第40講 圓與圓的位置關(guān)系及圓的綜合性問題（精講）【一輪復(fù)習(xí)講義】2024年高考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)題型歸納與方法總結(jié)（新高考通用）解析版

【一輪復(fù)習(xí)講義】2024年高考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)題型歸納與方法總結(jié)（新高考通用）第40講圓與圓的位置關(guān)系及圓的綜合性問題（精講）題型目錄一覽①圓與圓的位置關(guān)系②圓的公共弦問題③圓的公切線問題④圓的綜合性問題一、知識(shí)點(diǎn)梳理一、知識(shí)點(diǎn)梳理一、兩圓位置關(guān)系的判斷用兩圓的圓心距與兩圓半徑的和差大小關(guān)系確定，具體是：設(shè)兩圓的半徑分別是，（不妨設(shè)），且兩圓的圓心距為，則：兩圓相交；兩圓外切；兩圓相離；兩圓內(nèi)切；兩圓內(nèi)含（時(shí)兩圓為同心圓）設(shè)兩個(gè)圓的半徑分別為，，圓心距為，則兩圓的位置關(guān)系可用下表來表示：位置關(guān)系相離外切相交內(nèi)切內(nèi)含幾何特征代數(shù)特征無實(shí)數(shù)解一組實(shí)數(shù)解兩組實(shí)數(shù)解一組實(shí)數(shù)解無實(shí)數(shù)解公切線條數(shù)43210【常用結(jié)論】關(guān)于圓的切線的幾個(gè)重要結(jié)論（1）過圓上一點(diǎn)的圓的切線方程為．（2）過圓上一點(diǎn)的圓的切線方程為（3）過圓上一點(diǎn)的圓的切線方程為（4）求過圓外一點(diǎn)的圓的切線方程時(shí)，應(yīng)注意理解：①所求切線一定有兩條；②設(shè)直線方程之前，應(yīng)對(duì)所求直線的斜率是否存在加以討論．設(shè)切線方程為，利用圓心到切線的距離等于半徑，列出關(guān)于的方程，求出值．若求出的值有兩個(gè)，則說明斜率不存在的情形不符合題意；若求出的值只有一個(gè)，則說明斜率不存在的情形符合題意．二、題型分類精講二、題型分類精講題型一圓與圓的位置關(guān)系策略方法幾何法判斷圓與圓的位置的步驟(1)確定兩圓的圓心坐標(biāo)和半徑長(zhǎng)．(2)利用平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式求出圓心距d和r1＋r2，|r1－r2|的值．(3)比較d，r1＋r2，|r1－r2|的大小，寫出結(jié)論．【典例1】已知圓，圓．試求為何值時(shí)，兩圓：(1)相切；(2)相交；(3)外離；(4)內(nèi)含．【答案】(1)或(2)(3)(4)【分析】根據(jù)兩圓方程可確定圓心和半徑，根據(jù)兩圓位置關(guān)系可得圓心距和兩圓半徑之間的關(guān)系，由此可構(gòu)造方程或不等式求得結(jié)果.【詳解】（1）由圓方程知：圓心，半徑；由圓方程知：圓心，半徑；若兩圓內(nèi)切，則，即，又，；若兩圓外切，則，即，又，；若兩圓相切，則或.（2）若兩圓相交，則，即，又，，即當(dāng)時(shí)，兩圓相交.（3）若兩圓外離，則，即

，又，，即當(dāng)時(shí)，兩圓外離.（4）若兩圓內(nèi)含，則，即，又，，即當(dāng)時(shí)，兩圓內(nèi)含.【題型訓(xùn)練】一、單選題1．（2023高三專題練習(xí)）兩圓和的位置關(guān)系是（

）A．相離 B．相交 C．內(nèi)切 D．外切【答案】B【分析】先求出兩圓的圓心和半徑,再根據(jù)圓心距與兩圓的半徑和及半徑差之間的大小關(guān)系,得出兩圓的位置關(guān)系即可.【詳解】解:由題知,的圓心為,半徑為3,因?yàn)?即,圓心為,半徑為4,所以兩圓心之間的距離為,因?yàn)?所以兩圓相交.故選:B2．（2023高三專題練習(xí)）已知圓與圓，則圓與圓的位置關(guān)系為（

）A．相交 B．外切 C．外離 D．內(nèi)含【答案】B【分析】確定兩圓的圓心和半徑，由圓心間的距離與半徑的關(guān)系即可得解.【詳解】圓化成標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心，半徑為，圓，圓心，半徑為，，圓與圓的位置關(guān)系為外切，故選：B3．（2023高三專題練習(xí)）已知圓：，圓：，若圓與圓內(nèi)切，則實(shí)數(shù)a的值是（

）A． B．2 C．或2 D．1或【答案】C【分析】由圓心距等于兩圓半徑之差的絕對(duì)值可得結(jié)論．【詳解】由題可知圓心，半徑，圓心，半徑，因?yàn)閳A與圓內(nèi)切，所以，解得或．故選：C．4．（廣西梧州市蒼梧中學(xué)2023屆高三5月份高考數(shù)學(xué)模擬試題）若圓與圓關(guān)于直線對(duì)稱，過點(diǎn)的圓P與y軸相切，則圓心P的軌跡方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】求出兩個(gè)圓的圓心坐標(biāo)，兩個(gè)半徑，利用兩個(gè)圓關(guān)于直線的對(duì)稱知識(shí)，求出a的值，然后設(shè)出圓心P的坐標(biāo)為，圓心到點(diǎn)C的距離等于圓心到y(tǒng)軸的距離，列出方程求出圓心P的軌跡方程．【詳解】圓的圓心為，圓的圓心為，因?yàn)閳A與圓關(guān)于直線對(duì)稱，所以的中點(diǎn)滿足直線方程，解得，過點(diǎn)的圓P與y軸相切，設(shè)圓心P的坐標(biāo)為，所以解得：，故選：C．5．（東北三省四城市聯(lián)考暨沈陽市2023屆高三二模數(shù)學(xué)試題）已知圓和圓，其中，則使得兩圓相交的一個(gè)充分不必要條件可以是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系求參數(shù)范圍，結(jié)合充分、必要性定義確定答案即可.【詳解】由且半徑，且半徑，結(jié)合a大于0，所以時(shí)，兩圓相交，則，由選項(xiàng)可得A選項(xiàng)為的充要條件；B、D選項(xiàng)為的必要不充分條件；C選項(xiàng)為的充分不必要條件；故選：C6．（2023高三專題練習(xí)）已知圓：與圓：相外切，則的最大值為（）A．2 B． C． D．4【答案】A【分析】由圓的方程求得圓心坐標(biāo)與半徑，再由兩圓外切可得，要使取得最大值，則，同號(hào)，不妨取，，然后利用基本不等式求得的最大值.【詳解】圓的圓心為，半徑，圓的圓心為，半徑，由圓C1與圓C2相外切，得即，∴；要使取得最大值，則，同號(hào)，不妨取，，由基本不等式，得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，∴ab的最大值為2．故選：A7．（2023高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)P，Q分別為圓與上一點(diǎn)，則的最小值為（

