第6章空間向量與立體幾何章末題型歸納總結

第6章空間向量與立體幾何模塊一：本章知識思維導圖模塊二：典型例題經典題型一：空間向量及其線性運算經典題型二：空間向量的數量積運算經典題型三：空間向量基本定理經典題型四：空間向量運算的坐標表示經典題型五：用空間向量研究平行、垂直問題經典題型六：用空間向量研究異面直線所成角問題經典題型七：用空間向量研究線面角問題經典題型八：用空間向量研究二面角問題經典題型九：用空間向量研究距離問題模塊三：數學思想方法①分類討論思想②轉化與化歸思想③特殊到一般思想模塊一：本章知識思維導圖模塊二：典型例題經典題型一：空間向量及其線性運算例1．（2024·四川瀘州·高二四川省瀘縣第四中學?？计谀┤鐖D，在四面體中，，，，點M在上，且，N為的中點，則（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】.故選：B例2．（2024·遼寧遼陽·高二統(tǒng)考期末）如圖，在三棱柱中，M為的中點，設，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】連接，如下圖所示，因為，，所以，所以．故選：A.例3．（2024·福建莆田·高二仙游一中校聯考期末）如圖，平行六面體中，點在上，點在上，且，，若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，故，，，.故選：A例4．（2024·山東棗莊·高二校聯考階段練習）如圖，在四面體中，點E，F分別是，的中點，點G是線段上靠近點E的一個三等分點，令，，，則（）A． B．C． D．【答案】A【解析】連接，.故選：A.例5．（2024·北京西城·高二北師大二附中?？茧A段練習）如圖，在平行六面體中，若，，則（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】因為，所以.故選：C.經典題型二：空間向量的數量積運算例6．（2024·廣東廣州·高二統(tǒng)考期末）正四面體的棱長為2，設，，，則.【答案】【解析】在正四面體中，，又，，，所以.故答案為：例7．（2024·重慶黔江·高二重慶市黔江中學校?？茧A段練習）向量，向量在向量上的投影向量坐標是.【答案】【解析】向量在向量上的投影向量坐標為：.故答案為：.例8．（2024·湖南張家界·高二張家界市民族中學校考階段練習）已知正四面體的棱長為2，點，分別是，的中點，則的值為．【答案】【解析】由題設，，所以.故答案為：例9．（2024·內蒙古呼倫貝爾·高二?？茧A段練習）若，則【答案】【解析】因為，所以，，所以.故答案為：例10．（2024·高二課時練習）若是一個單位正交基底，且向量，，．【答案】【解析】由是一個單位正交基底，則，故答案為：經典題型三：空間向量基本定理例11．（2024·山東·高二統(tǒng)考期末）已知空間向量，，，下列命題中正確的（

）A．若向量，共線，則向量，所在的直線平行B．若向量，所在的直線為異面直線，則向量，一定不共面C．若存在不全為0的實數使得，則，，共面D．對于空間的任意一個向量，總存在實數使得【答案】C【解析】對于A選項：由于與共線，則，所在的直線也可能重合，故A不正確；對于B選項：根據自由向量的意義知，空間任意兩向量，都共面，故B不正確；對于C選項：因為存在不全為0的實數，使得,不妨設，則，由共面向量定理知，，一定共面，故C正確；對于D選項：只有當，，不共面時,空間中任意向量才能表示為.故D不正確.故選：C例12．（2024·貴州·高二校聯考階段練習）如圖，在三棱柱中，為空間一點，且滿足，，則下列說法錯誤的是（）A．當時，點在棱上B．當時，點在線段上C．當時，點在棱上D．當時，點在線段上【答案】B【解析】對于，當時，，，所以，則點在棱上，故正確；對于，當時，，，即，即所以點在線段上，故錯誤；對于，當時，，，所以，所以，即，所以點在棱上，故正確；對于，當時，所以，，所以，即，即，所以點在線段上，故正確．故選：．例13．（2024·河北保定·高二河北定興第三中學校聯考期末）如圖，在平行六面體中，為的中點，點滿足．若四點在同一個平面上，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由平行六面體的特征可得設，則，可得，又由四點共面可得存在實數，使所以，所以，解得.故選：B.例14．（2024·山東·高二校聯考階段練習）如圖，空間四邊形中，，，，且任意兩個之間的夾角均為，，，則（

