材料力學(xué)第九章 組合受力與變形1

材料力學(xué)19何斌806379258@3/15/2024第9章組合受力與變形前面幾章中，分別討論了拉伸、壓縮、彎曲與扭轉(zhuǎn)時桿件的強(qiáng)度問題。工程上還有一些構(gòu)件在復(fù)雜載荷作用下，其橫截面上將同時產(chǎn)生兩個或兩個以上內(nèi)力分量的組合作用，例如兩個不同平面內(nèi)的平面彎曲組合、軸向拉伸（或壓縮）與平面彎曲的組合、平面彎曲與扭轉(zhuǎn)的組合。這些情形統(tǒng)稱為組合受力與變形。

對組合受力與變形的桿件進(jìn)行強(qiáng)度計(jì)算，首先需要綜合考慮各種內(nèi)力分量的內(nèi)力圖，確定可能的危險截面；進(jìn)而根據(jù)各個內(nèi)力分量在橫截面上所產(chǎn)生的應(yīng)力分布確定可能的危險點(diǎn)以及危險點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)；從而選擇合適的強(qiáng)度理論進(jìn)行強(qiáng)度計(jì)算。

疊加原理應(yīng)用的基本步驟：將載荷進(jìn)行分解，得到與原載荷等效的幾組載荷，使構(gòu)件在每一組載荷的作用下，只產(chǎn)生一種基本變形分析每種載荷的內(nèi)力，確定危險截面分別計(jì)算構(gòu)件在每種基本變形情況下的危險截面內(nèi)的應(yīng)力將各基本變形情況下的應(yīng)力疊加，確定最危險點(diǎn)選擇強(qiáng)度理論，對危險點(diǎn)進(jìn)行強(qiáng)度校核第9章組合受力與變形

彎曲與扭轉(zhuǎn)組合

圓柱形薄壁容器應(yīng)力狀態(tài)與強(qiáng)度計(jì)算

結(jié)論與討論

斜彎曲

拉伸（壓縮）與彎曲的組合

斜彎曲

產(chǎn)生斜彎曲的加載條件

疊加法確定斜彎曲時橫截面上的正應(yīng)力

斜彎曲時橫截面上的最大正應(yīng)力

斜彎曲時強(qiáng)度條件

斜彎曲時中性軸

產(chǎn)生斜彎曲的加載條件斜彎曲（skewbending）或雙向彎曲（bendingintwoplane）

產(chǎn)生斜彎曲的加載條件

斜彎曲

產(chǎn)生斜彎曲的加載條件

疊加法確定斜彎曲時橫截面上的正應(yīng)力

斜彎曲時橫截面上的最大正應(yīng)力

斜彎曲時強(qiáng)度條件

斜彎曲時中性軸

疊加法確定斜彎曲時橫截面上的正應(yīng)力為了確定斜彎曲時梁橫截面上的應(yīng)力，在小變形的條件下，可以將斜彎曲分解成兩個縱向?qū)ΨQ面內(nèi)(或主軸平面)的平面彎曲，然后將兩個平面彎曲引起的同一點(diǎn)應(yīng)力的代數(shù)值相加，便得到斜彎曲在該點(diǎn)的應(yīng)力值。

疊加法確定斜彎曲時橫截面上的正應(yīng)力

斜彎曲

產(chǎn)生斜彎曲的加載條件

疊加法確定斜彎曲時橫截面上的正應(yīng)力

斜彎曲時橫截面上的最大正應(yīng)力

斜彎曲時強(qiáng)度條件

斜彎曲時中性軸

斜彎曲時中性軸在平面彎曲和斜彎曲情形下，橫截面上正應(yīng)力為零的點(diǎn)組成的直線，稱為中性軸（neutralaxis）。變形時，橫截面將繞中性軸轉(zhuǎn)動。

