十種求外接球與內(nèi)切球模型(解析版)-2023年新高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)之立體幾何(新高考適用)

專題Ol十種求外接球與內(nèi)切球模型

【必備知識點】

模型一:墻角模型

墻角模型是三棱錐有一條側(cè)棱垂直于底面且底面是直角三角形模型,用構(gòu)造法（構(gòu)造長方體）解決.外接球的直

徑等于長方體的體對角線長.

使用范圍：3組或3條棱兩兩垂直;或可在長方體中畫出該圖且各頂點與長方體的頂點重合

推導(dǎo)過程:長方體的體對角線就是外接球的直徑

22

公式:找三條兩兩垂直的線段,直接用公式（2R）2=合+?+c,gp2R=JT壽”,求出R

例L四面體ABC。的每個頂點都在球。的球面上，A8,AC,AD兩兩垂直，且AB=有，AC=2,AD=3,

則球。的表面積為（）

A.64πB.16萬C.4乃D.〃

【答案】B

【詳解】

四面體ABCD的外接球。即為以A8,AC,AD為長、寬、高的長方體的外接球，

球0的外接球半徑A=L>JAB2+AC2+AD2=2,

2

???球O的表面積S=4πR2=16萬.

故選：B.

例2.在邊長為2的正方形ABe。中，E,尸分別為線段48,BC的中點，連接DE,DF,EF,將.ADE,

CDF,BEF分別沿。E,DF,EF折起，使A,8,C三點重合，得到三棱錐O-QEF,則該三棱錐外接球的

表面積為（)

A.37B."乃C.6萬D.24萬

【答案】C

【詳解】

解：在正方形A8CD中，ADYAE,CDA.CF,BEYBF,

折起后OC,0E,0尸兩兩垂直，

故該三棱錐外接球即以。Q,0E,。尸為棱的長方體外接球.

因為0￡>=2,0E=?,OF=X,

所以2/?=，必+01+0產(chǎn)=指，所以R=半，所以該三棱錐外接球的表面積為S表=4;TR2=6萬，

故選：C.

例3.已知P,A,B,C為球0的球面上的四個點，若P4L平面ABC,ACLBC,PA=?,AC=BC=0，

則球。的表面積為()

A.2πB.3〃C.4乃D.5π

【答案】D

【詳解】

解：在三棱錐P-ABC中，P4_L平面ABC,ACLBC,故可將三棱錐P—ABC補形成如圖所示的長方體.

若P,A,B,C為球。的球面上的四個點，則該長方體的各頂點亦在球0的球面上.設(shè)球。的半經(jīng)為R,

222

則該長方體的體對角線長為2R，即2R=PA+AC+BC=√5，

22

從而有Ssto=4πR=π(2R)=5π-,

故選：D.

例4.如圖，在矩形ABCD中，AB=y∕2,BC=2,E為BC中點，把AABE和△(?￡>E分別沿AE,DE折起,

使點B與點C重合于點P,若三棱錐P-A￡>E的四個頂點都在球。的球面上，則球。的表面積為（）

A.3πB.4πC.5πD.9π

【答案】C

【詳解】

依題意，PE±PA,PErPD,PAPD=P,尸4尸。U平面融。，則PE_L平面24。，

又PA=PD=?,AD=2,即有PA2+P02=AD2,則必，/>￡）,

因此可將三棱錐P-ADE補形成以「瓦PA,PD為相鄰三條棱的長方體，

若三棱錐尸-AZ）E的四個頂點都在球。的球面上，則該長方體的各頂點亦在球。的球面上，

設(shè)球。的半徑為R,則該長方體的體對角線長為2R,即2R=JPE?+PA2+PD=石，

所以球O的表面積為S=4πR2=兀QR）I=5π.

故選：C

例5.在正三棱錐S-ABC中，點Λ/是SC的中點，且A〃_LS3,底面邊長A3=2√I,則正三棱錐

S-ABC的外接球的表面積為（）

A.6πB.12萬C.32萬D.36兀

【答案】B

【詳解】

因為三棱錐S-ABC為正三棱錐，所以S5J_AC,又AM_LSB,ACCAM=A,AC,AMU平面SAC,

所以S3_L平面SAC,所以S3,SAS5,SC,同理WLSC,即5Λ,SB,SC三線兩兩垂直，且

AB=20,所以S4=S5=SC=2,所以（2R）2=3x22=12,所以球的表面積S=4"R2=124，故選B

例6.將一個邊長為4的正三角形ABC沿其中線3。折成一個直二面角，則所得三棱錐A-BCD的外接球的

體積為.