）A． B． C． D．2【答案】A【解析】由題意得，而，，，則.故選：A.例15．（2024·廣東深圳·高二深圳第三高中?？计谀┰谄叫辛骟w中，若，則（

）A． B．1 C．2 D．【答案】A【解析】在平行六面體中，，而不共面，且，因此，所以.故選：A經典題型四：空間向量運算的坐標表示例16．（2024·新疆喀什·高二統(tǒng)考期末）已知空間向量，且，則.【答案】【解析】由，故，解得.故答案為：.例17．（2024·四川達州·高二?？茧A段練習），若，則實數值為.【答案】2【解析】，則，又，則，解得.故答案為：2例18．（2024·廣東珠?！じ叨？茧A段練習）已知向量，，，若向量與所成角為銳角，則實數的范圍是.【答案】【解析】由向量，，可得，因為，可得，解得，所以，所以與，又因為向量與所成角為銳角，所以，解得，若向量與共線，則，解得，所以實數的范圍是.故答案為：.例19．（2024·湖南衡陽·高二?？计谀┮阎蛄?，，且與平行，則.【答案】/【解析】，，因為與平行，所以當時，，解得；當時，，.綜上，.故答案為：例20．（2024·廣東惠州·高二?？茧A段練習）已知點.若點在平面內，則x=.【答案】2【解析】，因為點在平面，所以存在使得，即，故，解得.故答案為：.例21．（2024·河南鄭州·高二鄭州市宇華實驗學校?？茧A段練習）若向量共面，則．【答案】/【解析】由于共面，可設，即，可得，解得；故答案為：．例22．（2024·貴州·高二統(tǒng)考階段練習）已知向量，則在上的投影向量的模為.【答案】/【解析】因為，所以，所以在方向上的投影向量的模為.故答案為：.例23．（2024·山西太原·高二統(tǒng)考期末）已知，則向量與的夾角為．【答案】【解析】，則為銳角，所以.故答案為：例24．（2024·北京通州·高二統(tǒng)考期末）在空間直角坐標系中，已知，，.則與的夾角的余弦值為；在的投影向量.【答案】/0.5【解析】因為，，，所以，，所以，在的投影向量為.故答案為：；.經典題型五：用空間向量研究平行、垂直問題例25．（多選題）（2024·山東日照·高二山東省日照實驗高級中學?？茧A段練習）已知直線l的一個方向向量為，平面的一個法向量為，則（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】AD【解析】直線l的一個方向向量為，平面的一個法向量為，當時，則有，因此，即，A正確，C錯誤；當時，則有，因此，則，B錯誤，D正確.故選：AD例26．（多選題）（2024·云南曲靖·高二?？计谀┰O直線的方向向量分別為，平面的法向量分別為，則下列命題正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則，使得 D．若，則【答案】ACD【解析】對于A，若，則，所以，故A正確；對于B，若，則，故B錯誤；對于C，若，則，所以則，使得，故C正確；對于D，若，則，故D正確.故選：ACD.例27．（2024·安徽淮北·高二淮北市第十二中學校考期末）如圖，在正方體中，，分別是，的中點．(1)求證：平面；(2)求證：【解析】（1）如圖建立空間直角坐標系，不妨設正方體的棱長為，則，，，，，所以，，因為平面，所以為平面的一個法向量，又，即，又平面，所以平面.（2）由（1）知，所以，所以.例28．（2024·廣東江門·高二臺山市華僑中學?？计谀╅L方體中，，.點為中點.(1)求證：平面；(2)求證：平面.