第39講 圓的方程、直線與圓的位置關(guān)系（精講）【一輪復(fù)習(xí)講義】2024年高考數(shù)學(xué)高頻考點題型歸納與方法總結(jié)（新高考通用）解析版

【一輪復(fù)習(xí)講義】2024年高考數(shù)學(xué)高頻考點題型歸納與方法總結(jié)（新高考通用）第39講圓的方程、直線與圓的位置關(guān)系（精講）題型目錄一覽①圓的方程②點與圓的位置關(guān)系③與圓有關(guān)的軌跡問題④直線與圓相交⑤直線與圓相切、相離一、知識點梳理一、知識點梳理一、圓的基本概念平面內(nèi)到定點的距離等于定長的點的集合（軌跡）叫圓．二、圓的基本性質(zhì)、定理與公式1．圓的四種方程（1）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：，圓心坐標(biāo)為（a，b），半徑為（2）圓的一般方程：，圓心坐標(biāo)為，半徑（3）圓的直徑式方程：若，則以線段AB為直徑的圓的方程是（4）圓的參數(shù)方程：①的參數(shù)方程為（為參數(shù)）；②的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．注意：對于圓的最值問題，往往可以利用圓的參數(shù)方程將動點的坐標(biāo)設(shè)為（為參數(shù)，為圓心，r為半徑），以減少變量的個數(shù)，建立三角函數(shù)式，從而把代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為三角問題，然后利用正弦型或余弦型函數(shù)的有界性求解最值．2．點與圓的位置關(guān)系判斷（1）點與圓的位置關(guān)系：①點P在圓外；②點P在圓上；③點P在圓內(nèi)．（2）點與圓的位置關(guān)系：①點P在圓外；②點P在圓上；③點P在圓內(nèi)．三、直線與圓的位置關(guān)系直線與圓的位置關(guān)系有3種，相離，相切和相交四、直線與圓的位置關(guān)系判斷（1）幾何法（圓心到直線的距離和半徑關(guān)系）圓心到直線的距離，則：直線與圓相交，交于兩點，；直線與圓相切；直線與圓相離（2）代數(shù)方法（幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題即交點個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程根個數(shù)）由，消元得到一元二次方程，判別式為，則：直線與圓相交；直線與圓相切；直線與圓相離．【常用結(jié)論】關(guān)于圓的切線的幾個重要結(jié)論（1）過圓上一點的圓的切線方程為．（2）過圓上一點的圓的切線方程為（3）過圓上一點的圓的切線方程為（4）求過圓外一點的圓的切線方程時，應(yīng)注意理解①所求切線一定有兩條；②設(shè)直線方程之前，應(yīng)對所求直線的斜率是否存在加以討論．設(shè)切線方程為，利用圓心到切線的距離等于半徑，列出關(guān)于的方程，求出值．若求出的值有兩個，則說明斜率不存在的情形不符合題意；若求出的值只有一個，則說明斜率不存在的情形符合題意．二、題型分類精講二、題型分類精講題型一圓的方程策略方法求圓的方程的兩種方法【典例1】已知圓過三點，，，則的圓心和半徑分別為（

）A．， B．，C．， D．，【答案】A【分析】利用斜率可以推出是直角三角形，而直角三角形外接圓的直徑是斜邊長，圓心是斜邊中點，據(jù)此求解.【詳解】由題意，，，即，故，即是直角三角形，且為斜邊，直角三角形外接圓的直徑是斜邊長，圓心是斜邊中點，又，于是的外接圓半徑為，圓心是的中點，即.故選：A【題型訓(xùn)練】一、單選題1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若方程表示圓，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)二元二次方程表示圓的條件列不等式，由此求得的取值范圍.【詳解】由圓的一般式方程可得，即，求得，故選：A2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知圓的方程為，則圓心的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】將圓的方程配成標(biāo)準(zhǔn)方程，可求得圓心坐標(biāo).【詳解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心的坐標(biāo)為.故選：A.3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知直線是圓的對稱軸，則的值為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由圓的方程可得圓心坐標(biāo)，根據(jù)圓心在直線上可求得結(jié)果.【詳解】由圓方程得：圓心，直線是圓的對稱軸，圓心在直線上，即，解得：.故選：A.4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知的頂點，，，則其外接圓的方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】先設(shè)圓的方程為，根據(jù)題意，列出方程組求解，即可求出結(jié)果.【詳解】設(shè)的外接圓的方程為，因為的頂點，，，所以，解得，因此即為所求圓的方程.故選：A.【點睛】本題主要考查求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，利用待定系數(shù)法求解即可，屬于基礎(chǔ)題型.5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）以點為圓心，且與直線相切的圓的方程是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】求出圓心到直線的距離即得圓的半徑，即得圓的方程.【詳解】由題得圓心到直線的距離，所以圓的方程為.故選：D.6．（2023·全國·高三專題練習(xí)）圓C：關(guān)于直線對稱的圓的方程是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)點關(guān)于直線對稱的性質(zhì)，結(jié)合圓的標(biāo)準(zhǔn)方程進(jìn)行求解即可.【詳解】由圓C：，可知圓心坐標(biāo)：，半徑為，因為點關(guān)于直線的對稱點為，所以圓C：關(guān)于直線對稱的圓的方程是，故選：C7．（2023·高三課時練習(xí)）關(guān)于x、y的方程表示一個圓的充要條件是（

