【初中數(shù)學】相交線與平行線單元綜合復習課件 2023-2023學年人教版七年級數(shù)學下學期

第五章相交線與平行線人教版初中七年級數(shù)學下學期單元綜合復習1.平面內(nèi)有4條直線，這4條直線兩兩相交，最多可以得到a個交點，最少可以得到b個交點，則a＋b的值是()A．5B．6C．7D．8一相交線C2．如圖，D是∠ABC的邊BC上一點，DE∥BA，∠CBE和∠CDE的平分線交于點F，若∠F＝α，則∠ABE的大小為()A．α

B．α

C．2α

D．αC解：∵∠BOD和∠AON互余，∴∠BOD＋∠AON＝90°，∵∠AON＝∠COM，∴∠BOD＋∠COM＝90°.∴∠MOB＝180°－(∠BOD＋∠COM)＝90°；3．如圖，直線CD，AB相交于點O，∠BOD和∠AON互余，∠AON＝∠COM.(1)求∠MOB的度數(shù)；解：設∠COM＝x，則∠BOC＝5x，∴∠BOM＝4x，∵∠BOM＝90°，∴4x＝90°，∴x＝22.5°.∴∠BOD＝90°－22.5°＝67.5°.(2)若∠COM＝∠BOC，求∠BOD的度數(shù)．

解：∵OE⊥CD，∴∠DOE＝90°，即∠BOD＋∠BOE＝90°，∵∠BOD＝∠BOE＋10°，∴∠BOE＝40°，∵OE平分∠BOF，∴∠EOF＝∠BOE＝40°，∴∠COF＝90°－∠EOF＝50°；4．如圖，直線AB與直線CD相交于點O，OE⊥CD且OE平分∠BOF.(1)若∠BOD比∠BOE大10°，求∠COF的度數(shù)；

證明：∵OE平分∠BOF，∴∠EOF＝∠BOE，∵OE⊥CD，∴∠BOD＋∠BOE＝∠EOF＋∠COF＝90°，∴∠BOD＝∠COF，∵∠BOD＝∠AOC，∴∠AOC＝∠COF，∴OC為∠AOF的平分線．(2)求證：OC是∠AOF的平分線．5.如圖，O是直線AB上的一點，CO⊥DO，OE平分∠BOC.(1)如圖1，若∠AOC＝50°，求∠DOE的度數(shù)；解：∵∠BOC＝180°－∠AOC＝180°－50°＝130°.又∵OE平分∠BOC，∴∠EOC＝∠BOC＝×130°＝65°.又∵CO⊥DO，∴∠DOC＝90°，∴∠DOE＝∠DOC－∠EOC＝90°－65°＝25°；解：設∠COE＝x，則∠DOB＝3x，∵OE平分∠BOC，∴∠BOE＝∠COE＝x，又∵CO⊥DO，∴∠DOC＝90°，∴x＋x＋3x＝90°，∴x＝18°，∴∠BOE＝∠COE＝18°，∴∠AOC＝180°－∠BOE－∠COE＝180°－18°－18°＝144°.(2)如圖2，若∠COE＝∠DOB，求∠AOC的度數(shù)．6．如圖，直線AB，CD相交于點O，OF⊥CD于點O，作射線OE，且OC在∠AOE的內(nèi)部．(1)當點E，F(xiàn)在直線AB的同側(cè)：①如圖1，若∠BOD＝15°，∠BOE＝120°，求

∠EOF的度數(shù)；解：∵OF⊥CD于點O，∴∠COF＝90°，∵∠BOD＝15°，∠BOE＝120°，∴∠COE＝180°－∠BOE－∠BOD＝180°－120°－15°＝45°，∴∠EOF＝∠COF－∠COE＝90°－∠COE＝90°－45°＝45°.∴∠EOF的度數(shù)為45°；解：OC平分∠AOE.理由如下：∵OF平分∠BOE，∴∠EOF＝∠FOB＝∠EOB，∵OF⊥CD，∴∠COF＝90°，∴∠COE＋∠EOF＝∠AOC＋∠BOF＝90°，∴∠COE＝∠AOC，即OC平分∠AOE；②如圖2，若OF平分∠BOE，請判斷OC是否平分

