2022-2023學(xué)年遼寧省大連市高三（上）期末數(shù)學(xué)試卷及答案解析

2022-2023學(xué)年遼寧省大連市高三(上)期末數(shù)學(xué)試卷

一、單選題(本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng))

1.己知集合A={L2,3,4,5},B=[x?^EZ),則ACB=()

A.{5}B.{3,5}C.[1,3,5}D.{2,4}

2.已知i是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)Z=島，則Z的共貌復(fù)數(shù)W=()

A-5十+~5i‘B°?-5--5i1Cj--5+十-5i’D--5--5ii

已知命題；Q那么命題的否定是()

3.p3x0&RIX—x0+1<0>P

A.3x0∈/?,XQ—x0+1<0B.3x0∈/?,XQ-x0+1≥0

C.?x∈∕?,x2—%+1≥0D.?x∈∕?,X2—%+1<0

4.開(kāi)普勒(∕o∕ιGmeSKeP加r,1571?1630),德國(guó)數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家，他發(fā)現(xiàn)所有行星運(yùn)行的

軌道與公轉(zhuǎn)周期的規(guī)律：所有行星繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)的軌道都是橢圓，且所有行星軌道的半長(zhǎng)軸的

三次方跟它的公轉(zhuǎn)周期的二次方的比都相等.已知金星與地球的公轉(zhuǎn)周期之比約為2：3,地

球運(yùn)行軌道的半長(zhǎng)軸為a,則金星運(yùn)行軌道的半長(zhǎng)軸約為()

A.0.66αB,0.70aC.0.76αD,0.96a

5.若二項(xiàng)式(ax+aT(a>O)的展開(kāi)式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為64,則展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為()

A.10B.15C.25D.30

6.若aeG，]),且cos?。+cos(g+2a)=—；,則tcma=()

A.√3B.2C.3D.2√3

7.已知a=32(4-f32),b=±c=如日，則()

e"e4

A.a<c<bB.c<a<bC.a<b<cD.b<a<c

8.已知函數(shù)/(x),g(x)的定義域均為R,且/(x)+g(2-X)=5,g(x)-f(,x-4)=7.若y=

g(x)的圖像關(guān)于直線％=2對(duì)稱(chēng)，g(2)=4,則2匿"(k)=()

A.-21B.-22C.-23D.-24

二、多選題(本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項(xiàng)符合題目要求)

9.將函數(shù)∕Q)=cos(2x-n)圖象上所有的點(diǎn)向左平移著個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)g(約的圖象,

則()

A.g(x)的最小正周期為T(mén)r

B.g(x)圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心為借,0)

C.g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為E+k兀年+kττ](k∈Z)

D.g(x)的圖象與函數(shù)y=—sin(2x-^)的圖象重合

10.下列結(jié)論正確的有()

A.若隨機(jī)變量f?N(I,d),P(ξ≤4)=0.77,則P(fW—2)=0.23

B.若隨機(jī)變量X?B(Io3),則D(3X-1)=19

C.已知回歸直線方程為y=bχ+]08，且X=4,y=50.貝∣U=98

D.已知一組數(shù)據(jù)丟失了其中一個(gè)，剩下的六個(gè)數(shù)據(jù)分別是3,3,5,3,6,11.若這組數(shù)據(jù)

的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)依次成等差數(shù)列，則丟失數(shù)據(jù)的所有可能值的和為22

11.正方體ABCD-48傳1。[的棱長(zhǎng)為1,E,F,G分別為BC,

CC1,BG的中點(diǎn)，則()

A.直線DlD與直線4尸垂直

B.直線4G與平面AEF平行

C.平面AEF截正方體所得的截面面積為:

D.點(diǎn)①與點(diǎn)。到平面4EF的距離相等

12.己知點(diǎn)尸是拋物線y?=4x的焦點(diǎn)，AB,CD是經(jīng)過(guò)點(diǎn)F的弦旦ABJ.CD,直線4B的斜率

為Ik,且k>0,C,4兩點(diǎn)在X軸上方，貝∣J()

A.0C?OD=-3

B.四邊形4BCD面積最小值為64

jC—MBl+—?CD?=-4

D.若?∣B用=16,則直線Cn的斜率為一百

三、填空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.設(shè)向量益=(m,2)]=(2,l),且I商+E∣2=∣五『+IE』，則m=.

14.若直線y=ax—3為函數(shù)f(X)=伍x—§圖像的一條切線，貝Ua的值是.

15.己知七(—c,0),F2(c,O)為橢圓C：務(wù)Al的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓C上一點(diǎn)(P不在y軸

上)，△P&F2的重心為G，內(nèi)心為M，且GM〃居尸2，則橢圓C的離心率為.