【解析】（1）因為是長方體，所以平面，而平面，所以，又因為，所以側面是正方形，因此，因為平面，所以平面；（2）建立如圖所示的空間直角坐標系，，，設平面的法向量為，則有，因為，所以有平面.例29．（2024·江西·高二校聯考階段練習）如圖，正四棱錐的高為6，，且M是棱上更靠近C的三等分點.(1)證明：；(2)若在棱上存在一點N，使得平面，求的長度.【解析】（1）如圖，連接，交于點，連接.底面是正方形，，，，，，平面.平面.平面，.（2）以O為原點，，，所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，.，，，.設平面的法向量為.則取，則，，得.設，，則.平面，，得.故.例30．（2024·廣東清遠·高二校聯考期末）如圖所示，在底面是矩形的四棱錐中，底面分別是的中點，.(1)求兩點間的距離；(2)求證：平面；(3)求證：平面平面.【解析】（1）由題可知，底面，，以為原點，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，即兩點間的距離為.（2）由（1）知，，所以，即，即，又平面平面，所以平面.（3）由（2）知，，，，所以，，則，即，又，且平面，所以平面，又平面，所以平面平面.經典題型六：用空間向量研究異面直線所成角問題例31．（2024·四川遂寧·高二射洪中學?？茧A段練習）如圖，在正四棱柱中，，是棱上任意一點．(1)求證：；(2)若是棱的中點，求異面直線與所成角的余弦值．【解析】（1）證明：以為原點，，，所在直線分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標系，如圖所示；因為，所以，，，，所以，所以.（2）是棱的中點，故，則，設異面直線與所成角的大小為，則，故異面直線與所成角的余弦值為.例32．（2024·黑龍江佳木斯·高二?？计谀┤鐖D，正方體的棱長為1，線段上有兩個動點，且.’(1)求證:(2)求三棱錐的體積(3)求異面直線所成的角的最小值.【解析】（1）連接，因為四邊形為正方形，所以，又因為面，面，所以，又因為，平面，平面，所以平面，而平面，（2）由（1）得到平面的距離為，，三棱錐的體積為12.（3）如圖，以為坐標原點，所在直線為軸，建立空間直角坐標系，設，則，，，，，，設異面直線所成的角為，則當時，取得最大值，又，的最小值為.例33．（2024·新疆喀什·高二校考期末）已知棱長為2的正方體，點M、N分別是和的中點，建立如圖所示的空間直角坐標系.(1)寫出圖中、、M、N的坐標.(2)求直線AM與NC所成角的余弦值.【解析】（1）因為正方體的邊長為2，且點M、N分別是和的中點，由題得、、、.（2）易知，，所以，，設直線AM與NC所成角為，則，所以直線AM與NC所成角的余弦值為.例34．（2024·廣東惠州·高二?？计谀┤鐖D，四棱錐SABCD中，SD⊥AD，SD⊥CD，E，F分別是SC，SA的中點，O是底面正方形ABCD的中心，AB=SD=4.(1)求證：EO平面SAD；(2)求異面直線EO與BF所成角的余弦值.【解析】（1）因為底面是正方形，所以為中點，又為中點，所以.又平面，平面，所以：平面.（2）因為，，且底面為正方形，所以、、兩兩垂直，以為原點，為軸，為軸，為軸建立如圖空間直角坐標系.則，，，所以：，，，，，所以異面直線與所成角的余弦為.經典題型七：用空間向量研究線面角問題例35．（2024·廣東廣州·高二統(tǒng)考期末）如圖，在正方體中，E，F，G分別為，，的中點．(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的余弦值．【解析】（1）由題意正方體的三條棱兩兩互相垂直，故以為原點，所在直線分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標系：不妨設正方體棱長為2，且E，F，G分別為，，的中點，則，，從而，即，又因為平面，所以平面.