1.3帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中的運動（原卷版）

1.3帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中的運動基礎(chǔ)導(dǎo)學(xué)要點一、帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中的勻速圓周運動1．洛倫茲力的作用效果洛倫茲力只改變帶電粒子速度的方向，不改變帶電粒子速度的大小，或者說洛倫茲力不對帶電粒子做功，不改變粒子的能量。2．帶電粒子的運動規(guī)律沿著與磁場垂直的方向射入磁場的帶電粒子，在勻強(qiáng)磁場中做勻速圓周運動。洛倫茲力總與速度方向垂直，正好起到了向心力的作用。eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(公式：qvB＝m\f(v2,r),半徑：r＝\f(mv,qB),周期：T＝\f(2πm,qB)))3．圓心、半徑、運動時間的分析思路(1)圓心的確定：帶電粒子垂直進(jìn)入磁場后，一定做圓周運動，其速度方向一定沿圓周的切線方向，因此圓心的位置必是兩速度方向垂線的交點，如圖(a)所示，或某一速度方向的垂線與圓周上兩點連線中垂線的交點，如圖(b)所示．(2)運動半徑大小的確定：一般先作入射點、出射點對應(yīng)的半徑，并作出相應(yīng)的輔助三角形，然后利用三角函數(shù)求解出半徑的大?。?3)運動時間的確定：首先利用周期公式T＝eq\f(2πm,qB)，求出運動周期T，然后求出粒子運動的圓弧所對應(yīng)的圓心角α，其運動時間t＝eq\f(α,2π)T.(4)圓心角的確定：①帶電粒子射出磁場的速度方向與射入磁場的速度方向間的夾角φ叫偏向角．偏向角等于圓心角即φ＝α，如圖所示．②某段圓弧所對應(yīng)的圓心角是這段圓弧弦切角的二倍，即α＝2θ.[特別提醒]帶電粒子(不計重力)以一定的速度v進(jìn)入磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場時的運動軌跡：(1)當(dāng)v∥B時，帶電粒子將做勻速直線運動．(2)當(dāng)v⊥B時，帶電粒子將做勻速圓周運動．(3)當(dāng)帶電粒子斜射入磁場時，帶電粒子將沿螺旋線運動．4、帶電粒子在三類有界磁場中的運動軌跡特點(1)直線邊界：進(jìn)出磁場具有對稱性。(2)平行邊界：存在臨界條件。(3)圓形邊界：沿徑向射入必沿徑向射出。要點突破突破一：帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中的勻速圓周運動1．軌跡圓心的兩種確定方法（1）已知粒子運動軌跡上兩點的速度方向時，作這兩速度方向的垂線，交點即為圓心，如圖所示。（2）已知粒子軌跡上的兩點和其中一點的速度方向時，畫出粒子軌跡上的兩點連線(即過這兩點的圓的弦)，作它的中垂線，并畫出已知點的速度方向的垂線，則弦的中垂線與速度方向的垂線的交點即為圓心，如圖所示。2．三種求半徑的方法（1）根據(jù)半徑公式r＝eq\f(mv,qB)求解。（2）根據(jù)勾股定理求解，如圖所示，若已知出射點相對于入射點側(cè)移了x，則滿足r2＝d2＋(r－x)2。（3）根據(jù)三角函數(shù)求解，如圖所示，若已知出射速度方向與入射方向的夾角為θ，磁場的寬度為d，則有關(guān)系式r＝eq\f(d,sinθ)。3．四種角度關(guān)系（1）如圖所示，速度的偏向角(φ)等于圓心角(α)。（2）圓心角α等于AB弦與速度方向的夾角(弦切角θ)的2倍(φ＝α＝2θ＝ωt)。（3）相對的弦切角(θ)相等，與相鄰的弦切角(θ′)互補(bǔ)，即θ＋θ′＝180°。（4）進(jìn)出同一直線邊界時速度方向與該直線邊界的夾角相等。4．兩種求時間的方法（1）利用圓心角求解，若求出這部分圓弧對應(yīng)的圓心角，則t＝eq\f(θ,2π)T。（2）利用弧長s和速度v求解，t＝eq\f(s,v)。5.