16.已知菱形ZBCD邊長(zhǎng)為6,?ADC=y,E為對(duì)角線4C上一點(diǎn)，AE=√1將aABD沿BD翻

折到△4BD的位置，E移動(dòng)到E'且二面角4—BD—A的大小為小則三棱錐A-BCD的外接球

的半徑為；過(guò)E作平面α與該外接球相交，所得截面面積的最小值為

A

四、解答題(本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟)

17.(本小題10.0分)

已知公差為正數(shù)的等差數(shù)列｛a71｝的前n項(xiàng)和為%,α1=1,.請(qǐng)從以下二個(gè)條件中任選一

個(gè)，補(bǔ)充在題干的橫線上，并解答下列問(wèn)題：①S2、S4、Sg成等比數(shù)列，(2)α5α10-^=2.

(1)求數(shù)列｛α,J的通項(xiàng)公式；

(2)若勾=二一，求數(shù)列｛%｝的前Ti項(xiàng)和

α∏αn+l

18.(本小題12.0分)

記△?!BC內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c,且(b+C)(SinB-sinC)=(S譏4—sinC)a.

(1)求B的值；

(2)若△?!BC的面積為√5,b=2,求AABC周長(zhǎng).

19.(本小題12.0分)

如圖多面體4BCDE尸，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4,AF_L平面4BCQ,A尸=2,AF//DE,DE<AF.

(1)求證：CE〃平面ABF；

(2)若二面角B-CF-E的大小為a,且ICoSal=誓，求DE長(zhǎng).

20.(本小題12.0分)

某地區(qū)為居民集體篩查新型傳染病毒，需要核酸檢測(cè)，現(xiàn)有k(k∈N*,k≥2)份樣本，有以下

兩種檢驗(yàn)方案，方案一，逐份檢驗(yàn)，則需要檢驗(yàn)k次；方案二：混合檢驗(yàn)，將k份樣本分別取

樣混合在一起檢驗(yàn)一次，若檢驗(yàn)結(jié)果為陰性，貝味份樣本均為陰性，若檢驗(yàn)結(jié)果為陽(yáng)性，為了

確定k份樣本的陽(yáng)性樣本，則對(duì)k份本再逐一檢驗(yàn).逐份檢驗(yàn)和混合檢驗(yàn)中的每一次檢驗(yàn)費(fèi)用

都是16元，且k份樣本混合檢驗(yàn)一次需要額外收20元的材料費(fèi)和服務(wù)費(fèi).假設(shè)在接受檢驗(yàn)的

樣本中，每份樣本是否為陽(yáng)性是相互獨(dú)立的，且據(jù)統(tǒng)計(jì)每份樣本是陰性的概率為P(O<p<1).

(1)若k(keN*,k≥2)份樣本采用混合檢驗(yàn)方案，需要檢驗(yàn)的總次數(shù)為X,求X分布列及數(shù)學(xué)

期望；

(2)①若k=5,p>遮而，以檢驗(yàn)總費(fèi)用為決策依據(jù)，試說(shuō)明該單位選擇方案二的合理性；

②若P=表，采用方案二總費(fèi)用的數(shù)學(xué)期望低于方案一，求k的最大值.

參考數(shù)據(jù)："2=0.7,伍3=1.1,Inl=1.9,ZnlO=2.3,Znll=2.4

21.(本小題12.0分)

已知雙曲線Q：真一y2=ι的離心率為多經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)。的直線嗚雙曲線Q交于a,B兩點(diǎn)，

點(diǎn)4(X1，yj位于第一象限，Co?'2)是雙曲線Q右支上一點(diǎn)，ABlAC,設(shè)D(X1,一學(xué))

(1)求雙曲線Q的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)求證：C,D,B三點(diǎn)共線；

(3)若△4BC面積為竽求直線/的方程.

22.(本小題12.0分)

已知函數(shù)f(x)=∣ln2x+Inx+kx-k,g(x)-∣e2x—jx—/(x),

(1)若k≤--1時(shí)，求證：函數(shù)/(x))只有一個(gè)零點(diǎn)；

(2)對(duì)VXI≠%2時(shí)，總有四巨警力>2恒成立，求k的取值范圍.

xlx2

答案和解析

1.【答案】c

【解析】解：因?yàn)榧螦={1,2,3,4,5},B={x∣≡≡i∈Z},

可得X=1時(shí)，M=OWZnleB,

%=2時(shí)，-y-=-gZ=>2gβ,

X=3時(shí)，=1∈Z=3∈B,

X=4時(shí)，?=加Z=4WB,

久=5時(shí)，9=2ez=5eB,

綜上，集合A,B的公共元素為1,3,5,

所以AnB={1,3,5}.

