（江蘇版）高考數(shù)學一輪復習 專題11.3 概率分布與數(shù)學期望、方差（講）理-人教版高三全冊數(shù)學試題

專題11.3概率分布與數(shù)學期望、方差【最新考綱解讀】內(nèi)容要求備注ABC概率統(tǒng)計離散型隨機變量及其分布列√

對知識的考查要求依次分為了解、理解、掌握三個層次（在表中分別用A、B、C表示）.了解：要求對所列知識的含義有最基本的認識，并能解決相關的簡單問題.理解：要求對所列知識有較深刻的認識，并能解決有一定綜合性的問題.掌握：要求系統(tǒng)地掌握知識的內(nèi)在聯(lián)系，并能解決綜合性較強的或較為困難的問題.超幾何分布√

條件概率及相互獨立事件√

次獨立重復試驗的模型及二項分布

√

離散型隨機變量的均值與方差√【考點深度剖析】1.江蘇高考中，一般考古典概型、相互獨立、二項概型基礎上的隨機變量的分布，期望與方差。2.隨機變量的概率分布及期望，內(nèi)容多，處理方式靈活，可以考查其中一塊，可以內(nèi)部綜合，可以作為問題的背景與其他內(nèi)容結合考，復習時要注重基礎，以不變應萬變.【課前檢測訓練】【判一判】判斷下面結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)拋擲均勻硬幣一次，出現(xiàn)正面的次數(shù)是隨機變量．()(2)離散型隨機變量的分布列描述了由這個隨機變量所刻畫的隨機現(xiàn)象．()(3)某人射擊時命中的概率為0.5，此人射擊三次命中的次數(shù)X服從兩點分布．()(4)從4名男演員和3名女演員中選出4名，其中女演員的人數(shù)X服從超幾何分布．()(5)離散型隨機變量的分布列中，隨機變量取各個值的概率之和可以小于1.()(6)離散型隨機變量的各個可能值表示的事件是彼此互斥的．()(7)條件概率一定不等于它的非條件概率．()(8)相互獨立事件就是互斥事件．()(9)對于任意兩個事件，公式P(AB)＝P(A)P(B)都成立．()(10)二項分布是一個概率分布，其公式相當于(a＋b)n二項展開式的通項公式，其中a＝p，b＝1－p.()(11)P(B|A)表示在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率，P(AB)表示事件A，B同時發(fā)生的概率．()(12)小王通過英語聽力測試的概率是eq\f(1,3)，他連續(xù)測試3次，那么其中恰好第3次測試獲得通過的概率是P＝Ceq\o\al(1,3)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))1·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))3－1＝eq\f(4,9).()(13)隨機變量的均值是常數(shù)，樣本的平均值是隨機變量，它不確定．()(14)隨機變量的方差和標準差都反映了隨機變量取值偏離均值的平均程度，方差或標準差越小，則偏離變量的平均程度越?。?)(15)正態(tài)分布中的參數(shù)μ和σ完全確定了正態(tài)分布，參數(shù)μ是正態(tài)分布的均值，σ是正態(tài)分布的標準差．()(16)一個隨機變量如果是眾多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用結果之和，它就服從或近似服從正態(tài)分布．()(17)均值是算術平均數(shù)概念的推廣，與概率無關．()1.√2.√3.×4.√5.×6.√7.×8.×9.×10.×11.√12.×13.√14.√15.√16.√17.×【練一練】1．袋中有3個白球、5個黑球，從中任取2個，可以作為隨機變量的是()A．至少取到1個白球B．至多取到1個白球C．取到白球的個數(shù)D．取到的球的個數(shù)【答案】C2．從標有1～10的10支竹簽中任取2支，設所得2支竹簽上的數(shù)字之和為X，那么隨機變量X可能取得的值有()A．