）.A．，且B．，且C．，且，D．，且，【答案】D【分析】根據(jù)圓的一般式方程可得答案.【詳解】關(guān)于x、y的方程表示一個圓的充要條件是，即，且，.故選：D8．（2023秋·湖南·高三臨澧縣第一中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）已知圓，過點作圓C的兩條切線，切點分別為A，B．則四邊形的面積為（

）．A．6 B．12 C．14 D．18【答案】B【分析】求出圓心和半徑，得到切線長，求出四邊形的面積.【詳解】依題意，圓，圓心為，半徑為3，則，，

故，由對稱性可知，與全等，故四邊形的面積．故選：B9．（2023秋·山東·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）過點，且圓心在直線上的圓與軸相交于，兩點，則（

）A．3 B． C． D．4【答案】C【分析】由題意設(shè)圓的圓心、半徑分別為，則圓的方程為，結(jié)合已知條件即可求出圓的方程，在圓的方程中令，即可求出，兩點的坐標(biāo)，由此即可得解.【詳解】因為圓心在直線上，所以設(shè)圓的圓心、半徑分別為，則圓的方程為，將，代入圓的方程有，解得，所以圓的方程為，在圓的方程中令得，解得，所以.故選：C.二、填空題10．（2023秋·上海黃浦·高三上海市大同中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知圓的面積為，則．【答案】【分析】根據(jù)圓的一般方程得出圓的半徑，然后根據(jù)已知列出方程，求解即可得出答案.【詳解】由已知可得，圓的半徑.所以，圓的面積為，所以，，解得.故答案為：.11．（2023秋·云南昆明·高三云南省昆明市第十中學(xué)校考開學(xué)考試）已知圓的半徑為3，則.【答案】【分析】化簡圓的方程為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)題意列出方程，即可求解.【詳解】將圓的方程轉(zhuǎn)化為，因為圓的半徑為3，所以，即.故答案為：.12．（2023秋·江西吉安·高三吉安三中?？奸_學(xué)考試）請寫出一個過點，且與直線相切的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，為．【答案】（答案不唯一）【分析】寫出一個符合條件的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可.【詳解】設(shè)為直徑的一個端點，到直線的距離，可知半徑，又若圓心在直線上，且，解得，所求圓的方程為.故答案為：（答案不唯一）．13．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，過四點的圓的方程為.【答案】【分析】根據(jù)題意，設(shè)圓的方程為，取三個點的坐標(biāo)代入，得到方程組，求解即可得到結(jié)果.【詳解】設(shè)圓的方程為，將點的坐標(biāo)分別代入可得，，解得則可得圓的方程為故答案為:14．（2023春·河南商丘·高三臨潁縣第一高級中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）圓心與圓的圓心重合，且過點的圓的方程為．【答案】【分析】根據(jù)同圓心設(shè)出方程，代入點求出即可求解.【詳解】依題意，設(shè)所求圓的方程為，由于所求圓過點，所以，解得．所以所求圓的方程為．故答案為：.15．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知圓C：，則當(dāng)圓C的面積最小時，圓上的點到坐標(biāo)原點的距離的最大值為．【答案】【分析】利用配方法，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)、圓的幾何性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】，所以半徑，當(dāng)且僅當(dāng)時，半徑最小，此時圓心為，圓心到原點的距離為，因為，所以原點在圓外，根據(jù)圓的性質(zhì)，圓上的點到坐標(biāo)原點的距離的最大值為，故答案為：16．（2023春·湖南長沙·高三長沙麓山國際實驗學(xué)校?？茧A段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過直線與兩坐標(biāo)軸的交點及點的圓的方程為．【答案】【分析】根據(jù)直線的方程求出直線與坐標(biāo)軸的交點，利用待定系數(shù)法及點在圓上即可求解.【詳解】令，得，解得，所以直線與軸的交點為,令，得，解得，所以直線與軸的交點為,設(shè)圓的方程為,則因為，，三點都在圓上，所以,解得故所求圓的方程為故答案為：.題型二點與圓的位置關(guān)系策略方法判斷集合關(guān)系的三種方法在處理點與圓的位置關(guān)系問題時，應(yīng)注意圓的不同方程形式對應(yīng)的不同判斷方法，另外還應(yīng)注意其他約束條件，如圓的一般方程的隱含條件對參數(shù)的制約．【典例1】“m<1”是“點P（1，1）在圓C：x2＋y2﹣2mx＝0外”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件【答案】B【分析】根據(jù)點與圓的位置，結(jié)合充分性、必要性的定義進(jìn)行判斷即可.【詳解】由x2＋y2﹣2mx＝0可得，該方程表示圓，所以有，當(dāng)點P（1，1）在圓C：x2＋y2﹣2mx＝0外時，有，所以此時，顯然由不一定能推出，但是由一定能推出，所以“m<1”是“點P（1，1）在圓C：x2＋y2﹣2mx＝0外”的必要不充分條件，故選：B【題型訓(xùn)練】一、單選題1．（2023春·福建·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)圓：，若直線在軸上的截距為，則與的交點個數(shù)為（

