正周期為,那么(∈),于是,于是當(dāng)時(shí),最小值為,故選B.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)三角函數(shù)的周期與函數(shù)圖象平移之間的關(guān)系,屬于簡(jiǎn)單題目.6、A【解析】
首先利用二倍角正切公式由,求出,再根據(jù)充分條件、必要條件的定義判斷即可;【詳解】解:∵,∴可解得或,∴“”是“”的充分不必要條件.故選:A【點(diǎn)睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷,二倍角正切公式的應(yīng)用是解決本題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.7、B【解析】根據(jù)題意滿(mǎn)足條件的安排為:A(甲,乙)B(丙)C(?。?;A(甲,乙)B(?。〤(丙);A(甲,丙)B(?。〤(乙);A(甲,?。〣(丙)C(乙);A(甲)B(丙,?。〤(乙);A(甲)B(?。〤(乙,丙);A(甲)B(丙)C(丁,乙);共7種,選B.8、D【解析】因?yàn)榈俺驳牡酌媸沁呴L(zhǎng)為的正方形,所以過(guò)四個(gè)頂點(diǎn)截雞蛋所得的截面圓的直徑為,又因?yàn)殡u蛋的體積為,所以球的半徑為,所以球心到截面的距離,而截面到球體最低點(diǎn)距離為,而蛋巢的高度為,故球體到蛋巢底面的最短距離為.點(diǎn)睛:本題主要考查折疊問(wèn)題,考查球體有關(guān)的知識(shí).在解答過(guò)程中,如果遇到球體或者圓錐等幾何體的內(nèi)接或外接幾何體的問(wèn)題時(shí),可以采用軸截面的方法來(lái)處理.也就是畫(huà)出題目通過(guò)球心和最低點(diǎn)的截面,然后利用弦長(zhǎng)和勾股定理來(lái)解決.球的表面積公式和體積公式是需要熟記的.9、C【解析】
首先求出函數(shù)的定義域,其函數(shù)圖象可由的圖象沿軸向左平移1個(gè)單位而得到,因?yàn)闉槠婧瘮?shù),即可得到函數(shù)圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng),即可排除A、D,再根據(jù)時(shí)函數(shù)值,排除B,即可得解.【詳解】∵的定義域?yàn)?,其圖象可由的圖象沿軸向左平移1個(gè)單位而得到,∵為奇函數(shù),圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),∴的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng).可排除A、D項(xiàng).當(dāng)時(shí),,∴B項(xiàng)不正確.故選:C【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的性質(zhì)與識(shí)圖能力,一般根據(jù)四個(gè)選擇項(xiàng)來(lái)判斷對(duì)應(yīng)的函數(shù)性質(zhì),即可排除三個(gè)不符的選項(xiàng),屬于中檔題.10、C【解析】
由圖像用分段函數(shù)表示,該物體在間的運(yùn)動(dòng)路程可用定積分表示,計(jì)算即得解【詳解】由題中圖像可得,由變速直線運(yùn)動(dòng)的路程公式,可得.所以物體在間的運(yùn)動(dòng)路程是.故選:C【點(diǎn)睛】本題考查了定積分的實(shí)際應(yīng)用,考查了學(xué)生轉(zhuǎn)化劃歸,數(shù)形結(jié)合,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于中檔題.11、D【解析】
分析:由題意結(jié)合對(duì)數(shù)的性質(zhì),對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和指數(shù)的性質(zhì)整理計(jì)算即可確定a,b,c的大小關(guān)系.詳解:由題意可知:,即,,即,,即,綜上可得:.本題選擇D選項(xiàng).點(diǎn)睛:對(duì)于指數(shù)冪的大小的比較,我們通常都是運(yùn)用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,但很多時(shí)候,因冪的底數(shù)或指數(shù)不相同,不能直接利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行比較.這就必須掌握一些特殊方法.在進(jìn)行指數(shù)冪的大小比較時(shí),若底數(shù)不同,則首先考慮將其轉(zhuǎn)化成同底數(shù),然后再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷.對(duì)于不同底而同指數(shù)的指數(shù)冪的大小的比較,利用圖象法求解,既快捷,又準(zhǔn)確.12、D【解析】
先求函數(shù)在上不單調(diào)的充要條件,即在上有解,即可得出結(jié)論.【詳解】,若在上不單調(diào),令,則函數(shù)對(duì)稱(chēng)軸方程為在區(qū)間上有零點(diǎn)(可以用二分法求得).當(dāng)時(shí),顯然不成立;當(dāng)時(shí),只需或,解得或.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性及充分不必要條件,要注意二次函數(shù)零點(diǎn)的求法,屬于中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、7【解析】
由題,得,令,即可得到本題答案.【詳解】由題,得,令,得x的系數(shù).故答案為:7【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用,屬基礎(chǔ)題.14、【解析】