故選：C.

逐一驗(yàn)證集合4={123,4,5}中的元素是否也屬于集合B={x∣?€Z}即可.

本題主要考查交集及其運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】A

【解析】

【分析】

本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查了共拆復(fù)數(shù)的概念，是基礎(chǔ)題.

直接利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)，然后利用共扼復(fù)數(shù)的概念得答案.

【解答】

AR石w?55(4-3i)43.

解：復(fù)/Z―4+3i=(4+3i)(4—3i)=W一

???Z的共扼復(fù)數(shù)Z=^+∣i,

故選：A.

3.【答案】C

【解析】解：命題P：^。^^^—^+］〈。的否定是以^^X2-X+1≥O.

故選：C.

存在改任意，將結(jié)論取反，即可求解.

本題主要考查特稱(chēng)命題的否定，屬于基礎(chǔ)題.

4.【答案】C

【解析】解：設(shè)金星運(yùn)行軌道的半長(zhǎng)軸為由,金星和地球的公轉(zhuǎn)周期分別為ti，12，

由開(kāi)普勒定律得學(xué)=1，

因?yàn)镃=小

所以a；=Ia%即即=2i∣Iα,

因?yàn)楹瘮?shù)y=/在（_8,+8）上單調(diào)遞增，且號(hào)>12>寨，且苧=2.53,篇=2.13,

OIUUUoIUUU

3

所以2.53>12>2.1,因此0.7Oa<α1=<?a<0.9a?

故選：C.

設(shè)金星運(yùn)行軌道的半長(zhǎng)軸為由,金星和地球的公轉(zhuǎn)周期分別為“，殳，根據(jù)題意可得的=平

進(jìn)而結(jié)合2.53>12>2.13,即可得出結(jié)果.

本題主要考查橢圓的性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題.

5.【答案】B

【解析】解：令X=1,則所有的項(xiàng)的系數(shù)和為（a+I/=64,由于a>0,所以a=l,

Q+專(zhuān)戶(hù)展開(kāi)式的通項(xiàng)為Λ?+1=Cζx6-rx-2r=Cζx6-3r,

故當(dāng)6-3r=0時(shí)，BPr=2,此時(shí)展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為盤(pán)=15,

故選：B.

根據(jù)賦值法可得系數(shù)和，進(jìn)而求解a=1,由二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式即可求解常數(shù)項(xiàng).

本題主要考查了二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

6.【答案】C

【解析】解：?cos2α+cos(-+2a)=—∣Wcos2a—2cosasina=—；=c°>2cos伊―α=-1,

222cos2α+sinza2

2

進(jìn)而得：2￡Q;Q=一:,化簡(jiǎn)得：tana—4tana+3=0,所以tcmα=3或tcma=1,

l+tan"a2

由于aG(H),所以tcma>l,故tcmα=3,

故選：C.

根據(jù)二倍角公式以及誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)得cos?。-2cosasina=-?,進(jìn)而根據(jù)齊次式以及弦切互化即

可求解.

本題主要考查了三角函數(shù)的恒等變換，考查了同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.

7.【答案】A

【解析】解：構(gòu)造函數(shù)/(X)=等，其中x>0,則/'(X)=等，

當(dāng)OVXVe時(shí)，fr(x)>0；當(dāng)％>e時(shí)，∕,(x)<0.

所以，函數(shù)/(%)的增區(qū)間為(0,e),減區(qū)間為(e,+8).

因?yàn)棣?32(4-ln32)==b=l=/(e),C=竽=竽=竽=竿=竽=

/⑵，

因?yàn)镼萼=?=(?2<1,則e4-E32<2<e,則f(e4-譏32)<f(2)</(e),

2648

故Q<CVb.

故選：A.

構(gòu)造函數(shù)/(X)=其中X>0,利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)f(x)的單調(diào)性，可得出α=/(e4-in32)^=/(e)、

c=/(2),比較e-m32?2、e的大小關(guān)系，結(jié)合函數(shù)/(x)在(0,e］上的單調(diào)性可得出a、b、C的大

小關(guān)系.