【答案】生3

3

【詳解】

由題意得：AB=BC=4,AD=CD=2,BDYAD,CDLBD,即BOJ.平面4OC：

，二面角4一3￡?-（7為直二面角，.,.4）_1_。￡）,

則三棱錐4-BCD的外接球即為以328,A短為長寬高的長方體的外接球，

又BD=√16-4=2耳,

三棱錐A-BCD的外接球半徑R=I>JAD2+CD2+BD2=IJ4+4+12=√5,

22

三棱錐A-BCD的外接球體積V=-πR^=生叵

33

故答案為：心叵π?

3

例7.在正三棱錐S-ABC中，M,N分別是棱SC,BC的中點,且AΛf，MN,若側(cè)棱SA=,則正

三棱錐S-ABC外接球的表面積是.

【答案】36萬

【詳解】AM1.MN,SB//MN,:.AMA.SB,-.■AC1.SB,SB1平面SAC,:.SB±SA,SB±SC,

SB1SA,BC1S4,M_L平面SBC,:.SA±SC,故三棱錐S-ABC的三棱條側(cè)棱兩兩互相垂直，

.?.(2R)2=(2√3)2+(2月)2+(2百)2=36,即4R2=36,/.正三棱錐S-ABC外接球的表面積是36萬.

例8.在長方體ABCD-ABCQI中,底面ABC。是邊長為3友的正方形，AA=3,E是線段A4上一點,

若二面角A—BD-E的正切值為3,則三棱錐A-4。E外接球的表面積為.

【答案】35萬

【詳解】過點E作EFlIM交AB于尸，過尸作FGj_3。于G,連接EG,則ZEGF為二面角

A-BD-E的平面角，tanZ￡GF=3,.?.-=3,.■EFAA1=3,:.FG=I,貝!∣BF=O,=B?E,

FG

.?.√?E=2√2,則三棱錐A-ARE外接球的直徑為√8+9+18=√35,因此三棱錐A-AtDiE外接球的

表面積S=35?.

模型二:對棱相等模型

使用范圍:對棱相等的三棱錐

推導(dǎo)過程:通過對棱相等,可以將其補全為長方體,補全的長方體

體對角線為外接球直徑,設(shè)長方體的長寬高為別為。力,C

AD=BCa2+b2=BC2=λ2

AB=CD>=><b2+c2AC2=μ1

AC=BDc2+a~-AB^—k'

B

222

a+b+c==+儲+.=R=佇儲+■

2V8

,1,?1,

一BCD=abc——abc×4=-abc

例1.如圖，在二ABC中，Aβ=2√5,BC=2√iθ,AC=2√13,D,E,F分別為三邊中點，將BDElADF”.CEF

分別沿。旦EF,。尸向上折起，使A,B,C重合為點P,則三棱錐P-際的外接球表面積為（）

πC.14萬D.56萬

23

【答案】C

【詳解】

山題意可知，PE=DF=M,PF=DE=厄PD=EF=#,即三棱錐P—DEF的對棱相等，先將該三棱錐

補充成長方體，如圖所示:

設(shè)FH=X,HD=y,HP=Z,則/+產(chǎn)=io,+z?=5,/+z?=晝，所以/+丁+z?=也，于是三棱錐尸一DEF

2

的外接球直徑為亞，半徑為半，所以該三棱錐外接球的表面積為：4p

14/7.

故選：C.

3

例2.在aABC中，AB=AC=2,COSA=Z,將△ABC繞BC旋轉(zhuǎn)至△BCO的位置，使得AD=6,如圖

所示，則三棱錐。-ABC外接球的體積為.

D

【答案】-π

6

【詳解】

在AABC中，由余弦定理得8C2=22+22-2X2X2*1=2,所以3C=√L

在三棱錐D-ABC中，AB=AC=DB=DC=I,AD=BC=近.