）A．4 B．5 C．7 D．10【答案】A【分析】根據(jù)兩圓位置關(guān)系求解.【詳解】圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為1；圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為2；所以兩圓的圓心距，兩圓外離，所以，故選：A.8．（廣東省深圳市羅湖區(qū)部分學(xué)校2024屆高三上學(xué)期開學(xué)模擬數(shù)學(xué)試題）“”是“圓：與圓：存在公切線”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】利用內(nèi)含的定義以及充分而不必要條件的定義求解.【詳解】當(dāng)兩圓無公切線時(shí)，兩圓內(nèi)含，圓的圓心為，半徑，圓的圓心為，半徑為，所以兩圓的圓心距為，即，解得，所以當(dāng)兩圓有公切線時(shí)或，所以能推出圓和有公切線，而圓和有公切線不能推出，所以“”是“圓：與圓：存在公切線”的充分而不必要條件，故選：A.9．（黑龍江省大慶實(shí)驗(yàn)中學(xué)2023屆高三下學(xué)期5月考前得分訓(xùn)練（三）數(shù)學(xué)試題）已知圓和兩點(diǎn)，，若圓C上至少存在一點(diǎn)P，使得，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題意，圓：與圓O：位置關(guān)系為相交，內(nèi)切或內(nèi)含，從而求得實(shí)數(shù)a的取值范圍.【詳解】圓C：的圓心，半徑，∵圓C上至少存在一點(diǎn)P，使得，∴圓：與圓O：位置關(guān)系為相交，內(nèi)切或內(nèi)含，如圖所示，又圓O：的圓心，半徑，則，即，∴．故選：B．

10．（北京市通州區(qū)2023屆高三模擬考試數(shù)學(xué)試題）在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)B，C滿足，，A為線段中點(diǎn)，P為圓任意一點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意得A為圓任意一點(diǎn)，設(shè)圓的圓心為M，從而得到為圓O與圓M這兩圓上的點(diǎn)之間的距離，進(jìn)而即可求解．【詳解】由，則，又，且A為線段中點(diǎn)，則，所以A為圓任意一點(diǎn)，設(shè)圓的圓心為M，則，又，所以圓O與圓M相離，所以的幾何意義為圓O與圓M這兩圓上的點(diǎn)之間的距離，所以，，所以的取值范圍為．故選：A．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：依題意得的幾何意義為圓與圓這兩圓上的點(diǎn)之間的距離是解答此題的關(guān)鍵．二、多選題11．（湖南省長(zhǎng)沙市雅禮中學(xué)2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期月考（三）數(shù)學(xué)試題）下列圓中與圓相切的是（

）A． B．C． D．【答案】BC【分析】求出圓的圓心及半徑，求出圓心距，即可得出答案.【詳解】解：圓，化為，則圓的圓心，半徑，對(duì)于A，圓心為，半徑為，圓心距為，因?yàn)?，所以兩圓相交，故A不符題意；對(duì)于B，圓心為，半徑為，圓心距為，所以兩圓外切，故B符合題意；對(duì)于C，圓心為，半徑為，圓心距為，所有兩圓內(nèi)切，故C符合題意；對(duì)于D，圓心為，半徑為，圓心距為，所以兩圓外離，故D不符題意.故選：BC.12．（2023高三專題練習(xí)）已知圓，則下列說法正確的是（

）A．圓C的半徑為18B．圓C截x軸所得的弦長(zhǎng)為C．圓C與圓相外切D．若圓C上有且僅有兩點(diǎn)到直線的距離為1，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是【答案】BC【分析】先運(yùn)用配方法將一般式方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，可確定其圓心個(gè)半徑;根據(jù)點(diǎn)到弦的距離可求出弦長(zhǎng)；圓心距和半徑的關(guān)系可確定圓與圓的位置關(guān)系；圓心到直線的距離與半徑之間的數(shù)量關(guān)系可確定圓C上有且僅有兩點(diǎn)到直線的距離為1【詳解】A：將一般式配方可得：，A錯(cuò)；B：圓心到x軸的距離為2，弦長(zhǎng)為，B對(duì)；C：由題意，，所以圓C與圓外切，C對(duì)；D：圓C上有且僅有兩點(diǎn)到直線的距離為1，d表示圓心與直線的距離，，則，解之:，D錯(cuò)；故選：BC.13．（廣東省江門市部分學(xué)校2023屆高三下學(xué)期開學(xué)聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）已知圓，圓，下列說法正確的是（

）A．若，則圓與圓相交B．若，則圓與圓外離C．若直線與圓相交，則D．若直線與圓相交于，兩點(diǎn)，則【答案】AC【分析】根據(jù)直線與圓相交、圓與圓位置關(guān)系逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】解：圓的圓心，半徑若，，則圓心，半徑，則，所以，則圓與圓相交，故A正確，B錯(cuò)誤；若直線與圓相交，則圓心到直線的距離，解得，故C正確；若直線與圓相交于，兩點(diǎn)，則圓心到直線的距離，所以相交弦長(zhǎng)，故D錯(cuò)誤.故選：AC.14．（2023高三專題練習(xí)）已知圓和兩點(diǎn)，若圓上存在點(diǎn)，使得，則可能的取值為（

