2023-2024學(xué)年上海市天虹區(qū)高二年級上冊期末數(shù)學(xué)模擬試題（含答案）

2023-2024學(xué)年上海市天虹區(qū)高二上冊期末數(shù)學(xué)模擬試題

一、填空題

1.直線2x-my-3m=0,當(dāng)機(jī)變動(dòng)時(shí)，所有直線都通過定點(diǎn).

【正確答案】(0,-3)

(χ=Q

【分析】化直線方程為2x-My+3)=0,解方程組(y+3=0即可得出答案.

【詳解】將直線方程2x-,孫—3M=0化為2x-m(y+3)=().

X=OX=O

解可得

y+3=0J=-3'

所以，當(dāng)初變動(dòng)時(shí)，所有直線都通過定點(diǎn)(0,-3).

故答案為.(0,-3)

2.已知直線4：x-2y+3=0,l2;x+ay+i=O,若則實(shí)數(shù)〃的值為.

【正確答案】I##0.5

【分析】直接根據(jù)直線垂直得到Ixl-2α=O,解得答案.

【詳解】Z1Il2,則Ixl-2α=0,解得〃=

故；

3.記S,為等差數(shù)列｛q｝的前"項(xiàng)和.若4+%=20,S5=35,則｛α,,｝的公差為.

【正確答案】6

%%=2q+5d=20

【分析】由題意可得。U5×4,解方程組即可求出答案.

S=5a+------Jj=35

、5t2

【詳解】設(shè)｛4｝公差為d?

%+%=2α∣+54=20

4=-5

由已知可得，U5x4,”，解得

??=5α∣H—~~~Cl=35d=6

故答案為.6

4.設(shè)S“是等差數(shù)列｛4｝的前"項(xiàng)和，若應(yīng)：。3=1：2,則S9d5=.

9

【正確答案】9:10##—

【分析】利用等差數(shù)列的求和公式以及等差中項(xiàng)性質(zhì)可求得S,：S,的值.

9(4+%)

【詳解】由等差數(shù)列的求和公式可得會(huì)=</2等=：

S55(α∣+%)5?10

2

故答案為.9:1()

5.直線/：2x-y+5=0與圓C：x?+(y-5)?=18交于A,8兩點(diǎn)，則IABI=.

【正確答案】6√2

【分析】由已知得出圓心、半徑.又可得圓心到直線/的距離"=(),即直線/過圓心，即可得

出弦長∣AB∣.

【詳解】由已知可得，圓心C(0,5),半徑r=M=3√L

∣2×0-5+5∣

圓心C(0,5)到直線/的距離”=匯+.==0，

所以直線/過圓心，

所以IABl=2r=60.

故答案為.6夜

6.數(shù)列｛。.｝的首項(xiàng)4=2,且。向=44+6(〃為正整數(shù))，令2=logz(α,,+2),則

1+%+-+%23=

2023----------

【正確答案】2024

【分析】由已知變形可得4M+2=4(Q+2),可知數(shù)列｛%+2｝是首項(xiàng)為4,公比也為4的等

比數(shù)列，可求出｛4+2｝的通項(xiàng)公式，進(jìn)而可得出數(shù)列｛〃,｝的通項(xiàng)公式，利用等差數(shù)列的求

和公式可求得所求代數(shù)式的值.

【詳解】因?yàn)閿?shù)列｛4｝的首項(xiàng)4=2,且。田=4〃“+6(〃為正整數(shù))，則α向+2=4(α,,+2),

且4+2=4,所以數(shù)列｛4+2｝是首項(xiàng)為4,公比也為4的等比數(shù)列，故α),+2=4",

所以，bn=Iog2(a,,+2)=Iog22-"=2/1,貝IJdM-2=2("+l)-2"=2,

2023×(2+2×2023)

所以，數(shù)列也｝為等差數(shù)列，故4+4++優(yōu)必3_2

2023~2023—

故答案為.2024

22

7.已知雙曲線￡-方=1(〃>08>0)的一條漸近線平行于直線/：y=2x+10,雙曲線的一

個(gè)焦點(diǎn)在直線/上，則雙曲線的方程為.

【正確答案】-2-^=ι

520

根據(jù)漸近線與直線/的平行關(guān)系確定出。方的關(guān)系，再根據(jù)焦點(diǎn)在/上確定出C的值，結(jié)合

“2+U=C?計(jì)算出“2即可得到雙曲線的方程.