17個B．18個C．19個D．20個【答案】A【解析】X可能取得的值有3,4,5，…，19共17個．3．隨機變量X的分布列如下：X－101Pabc其中a，b，c成等差數(shù)列，則P(|X|＝1)等于()A.eq\f(1,6)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2)D.eq\f(2,3)【答案】D【解析】∵a，b，c成等差數(shù)列，∴2b＝a＋c.又a＋b＋c＝1，∴b＝eq\f(1,3)，∴P(|X|＝1)＝a＋c＝eq\f(2,3).4．隨機變量X等可能取值1,2,3，…，n，如果P(X<4)＝0.3，則n＝________.【答案】10【解析】P(X<4)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝eq\f(1,n)＋eq\f(1,n)＋eq\f(1,n)＝eq\f(3,n)＝0.3，得n＝10.5．一盒中有12個乒乓球，其中9個新的、3個舊的，從盒中任取3個球來用，用完后裝回盒中，此時盒中舊球個數(shù)X是一個隨機變量，則P(X＝4)的值為______．【答案】eq\f(27,220)6．袋中有3紅5黑8個大小形狀相同的小球，從中依次摸出兩個小球，則在第一次摸得紅球的條件下，第二次仍是紅球的概率為()A.eq\f(3,8)B.eq\f(2,7)C.eq\f(2,8)D.eq\f(3,7)【答案】B【解析】第一次摸出紅球，還剩2紅5黑共7個小球，所以再摸到紅球的概率為eq\f(2,7).7．某地區(qū)空氣質(zhì)量監(jiān)測資料表明，一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是0.75，連續(xù)兩天為優(yōu)良的概率是0.6，已知某天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良，則隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是()A．0.8B．0.75C．0.6D．0.45【答案】A【解析】已知連續(xù)兩天為優(yōu)良的概率是0.6，那么在前一天空氣質(zhì)量為優(yōu)良的前提下，要求隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率，可根據(jù)條件概率公式，得P＝eq\f(0.6,0.75)＝0.8.8.如圖，用K，A1，A2三類不同的元件連接成一個系統(tǒng)．當K正常工作且A1，A2至少有一個正常工作時，系統(tǒng)正常工作．已知K，A1，A2正常工作的概率依次為0.9,0.8，0.8，則系統(tǒng)正常工作的概率為()A．0.960 B．0.864C．0.720 D．0.576【答案】B9．某籃球隊員在比賽中每次罰球的命中率相同，且在兩次罰球中至多命中一次的概率為eq\f(16,25)，則該隊員每次罰球的命中率為________．【答案】eq\f(3,5)【解析】設該隊員每次罰球的命中率為p，則依題意有1－p2＝eq\f(16,25)，即p2＝eq\f(9,25).又0<p<1，故p＝eq\f(3,5).10．國慶節(jié)放假，甲去北京旅游的概率為eq\f(1,3)，乙去北京旅游的概率為eq\f(1,4)，假定二人的行動相互之間沒有影響，那么這段時間內(nèi)至少有1人去北京旅游的概率為________．【答案】eq\f(1,2)11．某射手射擊所得環(huán)數(shù)ξ的分布列如下：ξ78910Px0.10.3y已知ξ的均值E(ξ)＝8.9，則y的值為()A．0.4B．0.6C．0.7D．0.9【答案】A【解析】由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋0.1＋0.3＋y＝1，,7x＋8×0.1＋9×0.3＋10y＝8.9，))可得y＝0.4.12．設樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，x10的均值和方差分別為1和4，若yi＝xi＋a(a為非零常數(shù)，i＝1,2，…，10)，則y1，y2，…，y10的均值和方差分別為()A．1＋a,4 B．1＋a,4＋aC．1,4 D．1,4＋a【答案】A【解析】eq\f(x1＋x2＋…＋x10,10)＝1，yi＝xi＋a，所以y1，y2，…，y10的均值為1＋a，方差不變?nèi)詾?.故選A.13．設隨機變量X的分布列為P(X＝k)＝eq\f(1,5)(k＝2,4,6,8,10)則D(X)等于()A．5B．8C．10D．16【答案】B【解析】∵E(X)＝eq\f(1,5)(2＋4＋6＋8＋10)＝6，∴D(X)＝eq\f(1,5)[(－4)2＋(－2)2＋02＋22＋42]＝8.14．隨機變量ξ的取值為0,1,2.若P(ξ＝0)＝eq\f(1,5)，E(ξ)＝1，則D(ξ)＝________.【答案】eq\f(2,5)【解析】設P(ξ＝1)＝a，P(ξ＝2)＝b，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)＋a＋b＝1，,a＋2b＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(3,5)，,b＝\f(1,5)，))所以D(ξ)＝eq\f(1,5)＋eq\f(3,5)×0＋eq\f(1,5)×1＝eq\f(2,5).15．拋擲兩枚骰子，當至少一枚5點或一枚6點出現(xiàn)時，就說這次試驗成功，則在10次試驗中成功次數(shù)的均值為________．【答案】eq\f(50,9)【題根精選精析】考點1離散型隨機變量及其分布列【1-1】隨機變量X的概率分布規(guī)律為P（X＝n）＝（n＝1,2,3,4），其中a是常數(shù)，則P（＜X＜）的值為.【答案】【解析】因為隨機變量X的概率分布規(guī)律為（n＝1,2,3,4），所以，所以.【1-2】若隨機變量X的分布列如下表，且EX=6.3，則表中a的值為.【答案】7【解析】由得，，解【1-3】口袋中有n(n∈N*)個白球，3個紅球．依次從口袋中任取一球，如果取到紅球，那么繼續(xù)取球，且取出的紅球不放回；如果取到白球，就停止取球．記取球的次數(shù)為X.若P(X＝2)＝eq\f(7,30)，則n的值為.【答案】7【1-4】在對某漁業(yè)產(chǎn)品的質(zhì)量調(diào)研中，從甲、乙兩地出產(chǎn)的該產(chǎn)品中各隨機抽取10件，測量該產(chǎn)品中某種元素的含量（單位：毫克）.下表是測量數(shù)據(jù)的莖葉圖：規(guī)定：當產(chǎn)品中的此種元素含量毫克時為優(yōu)質(zhì)品.（Ⅰ）試用上述樣本數(shù)據(jù)估計甲、乙兩地該產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率（優(yōu)質(zhì)品件數(shù)/總件數(shù)）；（Ⅱ）從乙地抽出的上述10件產(chǎn)品中，隨機抽取3件，求抽到的3件產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品數(shù)的分布列及數(shù)學期望.【解析】(I)甲廠抽取的樣本中優(yōu)等品有7件,優(yōu)等品率為乙廠抽取的樣本中優(yōu)等品有8件,優(yōu)等品率為(II)的取值為1，2，3. 所以的分布列為123故的數(shù)學期望為【1-5】甲、乙、丙三個車床加工的零件分別為350個，700個，1050個，現(xiàn)用分層抽樣的方法隨機抽取6個零件進行檢驗.（1）從抽取的6個零件中任意取出2個，已知這兩個零件都不是甲車床加工的，求其中至少有一個是乙車床加工的零件；（2）從抽取的6個零件中任意取出3個，記其中是乙車床加工的件數(shù)為X，求X的分布列和期望.X012P0.20.60.2X的期望為．