將三棱錐DTSC放入長方體，設(shè)長方體的長、寬、高分別為a,b,c,

棱錐D-ABC外接球的半徑為R,則a2+b2=4,b2+c2=4,a2+c2=2,

所以/+〃+/=5,

所以Rj√Z7τ77=正，

22

從而三棱錐A-ABC外接球的體積V=±∕ΓR3=還憶

36

故答案為：在π

6

例3.已知三棱錐P-ABC的每條側(cè)棱與它所對的底面邊長相等，且PA=30，PB=PC=5,則該三棱錐

的外接球的表面積為

【答案】34%

【詳解】

解：根據(jù)題意，三棱錐尸-ABC可以嵌入一個長方體內(nèi)，且三棱錐的每條棱均是長方體的面對角線，設(shè)長方

體交于一個頂點的三條棱長為。，b,c,如圖所示，

222222

貝∣Jq2+b2=Q42=i8,a+c=PB=25,b+c=PC=25，解得α=3,b=3,c=4.所以該三棱錐的外

接球的半徑為R=6+3?+4=叵,所以該三棱錐的外接球的表面積為

222

5=4萬7?2=47乂［孚］=34Λ-.故答案為：34;F

例4.已知四面體ABCe的棱長滿足AB=AC=BO=CQ=2,BC=AO=I,現(xiàn)將四面體ABCO放入一個軸

截面為等邊三角形的圓錐中，使得四面體ABC?？梢栽趫A錐中任意轉(zhuǎn)動,則圓錐側(cè)面積的最小值為

27

【答案】vπ

【詳解】

根據(jù)題意，只需四面體ABCQ在圓錐的內(nèi)切球內(nèi)，下面求四面體A8C。的外接球半徑.

如圖所示，將四面體放入長方體中，設(shè)長方體的長寬高分別為。，力，。，

o

則/+/=4,a1+C2=4,Z?2+c2=1,故4/?2=M+/+/=

可得四面體ABCD的外接球半徑為邁.

4

當(dāng)圓錐的側(cè)面積最小時，該圓錐的內(nèi)切球即四面體ABC。的外接球，

則此時圓錐的內(nèi)切球的半徑為R=逑，底面圓的半徑為r=逑XG=巫,

444

母線長為述x2=逑，所以側(cè)面積為s=πχ婭X婭=也.

42424

故答案為：-?-.

4

例5.在三棱錐P-ABC中，PA=BC=2芯,PB=AC=屈,AB=PC=5,則三棱錐P-ABC的外接球

的表面積是.

【答案】29π

【詳解】

由題意，PA=BC=2后,PB=AC=岳,PC=AB=5,將三棱錐P-ABC放到長方體中，

可得長方體的三條面對角線分別為2石，√13,5,設(shè)長方體的長寬高分別為“力,c,

即?∣a2+b2=2-^5>>∣c2+b2=>∕13，?Ja2+c2=5>

解得：a=4,b=2,c=3.

長方體的體對角線即為三棱錐和長方體公共外接球的直徑2R,

Λ(2R)2=a2+b2+c2n4R2=29nS球=4欣』29兀.

故答案為：29π.

例6.已知三棱錐A-BCD,三組對棱兩兩相等,且AB=CD=l,AD=BC=s∕3,若三棱雉A-BCD的外接

97

球表面積為——.則AC

2

【答案】小

【詳解】

將四面體A—88放置于長方體中，?四面體A—88的頂點為長方體八個頂點中的四個，

.?,長方體的外接球就是四面體A—BCD的外接球,?AB=Co=LAo=BC=6,且=組對棱兩兩相等,

+(舟+/]=Jg(4+Y)

AC=5D=x,得長方體的對角線長為可得外接球的直徑

2R=g(4+f),所以R=也；X)三棱錐A—BCD的外接球表面積為:4萬曉=21,解得

R=^-=一丫一,解之得X=、后，因即AC=BD=J5.

4

模型三:漢堡模型

適用范圍:有一條側(cè)棱垂直于底面的柱體

推導(dǎo)過程:如圖,直三棱柱內(nèi)接于球（同時直棱柱也內(nèi)接于圓柱,棱柱的上下底面可以是任意三角形）.

第一步:確定球心。的位置,。|是ABC的外心,則Ool?平面ABC.

第二步:算出小圓。I的半徑Aa=A?,00∣=-A41=]∕ι（AA=力也是圓柱的高）.

