（江蘇版）高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 專(zhuān)題9.7 拋物線(xiàn)（講）-人教版高三全冊(cè)數(shù)學(xué)試題

專(zhuān)題9.7拋物線(xiàn)【考綱解讀】?jī)?nèi)容要求備注ABC圓錐曲線(xiàn)與方程頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)的拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)√

1．掌握拋物線(xiàn)的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單性質(zhì)．2．了解圓錐曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單應(yīng)用．【直擊考點(diǎn)】題組一常識(shí)題1．已知拋物線(xiàn)y＝eq\f(3,4)x2，則它的焦點(diǎn)坐標(biāo)是____________．[解析]由y＝eq\f(3,4)x2得x2＝eq\f(4,3)y，∴p＝eq\f(2,3)，∴焦點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3))).2．設(shè)拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，準(zhǔn)線(xiàn)方程為x＝－2，則拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程是____________．[解析]由拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程為x＝－2，知p＝4，且拋物線(xiàn)的開(kāi)口向右，所以?huà)佄锞€(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝8x.3．斜率為1的直線(xiàn)經(jīng)過(guò)拋物線(xiàn)y2＝4x的焦點(diǎn)F，且與拋物線(xiàn)相交于A，B兩點(diǎn)，則線(xiàn)段AB的長(zhǎng)為_(kāi)_______．＋1＝0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝6，由拋物線(xiàn)的定義知，|AB|＝x1＋x2＋2＝8.題組二常錯(cuò)題4．若拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)在直線(xiàn)x－2y－4＝0上，則此拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)_______________．[解析]令x＝0，得y＝－2；令y＝0，得x＝4.故拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)是F(4，0)或F(0，－2)，所以所求拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝16x或x2＝－8y.5．拋物線(xiàn)x2＋2py＝0的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離為4，則p＝________．[解析]將方程x2＋2py＝0變形為x2＝－2py，則有|p|＝4，所以p＝±4.題組三?？碱}6．拋物線(xiàn)x2＝－2y的焦點(diǎn)坐標(biāo)是______________．[解析]由已知得2p＝－2，所以p＝－1，故該拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(1,2))).7．已知焦點(diǎn)在x軸上的拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(－1，1)，則拋物線(xiàn)方程為_(kāi)_____________．[解析]由題意，設(shè)拋物線(xiàn)方程為y2＝2px(p>0)，所以準(zhǔn)線(xiàn)方程為x＝－eq\f(p,2).因?yàn)闇?zhǔn)線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(－1，1)，所以p＝2，所以?huà)佄锞€(xiàn)方程為y2＝4x.8．設(shè)F為拋物線(xiàn)C：y2＝3x的焦點(diǎn)，過(guò)F且傾斜角為30°的直線(xiàn)交C于A，B兩點(diǎn)，則|AB|＝________．【知識(shí)清單】考點(diǎn)1拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)圖形標(biāo)準(zhǔn)方程y2=2px（p＞0）y2=－2px（p＞0）x2=2py（p＞0）x2=－2py（p＞0）頂點(diǎn)O（0，0）范圍x≥0，x≤0，y≥0，y≤0，對(duì)稱(chēng)軸x軸y軸焦點(diǎn)離心率e=1準(zhǔn)線(xiàn)方程焦半徑考點(diǎn)2拋物線(xiàn)的定義及應(yīng)用平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)和一條定直線(xiàn)（不經(jīng)過(guò)點(diǎn)）的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線(xiàn)，定點(diǎn)叫做拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，定直線(xiàn)叫做拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)．考點(diǎn)3直線(xiàn)和拋物線(xiàn)的位置關(guān)系1.將直線(xiàn)的方程與拋物線(xiàn)的方程y2=2px（p＞0）聯(lián)立成方程組，消元轉(zhuǎn)化為關(guān)于x或y的一元二次方程，其判別式為Δ.若，直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸平行或重合，直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相交于一點(diǎn)；若①Δ＞0直線(xiàn)和拋物線(xiàn)相交，有兩個(gè)交點(diǎn)；②Δ＝0直線(xiàn)和拋物線(xiàn)相切，有一個(gè)公共點(diǎn)；③Δ＜0直線(xiàn)和拋物線(xiàn)相離，無(wú)公共點(diǎn)．2.直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的相交弦設(shè)直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于點(diǎn)兩點(diǎn)，則==同理可得這里的求法通常使用韋達(dá)定理，需作以下變形：【考點(diǎn)深度剖析】1．拋物線(xiàn)的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及性質(zhì)是高考考查的重點(diǎn)，直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系是考查的熱點(diǎn)．2．考題以填空題為主，多為中低檔題．【重點(diǎn)難點(diǎn)突破】考點(diǎn)1拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)【1-1】已知是拋物線(xiàn)上任意一點(diǎn)，則當(dāng)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離最小時(shí)，點(diǎn)與該拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)的距離是.【答案】【解析】當(dāng)直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相切于點(diǎn)時(shí)，到直線(xiàn)的距離最小，把代入得，由于相切得，因此，此點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離為.【1-2】已知拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸的正半軸上，若拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)與雙曲線(xiàn)5x2－y2=20的兩條漸近線(xiàn)圍成的三角形的面積等于，則拋物線(xiàn)的方程為.