2023-2024學(xué)年四川省高二年級(jí)下冊(cè)期末數(shù)學(xué)（文）模擬試卷（含答案）

2023-2024學(xué)年四川省高二下冊(cè)期末數(shù)學(xué)(文)模擬試卷

一、單選題

1.'3#2或y≠-2”是“亨*T”的()

A.必要不充分條件B.充分不必要條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

2.若(f=i,復(fù)數(shù)Z與I在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A8,則∣431=()

A.2B.2√2C.3D.4

3.己知雙曲線￡-4=1(。>0)經(jīng)過點(diǎn)(2,3),則其漸近線方程是()

Cl?

A.γ=±√3xB.y=±∣χ

C.y=±-XD.y=±——X

33

4.橢圓5?+[=1(〃>碼的左、右焦點(diǎn)分別為Fx,F2,A為上頂點(diǎn)，若ΛAFIF2的面積為√3,

則AAK鳥的周長(zhǎng)為()

A.8B.7C.6D.5

22

5.已知過雙曲線C：4=l(a>0∕>0)的右焦點(diǎn)F(GO)作X軸的垂線與兩條漸近線交

于A,B,Q4B的面積為運(yùn)，則該雙曲線的離心率為()

3

A.也B.-C.2D.-

323

6.已知函數(shù)“X)的導(dǎo)函數(shù)為尸(X),且滿足F(X)=2礦(2)+In(X-1),則“2)=()

2

A.—1B.—C.—4D.e

3

7.拋物線y2=2x的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)Λ(l,l),P為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，則∣%+∣P目的最小值為()

A.-B.3C.2D.亞

22

8.已知函數(shù)/(x)=lΟr-αΛαeR,則下列結(jié)論正確的是()

A./(x)一定有極大值

B.當(dāng)4>0時(shí),/(x)有極小值

C.當(dāng)α<0時(shí)，/(x)可能無零點(diǎn)

D.若/(x)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞增，則a≤3

9.已知某種商品的廣告費(fèi)支出X(單位：萬元)與銷售額V(單位：萬元)之間有如下對(duì)

應(yīng)數(shù)據(jù)：

X24568

y304050m60

根據(jù)表中的全部數(shù)據(jù)，用最小二乘法得出V與X的線性回歸方程為y=6.5x+17.5,則表中加

的值為()

A.45B.50C.70D.65

10.已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，垂直拋物線UV=2pχ(p>0)的軸的直線與拋物線C交于AB兩

點(diǎn)，OA?OB=0,則IABl=4,則。=()

A.4B.3C.2D.1

11.設(shè)α=e°s,6=1.01,C=InLo1,其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則()

A.a>b>cB.b>a>c

C.b>oaD.a>c>b

12.己知函數(shù)〃同=加+(24+2)%一2,若對(duì)于任意-1?再z?1，都有二"+)>—2,

"x："X

?-2

則”的最小值為()

A.-2B.—1C.—D.0

2

二、填空題

13.已知橢圓C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4,它的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線y的焦點(diǎn)重合，則橢圓C的

標(biāo)準(zhǔn)方程為.

14.經(jīng)過點(diǎn)A(2,-l)且對(duì)稱軸都在坐標(biāo)軸上的等軸雙曲線的方程為

15.若A,B是拋物線y、4x上不同的兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線交X軸于點(diǎn)D(4,0),則

IABl的最大值為.

16.關(guān)于函數(shù)/(x)=*+lnx,給出如下四個(gè)命題：

X

①x=2是/(x)的極大值點(diǎn)；

②函數(shù)y=∕(χ)-χ有且只有1個(gè)零點(diǎn)；

③存在正實(shí)數(shù)%,使得/(χ)>履恒成立;

④對(duì)任意兩個(gè)正實(shí)數(shù)飛，三，且%>七，若/(%)=/(占)，則x∣+S>4;

其中的真命題有.