）A． B． C． D．【答案】CD【分析】先求動(dòng)點(diǎn)的軌跡，再利用圓與圓的位置關(guān)系可求的取值范圍，從而可得正確的選項(xiàng).【詳解】設(shè)，則因?yàn)椋始?，故的軌跡為圓（原點(diǎn)為圓心，半徑為，不含兩點(diǎn)），因?yàn)榉謩e在第二象限和第四象限，而圓在第一象限，又在圓上，故圓與圓有公共點(diǎn)，所以即，解得，故選：CD.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：直線與圓中的隱圓問題，大多需要考慮動(dòng)點(diǎn)的軌跡（常為圓），從而把動(dòng)點(diǎn)的存在性問題歸結(jié)圓與圓的位置關(guān)系問題.三、填空題15．（2023高三專題練習(xí)）已知圓與圓：相內(nèi)切，則實(shí)數(shù)m的值為．【答案】0或2【分析】首先根據(jù)題中圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求出圓的圓心與半徑，再根據(jù)兩圓相內(nèi)切求出的值為.【詳解】圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為，所以兩圓的圓心距，又因?yàn)閮蓤A內(nèi)切，有或．故答案為：0或2.16．（黑龍江省齊齊哈爾市實(shí)驗(yàn)中學(xué)2023屆高三三模數(shù)學(xué)試題）寫出一個(gè)與兩坐標(biāo)軸和圓：都相切的一個(gè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．【答案】或或或（寫出其中一個(gè)即可）【分析】做出圖像，即可求解.【詳解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，畫圖可知圓和圓和圓和都與坐標(biāo)軸和圓相切．故答案為：或或或（寫出其中一個(gè)即可）17．（山東省棗莊市2023屆高三下學(xué)期第二次模擬考試數(shù)學(xué)試題）滿足圓與相交的一個(gè)a值為．【答案】（答案不唯一，只要在區(qū)間即可）【分析】根據(jù)兩圓相交可求得圓心距大于半徑之差的絕對(duì)值，小于半徑之和，即可得的范圍，從而可的答案.【詳解】圓的圓心為，半徑，圓的圓心為，半徑，因?yàn)閮蓤A相交，所以，即，解得或，所以滿足圓與相交的一個(gè)a值可以為.故答案為：.（答案不唯一，只要在區(qū)間即可）18．（2023高三專題練習(xí)）已知圓與圓外切，此時(shí)直線被圓所截的弦長(zhǎng)為．【答案】【分析】根據(jù)兩圓外切，可得圓心距離為半徑之和，可得，接著計(jì)算到直線的距離，最后根據(jù)圓的弦長(zhǎng)公式計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】由題意可得：，即圓的圓心為，半徑為，即圓心到直線的距離為，故所截弦長(zhǎng)為．故答案為：19．（2023高三專題練習(xí)）若圓上存在點(diǎn)P，且點(diǎn)P關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)Q在圓上，則r的取值范圍是.【答案】【分析】求出圓關(guān)于y軸的對(duì)稱圓的方程，由題意知圓與圓有交點(diǎn)，由此可列出不等式，即可求得答案.【詳解】圓關(guān)于y軸的對(duì)稱圓為圓，其方程為，根據(jù)題意，圓與圓有交點(diǎn)，又圓與圓的圓心距為，要滿足題意，只需，解得，故答案為：20．（重慶市2024屆高三上學(xué)期9月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）已知圓與圓內(nèi)切，且圓與直線相切，則圓的圓心的軌跡方程為．【答案】【分析】根據(jù)題意可得：點(diǎn)到直線的距離，根據(jù)兩圓的位置關(guān)系列式求解即可.【詳解】設(shè)，點(diǎn)到直線的距離為d，如圖，只能在直線的左側(cè)，則，

因?yàn)閳A的圓心為，半徑為1，依題意可得，即，化簡(jiǎn)可得，故圓的圓心的軌跡方程為．故答案為：.四、解答題21．（2023高三專題練習(xí)）已知圓：，圓：，圓與圓、圓外切，求圓心的軌跡方程【答案】【分析】根據(jù)圓C與圓A、圓B外切，得到，再利用雙曲線的定義求解.【詳解】因?yàn)閳AC與圓A、圓B外切，設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)，圓C半徑為，則，，所以，所以點(diǎn)的軌跡是雙曲線的一支，又，，，所以其軌跡方程為.22．（2023高三專題練習(xí)）已知圓與圓外切.(1)求實(shí)數(shù)的值；(2)若直線與圓交于A，兩點(diǎn)，求弦的長(zhǎng).【答案】(1)(2)【分析】（1）分別求出兩圓的半徑及圓心，由兩圓外切可得圓心距等于兩圓半徑之和，注意方程表示圓時(shí)的范圍；（2）求出圓心到直線的距離，再利用圓的弦長(zhǎng)公式即可得出答案.【詳解】（1）解：由圓，得圓心，半徑，由圓，得圓心，半徑，因?yàn)閳A與圓外切，所以，即，解得；（2）解：圓心到直線的距離，所以.題型二圓的公共弦問題策略方法兩圓的公共弦方程為兩圓方程相減可得．【典例1】已知圓C的圓心為，且與直線相切．(1)求圓C的方程；(2)求圓C與圓的公共弦的長(zhǎng)．【答案】(1)(2)【分析】（1）由題意求得圓的半徑，即可求得答案；（2）將兩圓方程相減，求出兩圓的公共弦方程，根據(jù)弦長(zhǎng)、弦心距以及圓的半徑之間的關(guān)系即可求得答案.【詳解】（1）由題意得圓C的半徑為，故圓C的方程為；（2）圓和的圓心距為，而，即兩圓相交，將和相減得，圓的圓心到的距離為，故兩圓的公共弦長(zhǎng)為.【題型訓(xùn)練】一、單選題1．（2023高三專題練習(xí)）過圓與圓交點(diǎn)的直線方程為（