）A． B． C． D．以上都有可能【答案】C【分析】利用直線過定點，判斷定點在圓內(nèi)即可．【詳解】解：直線在軸上的截距為，直線過定點，，點在圓內(nèi)，直線與的交點個數(shù)為個．故選：．2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知兩直線與的交點在圓的內(nèi)部，則實數(shù)k的取值范圍是（

）.A． B．C． D．【答案】B【分析】求出兩直線的交點坐標(biāo)，利用該交點到圓心的距離小于半徑列式，解不等式可得結(jié)果.【詳解】圓的圓心為，半徑為，由得，則兩直線與的交點為，依題意得，解得.故選：B3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）點為圓外一點，則直線與該圓的位置關(guān)系為（

）A．相交 B．相切 C．相離 D．不確定【答案】A【分析】利用點與圓的位置關(guān)系及直線與圓的位置關(guān)系的判斷方法，結(jié)合點到直線的距離公式即可求解；【詳解】因為點為圓外一點，所以.圓的圓心，半徑為，所以圓心到直線的距離為，即.所以直線與該圓的位置關(guān)系為相交.故選：A.4．（2023·遼寧·校聯(lián)考二模）已知圓，直線l：，若l與圓O相交，則（

）．A．點在l上 B．點在圓O上C．點在圓O內(nèi) D．點在圓O外【答案】D【分析】根據(jù)l與圓O相交，可知圓心到直線的距離小于半徑，列出不等式，再判斷點與直線和圓的關(guān)系.【詳解】由已知l與圓O相交，,可知圓心到直線的距離小于半徑，則有，故，把代入，所以點不在直線l上，故A錯誤；又，則點在圓O外，故D正確.故選：D．5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知點在圓C：的外部，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)條件得到圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，再由圓的半徑的平方大于0得到；再根據(jù)點在圓的外部得到，即可求解得到的取值范圍.【詳解】由，得，則，解得：①，又∵點在圓的外部，∴，即，解得或②，由①②得，故選：B．二、填空題6．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若坐標(biāo)原點在圓的內(nèi)部，則實數(shù)的取值范圍為.【答案】【分析】根據(jù)原點在圓內(nèi)可建立不等式，求解即可.【詳解】∵原點在圓的內(nèi)部，，解得所以實數(shù)的取值范圍為故答案為：7．（2023·北京·北京四中校考模擬預(yù)測）已知圓，若點在圓上，并且點到直線的距離為，則滿足條件的點的個數(shù)為.【答案】3【分析】設(shè)，根據(jù)點P到直線的距離為，求得，再由在圓上，得到，取得或，進(jìn)而求得滿足條件的點的個數(shù)，得到答案.【詳解】設(shè)，由點P到直線的距離為，得兩邊平方整理得到①因為在圓上，所以，即②聯(lián)立①②得，解得或，當(dāng)時，由①②可得，解得或，即或當(dāng)時，由①②可得，解得或，即或綜上，滿足條件的點P的個數(shù)為.故答案為：3.8．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)點P(x，y)是圓：x2＋(y－3)2＝1上的動點，定點A(2，0)，B(－2，0)，則的最大值為.【答案】12【解析】由平面向量的數(shù)量積公式，可得的解析式；再由是圓上的動點，可得，的取值范圍；從而求得的最大值．【詳解】是圓上的動點，且，，，，，由，得，且，，的最大值為：12故答案為：．題型三與圓有關(guān)的軌跡問題策略方法求與圓有關(guān)的軌跡問題的四種方法(1)直接法：直接根據(jù)題設(shè)給定的條件列出方程求解．(2)定義法：根據(jù)圓的定義列方程求解．(3)幾何法：利用圓的幾何性質(zhì)得出方程求解．(4)代入法(相關(guān)點法)：找出要求的點與已知點的關(guān)系，代入已知點滿足的關(guān)系式求解．【典例1】已知直線，點與點關(guān)于原點對稱，若直線上存在點滿足，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由求出點的軌跡，由直線與此軌跡存在公共點求出的范圍作答.【詳解】依題意，，設(shè)點，則，由，得，即，由已知得，而點既在直線上，又在圓上，因此直線與圓有公共點，又圓的圓心為原點，半徑為，于是，解得或，所以實數(shù)的取值范圍為.故選：B【題型訓(xùn)練】一、單選題1．（2023·湖南郴州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知A，B是：上的兩個動點，P是線段的中點，若，則點P的軌跡方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由圓的垂徑定理得，利用勾股關(guān)系求得，結(jié)合圓的定義即可求出點P的軌跡方程.【詳解】因為中點為P，所以，又，所以，所以點P在以C為圓心，4為半徑的圓上，其軌跡方程為.故選：C.2．（2023秋·湖南永州·高三永州市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在平面內(nèi)，是兩個定點，是動點，若，則點的軌跡為（

）A．圓 B．橢圓 C．拋物線 D．直線【答案】A【分析】由平行四邊形法則易得，可知，可判斷點的軌跡為以線段為直徑的圓.【詳解】設(shè)為線段的中點，.因為，所以，所以，所以，當(dāng)點在點或時也滿足，所以點的軌跡為以線段為直徑的圓.故選:A.3．（2023春·安徽阜陽·高三安徽省臨泉第一中學(xué)?？紝ｎ}練習(xí)）平面直角坐標(biāo)系中，，，動點滿足，則使為等腰三角形的點個數(shù)為（