第三步:勾股定理：C%2+L=H=,求出R

公式:R

例L已知某圓柱的高為4a，體積為4√^π,則該圓柱外接球的表面積為（）

A.324B.36πC.40%D.ΔAπ

【答案】B

【詳解】

設(shè)圓柱底面圓的半徑為r,則%/x40=40;r，解得r=l?

設(shè)該圓柱的兩底面中心分別為。I、O2,則該圓柱外接球的球心。為線段002的中點,

球。的半徑為R=.∣F+1墳■]=3，故球。的表面積S=4萬R2=36乃.

7

故選：B.

例2.已知三棱柱的各個側(cè)面均垂直于底面，底面為正三角形，側(cè)棱長與底面邊長之比為3：2,頂點都在

一個球面上，若三棱柱的側(cè)面積為162,則該球的表面積為（）

A.120;TB.√129^-C.129萬D.180萬

【答案】C

【詳解】

山題意，設(shè)球的半徑為r，底面三角形邊長為2x,因為側(cè)棱長與底面邊長之比為3：2,

所以側(cè)棱長為3x,因為三棱柱的側(cè)面積為162,

即滿足3?(3X)?(2X)=18X2=162,解得X=3,

可知側(cè)棱長為9,底面邊長為6,如圖所示,

設(shè)MM分別是上、下底面的中心，MN的中點。是三棱柱ABC-A外接球的球心，

/o11O

貝IJAM=^?X6=2√LOM=-MN=-AAi=-

√129

r=OA=sJθM2+AM2

2

所以S=4πr2=4π×=?29π.

故選：C.

,則球。的

例3.已知三棱柱ABC-A46的6個頂點都在球。的表面上，AB=AC=AA1=2,ZBAC=120

表面積是()

C16

A.4πB.—πC.16πD.20π

3

【答案】D

【詳解】

山余弦定理得

BC2=AB2+AC2-2AB?AC?cosZBAC=22+22-2×2×2×l-^I=12,

.,.BC=2y∕3,

設(shè)^ABC外接圓的圓心為。I,半徑為C0∣,由正弦定理得

RC2上_

.=2CO?,即正一'CU,解得Ca=2,

sinNBAC—

2

設(shè)外接球的半徑為R=CO.

?.?qθ=:Λ4l=1,

/.R=CO=Q(CO了+(OO了=√22+l2=√5,

球0的表面積為S=4πR2=20π.

故選：D.

例4.直三棱柱ABC-ABC所有頂點都在球。的表面上，且NBAC=￡,AA=2^2,AC=GAB=3,則

Oi

【詳解】

解：直三棱柱ABC-ABC的6個頂點都在球。的表面上，且NBAC=J,AA1=20,,AC=KAB=3,

O

BC=JAB2+AC2-2ΛB?ACcos^=^3+9-2×3x√3×?γ=√3>

設(shè)ΔABC為外接圓的圓心為E,

2,=9=2+,所以廣=^L

sin—

6

設(shè)外接球的球心為O，設(shè)球的半徑為H，

所以R=9J=石，故S球=4萬?（石尸=20%.故答案為：20%.

例5.在四面體ABa）中，AB=CO=I,BC=2,且ABL3C,CDLBC,異面直線A8,C。所成角為

則該四面體外接球的表面積為.

【答案】3三或8;T

【詳解】

由題意可以將四面體A8CO補成一個如圖所示的直三棱柱,

因為異面宜.線AB,8所成角為5，所以NABE=（或與，

設(shè)ZMBE的外接圓半徑為r,當(dāng)NABE=W時，—l_=2r,r=—,

3sin603

當(dāng)NABE=M時，AE=Wl，則=^=2r,r=l,

3sin120

設(shè)四面體的外接球半徑為R,則/?=卜有尸=√7i,

所以該四面體外接球的半徑R=2叵或血,

3

則外接球的表面積為.4讓=等或8萬，

故答案為；或8萬

模型四:垂面模型

適用范圍:有一條棱垂直于底面的椎體

推導(dǎo)過程:第一步:將ABC畫在小圓面上，A為小圓直徑的

一個端點,作小圓的直徑AD,連接PD,則PD必過球心。.