）.A． B．C． D．【答案】C【分析】聯(lián)立兩圓方程求出交點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)兩點(diǎn)式求出直線方程，化為一般式可得解.【詳解】聯(lián)立，解得或，所以圓與圓交點(diǎn)為和，所以過兩圓交點(diǎn)的直線方程為，即.故選：C2．（天一大聯(lián)考三晉名校聯(lián)盟2022-2023學(xué)年高三下學(xué)期頂尖計(jì)劃聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）已知圓和交于A，B兩點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求得相交弦所在直線方程，然后根據(jù)圓的弦長(zhǎng)的求法求得.【詳解】將和相減得直線，點(diǎn)到直線的距離，所以．故選：B3．（重慶市第八中學(xué)校2023屆高三下學(xué)期適應(yīng)性月考（八）數(shù)學(xué)試題）圓與圓的公共弦恰為圓的直徑，則圓的面積是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】?jī)蓤A方程相減得公共弦所在直線方程，再由公共弦為直徑得圓心在直線上，代入圓心坐標(biāo)可求半徑，進(jìn)而求出圓的面積.【詳解】?jī)蓤A方程相減得兩圓的公共弦所在直線方程為，因?yàn)楣蚕覟閳A的直徑，所以圓的圓心在直線上，由解得，所以圓的面積為.故選：D.4．（2023高三專題練習(xí)）已知圓與圓的公共弦所在直線恒過點(diǎn)P，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】?jī)蓤A方程相減可得公共弦所在直線方程，然后k取特值解方程組可得交點(diǎn).【詳解】由，兩式相減得公共弦所在直線方程為：，分別取，得，解得，即故選：A5．（2023高三專題練習(xí)）已知圓C過圓與圓的公共點(diǎn)．若圓，的公共弦恰好是圓C的直徑，則圓C的面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意求解圓，的公共弦方程，再計(jì)算圓中的公共弦長(zhǎng)即可得圓C的直徑，進(jìn)而求得面積即可【詳解】由題，圓，的公共弦為和的兩式相減，化簡(jiǎn)可得，又到的距離，故公共弦長(zhǎng)為，故圓C的半徑為，故圓C的面積為故選：B6．（2023高三專題練習(xí)）已知圓：，點(diǎn)是直線：上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)引圓的兩條切線、，其中、為切點(diǎn)，則直線經(jīng)過定點(diǎn)（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)圓的切線性質(zhì)，結(jié)合圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、圓與圓的位置關(guān)系進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)椤⑹菆A的兩條切線，所以，因此點(diǎn)、在以為直徑的圓上，因?yàn)辄c(diǎn)是直線：上的動(dòng)點(diǎn)，所以設(shè)，點(diǎn)，因此的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為：，縱坐標(biāo)為：，，因此以為直徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，而圓：，得：，即為直線的方程，由，所以直線經(jīng)過定點(diǎn)，故選：D【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：由圓的切線性質(zhì)得到點(diǎn)、在以為直徑的圓上，運(yùn)用圓與圓的位置關(guān)系進(jìn)行求解是解題的關(guān)鍵.7．（2023高三專題練習(xí)）已知圓與圓的公共弦所在直線恒過點(diǎn)，且點(diǎn)在直線上，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】把兩圓的方程作差即可得出公共弦所在直線方程，再利用直線系方程求出x,y的值，即a,b的值，然后代入直線方程，由重要不等式求的取值范圍．【詳解】由圓，圓，兩式相減，得圓與圓的公共弦所在直線方程為：，聯(lián)立，解得，即，，又在直線上，，即．有，得．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等，的取值范圍是.故選：C．二、多選題8．（2023高三專題練習(xí)）已知圓：和圓：，則（

）A．兩圓的圓心的距離為25B．兩圓相交C．兩圓的公共弦所在直線方程為D．兩圓的公共弦長(zhǎng)為【答案】BD【分析】A選項(xiàng)，求出兩圓的圓心，進(jìn)而求圓心距；B選項(xiàng)，利用圓心距與兩半徑之差和半徑之和比較，確定是否相交；C選項(xiàng)，兩圓相減即為公共弦所在直線方程；D選項(xiàng)，利用C選項(xiàng)的結(jié)果，利用點(diǎn)到直線距離公式求出圓心到的距離，進(jìn)而利用垂徑定理求出公共弦長(zhǎng).【詳解】圓：圓心，半徑，圓：圓心，半徑，圓心距，A錯(cuò)誤；因?yàn)?，，，，兩圓相交，B正確；兩圓相減得：，故兩圓的公共弦所在直線方程為，C錯(cuò)誤；圓心到的距離為，由垂徑定理得：兩圓的公共弦長(zhǎng)為，D選項(xiàng)正確.故選：BD9．（2023高三專題練習(xí)）已知圓和圓的交點(diǎn)為，，則（

）A．圓和圓有兩條公切線B．直線的方程為C．圓上存在兩點(diǎn)和使得D．圓上的點(diǎn)到直線的最大距離為【答案】ABD【分析】A：判斷兩圓相交可得切線條數(shù)；B：兩圓相交，做差可得公共弦方程；C：判斷弦AB經(jīng)過圓心，則弦為最長(zhǎng)弦，不再存在比AB更長(zhǎng)的弦；D：求圓心到直線的距離加半徑即為到直線AB的最大距離.【詳解】解：對(duì)于A，因?yàn)閮蓚€(gè)圓相交，所以有兩條公切線，故正確；對(duì)于B，將兩圓方程作差可得，即得公共弦的方程為，故B正確；對(duì)于C，直線經(jīng)過圓的圓心，所以線段是圓的直徑，故圓中不存在比長(zhǎng)的弦，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為2，圓心到直線的距離為，所以圓上的點(diǎn)到直線的最大距離為，D正確.故選：ABD.10．（2023高三專題練習(xí)）圓和圓的交點(diǎn)為A，B，則（）A．公共弦AB所在直線的方程為B．線段AB中垂線方程為C．公共弦AB的長(zhǎng)為D．P為圓上一動(dòng)點(diǎn)，則P到直線AB距離的最大值為【答案】ABD【分析】?jī)蓤A方程作差后可得公共弦方程，從而可判斷A的正誤，求出圓的圓心坐標(biāo)后求出垂直平分線的方程后可判斷B的正誤，利用垂徑定理計(jì)算弦長(zhǎng)后可判斷C的正誤，求出到直線的距離后可求動(dòng)點(diǎn)到直線距離的最大值，從而可判斷D的正誤．【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)閳A，，兩式作差可得公共弦AB所在直線的方程為，即，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，圓的圓心為，則線段AB中垂線的斜率為，即線段AB中垂線方程為，整理可得，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C，圓心到的距離為，又圓的半徑，所以，故C不正確；對(duì)于選項(xiàng)D，P為圓上一動(dòng)點(diǎn)，圓心到的距離為，又圓的半徑，所以P到直線AB距離的最大值為，故D正確．故選：ABD．11．（安徽省A10聯(lián)盟2023屆高三最后一卷數(shù)學(xué)試題）已知，，點(diǎn)，分別在，上，則（