【詳解】因?yàn)橐粭l漸近線與y=2x+10平行，所以2=2,

22

又因?yàn)殡p曲線方=l(α>0*>0)的焦點(diǎn)為(±c,0),且直線/過點(diǎn)(—5,0),

所以c=5,

~?b=2a?[a2=5

m?V+?2=c2=25,所以。=20，

所以雙曲線的方程為」1片=1

520

故答案為，-??l

520

本題考查根據(jù)直線的平行關(guān)系求解參數(shù)、根據(jù)。為,c的值求解雙曲線的方程，難度一般.當(dāng)直

線過標(biāo)準(zhǔn)形式橢圓或者雙曲線的焦點(diǎn)時(shí)，此時(shí)焦點(diǎn)一定為直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn).

8.已知數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S“，且｛α,,｝不是常數(shù)列，則以下命題正確的是.

①若數(shù)列｛《,｝為等差數(shù)列，則｛4｝為等比數(shù)列；

②若數(shù)列也｝為等差數(shù)列，S,,>0恒成立，則｛%｝是嚴(yán)格增數(shù)列；

③若數(shù)列｛叫為等比數(shù)列，則S202i-a2023>0恒成立；

④若數(shù)列｛4｝為等差數(shù)列，4>0,S『S“,則S,,的最大值在附為8或9時(shí)取到.

【正確答案】①②③④

【分析】定義法求出空=2",即可說明①；反證法，證明“<0不成立，即可說明②；

2a-

1_?2023

S2O23?%>23=Yq2"”?一一成立?分別求出當(dāng)4>1、0<4<1、4<0時(shí)，該式的符號，即可

判斷③；根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可得，%=0,進(jìn)而結(jié)合已知可得d<0?即可得出。.的符號,

進(jìn)而判斷④.

【詳解】對于①，設(shè)｛4｝公差為d,則“用一6

則咎=2…=2〃是個(gè)常數(shù)，所以｛2"”｝為等比數(shù)列，故①正確；

對于②，設(shè)d<0,顯然有G>0.

則當(dāng)“≥3+ι時(shí)，W?-1≥-

dd

n-?√j≤∏{a+?×^^a'×d?=0,

有S“=+a.+---i

212

與已知Szi>0恒成立，矛盾,

所以，假設(shè)不成立，所以d>0.

所以｛4｝是嚴(yán)格增數(shù)列，故②正確;

對于③，設(shè)數(shù)列｛%｝公比為4,則由已知可得q工0,?≠1.

aJl-∕023]1_zy2023

-

斫l'JC"一IL"Jz,xι2O22_x,2xf2O22??

所一人?23,42023一?QIq一％q\

?-q?-q

1_2023

當(dāng)q>l時(shí)，q202i>1,所以q2∕t≡.丁>0；

ι-q

1_2023

當(dāng)0<4<l時(shí)，q2a13<1,所以。；產(chǎn)2.—>0；

1-4

1_/023

當(dāng)q<0時(shí)，∕O23<0<[,所以aQ2O22.3->o

ι-q

綜上可得，3?%>23>°恒成立，故③正確;

SM2

對于④，由Sc=Su可得，a1+as+av+atn+atl≈5av=0,所以<?=0.

又q>0,所以d<0.

且當(dāng)1≤“≤8時(shí)，?>0；當(dāng)”力0時(shí)，απ<0.

所以，S“的最大值在“為8或9時(shí)取到，故④正確.

故①@③④.

9.已知圓C：(x+2)2+√≈=25上一動(dòng)點(diǎn)點(diǎn)8(2,0),線段的中垂線交直線MC于點(diǎn)

P(X,y)(x≥0),且點(diǎn)尸到y(tǒng)軸的距離是歸耳-2,則網(wǎng)=.

【正確答案】?41##2白5

1oIo

【分析】根據(jù)∣ps∣+∣pq=5>4確定P的軌跡為橢圓的右半部分，根據(jù)條件聯(lián)立方程組得到

χ=[,再計(jì)算長度得到答案.