本題主要考查導(dǎo)數(shù)的綜合運(yùn)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

8.【答案】D

【解析】解：7=。(為的圖像關(guān)于直線％=2對(duì)稱(chēng)，則g(2-x)=g(2+x),

V/(χ)+ιg(2-x)=5,.?./(-X)+5(2+X)=5,/(-X)=/(x).故∕^(x)為偶函數(shù)，

???9(2)=4,/(0)+g(2)=5,得/(0)=1.由g(x)-f(x-4)=7,得g(2—X)=f(-x-2)+7,

代入/(x)+g(2-x)=5,得f(x)+∕(-x-2)=-2,故/(x)關(guān)于點(diǎn)(一1,一1)中心對(duì)稱(chēng)，

.?√(1)=/(-1)=-1,由/(x)+f(-x-2)=-2,Λ-x)=∕(x),得f(x)+f(x+2)=-2,

?f[x+2)+∕(x+4)=-2,故/(X+4)=f(x),/Q)周期為4,

由/(0)+f(2)=-2,得/⑵=一3,又八3)=f(T)=f(I)=-1,

所以Σ蹌"(A)=6/(1)+6/(2)+5/(3)+5/(4)=11×(-1)+5×l+6×(-3)=-24,

故選：D.

由y=g(χ)的對(duì)稱(chēng)性可得f(%)為偶函數(shù)，進(jìn)而得到/(χ)關(guān)于點(diǎn)(-1,一1)中心對(duì)稱(chēng)，所以f(D=

/(-i)=-ι,再結(jié)合/(χ)的周期為4,即可求出結(jié)果.

本題主要考查了函數(shù)的奇偶性、對(duì)稱(chēng)性和周期性，屬于中檔題.

9.【答案】ABC

【解析】解：由題意知:gM=/(X+1)=cos(2x+2-7T)=-cos(2x+1)；

對(duì)于4g(x)的最小正周期7=竽=n，A正確；

對(duì)于B,當(dāng)X=鄂寸，2刀+/=今+/=與，此時(shí)g(x)=-cos:=0,.,.段,0)是g(x)的一個(gè)對(duì)稱(chēng)

中心，B正確；

對(duì)于C,令一兀+2ZOT≤2x+g≤2kτr(kCZ),解得：-亭+kn￡xW+kn(k6Z),

3SO

即稱(chēng)+∕cττ≤%≤?+∕c7r(keZ),二g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為W+kτr,朗+kτr](k€Z),C正確；

對(duì)于D,g(x)=cos(2x+與一兀)=cos(2x-?)=cos(-^+2x—^)=sin(2x—1),.?.g(x)與y=

-sin(2x-?)圖象不重合，。錯(cuò)誤.

故選：ABC.

根據(jù)三角函數(shù)平移變換和誘導(dǎo)公式可得g(x)=-cos(2%+今；根據(jù)余弦型函數(shù)最小正周期可知A

錯(cuò)誤；利用代入檢驗(yàn)法可知B錯(cuò)誤；根據(jù)余弦型函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法可知C正確；利用誘導(dǎo)公式

化簡(jiǎn)g(x)解析式可得g(x)=sin(2x-≡),知。錯(cuò)誤.

本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，函數(shù)的圖象的平

移變換，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于基礎(chǔ)題.

10.【答案】AC

【解析】

【分析】

利用正態(tài)分布求解概率，判斷4二項(xiàng)分布的期望與方差判斷B；回歸直線方程求解“判斷C；

通過(guò)求解中位數(shù)判斷D；

本題考查命題的真假的判斷，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力，是基礎(chǔ)題.

【解答】

解：對(duì)于4P(f≤-2)=P(f≥4)=1-0.77=0.23,故A正確；

對(duì)于B,C(X)=IoXJXl=號(hào)，所以D(3X-1)=,X32=20,故B不正確；

??V7

對(duì)于C,回歸直線方程經(jīng)過(guò)點(diǎn)G/),將1=4,9=50代入求得b=98故C正確；

對(duì)于0,設(shè)丟失的數(shù)據(jù)為X,則這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為咿，眾數(shù)為3,

當(dāng)X≤3時(shí)，中位數(shù)為3,此時(shí)巴盧+3=6,解得X=-10；當(dāng)3<x<5時(shí)，中位數(shù)為X,

此時(shí)與i+3=2x,解得X=4；

當(dāng)X≥5時(shí)，中位數(shù)為5,此時(shí)手+3=10,解得X=18.

所以所有可能X的值和為-10+4+18=12,故。不正確.

故選：AC.