（2）不妨設直線與平面所成角為，由（1）可知平面，故取平面的法向量為，又因為，所以直線與平面所成角的正弦值為，從而直線與平面所成角的余弦值為.例36．（2024·陜西西安·高二高新一中?？茧A段練習）如圖，三棱柱的底面是邊長為2的等邊三角形，平面平面ABC，．(1)過作出三棱柱的一個截面，使AB與截面垂直，并給出證明；(2)求與平面所成角的正弦值．【解析】（1）如圖，設AB的中點為O，連接，則截面即為所求．因為為正三角形，，所以分別為的中線，所以，又，平面，所以平面．（2）因為平面平面ABC，平面平面，平面，,所以平面ABC，又平面ABC，所以，故兩兩垂直，如圖，以O為坐標原點，分別為x，y，z軸的正方向，建立坐標系，則，設，則，得，，設平面的一個法向量為，則，令，得，即，所以，即與平面所成角的正弦值為．例37．（2024·云南昆明·高二云南師大附中?？茧A段練習）在四棱錐中，底面為梯形，，，，平面．(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值．【解析】（1）因為，，所以，因為平面，平面，所以，因為，平面ABE，所以平面．（2）因為平面，平面，所以，，又因為，所以兩兩互相垂直，以B為坐標原點，，，的方向分別為x，y，z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標系，由，，，可得，則，，，，，所以，，所以直線的一個方向向量為，設平面的法向量為，則，不妨取，則，，，設直線與平面所成角為，則，所以直線AE與平面AFC所成角的正弦值為．例38．（2024·陜西西安·高二?？计谀┤鐖D所示的四棱錐的底面是一個等腰梯形，，且，是的中線，點是棱的中點.(1)證明：平面.(2)若平面平面，且，，求直線與平面所成角的正弦值.【解析】（1）證明：連接，，由，分別棱、的中點，則，平面，平面，則平面，又，且，，且，四邊形是平行四邊形，則，平面，平面，則平面，又，可得平面平面，又平面，平面．（2）由，知，又平面平面，平面平面，平面，平面，取的中點為，連接，，由，且，四邊形為平行四邊形，，為等邊三角形，，以為坐標原點，的方向分別為軸，軸，軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標系，由題意得，，,,，,,，,1,，,2,，,0,，,2,，,1,，，設平面的法向量為,,，則，令，得,,，設直線與平面所成角為，則直線與平面所成角的正弦值為：．經典題型八：用空間向量研究二面角問題例39．（2024·湖南長沙·高二雅禮中學?？茧A段練習）如圖，圓柱底面直徑長為4，是圓上一點，且點為圓弧中點.(1)求證：平面平面；(2)若該圓柱的體積為，求平面與平面夾角的余弦值.【解析】（1）連接，由為底面直徑且為圓弧中點，故有,又圓柱中底面，平面，故，又、平面，，故平面，又平面，故平面平面；（2）取圓弧中點，連接，有底面，且、平面，故、，又，故、、兩兩垂直，由，故，圓柱體積，即有，即，以為原點，建立如圖所示空間直角坐標系，則有、、，則、，設平面的法向量為，則有，取，故，由底面，平面，故，又，且、平面，，故平面，即軸平面，故平面的法向量可取，則，故平面與平面夾角的余弦值.例40．（2024·河南省直轄縣級單位·高二河南省濟源第一中學?？茧A段練習）如圖，在矩形中，，，為的中點，將沿折起，使點到點處，平面平面.(1)證明：平面平面；(2)求二面角的余弦值.【解析】（1）由，，得，得，即，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，故，又，，平面，所以平面，而平面，所以平面平面；（2）取中點O，連接，則，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，以O為原點，，，方向分別為x，y，z軸的正方向，建立空間直角坐標系，如圖，則，，，，設平面的法向量為，由，，則，即，取，則，設平面的法向量為，由，，則，即，取，則，故.