1O

【詳解】圓C：(x+2)2+y=25,圓心為c(—2,0),半徑R=5,

如圖所示：連接BP,則IPBI=IpMI，∣P回+1Pq=IPM+1PCl=Ia∕∣=5>4,

故P的軌跡為橢圓的右半部分，橢圓方程為：竺1+竺1=1,(x≥0),

259

點(diǎn)尸到y(tǒng)軸的距離是IPB卜2,則W=J(X-2,+V一2,且葛+-=1,

解得X=《，(舍去負(fù)值),故網(wǎng)=2+??=襄

10IoIo

10.數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式為%=[1幅同(〃為正整數(shù))，其中國表示不超過X的最大整數(shù)，

則q+/+4+…+α≡3=.

【正確答案】18194

【分析】當(dāng)"ep,時(shí)，?=[log2n]=?,kwN,每組共有2*個(gè)，代入數(shù)據(jù)利用錯(cuò)位相

減計(jì)算得到答案.

【詳解】當(dāng)〃e[2",2'")時(shí)，?≤log2n<?+l,?=[log2?]=A:,&eN,

每組共有2⑷-2*=2*個(gè),2lo<2O23<2".2"-2023-1=24,

故a1+4,+6+…+0,tp3=0xl+lx2+2x2~+3x2'++9x2'+10x（2'。-24）

?5=0×l+l×2+2×22+3×23++9×29+10×2l°,

則2S=0*2+1X22+2X23+3X24++9×2IO+1O×2",

相減得到：-S=2+22++2,°-10×2".整理得至∣JS=9x2"+2,

故α∣+ɑ?+α*H----1-Λ2O23=9X2"÷2—240=18194.

故18194

11.已知《、人分別為雙曲線，?-g?=l(α>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)，過人的直線與雙曲線

的右支交于A、B兩點(diǎn)，記百鳥的內(nèi)切圓半徑為4,ZXBE月的內(nèi)切圓半徑為4，“6鳥與

△84鳥的內(nèi)切圓圓心均在直線X=“上，且44≤3∕,則此雙曲線離心率的取值范圍為

【正確答案】(1,百+1]

【分析】設(shè)圓。I切4片、A以、4用分別于點(diǎn)M、N、G,推導(dǎo)出^O∣G用S?α,可

得出/^=(c-α)2,可得出關(guān)于c、。的不等式，即可求得該雙曲線離心率的取值范圍.

【詳解】設(shè)△△片鳥、月鳥的內(nèi)切圓圓心分別為O2,

設(shè)圓O∣切AK、AF2y尸內(nèi)分別于點(diǎn)M、N、G,

過行的直線與雙曲線的右支交于A、8兩點(diǎn)，

由切線長定理可得∣4Wl=I⑷v∣,I耳Ml=I耳G∣,內(nèi)q=∣取V∣,

所以，I+16聞TAFjI=(14V∣+EM)+(忻G∣+舊G|)_(IAMl+11M)

=醫(yī)M+內(nèi)G∣=2內(nèi)q=2c-2α,則內(nèi)GI=I,所以點(diǎn)G的橫坐標(biāo)為c-(c-α)=α.

故點(diǎn)。1的橫坐標(biāo)也為“，同理可知點(diǎn)。2的橫坐標(biāo)為。，故。。21X軸，

故圓01和圓。2均與X軸相切于G(4,0),圓01和圓。2兩圓外切.

在aO02名中，ZOiF2O2=ZO1F2G+ZO2F2G=^AAF2Fy+ΛBF2Fl)=90,O1O2?F2G,

NGoIF2=NF0R，NqG且=NqGO2=90,所以，叢O'GFy,

所以，陶=耨，則I。用=|。聞。自|,

所以后Gf=IaEfTaG「=|QGHaO卜mG∣2=∣OQ∣?∣QG∣,

即(c-α)2=4w,所以，(c-α)2≤3/,可得c-α≤?，可得c≤(G+l)”,貝IJ

a<c≤(G+1,,

因此，e=—eɑ,?/?+1J.

故答案為?(1,6+1]

12.已知集合A={x∣x=2"-l,"eN"},8={x∣x=2","∈N*}.將AUB的所有元素從小到大

依次排列構(gòu)成一個(gè)數(shù)列{4}.記B,為數(shù)列{%}的前〃項(xiàng)和，則使得S“>?6an+l成立的〃的最小

值為.

【正確答案】36

【分析】先根據(jù)等差數(shù)列以及等比數(shù)列的求和公式確定滿足條件的項(xiàng)數(shù)的取值范圍，再列不

等式求滿足條件的項(xiàng)數(shù)的最小值.