11.【答案】BCD

【解析】解：在棱長(zhǎng)為1的正方體&BIGZ)I中，建立以D為原點(diǎn)，以D4、DC、劣。所在

的直線為X軸、y軸、Z軸的空間直角坐標(biāo)系D-Xyz,如圖所示：

因?yàn)镋、F、G分別為BC、CG、BBl的中點(diǎn)，

則D(0,0,0),D1(0,0,1),A(1,0,0),F(0,lg),

對(duì)于4,西=(0,0,1),ΛF=(-1,1,∣),.?.^DDl-AF=^≠0,故A錯(cuò)誤;

對(duì)于B：連接4A，D1F,-ADJ/EF,.?.A,D1,E,F四點(diǎn)共面,

由于4C/∕GF,A1D1=GF,所以四邊形IFG為平行四邊形，

故AIG〃。/，又4IGC平面4EF,DIFU平面4EF,二&G〃平面4EF,故B正確，

對(duì)于C,連接45，F(xiàn)D1,???4D/∕EF,.?.四邊形4D∕E為平面4EF截正方體所得的截面，AD1=

2222

√1+I=√2.EF=竽,D1F=AE=Jφ+I=宗

.??四邊形ADiFE為等腰梯形，高為Jg）2_（m2=苧,

則四邊形ADlFE的面積為4X（￠+噂）X孥=￡,故C正確；

LL48

對(duì)于D,連接AlC交ADi于點(diǎn)0,故。是&。的中點(diǎn)，且。是線段與平面ADiFE的交點(diǎn)，

因此點(diǎn)兒和點(diǎn)。到平面AEF的距離相等，故。正確.

故選：BCD.

根據(jù)棱柱的結(jié)構(gòu)特征，建立以D為原點(diǎn)，以。4、DC、所在的直線為X軸、y軸、Z軸的空間直

角坐標(biāo)系D-Xyz,利用向量法即可判斷4根據(jù)線線平行即可判斷B,根據(jù)梯形面積即可判斷C,

根據(jù)中點(diǎn)關(guān)系即可判斷D.

本題主要考查直線與直線的位置關(guān)系，線面平行的判定，立體幾何中的界面問(wèn)題，點(diǎn)面距離的計(jì)

算等知識(shí)，屬于中等題.

12.【答案】ACD

【解析】解：由拋物線的方程可得焦點(diǎn)F(L0)，由題意可得直線4B,CD的斜率存在且不為0,

設(shè)直線Cn的方程為：X=my+l(m<0),設(shè)C(Xi,yj,D^x2,y2)>

聯(lián)立整理可得：y2-4my-4=0,

2

顯然4>0,y1+y2=4m,y1y2=-4,x1+x2=m(y1+y2)+2=4m+2,χ1χ2=(，管)=?,

所以少？?OD=x1x2+y1y2=1+(—4)=—3,所以A正確；

由于ICDl=Xl+刀2+P=4r∏2+4,kAB~

所以將ICnl中的ni換成一A代入IeDl中得IaBl=4煮+4,S四邊形ACBD=T∣4B∣?ICOl=TX4(1+

機(jī)2).絲普=8(5+m2+2)≥8(2J+?m2+2)=32,當(dāng)且僅當(dāng)Tn=-1時(shí)等號(hào)成立，所以四

邊形的最小面積為32,所以B不正確;

設(shè)A（X3而，BQ“4），

^?AF???BF?=16,即(%3÷1)(%4÷1)=X3χ4+%3+%4+1=16,

整理可得%3%4+(%3+%4)+1=16,

即1+(4工?+2)+1=16,解得-?=3,即m=+4，而直線CD的斜率化=工＜0,

'm￡'TΠΔ~3m

所以直線CD的斜率為-舊，所以。正確；

可得弦長(zhǎng)IeDl=4(1+r∏2),MB∣=4(1++)，

所以Γ?T+TFTiT="二^~J7÷7777~2?=X所以C正確；

?AB??CD?4(l+mz)4(l+τnz)4

故選：ACD.

由拋物線的方程可得焦點(diǎn)F的坐標(biāo)，設(shè)直線AB的方程，與拋物線的方程聯(lián)立，可得兩根之和及兩

根之積，由拋物線的性質(zhì)可得弦長(zhǎng)I,同理可得ICDl的值，由均值不等式可得四邊形的面積的

最小值，經(jīng)過(guò)判斷可得命題的真假.

本題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)，考查直線與拋物線的綜合運(yùn)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于

中檔題.

13.【答案】-1

【解析】解：由R=(rn,2),)=(2,1)得五+E=(m+2,3)，

根據(jù)Ia+b?2=∣α∣2+?b『得(m+2)2+9=m2+22+5,解得m=-1,

故答案為：一1

根據(jù)向量模長(zhǎng)的坐標(biāo)公式即可代入求解.

本題主要考查了平面向量的模長(zhǎng)公式，屬于基礎(chǔ)題.