∠AOE，并說明理由；(2)若∠AOF＝2∠COE，請直接寫出∠BOE與∠AOC

之間的數(shù)量關(guān)系．設∠COE＝α，則∠AOF＝2∠COE＝2α，∵OF⊥CD，∴∠COF＝90°，∴∠EOF＝90°－α，∠AOC＝∠AOF－∠COF＝2α－90°，①解：當點E，F(xiàn)在直線AB的同側(cè)時，如圖3，∴∠BOE＝180°－∠AOC－∠COE＝180°－(2α－90°)－α＝270°－3α，②①×3＋②×2，得3∠AOC＋2∠BOE＝270°；設∠COE＝α，則∠AOF＝2∠COE＝2α，∵OF⊥CD，∴∠COF＝90°，當點E，F(xiàn)在直線AB的異側(cè)時，如圖4，∴∠AOC＝∠COF－∠AOF＝90°－2α，①∴∠BOE＝180°－∠AOC－∠COE＝180°－(90°－2α)－α＝90°＋α.②①＋2×②，得∠AOC＋2∠BOE＝270°.綜上可知，3∠AOC＋2∠BOE＝270°或∠AOC＋2∠BOE＝270°.7．如圖1，已知射線OB在∠AOC內(nèi)，若滿足∠BOC＋∠AOC＝180°，則稱射線OB為∠BOC與∠AOC的“互補線”．解：∵射線OC平分∠BOD，∴∠BOC＝∠COD.∵∠AOC＋∠COD＝180°，∴∠AOC＋∠BOC＝180°.∴射線OB為∠BOC與∠AOC的“互補線”；(1)如圖2，已知點O是直線AD上一點，射線OB，OC

在直線AD同側(cè)，且射線OC平分∠BOD.試說明：射

線OB為∠BOC與∠AOC的“互補線”；解：∵射線OE為∠BOC與∠BOE的“互補線”，∴∠BOC＋∠BOE＝180°.又∵∠AOC＋∠BOC＝180°，∴∠AOC＝∠BOE.∵∠AOC＋∠DOA＝180°且∠AOD＝136°，(2)如圖3，已知直線AB，CD相交于點O，射線OE為

∠BOC與∠BOE的“互補線”，若∠AOD＝136°，

求∠DOE的度數(shù)；∴∠AOC＝180°－∠DOA＝180°－136°＝44°.∴∠BOC＝136°.∴∠COE＝180°－∠AOC－∠BOE＝180°－44°－44°

＝92°.∴∠DOE＝180°－∠COE＝180°－92°＝88°；解：∵OB為∠BOC與∠AOC的“互補線”，∴∠BOC＋∠AOC＝180°.又∵射線OE，OF分別平分∠AOC，∠BOC，∴∠AOE＝∠EOC，∠BOF＝∠FOC.∵∠BOC＋∠AOC＝180°，(3)如圖4，已知射線OB為∠BOC與∠AOC的“互補線”，

且射線OE，OF分別平分∠AOC，∠BOC，試判斷

∠BOC＋∠EOF的度數(shù)是否為定值，若為定值，求

出定值的度數(shù)；若不為定值，請說明理由．∴∠BOF＋∠FOC＋∠AOE＋∠EOC＝180°.∴2∠BOF＋2∠EOC＝180°.∴∠BOF＋∠EOC＝90°.又∵∠EOC＝∠EOB＋∠BOF＋∠FOC，∴∠BOF＋∠EOB＋∠BOF＋∠FOC＝90°.∴∠BOF＋∠EOB＋∠BOF＋∠BOF＝90°，2∠BOF＋∠EOB＋∠BOF＝90°.∵2∠BOF＝∠BOC，∠EOB＋∠BOF＝∠EOF，∴∠BOC＋∠EOF＝90°.故∠BOC＋∠EOF的度數(shù)為定值，等于90°.8.(2023·山西)如圖，一束平行于主光軸的光線經(jīng)凸透鏡折射后，其折射光線與一束經(jīng)過光心O的光線相交于點P，F(xiàn)為焦點，若∠1＝155°，∠2＝30°，則∠3的度數(shù)為()A．45°B．50°C．55°D．60°二平行線的性質(zhì)與判定C9．(2023·蘇州)如圖，在正方形網(wǎng)格內(nèi)，線段PQ的兩個端點都在格點上，網(wǎng)格內(nèi)另有A，B，C，D四個格點，下列四個結(jié)論中，正確的是()A．連接AB，則AB∥PQ

