2021年立體幾何大題一建系沒(méi)有題題

立體幾何大題題型一：基本題型3(·課標(biāo)全國(guó)Ⅰ)如圖，四邊形ABCD為菱形，∠ABC＝120°，E，F(xiàn)是平面ABCD同一側(cè)兩點(diǎn)，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE＝2DF，AE⊥EC.(1)證明：平面AEC⊥平面AFC；(2)求直線AE與直線CF所成角余弦值．(1)證明如圖所示，連接BD，設(shè)BD∩AC＝G，連接EG，F(xiàn)G，EF.在菱形ABCD中，不妨設(shè)GB＝1.由∠ABC＝120°，可得AG＝GC＝eq\r(3).由BE⊥平面ABCD，AB＝BC，可知AE＝EC.又AE⊥EC，因此EG＝eq\r(3)，且EG⊥AC.在Rt△EBG中，可得BE＝eq\r(2)，故DF＝eq\f(\r(2),2).在Rt△FDG中，可得FG＝eq\f(\r(6),2).在直角梯形BDFE中，由BD＝2，BE＝eq\r(2)，DF＝eq\f(\r(2),2)，可得EF＝eq\f(3\r(2),2)，從而EG2＋FG2＝EF2，因此EG⊥FG.又AC∩FG＝G，可得EG⊥平面AFC.由于EG?平面AEC，因此平面AEC⊥平面AFC.(2)解如圖，以G為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以eq\o(GB,\s\up6(→))，eq\o(GC,\s\up6(→))方向?yàn)閤軸，y軸正方向，|eq\o(GB,\s\up6(→))|為單位長(zhǎng)度，建立空間直角坐標(biāo)系Gxyz，由(1)可得A(0，－eq\r(3)，0)，E(1,0，eq\r(2))，F(xiàn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，0，\f(\r(2),2)))，C(0，eq\r(3)，0)，因此eq\o(AE,\s\up6(→))＝(1，eq\r(3)，eq\r(2))，eq\o(CF,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\r(3)，\f(\r(2),2))).故cos〈eq\o(AE,\s\up6(→))，eq\o(CF,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(AE,\s\up6(→))·\o(CF,\s\up6(→)),|\o(AE,\s\up6(→))||\o(CF,\s\up6(→))|)＝－eq\f(\r(3),3).因此直線AE與直線CF所成角余弦值為eq\f(\r(3),3).4.如圖，在四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PAD是正三角形，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2BC＝2，CD＝eq\r(3)，平面PAD⊥底面ABCD，若M為AD中點(diǎn)，E是棱PC上點(diǎn)．(1)求證：平面EBM⊥平面PAD；(2)若∠MEC＝90°，求二面角P-BM-E余弦值．解：(1)證明：∵M(jìn)是AD中點(diǎn)，且AD＝2，∴MD＝1，又∵AD∥BC，BC＝1，∴四邊形MBCD為平行四邊形．∵∠ADC＝90°，DC∥MB，∴∠AMB＝90°，即BM⊥AD.∵平面PAD⊥平面ABCD，BM?平面ABCD，∴BM⊥平面PAD.∴平面EBM⊥平面PAD.(2)∵△PAD是正三角形，M為AD中點(diǎn)，∴PM⊥AD.又∵平面PAD⊥平面ABCD，∴PM⊥平面ABCD.如圖，以M為原點(diǎn)，以MA，MB，MP所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系M-xyz，則A(1，0，0)，B(0，eq\r(3)，0)，P(0，0，eq\r(3))，C(－1，eq\r(3)，0)，eq\o(PC,\s\up6(→))＝(－1，eq\r(3)，－eq\r(3))，∵E在PC上，設(shè)eq\o(CE,\s\up6(→))＝λeq\o(CP,\s\up6(→))(0<λ<1)，∴eq\o(ME,\s\up6(→))－eq\o(MC,\s\up6(→))＝λ(eq\o(MP,\s\up6(→))－eq\o(MC,\s\up6(→)))．∴eq\o(ME,\s\up6(→))＝(λ－1，eq\r(3)－eq\r(3)λ，eq\r(3)λ)．∵eq\o(ME,\s\up6(→))·eq\o(PC,\s\up6(→))＝0，∴λ＝eq\f(4,7).∴eq\o(ME,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,7)，\f(3\r(3),7)，\f(4\r(3),7))).設(shè)平面MBE法向量為n＝(x，y，z)，則eq\o(ME,\s\up6(→))·n＝0，eq\o(MB,\s\up6(→))·n＝0，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\r(3)x＋3y＋4z＝0，,\r(3)y＝0.))