第二步：O1為ABC的外心,所以O(shè)a，平面ABC,算出小

圓0,的半徑0,D=r(三角形的外接圓直徑算法：利用正弦

定理——=b--￡--2r00.=—PA.

sinAsinBsinC)2

22

第三步：利用勾股定理求三棱錐的外接球半徑：⑴(2R)2=PA2+(2r)202R=λ∕∕?+(2r);(2)

T?2=r2+OOyOR=Jp+OO；.

公式：R2=∕+S

4

例1.已知三棱錐P-ABC,其中R4_L平面ABC,ZBAC=120o,PA=AB=AC=I,則該三棱錐外接球

的表面積為()

A.12〃B.164C.20萬D.24;T

【答案】C

【詳解】

根據(jù)題意設(shè)底面ABC的外心為G,。為球心，所以O(shè)GJ?平面ABC,因為PA_L平面ABC,

所以O(shè)G〃/?,設(shè)。是R4中點，因為OP=OA,所以_LE4,

因為24_L平面ABC,AG?TffiIABC,所以AG_LPA,因此0。//AG,

因此四邊形ODAG是平行四邊形，故OG=A。=；PA=1,

由余弦定理,WBC=√ΛB2+AC2-2AB-AC-cos1200=^4+4-2×2×2×(-^)=2√3,

由正弦定理，得"2AG。-3=?AAGO-2-Z,所以該外接球的半徑R滿足

T

代=(OG)2+(AG)2=5=S=4萬2=20%，故選：C.

例2.已知四面體43CD的每個頂點都在球。的球面上，CDj_平面ABC,AC=2√3,45C是正三角形,

AACD是等腰三角形，則球。的體積為（）

?20√5C.”

A.-------πB.8√6^?D.36%

33

【答案】C

【詳解】

?！?gt;_1平面43。，4Cu平面ABC,ΛCDlAC,

又“S是等腰三角形，??.CD=AC.

ABC是正三角形，..AB=3C=AC=CZJ=2百.

設(shè)E為AΛBC外接圓的圓心，則CE=2岔X等Xg=2,OE=1CD=A

:.OC=^OE1+CE1=√7>,球O的體積V=g萬X(J7『=空詈τ?

故選：C.

例3.在三棱錐S-ABC中，側(cè)棱S4_L底面ABC,AB=5,BC=8,NABC=6()：SA=2JF,則該三棱

錐的外接球的表面積為（）

642564362048λΛ

A.一πB.-----πC.-----πD.-----------π

27

【答案】B

【詳解】由題意知，AB=5,BC=8,NABC=60°,則在/ABC中，由余弦定理得AC?=A4+BC?一

2×AB×BC×cosZABC,WffAC=I,設(shè)AA5C的外接圓半徑為r,則AABe的外接圓直徑

ΛΓ77

2r=———=4-,.?.r=√=,又?.?側(cè)棱S4底面ABC,:.三棱錐的外接球的球心到平面ABC的距

sinZABC7√3

2

離/z=∕s4=石，則外接球的半徑R=槨，則該二棱錐的外接球的表面積為

，D，256

Sc=4兀R~=---π.

3

例4.已知四棱錐P-ABCD的五個頂點在球。的球面上，PAL底面ABCD,PA=4,AB=AD,BC=CD,

/840=120。，且四邊形ABCf）的面積為蛀，則球。的表面積為.

4

【答案】251

【詳解】

如圖所示，在四邊形中ABC。，連結(jié)80,AC,

由A8=AO,BC=CO,所以A4B8ΔADC,所以NΛ5C=NAOC,/BAC=NDAC,因為A,3,C。在同一圓

上，所以ZABC=ZADC=90°,

又因為NBAD=I20。，所以NBeD=60。，則NBAC=N∩4C=60。，

在RfABCΨ,可得BC=GAB,

因為底面ABC。的面積為?,所以2XLA8?√5A2=%^,解得A8=，

4242

則心孚AC=序?qū)?3,

3

所以RjABC外接圓的半徑r=/,

將四棱鏈P-ABCO補成直四棱柱PEFG-ABCD?

該宜棱柱的所有頂點都在球。的球面上，

設(shè)底面四邊形ABcD所在圓的圓心為Q,連接。0-則。平面ABC。，

過。”_LPA,垂足為例，

由球的而稱性可知，球心0到底面ABC。的距離為d=OOt=AM=^PA=2,

所以球0的半徑R滿足R2=d2+r2=^-,所以球0的表面積S球。=4萬心=.