【詳解】設(shè)”,,=2",AWN貝∣JS,,=[(2xl-l)+(2x2-l)++(2-2^-l)]+(2+22++2A)

_2*T(1+2X2J)+2(1-*_2,.2+2t+1_2

21-2

2i2t+

由S“>16a,l+1得2-+2'-2>l6(2*+1),化簡得，

(2*-')2-28×(2*^1)-18>O,解得：2i^l<14-√214<0(舍去)或2"∣>14+√^TL

X?∈N*,fi28<14+√2U<29,所以左一1≥5,所以k≥6.

所以只需研究才<為<2$是否有滿足條件的解，

2525+,

此時(shí)Szι=[(2×l-l)+(2×2-1)++(2∕n-l)]+(2÷2++2)=m+2-2=∕√÷62.

①當(dāng)%=63時(shí),?！?]=64.由%=26-1=63可知％=32,則=322+62>16x64=16%滿

足；

②當(dāng)31<63時(shí)，αe=2w+l,，"為等差數(shù)列項(xiàng)數(shù)，且加>16.

由評+62>16?(2根+1),即1一32〃?+46>0,解得m>16+同L

因?yàn)?ieN*,且30<16+同J<31,所以加≥31,所以〃=w+5≥36

得滿足條件的”最小值為36.

綜上所述，使得S“>16?+1成立的n的最小值為36.

故答案為.36

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：設(shè)％=23先由己知求出Z的范圍，進(jìn)而得出凡的范圍，進(jìn)而求解即可.

二、單選題

13.無窮等比數(shù)列4,一2,1,-g,…的各項(xiàng)和為()

A.—B.—C.7D.

33

【正確答案】A

【分析】確定4=4,q=-；,則斗=g_號.(」[,再求極限得到答案.

【詳解】等比數(shù)列4=4,q=-g88(1]

3~3{2)

Q8

故無窮等比數(shù)列的各項(xiàng)和為IimSn=Iim|

∕j→+∞n->+∞§l?H)3

故選：A

14.設(shè)｛%｝是首項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列,公比為d則“4<0”是“對任意的正整數(shù)

”,4,ι+%“<0”的

A.充要條件B.充分而不必要條件

C.必要而不充分條件D.既不充分也不必要條件

【正確答案】C

【詳解】試題分析：由題意得，

%,I+<O=4(產(chǎn)2+產(chǎn))<O=U+1)<O=g∈(-∞,-l),故是必要不充分條件，

故選C.

充要關(guān)系

【名師點(diǎn)睛】充分、必要條件的三種判斷方法：

①定義法：直接判斷“若P則q”、“若q則p”的真假.并注意和圖示相結(jié)合，例如“pnq”為真,

則P是q的充分條件.

②等價(jià)法：利用p=>q與非q=非p,qnp與非P=非q,puq與非qTEp的等價(jià)關(guān)系，對于

條件或結(jié)論是否定式的命題，一般運(yùn)用等價(jià)法.

③集合法：若AUB,則A是B的充分條件或B是A的必要條件；若A=B,則A是B的

充要條件.

222221,

15.兩個(gè)圓G：X+y+2ax+a-4=0(a∈R)-?C2：x+y-2by-l+b=0(?∈R)∣∏??Ξ

條公切線，則a+b的最大值為()

A.3√2B.-3√2C.6D.—6

【正確答案】A

【分析】將圓G與圓c2的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，得出圓心、半徑.由題意可知，兩圓外切，即

CGI=4+4,代入整理可得"+匕2=9,然后根據(jù)基本不等式即得.

【詳解】由已知可得，圓CI的方程可化為(x+α)2+y2=4,圓心為G(-α,θ),半徑4=2；

圓C?的方程可化為d+(y-∕γ=ι,圓心為G(O力)，半徑4=1.

因?yàn)閳AG與圓c2恰有三條公切線，所以兩圓外切.

所以有IClGl=4+4，即=3,所以4^+/=9.

又伍+b)2=α2+b2+2M≤2(/+/)=18,當(dāng)且僅當(dāng)α=b時(shí)，等號成立，

所以-3√Σ≤α+6≤3√L

故選：A.