）A．0 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】設(shè)，根據(jù)可得動點的軌跡方程為圓，再結(jié)合為等腰三角形分析即可求解.【詳解】設(shè)，由，得，整理得，記為圓又，為等腰三角形，則有或.因為圓與圓相交，故滿足點有2個；因為圓與圓相交，故滿足點有2個，故使為等腰三角形的點共有4個.故選：D.4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）古希臘幾何學(xué)家阿波羅尼斯證明過這樣一個命題：平面內(nèi)到兩定點距離之比為常數(shù)的點的軌跡是圓，后人將這個圓稱為阿波羅尼斯圓.在平面直角坐標(biāo)系中，，，點滿足，則點的軌跡方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】直接設(shè)，根據(jù)兩點間距離公式代入運(yùn)算整理．【詳解】∵，即設(shè)，則，整理得故選：B．5．（2023·四川宜賓·四川省宜賓市第四中學(xué)校?？寄M預(yù)測）已知圓，圓，過動點P分別作圓、圓的切線PA，PB（A，B為切點），使得，則動點P的軌跡方程為（

）．A． B．C． D．【答案】D【分析】由條件結(jié)合圓的切線性質(zhì)可得出，結(jié)合兩點間的距離公式可得出答案.【詳解】由得．因為兩圓的半徑均為1，則，則，即．所以點P的軌跡方程為．故選：D6．（2023秋·北京·高三北京市陳經(jīng)綸中學(xué)校考開學(xué)考試）已知直線，點與點關(guān)于原點對稱，若直線上存在點滿足，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由求出點的軌跡，由直線與此軌跡存在公共點求出的范圍作答.【詳解】依題意，，設(shè)點，則，由，得，即，由已知得，而點既在直線上，又在圓上，因此直線與圓有公共點，又圓的圓心為原點，半徑為，于是，解得或，所以實數(shù)的取值范圍為.故選：B7．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知圓的直徑，若平面內(nèi)一個動點與點的距離是它與點距離的倍，則的面積的最大值為（

）A．64 B．12 C． D．【答案】D【分析】以為原點，所在直線為軸，線段的垂直平分線為軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，利用求出點的軌跡方程，再根據(jù)圓的知識可求出結(jié)果.【詳解】以為原點，所在直線為軸，線段的垂直平分線為軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)，因為，所以，整理得，所以點在以為圓心，以為半徑的圓上，到直線的距離的最大值為，因此的面積的最大值為.

故選：D二、填空題8．（2023秋·湖南長沙·高三長郡中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知圓：，過動點作圓的切線（為切點），使得，則動點的軌跡方程為.【答案】【分析】由勾股定理得后列式求解【詳解】設(shè)，由得，則，即.故答案為：9．（2023秋·云南昆明·高三昆明一中?？茧A段練習(xí)）已知點，，，點P滿足，則點P到點C距離的最大值為．【答案】10【分析】設(shè)，根據(jù)題意求出點P的軌跡方程，然后利用圓的性質(zhì)求得答案.【詳解】設(shè)，∵，∴，化簡得．則點P的軌跡是以為圓心，半徑等于4圓，∵，故的最大值為，故答案為：10．10．（2023春·云南紅河·高三開遠(yuǎn)市第一中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知點，，動點M滿足，則點M到直線的距離可以是．（寫出一個符合題意的整數(shù)值）【答案】0或1(只寫一個即可)【分析】由題設(shè)知的軌跡為，根據(jù)圓心到距離得到到直線距離的范圍，即可寫出一個值.【詳解】由題設(shè)知，即在以為直徑的圓上，且圓心為，半徑為，所以的軌跡為，而到的距離為，即直線過圓心，所以M到直線的距離范圍，所以點M到直線的距離的整數(shù)值可以是0或1.故答案為：0或1(只寫一個即可)11．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知O為坐標(biāo)原點，M是拋物線準(zhǔn)線上的一點，點P在圓上.若MP的中點在圓上，則的取值范圍為.【答案】【分析】設(shè)，由已知條件求點P軌跡方程，與圓聯(lián)立方程組，求交點坐標(biāo)，代入中求取值范圍.【詳解】拋物線的準(zhǔn)線方程為x=1，設(shè)，，MP的中點為，則，.由題意，知在圓上，所以，即，聯(lián)立消去x可得，當(dāng)時，，此時；當(dāng)時，，由P在圓上，可知，所以，即或，而，所以或.綜上所述，的取值范圍為.故答案為：12．（2023·浙江溫州·樂清市知臨中學(xué)校考模擬預(yù)測）點P圓上，點在直線上，O坐標(biāo)原點，且，則點的橫坐標(biāo)的取值范圍為．【答案】【分析】設(shè)點的坐標(biāo)為，點的坐標(biāo)為，由條件可得點在以為直徑的圓上，由條件列不等式可求點Q的橫坐標(biāo)的取值范圍.【詳解】因為點在直線上，故設(shè)點的坐標(biāo)為，設(shè)點的坐標(biāo)為，則，因為，所以，所以，即點在圓上，又點在圓上，所以兩圓有交點，又圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，所以，所以，所以，所以，所以，所以或，所以點的橫坐標(biāo)的取值范圍為.故答案為：.13．（2023·四川成都·三模）已知，是圓內(nèi)一點，對圓O上任意一點P都有為定值，則mn的值為．【答案】【分析】設(shè)，（為正常數(shù)），把用表示后整理即得圓方程，由此可求得，得出結(jié)論．【詳解】設(shè)，（為正常數(shù)），顯然，否則點軌跡是線段的中垂線，，整理得，這就是圓的方程，所以，解得，所以．故答案為：．題型四直線與圓相交策略方法直線與圓的相交問題（1）研究直線與圓的相交問題，應(yīng)牢牢記住三長關(guān)系，即半徑長、弦心距和半徑之間形成的數(shù)量關(guān)系．（2）弦長問題=1\*GB3①利用垂徑定理：半徑，圓心到直線的距離，弦長具有的關(guān)系，這也是求弦長最常用的方法．=2\*GB3②利用交點坐標(biāo)：若直線與圓的交點坐標(biāo)易求出，求出交點坐標(biāo)后，直接用兩點間的距離公式計算弦長．=3\*GB3③利用弦長公式：設(shè)直線，與圓的兩交點，將直線方程代入圓的方程，消元后利用根與系數(shù)關(guān)系得弦長：．【典例1】直線l：截圓所得的弦長等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，求出圓的圓心和半徑，再利用幾何法求出弦長作答.【詳解】圓的圓心，半徑，點到直線的距離，所以所求弦長為.故選：C