分析帶電粒子在磁場中做圓周運動問題的要點（1）確定粒子的運動軌跡、半徑、圓心角等是解決此類問題的關(guān)鍵。（2）掌握粒子在勻強(qiáng)磁場中做圓周運動的軌跡半徑公式和周期公式是分析此類問題的依據(jù)。例一如右圖所示，一束電子的電荷量為e，以速度v垂直射入磁感應(yīng)強(qiáng)度為B、寬度為d的有界勻強(qiáng)磁場中，穿過磁場時的速度方向與原來電子入射方向的夾角是30°，則電子的質(zhì)量是多少？電子穿過磁場的時間又是多少？突破二：現(xiàn)代科技中的應(yīng)用裝置原理圖規(guī)律速度選擇器若qv0B＝Eq，即v0＝eq\f(E,B)，粒子做勻速直線運動磁流體發(fā)電機(jī)等離子體射入，受洛倫茲力偏轉(zhuǎn)，使兩極板帶正、負(fù)電，兩極間電壓為U時穩(wěn)定，qeq\f(U,d)＝qv0B，U＝Bdv0電磁流量計eq\f(U,D)q＝qvB，所以v＝eq\f(U,DB)，所以Q＝vS＝eq\f(πDU,4B)霍爾元件當(dāng)磁場方向與電流方向垂直時，導(dǎo)體在與磁場、電流方向都垂直的方向上出現(xiàn)電勢差典例精析題型一帶電粒子在磁場中運動的半徑和周期例一已知氫核與氦核的質(zhì)量之比m1∶m2＝1∶4，電荷量之比q1∶q2＝1∶2，當(dāng)氫核與氦核以v1∶v2＝4∶1的速度垂直于磁場方向射入磁場后，分別做勻速圓周運動，則氫核與氦核運動半徑之比r1∶r2＝________，周期之比T1∶T2＝________.若它們以相同的動能射入磁場，其圓周運動半徑之比r1′∶r2′＝________，周期之比T1′∶T2′＝________.變式遷移1：質(zhì)子(11H)和α粒子(24He)從靜止開始經(jīng)相同的電勢差加速后垂直進(jìn)入同一勻強(qiáng)磁場做勻速圓周運動，則這兩個粒子的動能之比Ek1∶Ek2＝________，軌道半徑之比r1∶r2＝________，周期之比T1∶T2＝________.題型二帶電粒子在磁場中的勻速圓周運動例二如右圖所示，在第一象限有一勻強(qiáng)電場，場強(qiáng)大小為E，方向與y軸平行；在x軸下方有一勻強(qiáng)磁場，磁場方向與紙面垂直．一質(zhì)量為m、電荷量為－q(q＞0)的粒子以平行于x軸的速度從y軸上的P點處射入電場，在x軸上的Q點處進(jìn)入磁場，并從坐標(biāo)原點O離開磁場．粒子在磁場中的運動軌跡與y軸交于M點．已知OP＝l，OQ＝2eq\r(3)l.不計重力．求：(1)M點與坐標(biāo)原點O間的距離；(2)粒子從P點運動到M點所用的時間．變式遷移2：如右圖所示，在垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場邊界上，有兩個質(zhì)量、電荷量均相等的正、負(fù)離子(不計重心)，從O點以相同的速度射入磁場中，射入方向均與邊界成θ角，則正、負(fù)離子在磁場中運動的過程，下列判斷錯誤的是()A．運動的軌道半徑相同B．重新回到磁場邊界時速度大小和方向都相同C．運動的時間相同D．重新回到磁場邊界的位置與O點距離相等題型三帶電粒子在有界磁場中運動的臨界問題例三如右圖所示，在真空區(qū)域內(nèi)，有寬度為L的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，磁場方向垂直紙面向里，MN、PQ是磁場的邊界，一質(zhì)量為m，帶電荷量為－q的粒子，先后兩次沿著與MN夾角為θ(0°<θ<90°)的方向垂直于磁感線射入勻強(qiáng)磁場中．第一次粒子以速度v1射入磁場，粒子剛好沒能從PQ邊界射出磁場；第二次粒子以速度v2射入磁場，粒子剛好垂直PQ射出磁場．不計粒子重力，v1，v2均為未知量，求eq\f(v1,v2)值．變式遷移3：長為L的水平極板間，有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，板間距離也為L，極板不帶電．