【基礎知識】1．離散型隨機變量的分布列(1)隨機變量如果隨機試驗的結果可以用一個變量來表示，那么這樣的變量叫做隨機變量，隨機變量常用字母X，Y，ξ，η等表示．(2)離散型隨機變量對于隨機變量可能取的值，可以按一定次序一一列出，這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量．若是隨機變量，，其中是常數(shù)，則也是隨機變量.2.常見離散型隨機變量的分布列(1)兩點分布：若隨機變量服從兩點分布，即其分布列為01其中，則稱離散型隨機變量服從參數(shù)為的兩點分布．其中稱為成功概率．(2)超幾何分布：在含有件次品的件產(chǎn)品中，任取件，其中恰有件次品，則事件{}發(fā)生的概率為，，其中，且，稱分布列為超幾何分布列.01…m…(3)設離散型隨機變量可能取得值為，，…，，…，取每一個值()的概率為，則稱表…………為隨機變量X的概率分布列，簡稱X的分布列．有時為了表達簡單，也用等式，表示的分布列．分布列的兩個性質(zhì)①，；②.【思想方法】1.求分布列的三種方法(1)由統(tǒng)計數(shù)據(jù)得到離散型隨機變量的分布列；(1)可設出隨機變量Y，并確定隨機變量的所有可能取值作為第一行數(shù)據(jù)；(2)由統(tǒng)計數(shù)據(jù)利用事件發(fā)生的頻率近似地表示該事件的概率作為第二行數(shù)據(jù)．由統(tǒng)計數(shù)據(jù)得到分布列可幫助我們更好理解分布列的作用和意義．(2)由古典概型求出離散型隨機變量的分布列；求離散型隨機變量的分布列，首先要根據(jù)具體情況確定X的取值情況，然后利用排列、組合與概率知識求出X取各個值的概率．而超幾何分布就是此類問題中的一種．(3)由互斥事件的概率、相互獨立事件同時發(fā)生的概率及n次獨立重復試驗有k次發(fā)生的概率求離散型隨機變量的分布列．2.求離散型隨機變量分布列的步驟(1)找出隨機變量X的所有可能取值xi(i＝1,2,3，…，n)；(2)求出各取值的概率P(X＝xi)＝pi；(3)列成表格并用分布列的性質(zhì)檢驗所求的分布列或某事件的概率是否正確．3.解答離散型隨機變量的分布列及相關問題的一般思路(1)明確隨機變量可能取哪些值．(2)結合事件特點選取恰當?shù)挠嬎惴椒ㄓ嬎氵@些可能取值的概率值．(3)根據(jù)分布列和期望、方差公式求解．注意解題中要善于透過問題的實際背景發(fā)現(xiàn)其中的數(shù)學規(guī)律，以便使用我們掌握的離散型隨機變量及其分布列的知識來解決實際問題．【溫馨提醒】求離散型隨機變量的分布列的關鍵是正確理解隨機變量取每一個所表示的具體事件，然后綜合應用各類求概率的公式，求出概率.考點2二項分布及應用【2-1】【鹽城2015調(diào)研】袋中裝有完全相同的5個小球，其中有紅色小球3個，黃色小球2個，如果不放回地依次摸出2個小球，則在第一次摸出紅球的條件下，第二次摸出紅球的概率是.【答案】【2-2】已知在一次試驗中，，那么在次獨是.【答案】【解析】因為，所以在次獨．【2-3】設服從二項分布的隨機變量X的期望和方差分別是2.4和1.44，則二項分布的參數(shù)的值為.【答案】【解析】由二項分布的期望和方差得，解的【2-4】【2015四川模擬】一款擊鼓小游戲的規(guī)則如下：每盤游戲都需要擊鼓三次，每次擊鼓要么出現(xiàn)一次音樂，要么不出現(xiàn)音樂；每盤游戲擊鼓三次后，出現(xiàn)一次音樂獲得10分，出現(xiàn)兩次音樂獲得20分，出現(xiàn)三次音樂獲得100分，沒有出現(xiàn)音樂則扣除200分（即獲得分）.設每次擊鼓出現(xiàn)音樂的概率為，且各次擊鼓出現(xiàn)音樂相互獨立.（1）設每盤游戲獲得的分數(shù)為，求的分布列；（2）玩三盤游戲，至少有一盤出現(xiàn)音樂的概率是多少？