高中數(shù)學北師大版練習第一章2-2第1課時全稱量詞命題與存在量詞命題

2.2全稱量詞與存在量詞第1課時全稱量詞命題與存在量詞命題1．全稱量詞命題是陳述某集合中所有元素都具有某種性質的命題．()2．存在量詞命題是陳述某集合中存在一個或部分元素具有某種性質的命題．()3．全稱量詞命題一定含有全稱量詞．()4．命題“正方形是菱形”是存在量詞命題．()5．存在量詞命題“存在實數(shù)x，使x2＋1<0”可寫成“?x∈R，x2＋1<0”．()【解析】1.√2．√3．提示：×.有些命題雖然沒有寫出全稱量詞，但其意義具備“任意性”，這類命題也是全稱量詞命題，如“正數(shù)大于0”即“所有正數(shù)都大于0”，故說法是錯誤的．4．提示：×.命題中全稱量詞省略，可以敘述為“所有的正方形都是菱形”，是全稱量詞命題．5．提示：×.存在量詞命題中“存在”應該用符號“?”表示．·題組一全稱量詞與全稱量詞命題的判斷1．下列不是全稱量詞的是()A．任意一個 B．所有的C．每一個 D．很多【解析】選D.很明顯A，B，C中的量詞均是全稱量詞，D中的量詞不是全稱量詞．2．下列語句不是全稱量詞命題的是()A．任何一個實數(shù)乘以零都等于零B．自然數(shù)都是正整數(shù)C．高一(一)班絕大多數(shù)同學是團員D．每一個實數(shù)都有大小【解析】選C.A中命題可改寫為：任意一個實數(shù)乘以零都等于零，故A是全稱量詞命題；B中命題可改寫為：任意的自然數(shù)都是正整數(shù)，故B是全稱量詞命題；C中命題可改寫為：高一(一)班存在部分同學是團員，故C不是全稱量詞命題；D中命題可改寫為：任意的一個實數(shù)都有大小，故D是全稱量詞命題．3．下列命題中是全稱量詞命題并且是真命題的是()A．?x∈R，x2＋2x＋1>0B．若2x為偶數(shù)，則?x∈NC．所有菱形的四條邊都相等D．π是無理數(shù)【解析】選C.對于A，是全稱量詞命題，當x＝－1時命題不正確，故不是真命題，故A不正確；對于B，若2x為偶數(shù)，x可以是負整數(shù)，故是假命題，也不是全稱量詞命題，故B不正確；對于C，是全稱量詞命題，也是真命題，故C正確；對于D，是真命題，但不是全稱量詞命題，故D不正確．4．下列命題中是全稱量詞命題，且為假命題的是()A．所有能被2整除的正數(shù)都是偶數(shù)B．存在三角形的一個內(nèi)角，其余弦值為eq\f(\r(3),2)C．?m∈R，x2＋mx＋1＝0無解D．?x∈N，x3>x2【解析】選D.對于A，所有能被2整除的正數(shù)都是偶數(shù)含有全稱量詞“所有”，是全稱量詞命題，為真命題，故A不選．對于B，含有量詞“存在”，不是全稱量詞命題，故B不選；對于C，?m∈R，x2＋mx＋1＝0無解，為存在量詞命題，故C不選；對于D，?x∈N，x3>x2，是全稱量詞命題，當x＝1或0時，則x3＝x2，故為假命題，滿足題意，故D可選．5．若命題“ax2－2ax＋4>0恒成立”是假命題，則實數(shù)a的取值范圍是()A．a(chǎn)<0或a≥3 B．a(chǎn)≤0或a≥4C．a(chǎn)<0或a>3 D．a(chǎn)<0或a≥4【解析】選D.若命題“ax2－2ax＋4>0恒成立”是真命題，當a＝0時，4>0，恒成立；當a≠0時，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a>0,Δ＝（2a）2－16a<0))，解得0<a<4，綜合得0≤a<4.所以當命題“ax2－2ax＋4>0恒成立”是假命題時，有a<0或a≥4.·題組二存在量詞與存在量詞命題的判斷1．下列命題不是存在量詞命題的是()A．有的無理數(shù)的平方是有理數(shù)B．有的無理數(shù)的平方不是有理數(shù)C．對于任意x∈Z，2x＋1是奇數(shù)D．存在x∈R，2x＋1是奇數(shù)【解析】選C.A，B，D中都有存在量詞，是存在量詞命題，C中含有量詞“任意”，為全稱量詞命題．2．下列存在量詞命題是假命題的是()A．存在x∈Q，使2x－x3＝0B．存在x∈R，使x2＋x＋1＝0C．有的素數(shù)是偶數(shù)D．有的有理數(shù)沒有倒數(shù)【解析】選B.x＝0∈Q，使2x－x3＝0成立，A是真命題；x2＋x＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))2＋eq\f(3,4)>0(x∈R)恒成立，因此不存在x∈R，使x2＋x＋1＝0，B是假命題；2是素數(shù)，也是偶數(shù)，C是真命題；0是有理數(shù)，0沒有倒數(shù)，D是真命題．3．下列存在量詞命題中真命題的個數(shù)是()①?x∈R，x≤0；②至少有一個整數(shù)，它既不是合數(shù)，也不是素數(shù)；③?x∈eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x是無理數(shù)))，x2是無理數(shù)．A．0B．1C．2D．3【解析】選D.