14.【答案】2

【解析】

【解答】解：設(shè)/(x)=-二1的切點(diǎn)為(%0，、0)，其中yo="Xo-1；-，

X"0

由f'(χ)=1+1得切線的斜率為k=f(?)=?+?.

所以切線方程為：y-inχ0+?=(?+-?).即y=￠+3)χ+伉勺一/_1，

工+工=a

XoXq,

ITIXU--------1=-3

(比

記g(x)=lnx-∣+2,則g，Q)=§+1>0,

所以g(x)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，而g(l)=O,

所以方程伉X-：+2=0的根為x=l,因此&=1,進(jìn)而得α=高+需=2,

故答案為：2.

112

【分析】根據(jù)切點(diǎn)求解函數(shù)/(x)的切線方程，列方程組得高+第=a/n&-而-1=-3,進(jìn)而可

求解x()，即可得ɑ.

本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義在切線方程求解中的應(yīng)用，導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性關(guān)系的應(yīng)用，屬于中檔

題.

15.【答案】?

【解析】解：設(shè)P(XO,y°)(Xo≠0)，由于。是^PFIF2

的重心，由重心坐標(biāo)公式可得G(學(xué)第，----二≥??

由于GM〃&F2,所以M的縱坐標(biāo)為yjw=爭(zhēng)/車(chē)次\

-7

由于M是AP&E的內(nèi)心，所以△P&F2內(nèi)切圓的半Γ一下寧二一O~^^f2—j―X

徑為r=I陽(yáng)，/

由橢圓定義得|Pa|+∣PF2∣=2α,尸2&|=2c,-------------

1

,

SAPF?2F?=?^?MF2F1+SbMFV+SAMPF?=]l^l^2∣

∣yol=∣(∣F1F2∣+∣PF2∣+IFIPI)粵，2c∣y°∣=(2α+2c)粵=α=2c=e=：,

故答案為：?

根據(jù)重心坐標(biāo)公式以及內(nèi)切圓的半徑，結(jié)合等面積法，得到α,C的關(guān)系，即可求解離心率.

本題考查橢圓的定義及其性質(zhì)，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

16.【答案】√219π

【解析】解：設(shè)ACnBD=O,翻折前，在菱形ABCf)中，則AClBD,即401BD,COLBD,

翻折后，則有40?LBD,

所以二面角A-BD-4的平面角為乙4。4'=?

在菱形4BC。中,?ADC=?,貝∣JNB4)=:

?J

又因?yàn)锳B=AD=6,所以，AABD是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形,

同理可知，ABCD是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形,

因?yàn)锳OJ.BD,CO1BD,A'0QC0=0,A'0.CoU平面AC。，.?.BD工平面4'C。,

以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，0C、OB所在直線分別為x、y軸，平面404'內(nèi)過(guò)點(diǎn)。且垂直于AC的直線為Z軸

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

則點(diǎn)B(0,3,0)、C(3√3,0,0)>D(O,-3,0)、%(一言,04)、E,(-√3,0,3).

設(shè)三棱錐A-BCD的外接球球心為M(X,y,z),

fx2+(y-3)2÷z2=X2÷(y+3)2÷z2~

(?MB?=?MD?X=?/r3

由｛∣MB∣=?MC?,可得(/+(丫_3)2+22=(>_36)2+'2+22,解得y10,

(JMBl=?MA'?X2+(y-3)2+z2=(x+苧￥+y2+(z-∣)2(Z=3

所以三棱錐4一8。。的球心為時(shí)(四,0,3),球M的半徑為IMBl=√IT.∣ME'∣=

j(2√3)2+O2+(3-3)2=2√3)

設(shè)球心M到截面α的距離為d,平面α截球M的截面圓的半徑為r,

2222

則d≤?ME'?=2√3.?r=yj?MB?-d≥yJ?MB?-?ME'?=3，

過(guò)E'作平面α與該外接球相交，所得截面面積的最小值為?！?2=9τr.

故答案為：?/?l:9ττ.

設(shè)ACnBD=。，證明出8。J_平面AC0,分析可知乙404'=*以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，OC、OB所在

直線分別為x、y軸，平面404'內(nèi)過(guò)點(diǎn)。且垂直于AC的直線為Z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)三棱錐

4'一BCD的外接球球心為M(X,y,z),根據(jù)題意可得出關(guān)于x、y、Z的方程組，可求得球心M的坐

標(biāo)，即可求出球”的半徑長(zhǎng)，求出IME1,可求得截面圓半徑的最小值，再利用圓的面積公式可求

得截面圓面積的最小值.