現(xiàn)有質(zhì)量為m，電荷量為q的帶正電粒子(重力不計)，從左邊極板間中點處垂直磁場以速度v水平入射，如下圖所示．欲使粒子不打在極板上，可采用的方法是()A．使粒子速度v＜eq\f(BqL,4m)B．使粒子速度v＞eq\f(5BqL,4m)C．使粒子速度v＞eq\f(BqL,4m)D．使粒子速度eq\f(BqL,4m)＜v＜eq\f(5BqL,4m)強(qiáng)化訓(xùn)練一、選擇題1．兩相鄰勻強(qiáng)磁場區(qū)域的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小不同、方向平行．一速度方向與磁感應(yīng)強(qiáng)度方向垂直的帶電粒子（不計重力），從較強(qiáng)磁場區(qū)域進(jìn)入到較弱磁場區(qū)域后，粒子的A．軌道半徑減小，角速度增大B．軌道半徑減小，角速度減小C．軌道半徑增大，角速度增大D．軌道半徑增大，角速度減小2．兩個質(zhì)量相同、所帶電荷量相等的帶電粒子a、b，以不同的速率對準(zhǔn)圓心O沿著AO方向射入圓形勻強(qiáng)磁場區(qū)域，其運動軌跡如圖所示．不計粒子的重力，下列說法正確的是（）A．a(chǎn)粒子帶正電，b粒子帶負(fù)電B．a(chǎn)粒子在磁場中所受洛倫茲力較大C．b粒子動能較大D．b粒子在磁場中運動時間較長3．如圖，MN為鋁質(zhì)薄平板，鋁板上方和下方分別有垂直于圖平面的勻強(qiáng)磁場（未畫出）．一帶電粒子從緊貼鋁板上表面的P點垂直于鋁板向上射出，從Q點穿過鋁板后到達(dá)PQ的中點O，已知粒子穿越鋁板時，其動能損失一半，速度方向和電荷量不變，不計重力．鋁板上方和下方的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小之比為A．2B．C．1D．4..如右圖所示，帶負(fù)電的粒子以速度v從粒子源P處射出，若圖中勻強(qiáng)磁場范圍足夠大(方向垂直紙面)，則帶電粒子的可能軌跡是()A．a(chǎn) B．bC．c D．d5.如右圖所示，ab是一彎管，其中心線是半徑為R的一段圓弧，將它置于一給定的勻強(qiáng)磁場中，磁場方向垂直于圓弧所在平面，并且指向紙外．有一束粒子對準(zhǔn)a端射入彎管，粒子有不同的質(zhì)量、不同的速度，但都是一價正離子()A．只有速度v大小一定的粒子可以沿中心線通過彎管B．只有質(zhì)量m大小一定的粒子可以沿中心線通過彎管C．只有質(zhì)量m與速度v的乘積大小一定的粒子可以沿中心線通過彎管D．只有動能Ek大小一定的粒子可以沿中心線通過彎管6．【多選】如下圖所示，正方形容器處于勻強(qiáng)磁場中，一束電子從孔a垂直于磁場沿ab方向射入容器中，一部分從c孔射出，一部分從d孔射出，容器處于真空中，則下列結(jié)論中正確的是()A．從兩孔射出的電子速率之比vc∶vd＝2∶1B．從兩孔射出的電子在容器中運動的時間之比tc∶td＝1∶2C．從兩孔射出的電子在容器中運動的加速度大小之比ac∶ad＝eq\r(2)∶1D．從兩孔射出的電子在容器中運動的角速度之比ωc∶ωd＝2∶17．如圖所示，某帶電粒子（重力不計）由M點以垂直于磁場以及磁場邊界的速度v射入寬度為d的勻強(qiáng)磁場中，穿出磁場時速度方向與原來射入方向的夾角為θ=30°。磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B．由此推斷該帶電粒子（）A．帶正電 B．在磁場中的運動軌跡為拋物線C．電荷量與質(zhì)量的比值為 D．穿越磁場的時間為8．如圖，直角坐標(biāo)xOy平面內(nèi)，有一半徑為R的圓形勻強(qiáng)磁場區(qū)域，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為B，方向垂直于紙面向里，邊界與x、y軸分別相切于a、b兩點。一質(zhì)量為m，電荷量為q的帶電粒子從b點沿平行于x軸正方向進(jìn)入磁場區(qū)域，離開磁場后做直線運動，經(jīng)過x軸時速度方向與x軸正方向的夾角為60°，下列判斷正確的是()A．