1.對于平面彎曲，如果加載方向與截面的某一形心主軸一致，則另一形心主軸必為中性軸。

2.對于斜彎曲，中性軸由下列方程確定：

3．不難證明，無論是平面彎曲還是斜彎曲，中性軸都通過截面形心。zyONeutralaxis

斜彎曲

產(chǎn)生斜彎曲的加載條件

疊加法確定斜彎曲時橫截面上的正應(yīng)力

斜彎曲時橫截面上的最大正應(yīng)力

斜彎曲時強(qiáng)度條件

斜彎曲時中性軸

斜彎曲時橫截面上的最大正應(yīng)力

對于矩形截面，由于兩個彎矩引起的最大拉應(yīng)力發(fā)生在同一點(diǎn)，最大壓應(yīng)力也發(fā)生在同一點(diǎn)，因此，疊加后，橫截面上的最大拉伸和壓縮正應(yīng)力必然發(fā)生在矩形截面的角點(diǎn)處。上式不僅對于矩形截面，而且對于槽形截面或工字形截面也是適用的。因?yàn)檫@些截面上由兩個主軸平面內(nèi)的彎矩引起的最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力都發(fā)生在同一點(diǎn)。

斜彎曲時橫截面上的最大正應(yīng)力？對于圓截面，上述公式是否正確

斜彎曲時橫截面上的最大正應(yīng)力對于圓截面，上述計(jì)算公式是不適用的。這是因?yàn)椋瑑蓚€對稱面內(nèi)的彎矩所引起的最大拉應(yīng)力不發(fā)生在同一點(diǎn)，最大壓應(yīng)力也不發(fā)生在同一點(diǎn)。MyMzyzx

斜彎曲時橫截面上的最大正應(yīng)力對于圓截面，因?yàn)檫^形心的任意軸均為截面的對稱軸，所以當(dāng)橫截面上同時作用有兩個彎矩時，可以將彎矩用矢量表示，然后求二者的矢量和，這一合矢量仍然沿著橫截面的對稱軸方向，合彎矩的作用面仍然與對稱面一致，所以平面彎曲的公式依然適用。yzMyMzM

斜彎曲時橫截面上的最大正應(yīng)力于是，圓截面上的最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力計(jì)算公式為yzMyMzM此時中性軸在哪？

斜彎曲

產(chǎn)生斜彎曲的加載條件

疊加法確定斜彎曲時橫截面上的正應(yīng)力

斜彎曲時橫截面上的最大正應(yīng)力

斜彎曲時強(qiáng)度條件

斜彎曲時中性軸

斜彎曲時強(qiáng)度條件

在最大正應(yīng)力作用點(diǎn)只有正應(yīng)力作用，因此，斜彎曲時的強(qiáng)度條件與平面彎曲時完全相同，即下式依然適用：例題1

圖示矩形截面梁，截面寬度b＝90mm，高度h＝180mm。梁在兩個互相垂直的平面內(nèi)分別受有水平力F1和鉛垂力F2

。若已知F1＝800N，F(xiàn)2＝1650N，L＝1m，試求梁內(nèi)的最大彎曲正應(yīng)力并指出其作用點(diǎn)的位置。例題2一般生產(chǎn)車間所用的吊車大梁，兩端由鋼軌支撐，可以簡化為簡支梁。圖中l(wèi)=2m。大梁由32a熱軋普通工字鋼制成，許用應(yīng)力

＝160MPa

。起吊的重物的重量FP＝80kN，并且作用在梁的中點(diǎn)，作用線與y軸之間的夾角

＝5

。

試校核:吊車大梁的強(qiáng)度是否安全？例題2解：1.首先，將斜彎曲分解為兩個平面彎曲的疊加

將FP分解為z和y方向的兩個分力FPz和FPy，將斜彎曲分解為兩個平面彎曲，

dc例題2解：2.求兩個平面彎曲情形下的最大彎矩根據(jù)前幾節(jié)的例題所得到的結(jié)果，簡支梁在中點(diǎn)受力的情形下，最大彎矩Mmax=FPl