三、解答題

17.某地?cái)M于2024年將游泳列為中考體育內(nèi)容.為了了解當(dāng)?shù)?023屆初三學(xué)生的性別和喜

歡游泳是否有關(guān)，對(duì)100名初三學(xué)生進(jìn)行了問卷調(diào)查，得到如下列聯(lián)表：

喜歡游泳不喜歡游泳總計(jì)

男生10

女生20

總計(jì)

已知這100人中隨機(jī)抽取1人，抽到喜歡游泳的學(xué)生的概率為，

(1)請(qǐng)補(bǔ)充完整上述2x2列聯(lián)表；

(2)判斷是否有99.9%的把握認(rèn)為喜歡游泳與性別有關(guān).

n(ad-be)2

附:H=a+b+c+d.

(Q+?)(c+d)(α+c)(b+d)

2

p(κ≥ko)0.050.0250.010.0050.001

h,3.4815.0246.6357.87910.828

18.已知全集U=R,集合4=*∣1≤%<3},集合8={?2利〈尤VI—機(jī)}.條件①4Q,B=0；

②XeA是XeB的充分條件：③VXIWA,玉?￡5,使得X=X

(1)若機(jī)=-1,求Ae5；

(2)若集合A,B滿足條件.(三個(gè)條件任選一個(gè)作答)，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

19.設(shè)拋物線C:V=4x的焦點(diǎn)為尸，過尸作直線/與C交于A、B兩點(diǎn).

(1)若弦長(zhǎng)IABI=8,求直線/的方程：

(2)求證：當(dāng)直線/_LX軸時(shí)，AoB的面積最小.

20.已知α∈R,函數(shù)/(x)=gχ3一g(α-］)χ2-qχ-3,g(χ)=*-21nx.

(1)當(dāng)α=l時(shí)，求函數(shù)y=∕(x)在點(diǎn)(3J(3))處的切線方程；

(2)若函數(shù)/(%)的減區(qū)間是(T4),求α的值；

⑶若函數(shù))=g(x)-α在［1,3］上恰有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)”的取值范圍.

22

21.已知橢圓C:「+《=l(a>6>0),四點(diǎn)4(-2,1),∕>(0,√2),6(2J),￡(3,1)中恰

cΓh^

有三點(diǎn)在橢圓C上.

⑴求橢圓C的方程；

(2)橢圓C上是否存在異于P2的兩點(diǎn)M,N使得直線P2M與P2N的斜率之和與直線MN的斜

率(不為零)的2倍互為相反數(shù)？若存在，請(qǐng)判斷直線MN是否過定點(diǎn)；若不存在，請(qǐng)說明

理由.

22.已知函數(shù)F(X)=e*-g0χ2-x

⑴若/(x)單調(diào)遞增，求。的值；

⑵判斷(l+l)(l+j…(1+*)(〃eN*且〃≥2)與ez的大小，并說明理由.

答案：

1.A2.A3.A4.C5.A6.C7.A8.D9.C10.D11.A

【詳解】令/(x)=e*-(x+l),則r*)=e?v-l,當(dāng)x>0時(shí)，Γ(x)>0,F(X)單調(diào)遞增,

11-v^

所以/(0.01)=e"°∣-1.01>∕(0)=0,BPe001>1.01,令g(x)=lnx—x,則g，(X)=--1=-----,

XX

當(dāng)x>l時(shí)，g'(x)<O,g(x)單調(diào)遞減，所以g(1.01)=∣nl.01-1.01<g(l)=-1<0,即

In1.01<1.01所以α>b>c.

12.B【詳解】因?yàn)檎?lt;/，所以)一)>一2可化為F(Xl)-/(%)<-2區(qū)-々)，即

x]~x2

2

/(Λ?)+2X1<∕(Λ2)+2X2,令尸(X)=f(χ)+2x=ax+(2a+4)x-2,

即即X)在［7,1］單調(diào)遞增,

當(dāng)a=0時(shí)，)=以-2在［-1,1］單調(diào)遞增,

a>0a<0

當(dāng)。工0時(shí)，則,a+2或,a+2,解得〃>0或一1<。<0,

--------≤—1---------≥1

、aa

綜上所述，a≥-?,即。的最小值為T.