故二面角的余弦值為.例41．（2024·四川成都·高二石室中學?？计谀┮阎忮F中，，，，.(1)求點到平面的距離；(2)求平面與平面夾角的正弦值.【解析】（1）取中點，連接，，在和中，，，，可得，則，所以，因為，且，平面，所以平面，在平面中，過點作，交延長線于點，連接，，，因為平面，且平面，所以，又，平面，所以平面，即為點到平面的距離，在中，，，由余弦定理可得，則，在中，，在中，，在中，，則，解得，則，即，所以點到平面的距離為.（2）由（1）知，所以四邊形是平行四邊形，又，所以四邊形是正方形，以A為原點，為軸，為軸，如圖建立空間直角坐標系，則，，，，可得，，，，設平面的法向量為，則，令，則，，即，設平面的法向量為，則，令，則，，即，設平面與平面的夾角，則，可得，，所以平面與平面的夾角的正弦值.例42．（2024·河南·高二伊川縣第一高中校聯考階段練習）如圖，在四棱錐中，底面ABCD為梯形，，.(1)求點到平面ABCD的距離；(2)在棱上是否存在點，使得平面DBF與平面PBC夾角的余弦值為？若存在，求出點的位置；若不存在，請說明理由.【解析】（1）由題設，知，所以.又，所以為等邊三角形，所以.在中，，所以.即，則.所以，即，又，且平面，所以平面.因為平面，所以平面平面.如圖1，設為的中點，連接，因為，所以.又因為平面平面，平面.所以平面，所以即為點到平面的距離.在中，，所以.即點到平面的距離為.（2）如圖2，連接OC，則，且平面ABCD，所以，所以PO，BD，OC兩兩互相垂直.以O為原點，OB，OC，OP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系Oxyz.則，所以.若上存在點滿足題意，不妨設，則，所以.設是平面的法向量，則，解得，不妨取，則平面的一個法向量為.同理，設是平面的法向量，則，解得，不妨取，則，所以平面的一個法向量為，所以，化簡整理得，解得或.即或.故在的三等分點處存在點，可使得平面與平面夾角的余弦值為.例43．（2024·廣東東莞·高二?？茧A段練習）已知三棱錐（如圖一）的平面展開圖（如圖二）中，四邊形為邊長等于的正方形，和均為正三角形，在三棱錐中：(1)證明：平面平面；(2)若點M在棱上運動，當直線與平面所成的角最大時，求平面與平面所成銳二面角的余弦值．【解析】（1）取的中點，連接，，依題意，，，，則，即有，顯然有，而平面，平面，于是平面，又平面，所以平面平面.（2）由（1）知，，，，則平面，即為直線與平面所成的角，且，因此當最短時，最大，最大，而，則為的中點，以為坐標原點，直線分別為軸，建立空間直角坐標系，則，，，，，，，，；設平面的法向量為，則，令，得，顯然平面的法向量為，設平面與平面所成銳二面角為，則，所以平面與平面所成銳二面角的余弦值為.經典題型九：用空間向量研究距離問題

55．（2024·河南·高二校聯考階段練習）如圖，在棱長為4的正方體中，點在棱上，且.(1)求平面與平面夾角的余弦值；(2)若點在棱上，且到平面的距離為，求到直線的距離.【解析】（1）以為原點，，，所在的直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，.設平面的一個法向量為，則取，則，，得，因為平面，所以平面的一個法向量為，則平面與平面的夾角的余弦值為.（2）設，，則.由（1）可知平面的法向量為，則到平面的距離為，解得或（舍去），即.因為，，所以到直線的距離為.例44．（2024·陜西寶雞·高二陜西省寶雞市長嶺中學?？茧A段練習）如圖，直四棱柱的高為3，底面是邊長為4且的菱形，，，是的中點．(1)求二面角的大??；(2)求點到平面的距離．【解析】（1）若為的中點，連接，底面是邊長為4且的菱形，所以且，構建如下圖空間直角坐標系，則，故，若面的一個法向量為，則，令，則，又面的一個法向量為，若銳二面角的大小為，則，所以.（2）由（1）知：，則，故，且面的一個法向量為，所以點到平面的距離.例45．