【題型訓(xùn)練】一、單選題1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）圓與直線的位置關(guān)系是（

）A．相交 B．相切 C．相離 D．不能確定【答案】A【分析】運(yùn)用幾何法與的關(guān)系判斷圓與直線位置關(guān)系即可.【詳解】圓的圓心為，半徑為1，所以圓心到直線的距離，所以直線與圓的位置關(guān)系為相交.故選：A.2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）直線和圓的位置關(guān)系為（

）A．相交 B．相切C．相離 D．無法確定【答案】A【分析】根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系列式判斷即可.【詳解】由，得，所以圓心為，半徑為，而直線可化為，所以圓心到直線的距離為，則直線和圓相交.故選：A3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知圓C:x2+y2=1，直線：y=2x+b相交，那么實數(shù)b的取值范圍是（

）A．（-3，1） B．（-，-） C．（，） D．（-，）【答案】D【分析】利用圓心到直線的距離列不等式，從而求得的取值范圍.【詳解】圓的圓心為，半徑為，直線，由于圓與直線相交，所以，解得.故選：D4．（2023秋·湖北武漢·高三武漢市第四十九中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若直線與曲線有兩個交點，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)直線所過的定點，結(jié)合直線與圓的切線性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行求解即可.【詳解】直線恒過定點，曲線表示以點為圓心，半徑為1，且位于直線右側(cè)的半圓（包括點，）．當(dāng)直線經(jīng)過點時，與曲線有兩個不同的交點，此時，直線記為；當(dāng)與半圓相切時，由，得，切線記為．分析可知當(dāng)時，與曲線有兩個不同的交點，

故選：A．5．（2023·北京·高三專題練習(xí)）若圓與y軸交于A，B兩點，則（

）A．2 B．4 C． D．【答案】D【分析】直接聯(lián)立方程求A、B坐標(biāo)即可.【詳解】聯(lián)立得，故A、B坐標(biāo)為，即.故選：D6．（2023秋·北京·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）直線被圓所截得的弦長為（

）A．1 B． C．2 D．3【答案】C【分析】根據(jù)圓心在直線上可得結(jié)果.【詳解】由已知得圓心為，半徑，因為圓心在直線上，所以直線被圓所截得的弦長為.故選：C7．（2023秋·山東·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）過點，且圓心在直線上的圓與軸相交于，兩點，則（

）A．3 B． C． D．4【答案】C【分析】由題意設(shè)圓的圓心、半徑分別為，則圓的方程為，結(jié)合已知條件即可求出圓的方程，在圓的方程中令，即可求出，兩點的坐標(biāo)，由此即可得解.【詳解】因為圓心在直線上，所以設(shè)圓的圓心、半徑分別為，則圓的方程為，將，代入圓的方程有，解得，所以圓的方程為，在圓的方程中令得，解得，所以.故選：C.8．（2023·全國·高三專題練習(xí)）過點作圓C：的兩條切線，切點分別為A，B，則直線的方程為（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意，可知圓的圓心為，半徑，由切線長公式求出的長，進(jìn)而可得以為圓心，為半徑為圓，則為兩圓的公共弦所在的直線，聯(lián)立兩個圓的方程，兩方程作差后計算可得答案．【詳解】根據(jù)題意，可知圓的圓心為，半徑，過點作圓的兩條切線，設(shè)切點分別為、，而，則，則以為圓心，為半徑為圓為，即圓，所以為兩圓的公共弦所在的直線，則有，作差變形可得：；即直線的方程為.故選：B.9．（2023秋·天津河?xùn)|·高三天津市第四十五中學(xué)?？茧A段練習(xí)）圓被過點的直線截得的最短弦長為（