13.?+-≈114.4-4=115.6

4333

【詳解】解：設(shè)Aa,χ),B(?,y2),A8中點(diǎn)M(Xo,幾),

設(shè)斜率為k,則廠；二，/-丫2=4=2

相減得:

=4%Xl-X2V1+V2%

..%=資=+=3，即.2,設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F,

?AF?+?BF?=xl+x2+2=2^+2=6,Λ∣AB∣≤∣AF∣+∣BF∣=6,當(dāng)且僅當(dāng)A,B,F三點(diǎn)共線

時(shí)等號(hào)成立,此時(shí)M(2,士及)滿足在拋物線

內(nèi)部，??.IABl的最大值為6,

16.②④

【詳解】f'(x)=學(xué)Y—2,當(dāng)()<x<2時(shí)，

Γ(x)<0;當(dāng)x>2時(shí)，f↑x)>0.

.?.∕(x)在(0,2)上單調(diào)遞減，在(2,+8)上

單調(diào)遞增，x=2是/(x)的極小值點(diǎn)，故①錯(cuò)誤；根據(jù)函數(shù)/(x)的單調(diào)性及極值點(diǎn)，作出函

數(shù)f(χ)的大致圖象，如圖所示，再作出直線y=χ,易知直線y=χ與/(χ)的圖象有且只有

1個(gè)交點(diǎn)，即函數(shù)y=∕(χ)-χ有且只有1個(gè)零點(diǎn)，故②正確.

根據(jù)/(χ)的圖象可知，若要存在正實(shí)數(shù)&使得/(χ)>依恒成立，則/(χ)要存在過原點(diǎn)且

(2、

斜率為正的切線，假設(shè)/(x)存在過原點(diǎn)且斜率為正的切線，切點(diǎn)為x0-+Inx0,則切線

IXO7

-22X-2

斜率為」x一，則切線方程為y——in?=-?(-v-?),

???

2Xn-2

?.?切線過原點(diǎn)，故——1叫=-上一，整理得Xo-XokUO-4=0,

?X。

令∕7(x)=X—XInX-4,則廣(X)=-In%,

.?.在(0,1)上，F(xiàn)(x)>0,尸(x)單調(diào)遞增，在(1,+8)上，F(xiàn)'(x)<O,F(X)單調(diào)遞減，

Rx),,尸⑴<0,.?.F(x)<O恒成立，即方程XLXM?-4=O無解，即/(x)不存在過原

點(diǎn)且斜率為正的切線，故不存在正實(shí)數(shù)k使得F(X)>辰恒成立，故③錯(cuò)誤；

由%>x2,/(玉)=)可知?,>2,0<X2<2,

要證芭+々>4,即證占>4-々，JLx1>4-x2>2,

F(X)在(2+8)上單調(diào)遞增,即證〃玉)>∕(4-Λ2),

又/&)=/(&)，二證，(毛)>∕(4一電),

即證/(x)>∕(4-x),Xe(0,2).

92

令MM=/(X)-/(4一力=IrLr—In(4-X)+----------，x∈(0,2),

X4—X

-8(X-2)2

則(X)=<0,.?.〃(x)在(0,2)上單調(diào)遞減，；.∕z(x)>〃⑵=0,

X2(4-%)2

Λxl+x2>4,故④正確.

故②④.

3

17.【詳解】(1)因?yàn)樵贗OO人中隨機(jī)抽取1人抽到喜歡游泳的學(xué)生的概率為,，所以喜歡

游泳的學(xué)生人數(shù)為IoOXl=60.

其中女生有20人，男生有40人，列聯(lián)表補(bǔ)充如下:

喜歡游泳不喜歡游泳總計(jì)

男生401050

女生203050

總計(jì)6040100

*,力100×(40×30-20×10)2

(2)γ區(qū)π)為K=------------------------------≈16.667>10.828,

60×40×50×50

所以有99.9%的把握認(rèn)為喜歡游泳與性別有關(guān).

18.【詳解】(1)若"2=T,JJI∣JB={x?2m<x<?-fn]={x?-2<x<2],

A={JV∣1≤X<3}.?.AnB={x∣l≤x<2}

(2)(2)若選①因?yàn)锳。，8=0,所以A=

tn<-

2∕π<12

則<1—機(jī)≥3n,m≤-2,所以膽≤-2,所以實(shí)數(shù)”的取值范圍為(fo,-2].