①?x＝0∈R，使得x≤0為真命題；②至少有一個整數(shù)例如1，它既不是合數(shù)，也不是素數(shù)，故②為真命題；③例如x＝π是無理數(shù)，π2仍然是無理數(shù)，從而可得?x∈eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x是無理數(shù)))，x2是無理數(shù)為真命題，從而可知真命題的個數(shù)為3個．4．下列命題中，既是存在量詞命題又是假命題的是()A．四邊形內(nèi)角和為360°B．有些梯形是平行四邊形C．?x∈R，3x＋2>0D．至少有一個整數(shù)m，使得m2<1【解析】選B.對于A，含有全稱量詞，故不是存在量詞命題；對于B，有些梯形是平行四邊形不是真命題，且是存在量詞命題；對于C，?x∈R，3x＋2>0，含有存在量詞，但是真命題；對于D，至少有一個整數(shù)m，使得m2<1，含存在量詞的命題，但是真命題．5．(2021·懷仁高一檢測)已知命題：“?x∈R，x2＋ax－4a＝0”為假命題，則實數(shù)a的取值范圍為()A．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))－16≤a≤0)) B．{eq\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))－16<a<0}C．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))－4≤a≤0)) D．{eq\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))－4<a<0}【解析】選B.因為“?x∈R，x2＋ax－4a＝0”為假命題等價于“方程x2＋ax－4a＝0無實根”，即Δ＝a2＋16a<0，解得：－16<a<0.易錯點一判斷命題時忽略隱含的量詞1．下列命題含有全稱量詞的是()A．某些函數(shù)圖象不過原點B．實數(shù)的平方為正數(shù)C．方程x2＋2x＋5＝0有實數(shù)解D．素數(shù)中只有一個偶數(shù)【解析】選B.“某些函數(shù)圖象不過原點”即“存在函數(shù)，其圖象不過原點”；“方程x2＋2x＋5＝0有實數(shù)解”即“存在實數(shù)x，使x2＋2x＋5＝0”；“素數(shù)中只有一個偶數(shù)”即“存在一個素數(shù)，它是偶數(shù)”，這三個命題都是存在量詞命題，“實數(shù)的平方為正數(shù)”即“所有的實數(shù)，它的平方為正數(shù)”，是全稱量詞命題，其省略了全稱量詞“所有的”，所以正確選項為B.2．下列四個命題中，既是存在量詞命題又是真命題的是()A．斜三角形的內(nèi)角是銳角或鈍角B．至少有一個實數(shù)x，使x3>0C．任一無理數(shù)的平方必是無理數(shù)D．存在一個負數(shù)x，使eq\f(1,x)>2【解析】選B.選項A，C中的命題是全稱量詞命題，選項D中的命題是存在量詞命題，但是假命題．只有選項B既是存在量詞命題又是真命題．【易錯誤區(qū)】由于量詞有時會省略不寫，因此在判斷這類命題時，必須找出其中省略的量詞．易錯點二判斷存在量詞命題真假時考慮不全(多選題)下列存在量詞命題是真命題的有()A．有的集合中不含有任何元素B．存在對角線不互相垂直的菱形C．?x∈R，滿足3x2＋2>0D．有些整數(shù)只有兩個正因數(shù)【解析】選ACD.由空集中不含任何元素，可得A正確；由菱形的對角線互相垂直，可得B錯誤；由3x2＋2≥2>0，可得C正確；由素數(shù)只有兩個正因數(shù)，所以D正確．【易錯誤區(qū)】要判斷存在量詞命題“存在x∈M，p(x)”是真命題，只需在集合M中找到一個元素x0，使得p(x0)成立即可；如果在集合M中，使得p(x)成立的x不存在，那么這個存在量詞命題就是假命題．一、選擇題(每小題5分，共30分)1．下列命題是“?x∈R，x2>3”的另一種表述方式的是()A．有一個x∈R，使得x2>3B．對有些x∈R，使得x2>3C．任選一個x∈R，使得x2>3D．至少有一個x∈R，使得x2>3【解析】選C.由題意，命題“?x∈R，x2>3”為全稱量詞命題，所以該命題的另一種表述方式是“任選一個x∈R，使得x2>3”．2．下列命題中全稱量詞命題的個數(shù)為()①平行四邊形的對角線互相平分；②梯形有兩邊平行；③存在一個菱形，它的四條邊不相等．A．0B．1C．2D．3【解析】選C.①②滿足“對所有的…都成立”的特點，是全稱量詞命題，③含有“存在”，是存在量詞命題．3．下列是全稱量詞命題且是真命題的是()A．?x∈R，x2>0B．?x，y∈R，x2＋y2>0C．?x∈Q，x2∈QD．?x0∈Z，xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))>1【解析】選C.A選項，?x∈R，x2>0是全稱量詞命題，但當x＝0時，x2＝0，所以是假命題；B選項，?x，y∈R，x2＋y2>0是全稱量詞命題，但當x＝y(tǒng)＝0時，x2＋y2＝0，所以是假命題；C選項，?x∈Q，x2∈Q是全稱量詞命題，且是真命題；D選項，?x∈Z，x2>1是存在量詞命題．