16.設(shè)等差數(shù)列｛αz,｝的前〃項(xiàng)和為S“，首項(xiàng)4>0,公差d<0,若對任意的正整數(shù)〃，總存

在正整數(shù)4,使S2J=（2A-1）S,,,則"4〃的最小值為（）

A.-74B.-8C.-53D.-13

【正確答案】D

【分析】首先根據(jù)等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式得到處=S“，令w=2,化簡得到4-2=3,又

a

因?yàn)閆WN所以Z=I,得d=~~%,再利用等差數(shù)列前〃項(xiàng)和公式得到

?-4π=Ifn-IlY--,利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到答案.

2（2）8

【詳解】由題意得S2t.,=（2f+*）=QkT電，

則得（2"；>24=Qk-1）S,,,即ak=S11,

令〃=2得4=S2,即01+（左一l）d=201+d①,

即得女一2吟.

因?yàn)槭醉?xiàng)4>0,公差d<0,則得％-2=??<0,即Z<2.

a

又因?yàn)閆∈N*,所以Z=I,代入①得〃=-％.

當(dāng)d=-α∣時(shí)，由4=5“得q-（k-l）α∣=nal

,/-3〃Cg、一，III1CIlY105

bBπ∣Jk---------F2,所以4〃=—2n+2n=-?n-------

222212J8

因此當(dāng)〃=5或〃=6時(shí)，％-4〃的最小值為—13.

故選：D.

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題主要考查等差數(shù)列前〃項(xiàng)和公式，根據(jù)題意化簡得到"=-4,從而得到

女=（"二個(gè)〃-2）+1為解決本題的關(guān)鍵.

三、解答題

17.已知以點(diǎn)cf±∕］（f>0）為圓心的圓與X軸交于點(diǎn)。、A,與y軸交于點(diǎn)0、B,其中O

為原點(diǎn).

（1）求證：0A5的面積為定值；

⑵設(shè)直線y=-2x+4與圓C交于點(diǎn)M、N,若|。M=IoN求圓C的方程.

【正確答案】（1）證明見解析

⑵1-2應(yīng)J+（y-√Σ）2=10

【分析】（1）確定圓方程，根據(jù)方程計(jì)算A?，。＞8（0,2。，再計(jì)算面積得到證明.

（2）確定OCLMN,koc-kMN=-\,根據(jù)斜率公式計(jì)算得到r=夜，得到圓方程.

【詳解】（1）圓方程為（

取N=O時(shí)，X2-=Q,解得X=:或X=0,即A（｝O）;

取X=O時(shí)，y2-2ty=0,解得y=2r或y=0,即3（0,2。；

11Q

‰β=-M?M=-×-×2f=8,得證.

（2）?OM?=?ON?,故。在MV的垂直平分線上，且圓心C在MV的垂直平分線上，

.=_L』=1

OC--

故OC，例N,koc-kMN=-1,7-72.解得f=啦或f=-0（舍）.

t

圓方程為（X-2亞『+（＞-0）2=10

18.已知數(shù)列｛5｝為等差數(shù)列，at+a2=-2,%+%=4,數(shù)列他｝中，點(diǎn)電,（）在直線

y=-→+l±,其中工,是數(shù)列他,｝的前〃項(xiàng)和.

⑴求數(shù)列｛4｝、也｝的通項(xiàng)公式；

⑵若c,=4?bn,求數(shù)列｛?,｝的最大項(xiàng).

52

【正確答案】（1）電=〃一5,?=y

27

【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為d,根據(jù)已知條件可得出關(guān)于％、d的方程組，解出

這兩個(gè)量的值，可求得數(shù)列｛可｝的通項(xiàng)公式，由題意可得(=-ga+l,令〃=1可求得a的

值，當(dāng)“≥2時(shí)，由7；=-；2+1可得7；I=作差可推導(dǎo)出數(shù)列｛包｝為等比數(shù)列，

確定該數(shù)列的首項(xiàng)和公比，可求得數(shù)列｛〃｝的通項(xiàng)公式；

(2)利用數(shù)列單調(diào)性的定義判斷數(shù)列｛%｝的單調(diào)性，可求得數(shù)列｛%｝的最大項(xiàng)的值.

【詳解】(I)解：設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為d,則I；；：；；]：，解得<"=一5,

所以，iz,,=αl+(n-l)i∕=n-∣,

I12

由題意可得+當(dāng)〃=1時(shí)，則有4=-期+1,解得乙=：,

當(dāng)〃22時(shí)，由7>-∕,+l可得a='%+],

上述兩個(gè)等式作差可得"=-g"+g"τ,可得"，

所以，數(shù)列｛"｝為等比數(shù)列，且首項(xiàng)為|,公比為：，故

/八巖"A2/2—5.2(/?+1)—52〃一512-4/7

(2)解：cn=a,,-b,,=-,則------歹=行「?