）A．若的半徑為1，則B．若，則與相交弦所在的直線為C．直線截所得的最短弦長(zhǎng)為D．若的最小值為，則的最大值為【答案】AC【分析】直接求的半徑即可判斷A；兩圓方程相減即可得相交弦所在直線方程，從而判斷B；易知直線過定點(diǎn)，當(dāng)定點(diǎn)與圓心連線與垂直時(shí)，可得弦長(zhǎng)最小值，從而判斷C；先根據(jù)的最小值確定兩圓的位置關(guān)系并求出，從而可得的最大值，可判斷D.【詳解】由題意得，的圓心為，半徑，，圓心為，若的半徑為1，則，解得，故A正確；若，則，兩圓方程相減，得與相交弦所在的直線為，故B錯(cuò)誤；易得直線過定點(diǎn)，且點(diǎn)在內(nèi)，則圓心與點(diǎn)的距離為，則直線被所截的最短弦長(zhǎng)為，故C正確；若的最小值為，則與內(nèi)含或外離，由點(diǎn)在內(nèi)，得與內(nèi)含，當(dāng)被內(nèi)含時(shí)，有，此時(shí)的最小值為，解得，的最大值為，這種情況足以判斷D錯(cuò)誤，作為選擇題，則無須考慮被的情況，故D錯(cuò)誤．故選：AC.三、填空題12．（2023高三專題練習(xí)）圓與圓的公共弦所在直線的方程為．【答案】【分析】利用兩圓的一般方程相減即可得出結(jié)果.【詳解】聯(lián)立兩圓的方程得，兩式相減并化簡(jiǎn)，得，所以兩圓公共弦所在直線的方程為．故答案為：.13．（天一大聯(lián)考皖豫名校聯(lián)盟2023屆高三第三次考試數(shù)學(xué)試題）已知圓與圓的公共弦經(jīng)過點(diǎn)M，則．【答案】【分析】根據(jù)兩圓的方程可得公共弦方程，然后根據(jù)點(diǎn)M在直線上即得.【詳解】因?yàn)閳A的圓心，圓，所以兩圓的公共弦所在的直線的方程為，即，所以，所以．故答案為；.14．（天津市第一中學(xué)2022屆高三下學(xué)期4月第四次月考數(shù)學(xué)試題）若圓與圓相交，且公共弦長(zhǎng)為，則.【答案】【分析】?jī)蓚€(gè)圓的方程相減可得公共弦所在直線方程，根據(jù)圓的弦長(zhǎng)公式即可求a的值．【詳解】圓與圓的方程相減即為公共弦所在直線方程：，圓圓心(0，0)到公共弦距離d＝，則公共弦長(zhǎng)度為，解得a＝．故答案為：．15．（2023高三專題練習(xí)）過點(diǎn)作圓的兩條切線,切點(diǎn)分別為,,則直線的方程為.【答案】【詳解】試題分析：圓（x-1）2+y2=1的圓心為C（1，0），半徑為1，以（3，1）、C（1，0）為直徑的圓的方程為（x-2）2+（y-）2=，將兩圓的方程相減可得公共弦AB的方程2x+y-3=0，題型三圓的公切線問題策略方法圓的切線問題（1）圓的切線方程的求法=1\*GB3①點(diǎn)在圓上，法一：利用切線的斜率與圓心和該點(diǎn)連線的斜率的乘積等于，即．法二：圓心到直線的距離等于半徑．=2\*GB3②點(diǎn)在圓外，則設(shè)切線方程：，變成一般式：，因?yàn)榕c圓相切，利用圓心到直線的距離等于半徑，解出．注意：因?yàn)榇藭r(shí)點(diǎn)在圓外，所以切線一定有兩條，即方程一般是兩個(gè)根，若方程只有一個(gè)根，則還有一條切線的斜率不存在，務(wù)必要把這條切線補(bǔ)上．（2）常見圓的切線方程過圓上一點(diǎn)的切線方程是；過圓上一點(diǎn)的切線方程是．過圓外一點(diǎn)作圓的兩條切線，則兩切點(diǎn)所在直線方程為過曲線上，做曲線的切線，只需把替換為，替換為，替換為，替換為即可，因此可得到上面的結(jié)論．【典例1】證明圓與圓內(nèi)切，并求它們的公切線方程．【答案】證明見解析，切線方程為【分析】根據(jù)兩圓圓心距與半徑的關(guān)系即可求證，求解切點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)向量垂直關(guān)系即可求解切線方程.【詳解】將圓的方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程，得，則圓心坐標(biāo)為，半徑．將圓的方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程，得，則圓心坐標(biāo)為，半徑．兩圓心之間的距離，因此兩圓內(nèi)切（如圖）．