（3）玩過這款游戲的許多人都發(fā)現(xiàn)，若干盤游戲后，與最初的分數(shù)相比，分數(shù)沒有增加反而減少了.請運用概率統(tǒng)計的相關知識分析分數(shù)減少的原因.【解析】試題分析：（1）由得，.所以的分布列為X-2001020100【2-5】【北京市西城區(qū)2015模擬】在某批次的某種燈泡中，隨機地抽取個樣品，并對其壽命進行追蹤調(diào)查，將結果列成頻率分布表如下.根據(jù)壽命將燈泡分成優(yōu)等品、正品和次品三個等級，其中壽命大于或等于天的燈泡是優(yōu)等品，壽命小于天的燈泡是次品，其余的燈泡是正品.壽命（天）頻數(shù)頻率合計（1）根據(jù)頻率分布表中的數(shù)據(jù)，寫出、的值；（2）某人從燈泡樣品中隨機地購買了個，如果這個燈泡的等級情況恰好與按三個等級分層抽樣所得的結果相同，求的最小值；（3）某人從這個批次的燈泡中隨機地購買了個進行使用，若以上述頻率作為概率，用表示此人所購買的燈泡中次品的個數(shù)，求的分布列和數(shù)學期望.所以的數(shù)學期望.（注：寫出，，、、、.請酌情給分）【基礎知識】1．條件概率及其性質(zhì)(1)對于任何兩個事件和，在已知事件發(fā)生的條件下，事件發(fā)生的概率叫做條件概率，用符號來表示，其公式為.在古典概型中，若用表示事件中基本事件的個數(shù)，則.(2)條件概率具有的性質(zhì)：①；②如果和是兩互斥事件，則．2．相互獨立事件(1)對于事件、，若的發(fā)生與的發(fā)生互不影響，則稱、是相互獨立事件．(2)若與相互獨立，則，．(3)若與相互獨立，則與，與，與也都相互獨立．(4)若，則與相互獨立．3．獨立重復試驗與二項分布(1)獨立重復試驗獨立重復試驗是指在相同條件下可重復進行的，各次之間相互獨立的一種試驗，在這種試驗中每一次試驗只有兩種結果，即要么發(fā)生，要么不發(fā)生，且任何一次試驗中發(fā)生的概率都是一樣的．(2)二項分布在次獨立重復試驗中，設事件發(fā)生的次數(shù)為，在每次試驗中事件發(fā)生的概率為，那么在次獨立重復試驗中，事件恰好發(fā)生次的概率為()，此時稱隨機變量服從二項分布，記作，并稱為成功概率．【思想方法】1.條件概率的求法(1)定義法：先求和，再由，求；(2)基本事件法：借古典概型概率公式，先求事件包含的基本事件數(shù)，再求事件所包含的基本事件數(shù)，得.2.求相互獨立事件同時發(fā)生的概率的方法(1)利用相互獨立事件的概率乘法公式直接求解；(2)正面計算較繁或難以入手時，可從其對立事件入手計算．相互獨立事件的概率通常和互斥事件的概率綜合在一起考查，這類問題具有一個明顯的特征，那就是在題目的條件中已經(jīng)出現(xiàn)一些概率值，解題時先要判斷事件的性質(zhì)(是互斥還是相互獨立)，再選擇相應的公式計算求解．3.二項分布滿足的條件(1)每次試驗中，事件發(fā)生的概率是相同的．(2)各次試驗中的事件是相互獨立的．(3)每次試驗只有兩種結果：事件要么發(fā)生，要么不發(fā)生．(4)隨機變量是這n次獨立重復試驗中事件發(fā)生的次數(shù)．4.二項展開式的通項與二項分布的概率公式的“巧合”一般地，由n次試驗構成，且每次試驗相互獨立完成，每次試驗的結果僅有兩種對立的狀態(tài)，即與，每次試驗中.我們將這樣的試驗稱為次獨立重復試驗，也稱為伯努利試驗．在次獨立重復試驗中，每次試驗事件發(fā)生的概率均為，即，.由于試驗的獨立性，次試驗中，事件在某指定的次發(fā)生，而在其余次不發(fā)生的概率為.而在次試驗中，事件恰好發(fā)生次的概率為，.它恰好是的二項展開式中的第項．5.牢記且理解事件中常見詞語的含義：(1)、中至少有一個發(fā)生的事件為；(2)、都發(fā)生的事件為；(3)、都不發(fā)生的事件為；(4)、恰有一個發(fā)生的事件為；(5)、至多一個發(fā)生的事件為.【溫馨提醒】這些都是二項分布問題，關鍵是正確求出隨機變量的分布列，可直接使用公式求解.因此牢記公式，，并深刻理解其含義．