4．(多選)下列存在量詞命題中，是真命題的是()A．?x∈Z，x2－2x－3＝0B．至少有一個x∈Z，使x能同時被2和3整除C．?x∈R，|x|<0D．有些自然數(shù)是偶數(shù)【解析】選ABD.A中，當x＝－1時，滿足x2－2x－3＝0，所以A是真命題；B中，6能同時被2和3整除，所以B是真命題；D中，2既是自然數(shù)又是偶數(shù)，所以D是真命題；C中，因為所有實數(shù)的絕對值非負，所以C是假命題．5．(2021·錦州高一檢測)已知集合A＝{x|x>2}，B＝{x|x>3}，以下命題正確的個數(shù)是()①?x0∈A，x0B；②?x∈A都有x∈B；③?x∈B都有x∈A.A．0B．3C．2D．1【解析】選C.因為A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x>2}，))B＝\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x>3))))))，所以BA，對①，?x∈A，x≠B，如x＝eq\f(5,2)，故本命題正確；對②，?x∈A，沒有xB，如x＝eq\f(5,2)，故本命題錯誤；對③，?x∈B都有x∈A，故本命題正確．6．(多選)下列命題中，是全稱量詞命題的有()A．至少有一個x使x2＋2x＋1＝0成立B．對任意的x都有x2＋2x＋1＝0成立C．對任意的x都有x2＋2x＋1＝0不成立D．存在x使x2＋2x＋1＝0成立【解析】選BC.A和D中用的是存在量詞“至少有一個”“存在”，屬于存在量詞命題；B和C用的是全稱量詞“任意的”，屬于全稱量詞命題，所以B，C是全稱量詞命題．二、填空題(每小題5分，共20分)7．命題“有些一元一次不等式的解集是空集”是________．(填“全稱量詞命題”“存在量詞命題”)【解析】原命題即是“存在一元一次不等式的解集是空集”．答案：存在量詞命題8．命題“存在一個實數(shù)x，使2x－x2不大于2”，用“?”或“?”符號表示為______________________．【解析】含有存在量詞“存在一個”，用符號“?”表示，“不大于2”就是“≤2”，因此命題用符號表示為“?x∈R，2x－x2≤2”．答案：?x∈R，2x－x2≤29．(2021·衡水高一檢測)已知命題p：?x∈R，x2＋2x＋a≤0是真命題，則實數(shù)a的取值范圍是________．【解析】若命題p：?x∈R，x2＋2x＋a≤0是真命題，二次函數(shù)y＝x2＋2x＋a的圖象與x軸有交點，即方程x2＋2x＋a＝0有根，則判別式Δ＝4－4a≥0，即a≤1.答案：a≤1【變式備選】“?x∈R，都有k≤x2＋1恒成立”是真命題，則實數(shù)k的取值范圍是________．【解題思路】全稱命題為真命題，等價于k≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋1))min，解得k≤1.【解析】因為x2＋1≥1，即x2＋1的最小值為1，要使“k≤x2＋1恒成立”，只需k≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋1))min，即k≤1.答案：k≤1Ｋ10．下列命題：①?x∈R，x2＋1>0；②?x∈N，x2≥1；③?x∈Z，x3<1；④?x∈Q，x2＝3；⑤?x∈R，x2－3x＋2＝0.其中所有真命題的序號是________．【解析】①?x∈R，x2＋1≥1>0；②?x∈N，x2≥0；③?x＝0∈Z，x3<1；④x2＝3x＝±eq\r(3)Q，；⑤x＝0時x2－3x＋2≠0.所以①③為真命題．答案：①③三、解答題11．(10分)(2021·太湖高一期中)已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(m＋1≤x≤2m－1))))，若命題p：“?x∈B，x∈A”是真命題，求m的取值范圍．【解析】由于命題p：“?x∈B，x∈A”是真命題，所以B?A，(1)B≠?，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＋1≤2m－1，,m＋1≥－2，,2m－1≤5，))解得2≤m≤3.(2)B＝?，則m＋1>2m－1得m<2.綜上，m的取值范圍是m≤3.【變式備選】已知函數(shù)y＝x2－2x＋5.(1)是否存在實數(shù)m0，使不等式m0＋x2－2x＋5>0對于任意x∈R恒成立，并說明理由．(2)若存在一個實數(shù)x0，使不等式m－(xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))－2x0＋5)>0成立，求實數(shù)m的取值范圍．【解析】(1)存在．理由：不等式m0＋x2－2x＋5>0可化為m0>－(x2－2x＋5)，即m0>－x2＋2x－5＝－(x－1)2－4.要使m0>－(x－1)2－4對于任意x∈R恒成立，只需m0>－4即可．故存