為求公切線方程，需要求切點(diǎn)坐標(biāo)．切點(diǎn)是兩圓唯一的公共點(diǎn)，其坐標(biāo)即為方程組的解．②－①，得，

③即．

④將④代入②，整理得．解此方程，得唯一解，代入④，得．故切點(diǎn)坐標(biāo)為．切點(diǎn)到圓的圓心的方向向量為，并且與切線方向垂直，故向量是切線的法向量，因此可設(shè)切線的一般式方程為．將切點(diǎn)的坐標(biāo)代入上述方程，解得．因此，所求切線方程為．【題型訓(xùn)練】一、單選題1．（廣西壯族自治區(qū)百色市貴百聯(lián)考2024屆高三上學(xué)期9月月考數(shù)學(xué)試題）圓，圓，則兩圓的一條公切線方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由圓與圓位置關(guān)系的判斷可知兩圓外離，得公切線條數(shù)；根據(jù)兩圓半徑相同可確定兩條公切線過，兩條公切線平行于，假設(shè)公切線方程，利用圓心到直線距離等于半徑可構(gòu)造方程求得公切線.【詳解】由兩圓方程得：圓心，，半徑，兩圓圓心距，，即兩圓外離，公切線共有條；兩圓半徑相同，兩圓兩條公切線經(jīng)過中點(diǎn)，兩條公切線與平行，經(jīng)過中點(diǎn)的公切線斜率顯然存在，可設(shè)為：，，解得：或，即公切線方程為：或；，與平行的公切線方程為，即，，解得：，即公切線方程為或；綜上所述：兩圓的公切線方程為：或或或.故選：C.2．（2023高三專題練習(xí)）圓：與圓：公切線的條數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】首先根據(jù)題意得到兩圓相外切，即可得到答案.【詳解】根據(jù)題意，圓：，即，其圓心為，半徑；圓：，即，其圓心為，半徑，兩圓的圓心距，所以兩圓相外切，其公切線條數(shù)有3條．故選：C．3．（黑龍江大慶市2023屆高三三模數(shù)學(xué)試題）已知直線是圓的切線，并且點(diǎn)到直線的距離是2，這樣的直線有（

）A．1條 B．2條 C．3條 D．4條【答案】D【分析】由已知可推得，直線是圓與圓的公切線.根據(jù)兩圓的圓心、半徑，推得兩圓的位置關(guān)系，即可得出答案.【詳解】由已知可得，圓心，半徑.由點(diǎn)到直線的距離是2，所以直線是以為圓心，為半徑的圓的切線，又直線是圓的切線，所以，直線是圓與圓的公切線.因?yàn)椋?，兩圓外離，所以兩圓的公切線有4條，即滿足條件的直線有4條.故選：D.4．（2023高三專題練習(xí)）已知直線與圓相切，則滿足條件的直線l的條數(shù)為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式和兩圓位置關(guān)系即可求解.【詳解】由已知直線，則原點(diǎn)到直線l的距離為，由直線l與圓相切，則滿足條件的直線l即為圓和圓的公切線，因?yàn)閳A和圓外切，所以這兩個(gè)圓有兩條外公切線和一條內(nèi)公切線，所以滿足條件的直線l有3條．故選:B．5．（黑龍江省哈爾濱市第六中學(xué)校2023屆高三一模數(shù)學(xué)試題）已知圓心均在軸的兩圓外切，半徑分別為，則兩圓公切線的斜率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由已知結(jié)合直線與圓相切，圓與圓相切性質(zhì)，利用三角函數(shù)知識(shí)和斜率的知識(shí)綜合即可求得結(jié)果.【詳解】如圖所示，圓心均在軸的兩圓外切，畫出兩圓公切線,有兩條分別為，公切線與圓的切點(diǎn)分別為，公切線與軸的交點(diǎn)為，兩圓圓心分別為圓與軸的上交點(diǎn)為，則,,則,，則,同理可得，所以兩圓公切線的斜率為.故選：A.6．（河北省石家莊市2023屆高三質(zhì)量檢測(cè)（一）數(shù)學(xué)試題）“”是“圓：與圓：有公切線”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系確定的取值范圍，即可判斷充分必要性.【詳解】圓：的圓心，半徑，圓：的圓心，半徑，若兩圓有公切線，則，即，解得或，所以“”是“圓：與圓：有公切線”的充分而不必要條件.故選：A.7．（山西省部分學(xué)校2023屆高三下學(xué)期質(zhì)量檢測(cè)試題）已知圓：的圓心到直線的距離為，則圓與圓：的公切線共有（

）A．0條 B．1條 C．2條 D．3條【答案】B【分析】先根據(jù)題意求得，從而得到兩圓的圓心和半徑，進(jìn)而求得圓心距等于兩半徑的差，得知兩圓內(nèi)切，即可知道公切線只有1條.【詳解】圓：的圓心為，半徑為a，所以圓心到直線的距離為，解得或．因?yàn)?，所?所以圓：的圓心為，半徑為．圓：的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心坐標(biāo)為，半徑，圓心距，所以兩圓相內(nèi)切．所以兩圓的公切線只有1條.故選：B．8．（2023高三專題練習(xí)）若圓與圓有且僅有3條公切線，則m=（

）A．14 B．28 C．9 D．【答案】A【分析】分別求出兩圓的圓心及半徑，再根據(jù)圓與圓有且僅有3條公切線，可得兩圓外切，則，從而可得答案.【詳解】圓的圓心，半徑，圓的圓心，半徑，因?yàn)閳A與圓有且僅有3條公切線，所以兩圓外切，則，即，解得.故選：A.9．（2023高三專題練習(xí)）已知圓：與：恰好有4條公切線，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)兩圓有4條公切線，得到兩圓外離，然后根據(jù)外離列不等式，解不等式即可得的取值范圍.【詳解】因?yàn)閳A：與：恰好有4條公切線，所以圓與外離，所以，解得或，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：D.二、多選題10．（新高考地區(qū)2022-2023學(xué)年高三下學(xué)期開學(xué)考數(shù)學(xué)試卷）與圓和都相切的直線的方程為（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】確定兩圓的位置關(guān)系，設(shè)出公切線的方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式列方程組求解.【詳解】圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為，則兩圓心的距離，故兩圓外切，則兩圓的公切線有3條，且斜率都存在，設(shè)兩圓的公切線方程為，即，則，解得或或故公切線方程為或或故選：ABD.11．（湖南省邵陽市第二中學(xué)2023屆高三下學(xué)期高考全真模擬數(shù)學(xué)試題）已知圓，圓，直線，則下列說法正確的是（

）A．圓的圓心為B．圓與圓有四條公切線C．點(diǎn)在圓上，點(diǎn)在圓上，則線段長(zhǎng)的最大值為D．直線與圓一定相交，且相交的弦長(zhǎng)最小值為【答案】ACD【分析】將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，可判斷A選項(xiàng)；判斷圓與圓的位置關(guān)系，可判斷B選項(xiàng)；求出圓心距，利用圓的幾何性質(zhì)可判斷C選項(xiàng)；求出直線所過定點(diǎn)的坐標(biāo)，分析出點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，并求出直線截圓所得弦長(zhǎng)的最小值，可判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓的圓心為，故A正確；對(duì)于B選項(xiàng)，圓的圓心為，半徑為，圓的半徑為，圓心距為，即，所以，圓與圓相交，故圓與圓有兩條公切線，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)閮蓤A圓心距為，又因?yàn)樵趫A上，點(diǎn)在圓上，則線段長(zhǎng)的最大值為，故C正確；對(duì)于D選項(xiàng)，直線的方程可化為，由得，所以，直線過定點(diǎn)，因?yàn)椋庶c(diǎn)在圓內(nèi)，所以直線與圓相交，當(dāng)時(shí)，圓心到直線的距離取得最大值，且最大值為，此時(shí)，直線截圓所得弦長(zhǎng)最小，且最小值為，故D正確.故選：ACD.12．（2023高三專題練習(xí)）已知圓和圓的交點(diǎn)為，，則（