故答案為：25%.

例5.在三棱錐P-ABC中,A4_L平面43。,/區(qū)4。=120°,4。=2,48=1,設(shè)。為5。中點，且直線PO

與平面ABC所成角的余弦值為手，則該三棱雉外接球的表面積為

【答案】—π

3

【詳解】在，ABC中,NBAC=120°,AC=2,AB=I,

由余弦定理得:BC2=AC2+AB2-2ΛC?BCcos/BAC,即BC?=2?+『一2x2χ1XCOSI20°=7,

√72√7

解得:BC=#i.'設(shè)八ABC的外接圓半徑為r,由正弦定理得2r=BC

sinZBACsin120G

解得：r=0=叵;且coSNABCAB2+BC2-AC2l2+(√7)2-222√7

√332ABBC2×1×√77

又。為BC中點，在LABD中、BD=LBC=也，AB=LcoSNABD=班

227

由余弦定理得：AD2=AB-+BD2-2AB-BDcosZABD,BP：

AD2=l2+f^-2xlx*x誓~=j解得AD=*.

又因為R4_L平面ABC,所以NPD4為直線PD與平面ABC所成角，由COSNPzM=絡(luò),得

2√5

sinZPDA=,tanNPDA=2

5

所以在Rt..RLD中，PA-AD-tanNPDA--^-?2=下).

2

設(shè)三棱錐P-ABC的外接球半徑為R,所以H=

37

P-ABC外接球表面積為S=4%爐兀.

3

模型五:斗笠模型

例1.已知A,B,C為球。的球面上的三個點，G>α為，A5C的外接圓.若α的面積為

4萬,AB=BC=AC=00,則球。的表面積為（）

A.64%B.48;TC.36萬D.32萬

【答案】A

【詳解】

Λβ

設(shè)Oa的半徑為r,球的半徑為R,依題意，得萬戶=4肛.?.r=2.由正弦定理可得-----=2,

sin60

.?.AB=2rsin60"=2√3:.OO}=AB=26.根據(jù)球的截面性質(zhì),得Oa±平面ABC,;.OO1±O1AR=

2222

OA=y∣OO；+OiA=λ∕∞l+r=4,/.球。的表面積S=4πR=64萬.故選A.

例2.正四棱錐的頂點都在同一球面上，若該棱錐的高為4,底面邊長為2,則該球的表面積為（）

81乃“C27乃

A.-----B.16τrC.9萬D.------

44

【答案】A

【詳解】

如圖所示，設(shè)球半徑為R,底面中心為。'且球心為。,?.?正四棱錐P-ABCD'I'AB=2,:.AO'

=√2,PO'=4,.?.在RtAAOO'中，402=40'2+00'2,，氏2=（0）2+（4一7?）2,解得/?=2,；.該球的

4

例3.已知一個圓錐的母線長為2m，側(cè)面展開圖是圓心角為半的扇形，則該圓錐的外接球的體積為

（）

A.36%B.48%C.36D.24√2

【答案】A

【詳解】

設(shè)圓錐的底面半徑為r,由側(cè)面展開圖是圓心角為獨∑的扇形得:

3

2πr=2"π×2?fβ,解得：r=2^2.

3

作出圓錐的軸截面如圖所示:

設(shè)圓錐的高為〃，則h=^(2√6)2-(2√2)2=4.

設(shè)該圓錐的外接球的球心為0,半徑為R,則有R=WI-Ry+產(chǎn),

即R=?4-Ry+(2用,解得：R=3,

所以該圓錐的外接球的體積為"C=把=36萬.

33

故選：A.

例4.在三棱錐P-AfiC中，側(cè)棱PA=P8=PC=而，ZBAC=^,BC=2也，則此三棱錐外接球的表面

積為_______

■.50ττ

【答案】亍

【詳解】因為PA=PB=PC=癡，所以點P在底面ABC的射影為，ABC的外心?！?/p>

2√2

所以球心。在直線上，設(shè)三棱錐外接球的半徑為因為

PaR,24α=.π，

sin—

4

所以Aq=2,POl=√6,山AO?=OO：+AO：可得,

Λ2=(√6-Λ)2+4,解得R=京，故此三棱錐外接球的表面積為4萬/?2=4乃XV=日乃.