2fm<?-m1

m<-

3

若選②九GA是xe3的充分條件，則A=B,

1

m<一

2m<12

則<1一〃2≥3=,m≤-2f所以加≤-2,所以實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為(-∞,-2].

2m<?-m1

m<—

3

若選③WX]GA%?C8,使得玉=/,則Ag8,

2m<1

所以機(jī)所以實(shí)數(shù)，”的取值范圍為

則<1-tn≥3=><m<-2f≤-2,(γo,-2].

2m<?-m1

m<—

I3

19.【詳解】(1)如圖所示，設(shè)A(Xl,y∣),B(x2,y2),

因?yàn)橹本€/過焦點(diǎn)戶(1,0),所以直線/的方程為χ=^y+ι,

,、fx=zwy÷l

聯(lián)立《2ny2_94陽_4=0,

Iy-=4x

所以y+y2=4m,yly2=~^,所以4+超=，"(％+%)+2=4”/+2,

由拋物線的定義知，IABI=XI+%+2=4/+4,又因?yàn)镮ABl=8,

所以4病+4=8,解得：，”=±1,所以直線/的方程為.χ±y-l=O

(2)如圖所示，4/

證明：由(1)知，yl+γ2=4w,y,y2=-4,

所以Y∣F.

S,24,,7

^AOB=?IH?i-J21=?J(y∣+?)->ι>2=27m+l≥2,OM?

所以當(dāng)m=O時(shí)，△AoB的面積取得最小值2,此時(shí)直線/_LX軸.

20.【詳解】(1)ff(x)=x2-(a-})x-a,

當(dāng)α=l時(shí)，/(3)=∣×33-i(l-l)×32-l×3-3=3,

∕,(3)=32-(l-l)×3-l=8,

在點(diǎn)(3J(3))處的切線方程為y-3=8(x-3),即8x-y-21=O

(2)函數(shù)/O)的減區(qū)間是(-1,4),

而f,M=x2-(a-l)x-a=(x+l)(x-a)

令/'(x)<0,當(dāng)〃>一1時(shí)，-?<x<a,/(力單調(diào)遞減，.?.a=4,

當(dāng)αvT時(shí)，a<x<-?,/3單調(diào)遞減，不符合題意，

當(dāng)。二一1,廣。)<。無實(shí)數(shù)解，不符合題意，

故a=4.

(3)y=g(x)-α=x-21nx-α

z、O

令∕z(x)=x-21nx-α,所以〃(/)=---+1,

令"(x)=O得％=2,

當(dāng)x∈[l,2)時(shí)，Λ,(x)<O;當(dāng)x∈(2,3]時(shí)，Λ,(x)>O

故MX)在x∈[1,2)上遞減；在x∈(2,3]上遞增

Λ(1)≥Oa≤?

所以?∕ι(2)<0,Bp-a>2-21n2,

〃⑶≥0a≤3-21n3

所以2-21n2<a≤3-21n3,

實(shí)數(shù)”的取值范圍是(2-21n2,3-21n3].

21.【詳解】(1)由橢圓的對(duì)稱性知，∕>(0,√2),U(2,∣)三點(diǎn)在橢圓C上,

41r2V2

故加=2,?+-?=l,得/=8,從而橢圓C的方程為土+2-=l.

a^b^82

(2)直線MN過定點(diǎn)(0,-2√Σ),證明如下：

假設(shè)存在，不妨設(shè)直線鳥”、P2N.MN的斜率分別為勺，k2,k,滿足勺+&+2&=0,

設(shè)直線MN的方程為y="+,w(ZHO),且M(Xl,y∣),N(x2,y2),

與橢圓C的方程聯(lián)立，得(1+4F)X2+8協(xié)吠+4(〃?2一2)=0,

則A=64〃2加2一]6(1+4女2)(用2-2)>0,BPm2<8k2+2(*),

-Skm

X+X

12-1+4公

且.

4(m2-2)

Xt2=

r1+4/

那么&+h+2k=y「6+”-叵+2k=0,

XI?

化簡(jiǎn)得，

4?XIX2+(m-V2)(Λ?+X2)=0,

即4k-—^-~2+(,"V∑)?-8嗎=0整理得:w2+√2∕M-4=0,

l+4?2l+4?2