考點3離散型隨機變量的均值與方差【3-1】設隨機變量X～B（n，p），且E（X）＝1.6，D（X）＝1.28，則的值為.【答案】n＝8，p＝0.2【解析】因為隨機變量X～B（n，p），且E（X）＝1.6，D（X）＝1.28，所以.【3-2】設服從二項分布X～B（n，p）的隨機變量X的均值與方差分別是15和，則n、p的值分別是.【答案】60，【解析】由二項分布X～B（n，p）的均值與方差可知E(X)=np=15,D(X)=np(1-p)=,解得n=60,p=,所以【3-3】變量X的概率分布列如右表，其中成等差數(shù)列，若，則_________.【答案】【3-4】【常州2015調(diào)研】某公司計劃在迎春節(jié)聯(lián)歡會中設一項抽獎活動：在一個不透明的口袋中裝入外形一樣號碼分別為1，2，3，…，10的十個小球.活動者一次從中摸出三個小球，三球號碼有且僅有兩個連號的為三等獎，獎金30元；三球號碼都連號為二等獎，獎金60元；三球號碼分別為1，5，10為一等獎，獎金240元；其余情況無獎金.（1）求員工甲抽獎一次所得獎金ξ的分布列與期望；（2）員工乙幸運地先后獲得四次抽獎機會，他得獎次數(shù)的方差是多少？【3-5】【無錫2015模擬】在2014年俄羅斯索契冬奧會某項目的選拔比賽中，A,B兩個代表隊進行對抗賽，每隊三名隊員,A隊隊員是A1,A2,A3,B隊隊員是B1,B2,B3，按以往多次比賽的統(tǒng)計，對陣隊員之間勝負概率如下表，現(xiàn)按表中對陣方式出場進行三場比賽，每場勝隊得1分，負隊得0分，設A隊，B隊最后所得總分分別為．（1)求A隊得分為1分的概率；（2）求的分布列；并用統(tǒng)計學的知識說明哪個隊實力較強．【基礎知識】1．均值若離散型隨機變量X的分布列為…………稱為隨機變量的均值或數(shù)學期望，它反映了離散型隨機變量取值的平均水平．．若，其中為常數(shù)，則也是隨機變量，且.若服從兩點分布，則；若，則.2.方差若離散型隨機變量X的分布列為…………則描述了()相對于均值的偏離程度，而為這些偏離程度的加權平均，刻畫了隨機變量與其均值的平均偏離程度．稱為隨機變量的方差，其算術平方根為隨機變量的標準差．若，其中為常數(shù)，則也是隨機變量，且．若服從兩點分布，則．若，則．【思想方法】1.求離散型隨機變量均值、方差的基本方法(1)已知隨機變量的分布列求它的均值、方差和標準差，可直接按定義(公式)求解；(2)已知隨機變量的均值、方差，求的線性函數(shù)的均值、方差和標準差，可直接用的均值、方差的性質(zhì)求解；(3)如能分析所給隨機變量是服從常用的分布(如兩點分布、二項分布等)，可直接利用它們的均值、方差公式求解．2.求離散型隨機變量均值的步驟(1)理解隨機變量的意義，寫出可能取得的全部值；(2)求的每個值的概率；(3)寫出的分布列；(4)由均值定義求出．3.六條性質(zhì)(1)(為常數(shù))(2)(為常數(shù))(3)(4)如果相互獨立，則(5)(6)4.均值與方差性質(zhì)的應用若是隨機變量，則一般仍是隨機變量，在求的期望和方差時，熟練應用期望和方差的性質(zhì)，可以避免再求的分布列帶來的繁瑣運算．【溫馨提醒】求離散型隨機變量的期望和方差的應用問題，首先應仔細地分析題意，當概率分布不是一些熟知的類型時，應全面地剖析各個隨機變量所包含的各種事件，并準確判斷各事件的相互關系，從而求出各隨機變量相應的概率.【易錯問題大揭秘】 1.隨機變量取值不全致誤典例(12分)盒子中有大小相同的球10個，其中標號為1的球3個，標號為2的球4個，標號為5的球3個．第一次從盒子中任取1個球，放回后第二次再任取1個球(假設取到每個球的可能性都相同)．記第一次與第二次取得球的標號之和為ξ.求隨機變量ξ的可能取值及其分布列．易錯分析由于隨機變量取值情況較多，極易發(fā)生對隨機變量取值考慮不全而導致解題錯誤．溫馨提醒(1)解決此類問題的關鍵是弄清隨機變量的取值，正確應用概率公式．(2)此類問題還極易發(fā)生如下錯誤：雖然