方法一:令,則,,當(dāng),時(shí),,單調(diào)遞減,∴時(shí),,,且,∴在上單調(diào)遞增,時(shí),,,且,∴在上單調(diào)遞減,∴是函數(shù)的極大值點(diǎn),∴滿(mǎn)足題意;當(dāng)時(shí),存在使得,即,又在上單調(diào)遞減,∴時(shí),,,所以,這與是函數(shù)的極大值點(diǎn)矛盾.綜上,.方法二:依據(jù)極值的定義,要使是函數(shù)的極大值點(diǎn),由知須在的左側(cè)附近,,即;在的右側(cè)附近,,即.易知,時(shí),與相切于原點(diǎn),所以根據(jù)與的圖象關(guān)系,可得.15、x﹣y=0.【解析】
先將x=1代入函數(shù)式求出切點(diǎn)縱坐標(biāo),然后對(duì)函數(shù)求導(dǎo)數(shù),進(jìn)一步求出切線斜率,最后利用點(diǎn)斜式寫(xiě)出切線方程.【詳解】由題意得.故切線方程為y﹣1=x﹣1,即x﹣y=0.故答案為:x﹣y=0.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求切線方程的基本方法,利用切點(diǎn)滿(mǎn)足的條件列方程(組)是關(guān)鍵.同時(shí)也考查了學(xué)生的運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題.16、10【解析】
①根據(jù)換底公式計(jì)算即可得解;②根據(jù)同底對(duì)數(shù)加法法則,結(jié)合①的結(jié)果即可求解.【詳解】①由題:,則;②由①可得:.故答案為:①1,②0【點(diǎn)睛】此題考查對(duì)數(shù)的基本運(yùn)算,涉及換底公式和同底對(duì)數(shù)加法運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題目.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)見(jiàn)解析.(1)(-1,0).【解析】試題分析:(1)直接計(jì)算f(x)+f(-1(1)f(x)+f(2x)=|x-a|+|2x-a|,分區(qū)間討論去絕對(duì)值符號(hào)分別解不等式即可.試題解析:(1)證明:函數(shù)f(x)=|x﹣a|,a<2,則f(x)+f(﹣)=|x﹣a|+|﹣﹣a|=|x﹣a|+|+a|≥|(x﹣a)+(+a)|=|x+|=|x|+≥1=1.(1)f(x)+f(1x)=|x﹣a|+|1x﹣a|,a<2.當(dāng)x≤a時(shí),f(x)=a﹣x+a﹣1x=1a﹣3x,則f(x)≥﹣a;當(dāng)a<x<時(shí),f(x)=x﹣a+a﹣1x=﹣x,則﹣<f(x)<﹣a;當(dāng)x時(shí),f(x)=x﹣a+1x﹣a=3x﹣1a,則f(x)≥﹣.則f(x)的值域?yàn)閇﹣,+∞).不等式f(x)+f(1x)<的解集非空,即為>﹣,解得,a>﹣1,由于a<2,則a的取值范圍是(-1,0).考點(diǎn):1.含絕對(duì)值不等式的證明與解法.1.基本不等式.18、(1);(2)見(jiàn)解析【解析】
將函數(shù)解析式化簡(jiǎn)即可求出函數(shù)的最小正周期根據(jù)正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可求出函數(shù)在定義域上的最大值和最小值【詳解】(Ⅰ)由題意得原式的最小正周期為.(Ⅱ),.當(dāng),即時(shí),;當(dāng),即時(shí),.綜上,得時(shí),取得最小值為0;當(dāng)時(shí),取得最大值為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了兩角和與差的余弦公式展開(kāi),輔助角公式,三角函數(shù)的性質(zhì)等,較為綜合,也是??碱}型,需要計(jì)算正確,屬于基礎(chǔ)題19、(1)(2)見(jiàn)解析【解析】
(1)分三種情況去絕對(duì)值,求出最大值與已知最大值相等列式可解得;(2)將所證不等式轉(zhuǎn)化為2ab≥1,再構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性求出最小值可證.【詳解】(1)∵,∴.∴當(dāng)時(shí),取得最大值.∴.(2)由(Ⅰ),得,.∵,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,∴.令,.則在上單調(diào)遞減.∴.∴當(dāng)時(shí),.∴.【點(diǎn)睛】本題考查了絕對(duì)值不等式的解法,屬中檔題.本題主要考查了絕對(duì)值不等式的求解,以及不等式的恒成立問(wèn)題,其中解答中根據(jù)絕對(duì)值的定義,合理去掉絕對(duì)值號(hào),及合理轉(zhuǎn)化恒成立問(wèn)題是解答本題的關(guān)鍵,著重考查分析問(wèn)題和解答問(wèn)題的能力,以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用.20、(1);(2).【解析】
(1)分別取的中點(diǎn)為,易得兩兩垂直,以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系,易得為平面的法向量,只需求出平面的法向量為,再利用計(jì)算即可;(2)求出,利用計(jì)算即可.【詳解】(1)分別取的中點(diǎn)為,連結(jié).因?yàn)椤?,所以?因?yàn)椋?因?yàn)閭?cè)面為等邊三角形,所以又因?yàn)槠矫嫫矫?,平面平面,平面,所以平面,所以?xún)蓛纱怪?以為空間坐標(biāo)系的原點(diǎn),分別以所在直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,因?yàn)?,則,,.設(shè)平面的法向量為,則,即.取,則,所以.又為平面的法向量,設(shè)平面與平面所成的銳二面角的大小為,則,所以平面與平面所成的銳二面角的大小為.(2
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