）A．圓和圓有兩條公切線B．直線的方程為C．圓上存在兩點(diǎn)和使得D．圓上的點(diǎn)到直線的最大距離為【答案】ABD【分析】A：判斷兩圓相交可得切線條數(shù)；B：兩圓相交，做差可得公共弦方程；C：判斷弦AB經(jīng)過圓心，則弦為最長(zhǎng)弦，不再存在比AB更長(zhǎng)的弦；D：求圓心到直線的距離加半徑即為到直線AB的最大距離.【詳解】解：對(duì)于A，因?yàn)閮蓚€(gè)圓相交，所以有兩條公切線，故正確；對(duì)于B，將兩圓方程作差可得，即得公共弦的方程為，故B正確；對(duì)于C，直線經(jīng)過圓的圓心，所以線段是圓的直徑，故圓中不存在比長(zhǎng)的弦，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為2，圓心到直線的距離為，所以圓上的點(diǎn)到直線的最大距離為，D正確.故選：ABD.三、填空題13．（2023高三專題練習(xí)）圓與圓的公切線方程為.【答案】或【分析】易得公切線的斜率存在時(shí)，可設(shè)公切線方程為，利用圓心到直線的距離等于半徑列方程組可解得結(jié)果即可求解【詳解】圓即，圓心，半徑為，圓即，圓心，半徑為，因?yàn)椋?，所以兩圓相交，故公切線有兩條，易得公切線的斜率存在，可設(shè)公切線方程為，即，則可整理得，所以或，當(dāng)時(shí)，，解得或；當(dāng)時(shí)，，解得無解；故兩圓的公切線方程為即或即，故答案為：或14．（上海市曹楊第二中學(xué)2024屆高三上學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題）已知圓和圓，則過點(diǎn)且與，都相切的直線方程為．【答案】【分析】求解經(jīng)過與圓相切的直線方程，然后判斷與相切的直線方程即可．【詳解】圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為，當(dāng)過點(diǎn)且與相切的直線斜率不存在時(shí)，此時(shí)直線方程為，而直線與圓不相切，所以切線的斜率存在，當(dāng)過點(diǎn)且與相切的直線斜率存在時(shí)，設(shè)切線方程為，即，則，解得或，故切線方程為或，圓的圓心到直線的距離為，所以直線與圓不相切，故不滿足題意，圓的圓心到直線的距離為，所以直線與圓相切，滿足題意，綜上所述，過點(diǎn)且與，都相切的直線方程為.故答案為：．15．（2023高三專題練習(xí)）已知圓.若圓與圓有三條公切線，則的值為.【答案】【分析】根據(jù)兩圓公切線條數(shù)確定位置關(guān)系為外切，再由圓心距與半徑的關(guān)系列方程求出m的值.【詳解】將圓C的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程：，得圓心，半徑.圓，圓心，半徑.由題可知，兩圓外切，則有，解得.故答案為：.16．（2023高三專題練習(xí)）已知圓，圓圓與圓相切，并且兩圓的一條外公切線的斜率為7，則為.【答案】【分析】根據(jù)題意作出如下圖形：

由圓方程求出圓心連線斜率為：，計(jì)算出圓心距，再利用外公切線的斜率為7求出圓心連線與公切線的夾角，從而在直角三角形中列方程求得，聯(lián)立方程即可求出，，問題得解．【詳解】根據(jù)題意作出如下圖形：

AB為兩圓的公切線，切點(diǎn)分別為A,B.當(dāng)公切線AB與直線平行時(shí)，公切線AB斜率不為7，即不妨設(shè)過作AB的平行線交于點(diǎn)E，則：，且,直線的斜率為：，所以直線AB與直線的夾角正切為：.在直角三角形中，，所以，又,整理得：，解得：，又，解得：，，所以=.【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的公切線特點(diǎn)及兩直線夾角公式，還考查了解三角形知識(shí)及計(jì)算能力、方程思想，屬于中檔題．題型四圓的綜合性問題策略方法幾何法解決直線與圓的綜合問題(1)處理直線與圓的弦長(zhǎng)問題時(shí)多用幾何法，即弦長(zhǎng)的一半、弦心距、半徑構(gòu)成直角三角形．(2)圓的切線問題的處理要抓住圓心到直線的距離等于半徑，從而建立關(guān)系解決問題．【典例1】已知直線，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，若直線上存在點(diǎn)滿足，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由求出點(diǎn)的軌跡，由直線與此軌跡存在公共點(diǎn)求出的范圍作答.【詳解】依題意，，設(shè)點(diǎn)，則，由，得，即，由已知得，而點(diǎn)既在直線上，又在圓上，因此直線與圓有公共點(diǎn)，又圓的圓心為原點(diǎn)，半徑為，于是，解得或，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：B【題型訓(xùn)練】一、單選題1．（2023高三專題練習(xí)）過點(diǎn)作圓C：的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則直線的方程為（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意，可知圓的圓心為，半徑，由切線長(zhǎng)公式求出的長(zhǎng)，進(jìn)而可得以為圓心，為半徑為圓，則為兩圓的公共弦所在的直線，聯(lián)立兩個(gè)圓的方程，兩方程作差后計(jì)算可得答案．【詳解】根據(jù)題意，可知圓的圓心為，半徑，過點(diǎn)作圓的兩條切線，設(shè)切點(diǎn)分別為、，而，則，則以為圓心，為半徑為圓為，即圓，所以為兩圓的公共弦所在的直線，則有，作差變形可得：；即直線的方程為.故選：B.2．（廣東省湛江市2024屆高三上學(xué)期摸底聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）漢代初年成書的《淮南萬畢術(shù)》記載：“取大鏡高懸，置水盆于下，則見四鄰矣”．這是中國(guó)古代入民利用平面鏡反射原理的首個(gè)實(shí)例，體現(xiàn)了傳統(tǒng)文化中的數(shù)學(xué)智慧．在平面直角坐標(biāo)系中，一條光線從點(diǎn)射出，經(jīng)軸反射后的光線所在的直線與圓相切，則反射光線所在直線的斜率為（