本題主要考查空間多面體的外接球半徑的求法，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

17.【答案】解：(1)由題意設(shè)等差數(shù)列｛αn｝的公差為d(d>O),

選擇條件①S4=4α1+=4α1+6d,S2=2α1÷d,S8=8α1+28d,

?：S2、S4、S8成等比數(shù)列，

???Sl=S2S8,即(4%÷6d)2=(2α1+d)(8α1+28d),

又％—1,則￠/2—2d=0,

??,d>0,:?d=2,

?Qn=I.+2(n-1)=2n—1；

2

選擇條件②Va5a10—諂=2,(Ql+4d)(α1+9d)—(a1+6d)=2,

又0?=1,解得d=2,

?CLn=1+2(τι-1)=2n—1；

=-,

(2)由(I)得αjl=2n-l,貝Ijbjl=區(qū)H?=(2n-l)(2n+l)2^?2n-l2n+P

則%=瓦+尻+???+?n=∣×(i-∣)+∣×(∣-∣)+???+∣×(2?-?=∣×(i-∣+∣-∣+

11、1/1、n

…+罰一罰)="1一罰)=罰.

【解析】(1)設(shè)等差數(shù)列｛ajl｝的公差為d(d>O),根據(jù)等差數(shù)列的求和公式和等比中項(xiàng)的性質(zhì)結(jié)合

條件①②分別列出關(guān)于首項(xiàng)的與公差d的方程，求出d,即可得出答案；

(2)由(1)得αjl=2n-l,求出數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式，再運(yùn)用裂項(xiàng)相消法，即可得出答案.

本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式、裂項(xiàng)相消法求和，考查轉(zhuǎn)化思想和方程思想，考查

邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題.

18.【答案】(1)解:由S+c)(SinB-SinC)=(Sinλ—sinC)α,

根據(jù)正弦定理可得(b+c)(h-c)=(α-c)α,

所以M+C2—b2=αc,

由余弦定理可得CoSB=a2+c2~b2=L

Zac2

???B∈(0z7T),因此，B=

(2)因?yàn)镾MBC=WQCSinB==遮，

Z4

???ac=4,

由余弦定理可得尼=α2÷c2—2accosB=a2+C2—ac=(ac)2—3ac=(α+c)2-12=4,

.?.α+c=4,

因此△ABe的周長(zhǎng)為α+b+c=6.

【解析】(1)利用正弦定理結(jié)合余弦定理可求得c。SB的值，結(jié)合角B的取值范圍可求得角B的值；

(2)利用三角形的面積公式可求得ac的值，再利用余弦定理可求得a+c的值，即可求得△48C的周

長(zhǎng).

本題主要考查了余弦定理，三角形的面積公式在求解三角形中的應(yīng)用，屬于中檔題.

19.【答案】解:(I)證明：?.?4√∕DE,AB//CD,DEC平面

ABF,CDC平面4BF,AFU平面4BF,ABU平面4BF,

.?.DE〃平面4BF,CD〃平面ABF,又CDCDE=D,CD,

DEU平面CDE,

.?.平面CDE〃平面4BF,又CEU平面CDE,

.?.CE〃平面4BF；

(2)以彳瓦前,而正方向?yàn)閄,y,Z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

設(shè)力E=t(0<t<2),則B(4,0,0),C(4,4,0),F(0,0,2),E(0,4,t),

.?.BC=(0,4,0),CF=(-4,-4,2).CE=(-4,0,t),

設(shè)平面BC尸的法向量丘=(X,y,z),

則g匣=4y=。，取元=(W),

{n?CF=-4x—4y+2z=0

設(shè)平面CEF的法向量沆=(afb,c),

則PH?CF=-4a—4b+2c=0取沆=C2-t,4),

?m?CE=-4a+tc=0

.?,∣cosa∣=∣cos<m,n>I=?∣=∣t+8∣3√Iθ

√5×Jt2+(2-t)2+16一10，

解得：t=l或t=竽(舍),

.?.DE=1.

【解析】(1)利用線面平行和面面平行的判定可證得平面CDE〃平面4BF,由面面平行的性質(zhì)可證

得結(jié)論；

(2)以4為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)。E=t(0<t<2),利用二面角的向量求法可構(gòu)造方

程求得t的值，即為DE的長(zhǎng).

本題考查線面平行的判定定理，面面平行的判定定理，面面平行的性質(zhì)定理，向量法求解二面角

問(wèn)題，方程思想，屬中檔題.