）A．2 B．4 C． D．【答案】C【分析】根據(jù)點與圓、直線與圓的位置關(guān)系即可求得最短弦長.【詳解】圓，圓心，半徑所以，故點在圓內(nèi)，則當(dāng)直線垂直于過C，P的直徑時，最短弦長.故選：C.10．（2023·河北衡水·模擬預(yù)測）已知直線與圓相交于兩點，則的面積為（

）A． B． C． D．5【答案】B【分析】求出圓心和半徑，由垂徑定理得到，從而求出的面積.【詳解】圓的方程為，故圓心坐標(biāo)為，半徑，點到線段的距離為，故，的面積.故選：B.11．（2023·山東濟(jì)寧·嘉祥縣第一中學(xué)統(tǒng)考三模）若直線與圓：相交于，兩點，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出直線過的定點并判斷與圓的位置關(guān)系，再求出垂直于經(jīng)過該定點的圓的直徑的弦長作答.【詳解】直線，即恒過定點，而，即點在圓內(nèi)，因此當(dāng)且僅當(dāng)時，最小，而圓的圓心，半徑，，所以.故選：B

12．（2023·山西朔州·懷仁市第一中學(xué)校校考模擬預(yù)測）已知圓，過點作圓的兩條切線，切點分別為，若，則的長為（

）A．2 B．3 C． D．【答案】D【分析】利用直線與圓相切的性質(zhì)及四邊形內(nèi)角和計算可得∠APO=30°，解三角形即可.【詳解】如圖所示，因為，若，則，即，因為，所以.故選：D13．（2023秋·北京海淀·高三清華附中?？奸_學(xué)考試）若直線把圓分成長度為1：2的兩段圓弧，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】直線和圓相交于，則根據(jù)較短弧長與較長弧長之比為得到,利用點與直線的距離建立條件關(guān)系即可．【詳解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑，設(shè)直線和圓相交于，若較短弧長與較長弧長之比為，則，則圓心到直線的距離，即，即，故選:D

14．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若不等式的解集為區(qū)間，且,則（

）A． B． C． D．2【答案】C【分析】將問題轉(zhuǎn)化為半圓位于直線下方的區(qū)間長度為2，由此可得，求出直線與半圓的交點坐標(biāo)即可求得的值.【詳解】解：如圖所示：因為表示以坐標(biāo)原點為圓心，4為半徑位于軸上方(含和軸交點)的半圓，表示過坐標(biāo)原點及第一三象限內(nèi)的直線，又因為不等式的解集為區(qū)間，且,即半圓位于直線下方的區(qū)間長度為2，所以，所以直線與半圓的交點，所以.故選：C.15．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)O為坐標(biāo)原點，曲線x2＋y2＋2x－6y＋1＝0上有兩點P，Q，它們關(guān)于直線x＋my＋4＝0對稱，且，則直線PQ的方程為（

）A．y＝－x－1 B．y＝－x＋1C．y＝x－1 D．y＝x＋1【答案】B【分析】由的對稱性得圓心過已知直線，從而求得值，直線與直線垂直，可設(shè)出其方程為，同時設(shè)，代入圓方程應(yīng)用韋達(dá)定理得，得，代入求得得直線方程（注意判斷直線與圓相交）．【詳解】曲線x2＋y2＋2x－6y＋1＝0，即曲線(x＋1)2＋(y－3)2＝9，表示圓心為(－1，3)，半徑為3的圓，因為點P，Q在圓上且關(guān)于直線x＋my＋4＝0對稱，所以圓心在直線x＋my＋4＝0上，代入可得m＝－1，即直線方程為x－y＋4＝0.由題意知直線PQ與直線x－y＋4＝0垂直，所以可設(shè)直線PQ：y＝－x＋b，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，將y＝－x＋b代入圓的方程，整理得2x2＋2(4－b)x＋b2－6b＋1＝0，Δ＝4(4－b)2－4×2·(b2－6b＋1)＞0，解得2－3＜b＜2＋3，由根與系數(shù)的關(guān)系得x1＋x2＝－(4－b)，x1x2＝，y1y2＝b2－b(x1＋x2)＋x1x2＝＋4b.因為＝0，所以x1x2＋y1y2＝0，即b2－6b＋1＋4b＝0，解得b＝1∈(2－3，2＋3)，所以直線PQ的方程為y＝－x＋1.故選：B.二、填空題16．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若直線過點且被圓截得的弦長是6，則該直線的方程為.【答案】或．【分析】由弦長求得圓心到直線的距離，根據(jù)點到直線的距離求直線的方程.【詳解】由題可知圓心，半徑，弦長，設(shè)弦心距是d，則，解得，若l斜率不存在，直線是，代入圓的方程解得,故該直線被圓截得的弦長為6,符合題意，若l斜率存在，設(shè)直線方程，即，則圓心到直線的距離，解得，直線l的方程為，即，綜上，所求直線方程為或．故答案為：或．17．（2023·廣西柳州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）設(shè)直線與圓相交于兩點，且弦的長為2，則實數(shù)的值是.【答案】【詳解】根據(jù)給定條件，利用幾何法求弦長列式求解作答.【點睛】圓的圓心，半徑，圓心到直線的距離，依題意，，則，解得，所以實數(shù)的值是.故答案為：18．（2023·湖北·黃岡中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知直線與圓相交于A、B兩點．若為直角三角形，則的值為．【答案】【分析】由為直角三角形，可得，從而可得的值.【詳解】根據(jù)題意，圓即，若為直角三角形，即為等腰直角三角形，所以有圓心到直線的距離為：，解得：．故答案為：19．（2023春·廣東珠?！じ呷楹Ｊ械谝恢袑W(xué)?？茧A段練習(xí)）已知圓，直線l過點，且交圓O于P，Q兩點，使弦長為整數(shù)的直線l共有條.【答案】16【分析】根據(jù)弦長公式，可知線段的長度變化是連續(xù)的，故只需求得長度的最小值和最大值，即可知道長度介于最小值和最大值之間的整數(shù)的個數(shù)，再由對稱性即可求解.【詳解】