..→,?.、［50ττ

故合f案為：-?-

例5.已知正四面體的棱長為4,則此四面體的外接球的表面積是為.

【答案】24萬

【詳解】

如圖正四面體ABCf）棱長為4,AHJ_平面Be。于“，則”是aBCD中心，BH=-×4=-

33

AHJ_平面Ba）,BHU平面BCD,則AH=

設(shè)外接球球心為。，則。在AH,則Q4=Q8=R為外接半徑,

由BH'+OH2=BO2R-,解得R=?/e>

：.S=4πR2=24π.

故答案為：24萬.

例6.在三棱雉P-ABC中,PA=PB=PC=2√6,AC=AB=4,且AC_L43,則該三棱錐外接球的表面

積為.

【答案】36萬

【詳解】

設(shè)頂點P在底面中的射影為α,由于=依=PC,所以αA=0出=QC,即點?是底面，ABC的外心,

又ACLAB,所以。為BC的中點，因為PA^PB=PC=2√6,ΛC=AB=4,所以

BC=gAO?=2√2,PO1=4,設(shè)外接球的球心為。.半徑為R,則。必在Pa匕OlO=4-R.在

RtOQA中，（4一/?尸+（2后）2=/?2,解得寵=3,所以52=4萬7?2=364.

例7.一個圓錐恰有三條母線兩兩夾角為60°,若該圓雉的側(cè)面積為3岳,則該圓雉外接球的表面積為

27%

【答案】

2

【詳解】

設(shè)NASB=NBSC=NCS4=60°,則S4=S3=SC=A5=AC=3C.設(shè)AB=X,則底面圓的直徑為

Y9?19r1-

2r=-=半，該圓錐的側(cè)面積為-π―?x^^π,解得x=3,高

sin60√32√3

OS加一電）2=#..?7=1■=G.設(shè)圓錐外接球的半徑為R,所以（、/一R）2+r2=R2,解得

3M

R=子’則外接球的表面積為4萬叱27%

萬

例1.已知四棱錐P-ABa）中，底面ABCz）為邊長為4的正方形，側(cè)面PAB，底面ABCZ）,且APAB為等邊

三角形，則該四棱錐P-AeeD外接球的表面積為（）

1?2πC64τr??

A.-------B.-----C.64ττD.16冗

33

【答案】A

【詳解】

如圖所示，在四棱錐P-ΛBC。中，取側(cè)面△/?B和底面正方形ABC。的外接圓的圓心分別為。,。2,分別

過O?作兩個平面的垂線交于點O,

則由外接球的性質(zhì)知，點。即為該球的球心，

取線段A8的中點E,連0?E,O2E,O2D,OD,則四邊形。無。?。為矩形,

在等邊中，可得PE=2λ^,則OIE=2，即。（?=2f，

在正方形4BC。中，因為AB=4,可得O∕>=2收，

92

在直角AooR中，可得OD2=OO；+0/2,即代=OO；+0/2=可，

所以四棱錐P-ABCD外接球的表面積為S=4πR2=詈.

故選：A.

例2.已知三棱錐A—BCD中，,ABD與BCD是邊長為2的等邊三角形且二面角A-3。一C為直二面角,

則三棱雉A-88的外接球的表面積為（）

10120π

A.——B.5%C.6兀D.——

33

【答案】D

【詳解】

取Bo的中點M,=OFLAM,

OELMeOECoR=O連接OC,點O是二棱錐A-BCD的外接球的球心，因為棱長都是2,所以

OE=FM=立,EC=*,所以在/QEC中，C=OC=J。爐+叱=巫,那么外接球的表面

333

積是S=4萬R?="］，故選D.

3

例3.已知四棱錐尸-ABCD的體積是366,底面ABC。是正方形，4PAB是等邊三角形，平面PAB，平面

ABCD,則四棱錐P-ABCD的外接球的體積為.

【答案】28√21Λ-

【詳解】

設(shè)正方形ABa)的邊長為2x,在等邊三角形EW中，過P點作「K_LA8于E,

由于平面PABj_平面ABCD,：.PE_L平面ABCD.