當(dāng)"≤2時(shí)，cn+∣>C11,即q<C2<C3;

當(dāng)〃=3時(shí)，。3=。4；

當(dāng)“≥4時(shí)，cn+l<cn,即C4>C5>>.

所以，數(shù)列｛?,｝中的最大項(xiàng)為C3=q=∕?

19.某地區(qū)森林原有木材存量為α,且每年增長率為2()%,因生產(chǎn)建設(shè)的需要每年年底要砍

伐的木材量為方，設(shè)““為〃年后該地區(qū)森林木材的存量.

⑴求的表達(dá)式；

(2)如果6=七α,為保護(hù)生態(tài)環(huán)境，經(jīng)過多少年后，木材存儲(chǔ)量能翻一番？

參考數(shù)據(jù)：lg2=0.3010,lg3"0.4771.

【正確答案】⑴?！?(。-5。仁)

+5b

⑵7年

【分析】（1）分析可得4+1=?∣%-b,可得出4+1-5匕=?（。“-58），分a=5b、αw5b兩種

情況討論，結(jié)合等比數(shù)列的定義可求得數(shù)列｛%｝的表達(dá)式;

（2）解不等式可≥2%結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性以及指數(shù)、對數(shù)的互化可求得結(jié)果.

【詳解】（1）解：由題意可知，q=〃，第〃+1年后，=（1+20%”〃一匕=Wa”一人,

所以，‰-5?=^(?-5?),

若a=5b,貝(]4-5〃=0,g[Jan=Sb,

若“≠56,則數(shù)列｛4,,-56｝是首項(xiàng)為α-5b,公比為2的等比數(shù)列,

/1-1

所以，a“-5A=(α-5b)?(g),則a“=(a-5b)dI+5?,

n-?

當(dāng)α=5A時(shí)，《,=5%也滿足%=（。-53｛^|

+5b?

故對任意的〃∈N*,%=(α一5b)?(?∣)+5b.

/J-1

(2)解：當(dāng)〃=可得"=15∕?,貝∣Jq=10∕r(?∣)

+5h,

由4,=106?(1)I+5b≥2α=30Z?可得(B)≥∣,

ig?θ-ig2

所以'm+%N+?i?∣*=1+1-21g2—a6.45,

21g2+lg3-l

Ig2+lg3-lgy

因此，經(jīng)過7年后，木材儲(chǔ)量翻一番.

222

20.已知橢圓C:會(huì)+方=l（a>6>0）和雙曲線］-χ2=l的焦距相同，且橢圓C經(jīng)過點(diǎn)

,橢圓C的左、右頂點(diǎn)分別為A、B,動(dòng)點(diǎn)尸在橢圓C上且異于點(diǎn)A、B,直線"、

BP與直線/:x=-4分別交于點(diǎn)"、N

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)求線段MN長的最小值；

(3)如圖，設(shè)直線/:x=-4與X軸交于點(diǎn)“，過點(diǎn)”作直線交橢圓與E、F,直線EB與E4交

于一點(diǎn)。，證明：點(diǎn)。在一條定直線上.

【正確答案】⑴《+>2=1

4

(2)2√3

(3)證明見解析

【分析】(1)求出橢圓C的焦點(diǎn)坐標(biāo)，利用橢圓定義可求得。的值，進(jìn)一步可求得b的值，

由此可得出橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)計(jì)算得出設(shè)直線AP的方程為x=,"-2,直線BP的方程為X=e"2,

其中町七=T,計(jì)算出點(diǎn)用、N的縱坐標(biāo)，利用基本不等式可求得IMM的最小值；

(3)分析可知直線EF不與X軸重合，設(shè)直線EF的方程為x=B-4,設(shè)點(diǎn)E(x“x)、

F(x2,y2),將直線EF的方程與橢圓C的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，求出直線AF、BE的方

程，將這兩條直線的方程聯(lián)立，求出點(diǎn)。的橫坐標(biāo)，即可證得結(jié)論成立.