B．連接BC，則BC∥PQC．連接BD，則BD⊥PQ

D．連接AD，則AD⊥PQB10．如圖，有一條直的寬紙帶，按圖折疊，則∠α的度數(shù)等于()A．50°B．65°C．75°D．80°B11．(2023·香洲區(qū)校級期中)如圖表示釘在一起的木條a，b，c.若測得∠1＝50°，∠2＝75°，要使木條a∥b，木條a至少要旋轉(zhuǎn)______．25°12．(2023·東莞月考)下列說法正確的是()A．在同一平面內(nèi)，a，b，c是直線，且a∥b，b∥c，則a∥cB．在同一平面內(nèi)，a，b，c是直線，且a⊥b，b⊥c，則a⊥cC．在同一平面內(nèi)，a，b，c是直線，且a∥b，b⊥c，則a∥cD．在同一平面內(nèi)，a，b，c是直線，且a∥b，b∥c，則a⊥cA13．如圖，CD∥AB，OE平分∠AOD，OF⊥OE，OG⊥CD，∠CDO＝50°，則下列結(jié)論：①OG⊥AB；②OF平分∠BOD；③∠AOE＝65°；④∠GOE＝∠DOF，其中正確結(jié)論的個數(shù)有()A．1個B．2個C．3個D．4個D14．如圖，AB∥CD，圖中α，β，γ三角之間的關(guān)系是()A．α＋β＋γ＝180°B．α－β＋γ＝180°C．α＋β－γ＝180°D．α＋β＋γ＝360°C

證明：∵AE平分∠CAM，∴∠CAM＝2∠EAM.∵AM∥BN，∴∠CAM＝∠ACB,∠EAM＝∠AEB.∴∠ACB＝2∠AEB；15．如圖，已知射線AM∥BN，連接AB，點C是射線BN上的一個動點(與點B不重合)，AD，AE分別平分∠BAC和∠CAM，交射線BN于點D，E.(1)求證：∠ACB＝2∠AEB；

解：∵AM∥BN，∴∠CAM＝∠ACB，∠ADB＝∠DAM.∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD.∵∠ADB－∠BAD＝45°，∴∠DAM－∠CAD＝45°.∴∠CAM＝∠ACB＝45°.由(1)知∠ACB＝2∠AEB，∴∠AEB＝22.5°.(2)若∠ADB－∠BAD＝45°，求∠AEB的度數(shù)．

解：AB∥DE.理由如下：∵MN∥BC，∴∠ABC＝∠1＝60°.又∵∠1＝∠2，∴∠ABC＝∠2.∴AB∥DE；16．如圖，MN∥BC，BD⊥DC，∠1＝∠2＝60°，DC是∠NDE的平分線．(1)AB與DE平行嗎？請說明理由；

證明：∵MN∥BC，∴∠NDE＋∠2＝180°，∴∠NDE＝180°－∠2＝180°－60°＝120°.∵DC是∠NDE的平分線，∴∠EDC＝∠NDC＝∠NDE＝60°.∵MN∥BC，∴∠C＝∠NDC＝60°.∴∠ABC＝∠C；(2)試說明∠ABC＝∠C；

證明：∵BD⊥DC，∴∠BDC＝90°.∴∠ADB＝∠ADC－∠BDC＝120°－90°

＝30°.(3)試說明BD是∠ABC的平分線．∠ADC＝180°－∠NDC＝180°－60°

＝120°，∵MN∥BC，∴∠DBC＝∠ADB＝30°.∴∠ABD＝∠DBC

＝∠ABC.∴BD是∠ABC的平分線．∴∠AEO＝∠EOG＝40°，∵AB∥CD,AB∥OG，∴CD∥OG，∴∠GOF＝∠CFO＝60°，∴∠EOF＝∠EOG＋∠GOF＝40°＋60°＝100°；17．如圖1，AB∥CD，點E，F(xiàn)分別在直線AB，CD上，點O在直線AB，CD之間．(1)若∠AEO＝40°，∠CFO＝60°，求∠EOF的度數(shù)；解：如圖1，過點O向右側(cè)作OG∥AB，(2)若∠AEO＝α，∠CFO＝β，直接寫出∠EOF的度數(shù)

為________；(3)如圖2，∠BEO，∠DFO的平分線交于點M，

∠EOF的平分線交EM于點N，試探索∠NOF，

∠NMF之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．α＋β解：(3)∠NOF＋∠NMF＝180°.理由：設∠AEO＝a,∠CFO＝b，由(2)得∠EOF＝a＋b，∵ON平分∠EOF，∴∠NOF＝，∵∠AEO＝a,EM平分∠BEO，∴∠BEM＝＝90°－，∵∠CFO＝b,FM平分∠DFO，∴∠DFM＝＝90°－，∴∠NMF＝90°－＋90°－＝180°－.∴∠NOF＋∠NMF＝180°.18.如圖，某公園有一塊長為12m，寬為6m的長方形草坪，綠化部門計劃在草坪中間修兩條寬度均為2m的石子路(兩條石子路的任何地方的水平寬度都是2m)，剩余陰影區(qū)域計劃種植鮮花，則種植鮮花的面積為_______m2.三平移4819．(2023·增城區(qū)期中)如圖，∠1＝70°，直線a平移后得到直線b，則∠2－∠3＝()A．70°B．180°C．110°D．80°C20．(2023·豐順縣校級開學)如圖1，將三角形ABD平移，使點D沿BD的延長線移至點C得到三角形A′B′D′，A′B′交AC于點E，AD平分∠BAC.(1)猜想∠B′EC與∠A′之間的關(guān)系，并寫出理由.解：∠B′EC＝2∠A′.∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠BAC.∵△ABD平移得到△A′B′D′，∴∠A′＝∠BAD，A′B′∥AB.∴∠B′EC＝∠BAC.∴∠B′EC＝2∠A′.理由如下：如圖1，(2)將三角形ABD平移至如圖2所示位置，得到三角形