如圖，過點作垂直于，垂足為，連接，設(shè)，圓半徑為，則有=所以當(dāng)即兩點重合時，取得最小值為，因為圓直徑為14，所以，當(dāng)或時，分別代表圓內(nèi)過點的最短弦和最長弦，這兩條弦分別只有1條，其余長度為7、8、9、10、11、12、13的弦由于圓的對稱性分別有兩條，故該圓內(nèi)過點且長度為整數(shù)的弦共有條.故答案為：16.20．（2023·廣東廣州·廣州市從化區(qū)從化中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知直線與圓交于A，兩點，若是圓上的一動點，則面積的最大值是.【答案】【分析】求出圓C圓心到弦AB的長度d，求出弦AB的長度，M到弦AB的最大距離為d＋r(r為圓C半徑)，根據(jù)三角形面積公式即可求出答案．【詳解】，則圓C的圓心為，半徑為，圓心C到直線l（弦AB）的距離為，則，則到弦AB的距離的最大值為，則面積的最大值是.故答案為：21．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若過定點的直線截圓C：所得弦長小于3，則該直線斜率的取值范圍為【答案】【分析】討論直線斜率不存在和存在兩種情況，根據(jù)相交弦長公式驗證弦長，即可列不等式求得直線斜率的取值范圍.【詳解】當(dāng)直線l斜率不存在時，圓心到直線的距離為1，此時直線截圓C所得弦長為，不符合題意，故直線l的斜率存在；設(shè)直線l方程為，即，此時圓心到直線的距離，則有，解得，即直線l斜率的取值范圍為．故答案為：．22．（2023·高三課時練習(xí)）已知圓，過點A（2，0）的直線l交圓C于M、N兩點，且，則直線l的方程是.【答案】【分析】當(dāng)直線的斜率不存在時，求出的坐標(biāo)，經(jīng)計算可知，不符合題意；所以直線的斜率存在，設(shè)直線，聯(lián)立直線與圓的方程，根據(jù)韋達(dá)定理得和，再求出，根據(jù)，解方程得，即可求出直線的方程.【詳解】當(dāng)直線的斜率不存在時，，聯(lián)立，得或，不妨設(shè)，，則，不符合題意；所以直線的斜率存在，設(shè)直線，聯(lián)立，消去并整理得，，設(shè)，，則，，則，所以,解得，，所以直線l的方程是.故答案為：題型五直線與圓相切、相離策略方法直線與圓相切、相離的問題（1）圓的切線方程的求法=1\*GB3①點在圓上，法一：利用切線的斜率與圓心和該點連線的斜率的乘積等于，即．法二：圓心到直線的距離等于半徑．=2\*GB3②點在圓外，則設(shè)切線方程：，變成一般式：，因為與圓相切，利用圓心到直線的距離等于半徑，解出．注意：因為此時點在圓外，所以切線一定有兩條，即方程一般是兩個根，若方程只有一個根，則還有一條切線的斜率不存在，務(wù)必要把這條切線補(bǔ)上．（2）常見圓的切線方程過圓上一點的切線方程是；過圓上一點的切線方程是．過圓外一點作圓的兩條切線，則兩切點所在直線方程為過曲線上，做曲線的切線，只需把替換為，替換為，替換為，替換為即可，因此可得到上面的結(jié)論．（3）關(guān)于直線與圓的相離問題的題目大多是最值問題，即直線上的點與圓上的點的最近或最遠(yuǎn)距離問題，這樣的題目往往要轉(zhuǎn)化為直線上的點與圓心距離的最近和最遠(yuǎn)距離再加減半徑長的問題．【典例1】已知直線是圓的對稱軸，過點作圓C的一條切線，切點為，則（

）A．2 B． C． D．7【答案】D【分析】根據(jù)題意，得到直線過圓心，求得，得到，結(jié)合圓的弦長公式，即可求解.【詳解】由圓，可得，所以圓心，半徑為，又由直線是圓的對稱軸，即直線過圓心，即，解得，即，則，所以切線長為.故選：D.【典例2】已知直線與圓相離，則實數(shù)m的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由圓心到直線的距離大于半徑即可求解.【詳解】由，得，∵直線與圓相離，∴解得．∴實數(shù)m的取值范圍是，故選:D【題型訓(xùn)練】一、單選題1．（2023·新疆喀什·?？寄M預(yù)測）已知圓，直線，則圓C與直線l（