【詳解】(1)解：雙曲線上--J=1的焦距為2√ΣXT=26，

2

所以，橢圓C的焦點(diǎn)分別為耳(-"。)、Λ(√3,θ),

由橢圓定義可得2α=J(Λ∕5-?/?+R+j(?/5+?/?+工=4,.?.α=2,b=?∣*-3=1.

因此，橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為L+V=1.

4

(2)解：設(shè)點(diǎn)P(Xo,/)，則乂尸0且片=4-4北，易知點(diǎn)4(—2,0)、B(2,0),

%以二y：二y；?

?÷2?^2xO-4(4-4yθ)-44

設(shè)直線AP的方程為X=gy-2,直線成的方程為X=%y+2,其中叫生=-4，

-/?/?{ιnm-2=-4,26

設(shè)點(diǎn)M(-4,間、N(y〃)，則j"〃；x+2=_4'可得機(jī)=一齊?="-，

所以，IMM=Iil=}升向+*2扃粵1=25

當(dāng)且僅當(dāng)網(wǎng)=±半時(shí)，等號成立，故線段MN長的最小值為2√L

(3)解：易知點(diǎn)”(T,0),當(dāng)直線E尸與X軸重合時(shí)，E、F為橢圓C長軸的頂點(diǎn)，不合

乎題意，

設(shè)直線EF的方程為X=口-4,設(shè)點(diǎn)E(XQJ、F(x2,y2),

聯(lián)立4可得(公+4)Y?-8矽+12=O,Δ=64?2-48(λ2+4)>0,可得。>12,

由韋達(dá)定理可得%+%=泮?,y%=τ?,

KIτ,十今

直線BE的方程為y=工?(x-2),直線af的方程為y=T?N(X+2),

物-6ky2-2

聯(lián)立直線AF、8E的方程可得

12??JSk__,]4k??

x+2_(柱-2)X_初I%-2y∣=/+4晨?+4W一匹4%?

x-2(?y-6)jkyy-6y⑵■.12k/3

l2i22心一6%

解得X=T，

因此，點(diǎn)。在直線m-l上.

方法點(diǎn)睛：圓錐曲線中的最值問題解決方法一般分兩種：

一是幾何法，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來求最值；

二是代數(shù)法，常將圓錐曲線的最值問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)或三角函數(shù)的最值問題，然后利用基

本不等式、函數(shù)的單調(diào)性或三角函數(shù)的有界性等求最值.

21.記實(shí)數(shù)。、〃中較小者為min{α,8},例如min{l,2}=l,min{l,l}=l,對于無窮數(shù)列{4,,},

記4=min｛%j,%｝.若對任意我N均有為<%,∣,則稱數(shù)列｛q｝為“趨向遞增數(shù)列

⑴已知數(shù)列血｝、｛2｝的通項(xiàng)公式分別為=COS腎，2=1gJ,判斷數(shù)列｛%｝、論,｝是

否為“趨向遞增數(shù)列“？并說明理由；

(2)已知首項(xiàng)為1,公比為4的等比數(shù)列｛%｝是“趨向遞增數(shù)列“，求公比9的取值范圍；

(3)若數(shù)列｛4｝滿足4、4為正實(shí)數(shù)，且4=∣4,+2-4/，求證：數(shù)列｛4｝為“趨向遞增數(shù)列”

的必要非充分條件是｛4｝中沒有0?

【正確答案】(1)數(shù)列也｝不是“趨向遞增數(shù)列”，數(shù)列也,｝是“趨向遞增數(shù)列”，理由見解析

(2)(—l,θ)<√(l,+∞)

(3)證明見解析

【分析】(I)利用定義“趨向遞增數(shù)列”判斷數(shù)列｛4｝、｛b,,｝,可得出結(jié)論；

(2)求得C.=/-,分q>?、q=l、0<g<l?-l<9<0,q=-l、<7<T六利1情況討論，

驗(yàn)證％能否恒成立，綜合可得出夕的取值范圍；

(3)利用充分條件、必要條件的定義，利用反證法結(jié)合”趨向遞增數(shù)歹『'的性質(zhì)證明數(shù)列｛4｝

中沒有0,再證明出數(shù)列｛4,｝中沒有O時(shí)數(shù)列不是“趨勢遞增數(shù)列

【詳解】(1)解：由于4,=CoS3，記4=min｛6?τ,%J(%eN"),

3兀4萬

所以4=min{?,?}=minCOS—