/4。將其中的FP分別替換為FPz和FPy

，便得到兩個平面彎曲情形下的最大彎矩：

dc例題2解：3.計(jì)算兩個平面彎曲情形下的最大正應(yīng)力在Mmax(FPy)作用的截面上，截面上邊緣的角點(diǎn)a、b

承受最大壓應(yīng)力；下邊緣的角點(diǎn)c、d

承受最大拉應(yīng)力。+－例題2解：3.計(jì)算兩個平面彎曲情形下的最大正應(yīng)力

在Mmax(FPz)作用的截面上，截面上角點(diǎn)b、d

承受最大壓應(yīng)力；角點(diǎn)a、c

承受最大拉應(yīng)力。d－+c例題2兩個平面彎曲疊加的結(jié)果是：角點(diǎn)c承受最大拉應(yīng)力；角點(diǎn)b承受最大壓應(yīng)力。因此b、c兩點(diǎn)都是危險點(diǎn)。這兩點(diǎn)的最大正應(yīng)力數(shù)值相等，即

解：3.計(jì)算兩個平面彎曲情形下的最大正應(yīng)力

bc例題2解：3.計(jì)算兩個平面彎曲情形下的最大正應(yīng)力其中l(wèi)=4m，F(xiàn)P=80kN，

=5

。另外從型鋼表中可查到32a熱軋普通工字鋼的Wz=70.758cm3，

Wy=692.2cm3。將這些數(shù)據(jù)代入上式得到.因此，梁在斜彎曲情形下的強(qiáng)度是不安全的。

例題2解：4.討論如果令上述計(jì)算中的

＝0，也就是載荷FP沿著y軸方向，這時產(chǎn)生平面彎曲，上述結(jié)果中的第一項(xiàng)變?yōu)?。于是梁內(nèi)的最大正應(yīng)力為

115.6MPa。這一數(shù)值遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于斜彎曲時的最大正應(yīng)力?？梢?，載荷偏離對稱軸(y)一很小的角度，最大正應(yīng)力就會有很大的增加(本例題中增加了88.4％)，這對于梁的強(qiáng)度是一種很大的威脅，實(shí)際工程中應(yīng)當(dāng)盡量避免這種現(xiàn)象的發(fā)生。這就是為什么吊車起吊重物時只能在吊車大梁垂直下方起吊，而不允許在大梁的側(cè)面斜方向起吊的原因。

第9章組合受力與變形

彎曲與扭轉(zhuǎn)組合

圓柱形薄壁容器應(yīng)力狀態(tài)與強(qiáng)度計(jì)算

結(jié)論與討論

斜彎曲

拉伸（壓縮）與彎曲的組合

拉伸（壓縮）與彎曲的組合AB+=例題3

一橋墩如圖示。承受的荷載為：上部結(jié)構(gòu)傳遞給橋墩的壓力F0＝1920kN，橋墩墩帽及墩身的自重F1＝330kN，基礎(chǔ)自重F2＝1450kN，車輛經(jīng)梁部傳下的水平制動力FT＝300kN。試?yán)L出基礎(chǔ)底部AB面上的正應(yīng)力分布圖。已知基礎(chǔ)底面積為b×h＝8m×3.6m的矩形。例題4

Aninclinedbeam,P=25kN,l=3m,

b×h=160×300mm2,Determinethemaximumtensileandcompressivestresses.Solution:Thelowerhalf:bendingandcompressionlPl/230°C30°Theupperhalf:bending

Pl/4Psin30°Inasectiontotherightoftheappliedforce:Inasectiontotheleftoftheappliedforce:lPl/230°C30°Pl/4Psin30°偏心拉伸（壓縮）單向偏心拉伸（壓縮）單向偏心壓縮時,偏心力作用的一側(cè)邊緣總是產(chǎn)生壓應(yīng)力,而最大正應(yīng)力(考慮正負(fù))總是發(fā)生在距偏心力較遠(yuǎn)的另一側(cè),其值可能是拉應(yīng)力,也可能是壓應(yīng)力.雙向偏心拉伸（壓縮）3.應(yīng)力計(jì)算ABCD例題5

圖示矩形截面鋼桿，用應(yīng)變片測得桿件上、下表面的軸向正應(yīng)變分別為εa＝1×10－3、

εb

＝0.4×10－3，材料的彈性模量E＝210GPa。(1).試?yán)L出橫截面上的正應(yīng)力分布圖；(2).求拉力F及偏心距δ的距離。截面核心ABCD令y0，z0代表中性軸上任一點(diǎn)的坐標(biāo)中性軸是一條不通過截面形心的直線中性軸中性軸