）A． B．或1 C．1 D．2【答案】C【分析】由對(duì)稱性可知反射光線過且又在該圓上，即可得為切點(diǎn)，再由斜率乘積為即可求出答案.【詳解】易知關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，由平面鏡反射原理，反射光線所在的直線過且與該圓相切，將圓化簡(jiǎn)后可得，所以圓心，易知在該圓上，所以即為切點(diǎn)，因此圓心與切點(diǎn)連線與反射光線垂直，設(shè)反射光線所在直線的斜率為，即，解得故選：C．3．（浙江省嘉興市2024屆高三上學(xué)期9月基礎(chǔ)測(cè)試數(shù)學(xué)試題）已知點(diǎn)是直線：和：的交點(diǎn)，點(diǎn)是圓：上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意分析可知點(diǎn)的軌跡是以的中點(diǎn)，半徑的圓，結(jié)合圓的性質(zhì)運(yùn)算求解.【詳解】因?yàn)橹本€：，即，令，解得，可知直線過定點(diǎn)，同理可知：直線過定點(diǎn)，又因?yàn)?，可知，所以直線與直線的交點(diǎn)的軌跡是以的中點(diǎn)，半徑的圓，因?yàn)閳A的圓心，半徑，所以的最大值是.故選：B.4．（2023高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)，點(diǎn)為圓上一動(dòng)點(diǎn)，則的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)，可求出的表達(dá)式，利用換元法，結(jié)合三角函數(shù)輔助角公式以及三角函數(shù)性質(zhì)即可求得答案.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)為圓上一動(dòng)點(diǎn)，故設(shè)，則，令，則，即，則，其中為輔助角，，則，整理得，故的最大值為，故選：A5．（湖南省株洲市第二中學(xué)教育集團(tuán)2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期開學(xué)聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）如圖，在平面上有一系列點(diǎn)，，…，…，對(duì)每個(gè)正整數(shù)，點(diǎn)位于函數(shù)的圖像上，以點(diǎn)為圓心的都與軸相切，且與外切.若，且，，的前項(xiàng)之和為，則（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)兩圓的幾何關(guān)系及其圓心在函數(shù)的圖象上，求出遞推關(guān)系式，通過構(gòu)造等差數(shù)列求得的通項(xiàng)公式，再利用裂項(xiàng)相消法求和即可.【詳解】因?yàn)榕c外切，且都與軸相切，所以，即，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以?shù)列為等差數(shù)列，首項(xiàng)，公差，所以，所以，所以，所以所以，故選：D6．（安徽省六校教育研究會(huì)2024屆高三上學(xué)期入學(xué)素質(zhì)測(cè)試數(shù)學(xué)試題）已知，，若動(dòng)點(diǎn)滿足，直線與軸、軸分別交于兩點(diǎn)，則的面積的最小值為（

）A． B．4 C． D．【答案】D【分析】由得的軌跡為圓心為，半徑為的圓，根據(jù)點(diǎn)到直線得距離公式求解圓上點(diǎn)到直線的最小距離，即可根據(jù)面積公式求解.【詳解】設(shè)，由可得，化簡(jiǎn)可得，故動(dòng)點(diǎn)的軌跡為圓心為，半徑為的圓，圓心到的距離為，故圓上的點(diǎn)到直線的最小距離為，由于，所以，故的面積的最小值為，

故選：D二、多選題7．（河北省保定市2023屆高三二模數(shù)學(xué)試題）已知直線，圓的圓心坐標(biāo)為，則下列說法正確的是（

）A．直線恒過點(diǎn)B．C．直線被圓截得的最短弦長(zhǎng)為D．當(dāng)時(shí)，圓上存在無數(shù)對(duì)點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱【答案】ABD【分析】求解直線系結(jié)果的定點(diǎn)判斷A；圓的圓心求解、判斷B；求解直線被圓截的弦長(zhǎng)判斷C，利用圓的圓心到直線的距離判斷D．【詳解】直線，恒過點(diǎn)，所以A正確；圓的圓心坐標(biāo)為，，，所以B正確；圓的圓心坐標(biāo)為，圓的半徑為2．直線，恒過點(diǎn)，圓的圓心到定點(diǎn)的距離為：，直線被圓截得的最短弦長(zhǎng)為，所以C不正確；當(dāng)時(shí)，直線方程為：，經(jīng)過圓的圓心，所以圓上存在無數(shù)對(duì)點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，所以D正確．故選：ABD．8．（河南省菁師聯(lián)盟2024屆高三8月質(zhì)量檢測(cè)聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）平面區(qū)域被直線分成面積相等的兩部分，則（

）A． B．C． D．【答案】BD【分析】因?yàn)槠矫鎱^(qū)域表示以為圓心，半徑為2的上半圓與x軸組成的封閉區(qū)域，直線表示傾斜角為，過定點(diǎn)的直線，根據(jù)面積關(guān)系可得，構(gòu)建函數(shù)，利用判斷其單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性逐項(xiàng)分析判斷.【詳解】因?yàn)?，整理得，表示以為圓心，半徑為2的上半圓，可知，表示以為圓心，半徑為2的上半圓與x軸組成的封閉區(qū)域，又因?yàn)橹本€，表示傾斜角為，過定點(diǎn)的直線，設(shè)直線與半圓的另一個(gè)交點(diǎn)為，，可知：，且，則，可得直線的下半部分的面積為，由題意可得：，整理得，即.令，則為的零點(diǎn)，且，所以在上單調(diào)遞增.對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)?，即，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)?，且在上單調(diào)遞增，所以，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)椋瑒t，由選項(xiàng)B可知：，所以，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)椋蔇正確；故選：BD.9．（2023高三專題練習(xí)）若兩定點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)滿足，則下列說法正確的是（

）A．點(diǎn)的