（2024·全國·高二專題練習）設正方體的棱長為2，求：(1)求直線到平面的距離；(2)求平面與平面間的距離.【解析】（1）以D為原點，為x，y，z軸，建立如圖所示空間直角坐標系，則所以，所以，即，又平面，平面，所以平面，所以直線到平面的距離等于點到平面的距離．設平面的一個法向量為，則，令，則，又，所以點到平面的距離.（2）由（1）知平面，同理，平面，又，平面，所以平面平面，即平面與平面間的距離等于點到平面的距離．由（1）知，點到平面的距離.所以平面與平面間的距離為.例46．（2024·遼寧葫蘆島·高二校聯考期末）如圖，在棱長為2的正方體中，E，F分別是，的中點．(1)求到直線的距離；(2)求到平面的距離．【解析】（1）以為原點，，，所在的直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，，所以到直線的距離為（2）由（1）得，，設平面的法向量為，則取，則，，得，所以到平面的距離為例47．（2024·天津南開·高二天津市天津中學?？茧A段練習）在三棱臺中，若平面，分別為中點．(1)求證：平面；(2)求平面與平面所成角的余弦值；(3)求點到平面的距離；(4)求點到直線的距離．【解析】（1）連接，因為分別為中點，所以且，又因且，所以且，所以四邊形是平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面；（2）如圖，以點為原點建立空間直角坐標系，則，故，設平面的法向量為，則有，可取，因為軸垂直平面，則可取平面的法向量為，則，所以平面與平面所成角的余弦值為；（3），則，則點到平面的距離為；（4），則，故，所以點到直線的距離為．模塊三：數學思想方法①分類討論思想例48．（2024·浙江·高二校聯考開學考試）已知長方體中，，，用過該長方體體對角線的平面去截該長方體，則所得截面的面積最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】假設截面為，易知截面為平行四邊形，過點作，垂足為，則截面面積，因為為定值，所以只要最小，當F在BC上（不含兩端點）時，如圖所示建立空間直角坐標系，則為異面直線和的公垂線時，EF最小，易知異面直線和的距離即到平面的距離，，設面的法向量為，則，則，令，則，即，所以BC到面的距離為；當F在上（不含兩端點）時，如圖所示，此時為和的公垂線時，最?。峡傻煤偷墓咕€長為；當F在上（不含兩端點）時，如圖所示，此時EF為和的公垂線，最?。峡傻煤偷墓咕€長為；故，此時，易得特殊截面，，，比較所得.故選：C.例49．（2024·高二課時練習）已知平面與平面成角，，則C與D之間的距離是（

）A． B．C．或 D．或【答案】D【解析】由題意可得是面的法向量，設與平面所成角為，如圖所示，則或，易知，若，則上式化為，若，則上式化為，即D正確.故選：D例50．（2024·浙江·校聯考三模）在正方體中，平面經過點B、D，平面經過點A、，當平面分別截正方體所得截面面積最大時，平面所成的銳二面角大小為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】平面經過點B、D且截正方體所得截面面積最大時，平面與面重合，證明：設平面與面所成的二面角為，二面角為，當時，記平面截正方體所得截面為面，，則，令，因為，所以，當時，顯然平面截正方體所得截面面積最大時，截面為面，當時，平面截正方體所得截面為，所以平面截正方體所得截面面積最大時截面為面，同理平面過時，截正方體所得截面面積最大時截面為面，連接，面與面所成銳二面角為，因為面面，所以的所成角大小為二面角大小，因為，所以面與面所成銳二面角大小為.故選：C．②轉化與化歸思想例51．（2024·寧夏銀川·高二賀蘭縣第一中學校聯考期末）在三棱錐中，為的中點，若，則（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由題意得為中點，所以，又因為，所以，所以，故A項正確.故選：A.例52．（20