20.【答案】解：(1)由題意得隨機(jī)變量X的可能值為1和k+1,則P(X=I)=PSP(χ=k+1)=

1—pk,

故隨機(jī)變量X的分布列為

X1k+1

Ppk1—pk

故E(X)=1×pk+(fc+1)×[1-pfc]=fc+1-kplc;

⑵①由⑴得E(X)=k+l-∕φk,設(shè)方案二總費(fèi)用為匕方案一總費(fèi)用為Z,則Y=16X+20,

方案二總費(fèi)用的數(shù)學(xué)期望為E(Y)=16E(X)+20=16[∕c+1-∕cpk]+20,

又k=5,則E(Y)=16[6-5ps]+20=-80p5+116,

又方案一的總費(fèi)用為Z=5×16=80,

.?.Z-E(Y)=80-(-80p5+116)=80p5-36,

當(dāng)時(shí).0.45<p5<ι,0<80p5-36,

Z>E(Y),該單位選擇方案二合理；

②由①方案二總費(fèi)用的數(shù)學(xué)期望E(Y)=16F(X)+20=16(fc+1-∕cpfe)+20,

當(dāng)P=表時(shí)，E(Y)=16[∕c+1-∕c(?)k]+20=16(∕c+^-∕ce-η,

又方案一的總費(fèi)用為Z=16鼠

令E(Y)<Z,貝∣J16(∕c+g-卷子)<16k，

kQnilk9

.?.ke~7>γBPln(fce-7)>lnj.

.k9?

.?.Ink1---I1n->0,

74

設(shè)/(x)=lnx-^-?n^,x∈[2,+∞),則((X)=J-∣=分,

由尸(X)>0得2≤x<7,由尸(X)<0得X>7,

???/?(%)在[2,7)上單調(diào)遞增，在(7,+8)上單調(diào)遞減，

.?.f{x}max=f(7)=ln7-l-2(∕n3-Zn2)=0.1>0,/(8)=3ln2-∣-2(∕∏3-∕n2)=5ln2-

2ln3一>1.3—竺0,/(9)=2伍3一尹2(伍3-∕∏2)=2ln2-?=1.4-∣>0,/(10)=

ZnlO-y-2(Zn3-Zn2)=1.5-y>0,/(Il)=Znll-y-2(Zn3-Zn2)=1.6-y>0,

/(12)=∕nl2-y-2(∕∏3-Zn2)=4∕∏2-∕∏3-y=1.7-y<O,

故k的最大值為IL

【解析】(I)X的可能值為1和k+1，分別求出對(duì)應(yīng)的概率，再結(jié)合期望公式，即可得出答案；

(2)①利用期望公式，可得方案二的期望，利用作差法比較大小，即可得出答案：

②結(jié)合期望公式，構(gòu)造函數(shù)/(x)="x-尹嗚/€[2,+8),利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，即

可得出答案.

本題考查離散型隨機(jī)變量的期望和方差、分布列，考查轉(zhuǎn)化思想和函數(shù)思想，考查邏輯推理能力

和運(yùn)算能力，屬于中檔題.

OA=(χ1,y1).AC=(.X2-χ1,y2-yi)>

由a1得XI(X2-??)+yι(y2-yι)=。①，

由于A(XI，%)，C(*2,'2)在雙曲線上，所以、一禿=1,苧一羽=1，

相減得年=M-諺=4詈=絲E2②，

zι

4九y1+y2XlT2

由①②得券卷=一*③，BC=(X2+Xι,y2+yι?BD=(2xυ-∣y1),

,?rrr∕2÷Xl丫2+丫1-X2+X14.2d+丫1)

由于%>°，y1>0,所以在-一y1>

將③代入得型a-空1="ι+'2)(-W+2仇+%)=0,

2%1-Iy12x1Ty1

所以阮〃麗，因此C,D,B三點(diǎn)共線,

(3)設(shè)直線，的方程為y=kx{k>0),

，y=kχ

聯(lián)立直線，與雙曲線的方程為:j]……4,

1

故1-41>0=0<∕c<2,

所以洸二百落

直線4C的方程為y-yι=-1(%-x1),

K

聯(lián)立匕%%(=>(1-?2+∣(j-+yι)?-4(γ+yι)2-4=0,

Ly2=1

所以X1+x2=一駕處2>0，

由于4D〃y軸，y1>0,所以∣4Dl=

V8(z+fcy)

所以SMBCx11。1+01)QIyI+k免)

="XIyl(Xl+z)=IylX2=IOy×=10×

4-fc14-k2

3

4310(k+k)-^

由于%=kx1,%ι=E代入得S_10(kx∣+∕cx∣)_IO(k+A?__________1-4-

AABC=-R-=4→24-k2

40伏+必)_40(∕+k)

4-17fc2+4k4-4(-?+fc2)-17,

k