粒子帶正電 B．粒子在磁場中運動的軌道半徑為RC．粒子運動的速率為 D．粒子在磁場中運動的時間為9．【多選】如圖所示，在垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場的邊界上，有兩個質(zhì)量和電荷量均相同的正負(fù)離子(不計重力)，從點O以相同的速率先后射入磁場中，入射方向與邊界成θ角，則正負(fù)離子在磁場中()A．運動時間相同B．運動軌道的半徑相同C．重新回到邊界時速度的大小和方向相同D．重新回到邊界的位置與O點距離相等10．圓形區(qū)域內(nèi)有垂直于紙面的勻強(qiáng)磁場，三個比荷相同的帶電粒子a、b、c，以不同的速率沿著AO方向?qū)?zhǔn)圓心O射入磁場，其運動軌跡如圖所示。若帶電粒子只受磁場力的作用，則下列說法正確的是（）A．磁場方向一定垂直于紙面向外B．粒子a、b、c一定都帶正電C．粒子c所受的向心力一定最大D．粒子c在磁場中運動的時間一定最長11．如圖為洛倫茲力演示儀的結(jié)構(gòu)圖，勵磁線圈產(chǎn)生的勻強(qiáng)磁場方向垂直紙面向外，電子束由電子槍產(chǎn)生，其速度方向與磁場方向垂直。電子速度大小可通過電子槍的加速電壓來控制，磁感應(yīng)強(qiáng)度可通過勵磁線圈的電流來調(diào)節(jié)。下列說法正確的是（）A．僅減小電子槍的加速電壓，電子束徑跡的半徑變小B．僅增大電子槍的加速電壓，電子做圓周運動的周期變大C．僅減小勵磁線圈的電流，電子束徑跡的半徑變小D．僅增大勵磁線圈的電流，電子做圓周運動的周期變大12.如右圖所示，一個靜止的質(zhì)量為m、帶電荷量為q的粒子(不計重力)，經(jīng)電壓U加速后垂直進(jìn)入磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁感中，粒子打至P點，設(shè)OP＝x，能夠正確反應(yīng)x與U之間的函數(shù)關(guān)系的是()13.如右圖所示，a和b帶電荷量相同，以相同動能從A點射入磁場，在勻強(qiáng)磁場中做圓周運動的半徑ra＝2rb，則可知(重力不計)()A．兩粒子都帶正電，質(zhì)量比ma/mb＝4B．兩粒子都帶負(fù)電，質(zhì)量比ma/mb＝4C．兩粒子都帶正電，質(zhì)量比ma/mb＝1/4D．兩粒子都帶負(fù)電，質(zhì)量比ma/mb＝1/414．【多選】如右圖所示，直角三角形ABC中存在一勻強(qiáng)磁場，比荷相同的兩個粒子沿AB方向射入磁場，分別從AC邊上的P、Q兩點射出，則()A．從P射出的粒子速度大B．從Q射出的粒子速度大C．從P射出的粒子，在磁場中運動的時間長D．兩粒子在磁場中運動的時間一樣長一、解答題15．如圖所示，一電荷量為q的帶電粒子，以速度v垂直射入磁感應(yīng)強(qiáng)度為B、寬度為d的有界勻強(qiáng)磁場中，射出磁場時的速度方向與原來粒子的入射方向的夾角θ=60°，求：（1）帶電粒子在磁場中運動的軌道半徑r；（2）帶電粒子的電性和質(zhì)量m；（3）帶電粒子穿過磁場的時間t．16．如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy的第四象限有垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B=2.0T，在y軸上P點有一粒子源，沿紙面向磁場發(fā)射速率不同的粒子，均沿與y軸負(fù)方向間夾角=的方向，已知粒子質(zhì)量均為m=5.0×10－8kg，電荷量q=1.0×10－8C，LOP=30cm，取π=3。（不計粒子間相互作用及粒子重力）(1)若某粒子垂直x軸飛出磁場，求該粒子在磁場中的運動時間；(2)若某粒子不能進(jìn)入x軸上方，求該粒子速度大小滿足的條件。17.如圖所示，在坐標(biāo)系xOy平面第I象限內(nèi)有垂直于紙面向外的勻強(qiáng)磁場，一比荷為108C/kg的帶電粒子從y軸上的P點以速度v=4104m/s沿著與