由于Z√5AB是等邊三角形，貝UPE=6X,

/?VP.ABCI>=??SABCD?尸EwX(2x)2XgX=36耳,解得x=3.

設(shè)四棱錐外接球的半徑為R，。1為正方形ABC。中心，。2為等邊三角形以8中心，。為四棱錐產(chǎn)一ABC3

外接球球心，則易知。。2EOl為矩形，

則OOt=EQ=；Ao=X=3,PO,=∣PE=∣?3√3=2√3,

R=OP=JOO；+PO；=√9+12=√2?,

二夕卜接球體積丫=§〃X(后產(chǎn)=28√21^?.

故答案為：28√21Λ-.

例4.已知四面體ABCO中，AABO和△8。C是等邊三角形，二面角A-BD-C為直二面角.若AB=，

則四面體ABCD外接球的表面積為.

【答案】80萬

【詳解】

如圖所示：設(shè)。1為488的中心，。為四面體A8C。的外接球的球心，

則Oa，平面BOC.

設(shè)用為線段B。的中點，外接球的半徑為R,

連接AM,CM,04,

過。作OG_LAM于點G,

易知G為AABD的中心，則Oa=OG=MOl=MG,

因為MA=X4>/3=6，

2

故MG=OG=?×6=2,GA=4,

3

在RtAAGO中，GA2+GO2=OA2,

??22+42=/?2.

則Λ=2√5.

所以外接球的表面積為S=4乃&=8（br，

故答案為:80%.

例5.已知在三棱錐A-BCO中，平面4?。，平面BCD88和4ABO均是邊長為2括的正三角形，則該三

棱錐的外接球體積為.

【答案】20√∣π

3

【詳解】

依題意，平面平面Ba>,8CD和均是邊長為的正三角形，

設(shè)G是8。的中點，則AG_LBRCGJ.80,

由于平面ABr）JL平面8C。且交線為BD,

所以AG_L平面BCD,CGj■平面ABZX

設(shè)E,F分別是等邊三角形ABD和等邊三角形BCD的中心，

22

貝IJAE=CF=2GE=2GF=-CG=-x3=2.

33

設(shè)。是三棱錐A-BCD外接球的球心，

則OE，平面45。，OFJ_平面BC￡).

所以外接球的半徑R=y∣OF2+CF2=√l2+22=√5>

所以外接球的體積為與χ(石了=竿九

故選：∞√5π

3

模型七:折疊模型

使用范圍:兩個全等三角形或等腰三角形拼在一起,或菱形折疊.

推導(dǎo)過程:兩個全等的三角形或者等腰拼在一起,或者菱形折疊,設(shè)折疊的二面角ΛAEC=a,CE

=Az=〃.如圖,作左圖的二面角剖面圖如右圖：4和H2分別為BCD,A'8。外心,

CH.=r---------------,EH,=h—r,OH.=(JI—r)tan—故

'2sinZBCZ)1'2

222

R=OC=OH;+CH；=產(chǎn)+(∕2-z?)2ta∏y.

公式:R2=r2+(h-r)2tan2—

2

例L已知菱形ABC。中，ND48=60°,AB=3,對角線AC與6。的交點為。，把菱形ABC。沿對角線

8。折起，使得ZAOC=90°,則折得的幾何體的外接球的表面積為（

?5π

A.15萬

【答案】A

【解析】菱形ABcD中,ND43=60°,A8=3,三角形AB短的外接圓的半徑為廠=-。=后高

2sin60

3√3

力=工,對角線AC與比）的交點為。,使得a=ZAOC=90°,則折得的幾何體的外接球的半徑為:

2

tan245°=",外接球的表面積為S=44

2

例2.在三棱雉P-ABC中，PA=PB=AC=BC=2,AB=2√3,PC=I,則三棱雉P-ABC的外接球的

表面積為（）

B.4πC.↑2π

【答案】D

【解析】取AB中點O,因為Q4=BB=AC=BC=2,所以PO=CD=I,又PD_LA8,CD_L43,則面

PDC±面ABC,設(shè)zABC的外心為Q,外接圓半徑為r,三棱錐P-ABC的外接球的球心為。，則

Afi

OOl_1面43。,44。3=120°,由r=———r=2,Zz=L設(shè)NPDC=α=60°（二面角平面角），外接球

2si