）A．相交 B．相切 C．相離 D．相交且直線過圓C的圓心【答案】B【分析】根據(jù)題意只需判斷圓心到直線的距離與半徑比較大小即可判斷．【詳解】由可得，故圓心，半徑，則圓心到直線的距離，故直線與圓C相切．故選：B2．（2023·江蘇常州·?？家荒＃┮阎菆A內(nèi)一點，現(xiàn)有以為中點的弦所在直線和直線，則（

）A．且與圓相交 B．且與圓相離C．且與圓相離 D．且與圓相交【答案】C【解析】由垂直關(guān)系確定直線的斜率，由斜率關(guān)系確定，圓心到直線的距離結(jié)合點與圓的位置關(guān)系得出與圓相離.【詳解】由可知，以為中點的弦所在直線的斜率為則直線的方程為，直線的方程可化為由可知，圓心到直線的距離為因為是圓內(nèi)一點，所以，即故直線與圓相離故選：C3．（2023秋·全國·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知直線與圓相切，則實數(shù)（

）A．或 B．或9 C．11或 D．或【答案】A【分析】由圓心到直線的距離等于半徑列出方程，求出.【詳解】依題知圓心，半徑為3，則，解得或.故選：A.4．（2023秋·安徽阜陽·高三安徽省臨泉第一中學(xué)?？计谀┮阎?，直線，若l與⊙O相離，則（

）A．點在l上 B．點在上C．點在內(nèi) D．點在外【答案】C【分析】根據(jù)l與相離,可知圓心到直線的距離大于半徑，由此列不等式，即可推出，即可得答案.【詳解】由已知l與相離,可知圓心到直線的距離大于半徑，不妨設(shè)為的半徑，即有，故，由于，則，所以,則點在內(nèi)，故選：C．5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知直線與圓相離，則實數(shù)m的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由圓心到直線的距離大于半徑即可求解.【詳解】由，得，∵直線與圓相離，∴解得．∴實數(shù)m的取值范圍是，故選:D．6．（2023·全國·高三專題練習(xí)）過點作圓：的切線，則切線方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】首先將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)式，即可得到圓心坐標(biāo)與半徑，從而判斷點在圓上，再求出，即可得到切線的斜率，最后利用點斜式計算可得.【詳解】圓：，即，圓心為，半徑，又，所以點在圓上，且，所以切線的斜率，所以切線方程為，即.故選：C7．（2023·全國·高三專題練習(xí)）“”是“直線與圓相切”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】根據(jù)直線與圓相切，則圓心到直線的距離等于半徑得到方程，解出值，再根據(jù)充分不必要條件的判定即可得到答案.【詳解】若直線與圓相切，則圓心到直線的距離等于半徑，即，，故前者能推出后者，后者無法推出前者，故“”是“直線與圓相切”的充分不必要條件.故選：A.8．（2023·四川成都·樹德中學(xué)?？寄M預(yù)測）若直線，與相切，則最大值為（

）A． B． C．3 D．5【答案】B【分析】由條件可得，然后設(shè)，由三角函數(shù)的知識可得答案.【詳解】的圓心為，半徑為，因為直線，與相切，所以，即，所以可設(shè)，所以，其中，故選：B9．（2023·陜西寶雞·?？家荒＃┮阎c在圓上，過作圓的切線，則的傾斜角為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)直線垂直的斜率關(guān)系，即可由斜率與傾斜角的關(guān)系求解.【詳解】圓心為，所以,所以過的切線的斜率為，設(shè)傾斜角為，則，由于，故，故選：D10．（2023春·北京東城·高三北京市第十一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知圓，過直線上的動點作圓的切線，切點為，則的最小值是（

）A． B．2 C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意易知當(dāng)圓心到直線上點的距離最小時，最小，利用點到直線的距離公式計算即可.【詳解】圓，圓心，半徑，設(shè)圓心到直線：的距離為，則，易得，則，故當(dāng)圓心到直線上點的距離最小時，即圓心到直線的距離，此時最小，因為，所以，故最小值是．故選：D.11．（2023秋·安徽·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知圓在點處的切線上一點在第一象限內(nèi)，則的最小值為（

）A． B．5 C． D．9【答案】C【分析】利用圓的切線方程及基本不等即可求解．【詳解】易知圓在點處的切線的方程為，所以，，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，時，等號成立．所以的最小值為.故選：C.12．（2023秋·江蘇南通·高三江蘇省如皋中學(xué)校考階段練習(xí)）已知是上一點，過點作圓的兩條切線，切點分別為，當(dāng)直線與平行時，（

）A． B． C． D．4【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，利用圓的切線的性質(zhì)，結(jié)合面積法求解作答.【詳解】連接，由切圓于知，，因為直線與平行，則，，而圓半徑為，于是，由四邊形面積，得，所以.

故選：C13．（2023·全國·高三專題練習(xí)）過點作圓C：的兩條切線，切點分別為A，B，則直線的方程為（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意，可知圓的圓心為，半徑，由切線長公式求出的長，進(jìn)而可得以為圓心，為半徑為圓，則為兩圓的公共弦所在的直線