【答案】y2=8x，所以.【1-3】已知拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)與圓相切，則的值為.【答案】2【解析】圓化為，與圓相切，，即.【1-4】一個(gè)動(dòng)圓與定圓：相外切，且與定直線(xiàn)：相切，則此動(dòng)圓的圓心的軌跡方程是.【答案】【1-5】如圖，過(guò)拋物線(xiàn)y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)F的直線(xiàn)l交拋物線(xiàn)于點(diǎn)A、B，交其準(zhǔn)線(xiàn)于點(diǎn)C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，則此拋物線(xiàn)方程為.【答案】y2＝3x【解析】如圖，∵|BC|＝2|BF|，∴由拋物線(xiàn)的定義可知∠BCD＝30°，|AE|＝|AF|＝3，∴|AC|＝6．即F為AC的中點(diǎn)，∴p＝|FF′|＝|EA|＝，故拋物線(xiàn)方程為y2＝3x．【思想方法】1．涉及拋物線(xiàn)幾何性質(zhì)的問(wèn)題常結(jié)合圖形思考，通過(guò)圖形可以直觀地看出拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)、對(duì)稱(chēng)軸、開(kāi)口方向等幾何特征，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想解題的直觀性．2．求拋物線(xiàn)方程應(yīng)注意的問(wèn)題(1)當(dāng)坐標(biāo)系已建立時(shí)，應(yīng)根據(jù)條件確定拋物線(xiàn)方程屬于四種類(lèi)型中的哪一種；(2)要注意把握拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)、對(duì)稱(chēng)軸、開(kāi)口方向與方程之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系；(3)要注意參數(shù)p的幾何意義是焦點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離，利用它的幾何意義來(lái)解決問(wèn)題．【溫馨提醒】1、拋物線(xiàn)的定義與方程的形式是解決拋物線(xiàn)幾何性質(zhì)問(wèn)題時(shí)必須要考慮的兩個(gè)重要因素．2、求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程時(shí)，可用定義法列等量關(guān)系，化簡(jiǎn)求解；也可判斷后，用類(lèi)似于公式法的待定系數(shù)法求解，但要判斷準(zhǔn)確，注意挖掘題目中的隱含條件，防止重、漏解?？键c(diǎn)2拋物線(xiàn)的定義及應(yīng)用【題組全面展示】【2-1】已知F是拋物線(xiàn)y2=x的焦點(diǎn)，A、B是該拋物線(xiàn)上的兩點(diǎn)，|AF|+|BF|=3，則線(xiàn)段AB的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為.【答案】【解析】設(shè)，，，因此線(xiàn)段的中點(diǎn)到軸的距離為.【2-2】過(guò)拋物線(xiàn)y2=4x的焦點(diǎn)作直線(xiàn)，交拋物線(xiàn)于A(x1,y1)，B(x2,y2)兩點(diǎn)，如果x1+x2=6，那么|AB|=.【答案】8【解析】由于，因此，根據(jù)焦點(diǎn)弦公式.【2-3】已知是拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，是該拋物線(xiàn)上的兩點(diǎn).若線(xiàn)段的中點(diǎn)到軸的距離為，則.【答案】3【2-4】已知拋物線(xiàn)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，它的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，若點(diǎn)到該拋物線(xiàn)焦點(diǎn)的距離為3，則=.【答案】【2-5】如圖，F(xiàn)為拋物線(xiàn)y2＝4x的焦點(diǎn)，A，B，C在拋物線(xiàn)上，若＋＋＝0，則||＋||＋||＝.【答案】6【解析】設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，∵F(1,0)，∴＋＋＝(x1＋x2＋x3－3，y1＋y2＋y3)＝0，∴∴||＋||＋||＝x1＋＋x2＋＋x3＋＝3＋3＝6．【思想方法】1．拋物線(xiàn)上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離等于到準(zhǔn)線(xiàn)距離，注意轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用．2.利用拋物線(xiàn)定義可以解決距離的最大和最小問(wèn)題，該類(lèi)問(wèn)題一般情況下都與拋物線(xiàn)的定義有關(guān)．實(shí)現(xiàn)由點(diǎn)到點(diǎn)的距離與點(diǎn)到直線(xiàn)的距離的轉(zhuǎn)化．(1)將拋物線(xiàn)上的點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離轉(zhuǎn)化為該點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離，構(gòu)造出“兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短”，使問(wèn)題得解．(2)將拋物線(xiàn)上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線(xiàn)的距離，利用“與直線(xiàn)上所有點(diǎn)的連線(xiàn)中垂線(xiàn)段最短”原理解決．【溫馨提醒】利用拋物線(xiàn)定義進(jìn)行距離轉(zhuǎn)化的同時(shí)，要注意平面幾何知識(shí)在其中的重大運(yùn)用．考點(diǎn)3直線(xiàn)和拋物線(xiàn)的位置關(guān)系【3-1】設(shè)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于、兩點(diǎn)，分別過(guò)、兩點(diǎn)作拋物線(xiàn)的兩條切線(xiàn)交于點(diǎn)，則有.【解析】【3-2】過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于兩點(diǎn)，點(diǎn)是原點(diǎn)，若，則的面積為.【答案】【解析】由拋物線(xiàn)的定義知，==3，解得=2，所以=，所以的面積為==.【3-3】已知拋物線(xiàn)，過(guò)其焦點(diǎn)且斜率為-1的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于兩點(diǎn)，若線(xiàn)段的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，則該拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程為.【答案】【解析】設(shè)直線(xiàn)方程，得代入拋物線(xiàn)方程得化簡(jiǎn)的，，，準(zhǔn)線(xiàn)方程【3-4】如圖，拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線(xiàn)為，經(jīng)過(guò)且斜率為的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)在軸上方的部分相交于點(diǎn)，，垂足為，則的面積是.【答案】【3-5】在拋物線(xiàn)C：外，則直線(xiàn)與拋物線(xiàn)C的位置關(guān)系是.【答案】相交【思想方法】.已知過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)F的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于A、B兩點(diǎn)。設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，則：①焦點(diǎn)弦長(zhǎng)②③，其中|AF|叫做焦半徑，④焦點(diǎn)弦長(zhǎng)最小值為2p。根據(jù)時(shí)，