A′B′D′，A′D′平分∠B′A′C嗎？為什么？解：A′D′平分∠B′A′C.∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠BAC.∵△ABD平移得到△A′B′D′，∴∠B′A′D′＝∠BAD，A′B′∥AB.∴∠B′A′C＝∠BAC.∴∠B′A′D′＝∠B′A′C，即A′D′平分∠B′A′C.理由如下：如圖2，四重點壓軸題解：AB與DF平行．理由如下：由翻折，得∠DFC＝∠C.又∵∠B＝∠C，∴∠B＝∠DFC，∴AB∥DF；21.如圖，將△ABC紙片沿DE折疊，其中∠B＝∠C.(1)如圖1，點C落在BC邊上的點F處，AB與DF是否平

行？請說明理由；∴∠1＝∠DGC＋∠DCG，∠2＝∠EGC＋∠ECG，∴∠1＋∠2＝∠DGC＋∠DCG＋∠EGC＋∠ECG＝(∠DGC＋∠EGC)＋(∠DCG＋∠ECG)＝∠DGE＋∠DCE

＝2∠ACB.∵∠B＝∠ACB，∴∠1＋∠2＝2∠B.(2)如圖2，點C落在四邊形ABED內(nèi)部的點G處，探索

∠B與∠1＋∠2之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．解：如圖2，連接GC.由翻折，得∠DGE＝∠ACB.解：∵OC⊥OE，∴∠COE＝90°.又∵∠COA＝34°，∴∠BOE＝180°－∠COE－∠COA＝180°－90°－34°

＝56°.∴∠BOE的度數(shù)為56°；22．已知，O是直線AB上的一點，OC⊥OE.(1)如圖1，若∠COA＝34°，求∠BOE的度數(shù)；解：∵OF平分∠AOE,∠BOE＝130°，∴∠EOF＝∠AOF＝∠AOE＝(180°－∠BOE)＝×(180°－130°)＝25°.(2)如圖2，當射線OC在直線AB下方時，OF平分

∠AOE，∠BOE＝130°，求∠COF的度數(shù)；∴∠COF＝∠COE－∠EOF＝90°－25°＝65°.∴∠COF的度數(shù)為65°；解：設∠BOM＝x，∴∠FOM＝180°－∠AOF－∠BOM

＝155°－x，∵∠AOE＝180°－∠BOE

＝50°，(3)在(2)的條件下，如圖3，在∠BOE內(nèi)部作射線OM，

使∠COM＋∠AOE＝2∠BOM＋∠FOM，求

∠BOM的度數(shù)．∴∠AOC＝90°－∠AOE

＝40°.∴∠COM＝180°＋∠AOC－∠BOM

＝220°－x，依題意，得220°－x＋×50°＝2x＋155°－x，∴x＝75°，∴∠BOM的度數(shù)為75°.解：成立．∴EF∥CD，∴∠1＝∠BAE，∠2＝∠DCE；∴∠AEC＝∠1＋∠2

＝∠BAE＋∠DCE；23．(1)如圖1，已知AB∥CD，則∠AEC＝∠BAE＋

∠DCE成立嗎？請說明理由；理由：如圖1，過點E作EF∥AB，∵AB∥CD,∠FAD＝60°，∴∠FAD＝∠ADC＝60°.∵DE平分∠ADC,∠ADC＝60°，∴∠EDC＝∠ADC＝30°.(2)如圖2，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，DE平分

∠ADC，BE，DE所在直線交于點E，若∠FAD＝

60°，∠ABC＝40°，求∠BED的度數(shù)；解：如圖2，過點E作EH∥AB，∵BE平分∠ABC,∠ABC＝40°，∴∠ABE＝∠ABC＝20°，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EH，∴∠ABE＝∠BEH＝20°，∠CDE＝∠DEH＝30°.∴∠BED＝∠BEH＋∠DEH＝50°；∵BE平分∠ABC,DE平分∠ADC，∠ABC＝β，∠ADC＝∠FAD＝α，∴∠ABE＝∠ABC＝β，∠CDE＝∠ADC＝α，(3)如圖3，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，DE平分