令x＝4，∴n＝(4，0，eq\r(3))．又平面PMB一種法向量為n1＝(1，0，0)，∴cos〈n，n1〉＝eq\f(4,\r(16＋3))＝eq\f(4\r(19),19).設(shè)平面PMB與平面EMB所成角為θ，則cosθ＝eq\f(4\r(19),19).5．如圖，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為1正方形，底面為中點(diǎn)．（1）求證：直線平面；（2）求直線與平面所成角大??；（3）求點(diǎn)到平面距離．【答案】（1）證明看法析；（2）；（3）．【解析】試題分析：（1）由底面，又平面；（2）做輔助線可得是直線與平面所成角，計(jì)算求得所成角為；（3）作于點(diǎn)平面線段長(zhǎng)就是點(diǎn)到平面距離．試題解析：（1）由底面．底面是邊長(zhǎng)為1正方形，，又，平面．（2）設(shè)與交于點(diǎn)，連結(jié)，則是直線與平面所成角，直線與平面所成角為．（3）作于點(diǎn)．平面，，線段長(zhǎng)就是點(diǎn)到平面距離．，點(diǎn)到平面距離為．考點(diǎn)：1、線面垂直；2、線面角；3、點(diǎn)到面距離.【辦法點(diǎn)晴】本題考線面垂直、線面角和點(diǎn)到面距離，涉及數(shù)形結(jié)合思想，并考查空間想象能力和計(jì)算能力，具備一定綜合性，屬于較難題型．第一小題由底面，平面；第二小題做輔助線可得是直線與平面所成角，計(jì)算求得所成角為；第三小題作于點(diǎn)平面線段長(zhǎng)就是點(diǎn)到平面距離，計(jì)算求得點(diǎn)到平面距離為．6．如圖所示幾何體中，四邊形CDEF為正方形，四邊形ABCD為等腰梯形，AB∥CD，AC＝eq\r(3)，AB＝2BC＝2，AC⊥FB.（1）求證：；（2）求點(diǎn)到平面距離.【答案】（1）詳看法析；（2）?！窘馕觥吭囶}分析：（1）依照題中條件AC＝eq\r(3)，AB＝2，BC＝1，因此，因此，又由于已知，且，依照線面垂直鑒定定理可知，平面BCF，由于平面BCF，因此，又由于,因此可得；本問(wèn)重點(diǎn)考查線面垂直鑒定定理。（2）依照第（1）問(wèn)，，又由正方形，且，因此平面ABCD，則線段CF為三棱錐F-BCD高，中，AC＝eq\r(3)，AB＝2，BC＝1，因此，，因此依照等腰梯形可得：CB＝DC＝1，，因此△BCD面積為S＝eq\f(\r(3),4)，則可以求出三棱錐F-BCD體積為eq\f(\r(3),12)，由圖可知，而，其中d為點(diǎn)C到平面BDF距離，又由于，因此，于是可以得到，計(jì)算就可以求出d值，即得到點(diǎn)C到平面BDF距離。本問(wèn)重要考查點(diǎn)到面距離，慣用等體積法解題。試題解析：（1）證明：在△ABC中，由于AC＝eq\r(3)，AB＝2，BC＝1，則AB2＝AC2＋BC2，因此AC⊥BC，又由于AC⊥FB，且FB∩BC＝B，因此AC⊥平面FBC.因此,又由于，因此（2）解由于AC⊥平面FBC，因此AC⊥FC.由于CD⊥FC，且CD∩AC＝C，因此FC⊥平面ABCD.則FC為四周體F－BCD高，在等腰梯形ABCD中可得CB＝DC＝1，因此FC＝1，因此△BCD面積為S＝eq\f(\r(3),4)因此四周體F－BCD體積為VF－BCD＝eq\f(1,3)S·FC＝eq\f(\r(3),12)又由于，因此由，得點(diǎn)到平面距離為5.(·湖北)《九章算術(shù)》中，將底面為長(zhǎng)方形且有一條側(cè)棱與底面垂直四棱錐稱之為陽(yáng)馬，將四個(gè)面都為直角三角形四周體稱之為鱉臑．在如圖所示陽(yáng)馬PABCD中，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，且PD＝CD，點(diǎn)E是PC中點(diǎn)，連接DE、BD、BE.(1)證明：DE⊥平面PBC.試判斷四周體EBCD與否為鱉臑．若是，寫(xiě)出其每個(gè)面直角(只需寫(xiě)出結(jié)論)；若不是，請(qǐng)闡明理由；(2)記陽(yáng)馬PABCD體積為V1，四周體EBCD體積為V2，求eq\f(V1,V2)值．(1)證明由于PD⊥底面ABCD，因此PD⊥BC，由底面ABCD為長(zhǎng)方形，有BC⊥CD，而PD∩CD＝D，因此BC⊥平面PCD.而DE?平面PCD，因此BC⊥DE.又由于PD＝CD，點(diǎn)E是PC中點(diǎn)，因此DE⊥PC.而PC∩BC＝C，因此DE⊥平面PBC.由BC⊥平面PCD，DE⊥平面PBC，可知四周體EBCD四個(gè)面都是直角三角形，即四周體EBCD是一種鱉臑，其四個(gè)面直角分別是∠BCD，∠BCE，∠DEC，∠DEB.(2)解由已知得，PD是陽(yáng)馬PABCD高，因此V1＝eq\f(1,3)SABCD·PD＝eq\f(1,3)BC·CD·