高中數(shù)學(xué)北師大版練習(xí)第一章2-2第1課時(shí)全稱量詞命題與存在量詞命題

2.2全稱量詞與存在量詞第1課時(shí)全稱量詞命題與存在量詞命題1．全稱量詞命題是陳述某集合中所有元素都具有某種性質(zhì)的命題．()2．存在量詞命題是陳述某集合中存在一個(gè)或部分元素具有某種性質(zhì)的命題．()3．全稱量詞命題一定含有全稱量詞．()4．命題“正方形是菱形”是存在量詞命題．()5．存在量詞命題“存在實(shí)數(shù)x，使x2＋1<0”可寫成“?x∈R，x2＋1<0”．()【解析】1.√2．√3．提示：×.有些命題雖然沒有寫出全稱量詞，但其意義具備“任意性”，這類命題也是全稱量詞命題，如“正數(shù)大于0”即“所有正數(shù)都大于0”，故說法是錯(cuò)誤的．4．提示：×.命題中全稱量詞省略，可以敘述為“所有的正方形都是菱形”，是全稱量詞命題．5．提示：×.存在量詞命題中“存在”應(yīng)該用符號“?”表示．·題組一全稱量詞與全稱量詞命題的判斷1．下列不是全稱量詞的是()A．任意一個(gè) B．所有的C．每一個(gè) D．很多【解析】選D.很明顯A，B，C中的量詞均是全稱量詞，D中的量詞不是全稱量詞．2．下列語句不是全稱量詞命題的是()A．任何一個(gè)實(shí)數(shù)乘以零都等于零B．自然數(shù)都是正整數(shù)C．高一(一)班絕大多數(shù)同學(xué)是團(tuán)員D．每一個(gè)實(shí)數(shù)都有大小【解析】選C.A中命題可改寫為：任意一個(gè)實(shí)數(shù)乘以零都等于零，故A是全稱量詞命題；B中命題可改寫為：任意的自然數(shù)都是正整數(shù)，故B是全稱量詞命題；C中命題可改寫為：高一(一)班存在部分同學(xué)是團(tuán)員，故C不是全稱量詞命題；D中命題可改寫為：任意的一個(gè)實(shí)數(shù)都有大小，故D是全稱量詞命題．3．下列命題中是全稱量詞命題并且是真命題的是()A．?x∈R，x2＋2x＋1>0B．若2x為偶數(shù)，則?x∈NC．所有菱形的四條邊都相等D．π是無理數(shù)【解析】選C.對于A，是全稱量詞命題，當(dāng)x＝－1時(shí)命題不正確，故不是真命題，故A不正確；對于B，若2x為偶數(shù)，x可以是負(fù)整數(shù)，故是假命題，也不是全稱量詞命題，故B不正確；對于C，是全稱量詞命題，也是真命題，故C正確；對于D，是真命題，但不是全稱量詞命題，故D不正確．4．下列命題中是全稱量詞命題，且為假命題的是()A．所有能被2整除的正數(shù)都是偶數(shù)B．存在三角形的一個(gè)內(nèi)角，其余弦值為eq\f(\r(3),2)C．?m∈R，x2＋mx＋1＝0無解D．?x∈N，x3>x2【解析】選D.對于A，所有能被2整除的正數(shù)都是偶數(shù)含有全稱量詞“所有”，是全稱量詞命題，為真命題，故A不選．對于B，含有量詞“存在”，不是全稱量詞命題，故B不選；對于C，?m∈R，x2＋mx＋1＝0無解，為存在量詞命題，故C不選；對于D，?x∈N，x3>x2，是全稱量詞命題，當(dāng)x＝1或0時(shí)，則x3＝x2，故為假命題，滿足題意，故D可選．5．若命題“ax2－2ax＋4>0恒成立”是假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．a(chǎn)<0或a≥3 B．a(chǎn)≤0或a≥4C．a(chǎn)<0或a>3 D．a(chǎn)<0或a≥4【解析】選D.若命題“ax2－2ax＋4>0恒成立”是真命題，當(dāng)a＝0時(shí)，4>0，恒成立；當(dāng)a≠0時(shí)，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a>0,Δ＝（2a）2－16a<0))，解得0<a<4，綜合得0≤a<4.所以當(dāng)命題“ax2－2ax＋4>0恒成立”是假命題時(shí)，有a<0或a≥4.·題組二存在量詞與存在量詞命題的判斷1．下列命題不是存在量詞命題的是()A．有的無理數(shù)的平方是有理數(shù)B．有的無理數(shù)的平方不是有理數(shù)C．對于任意x∈Z，2x＋1是奇數(shù)D．存在x∈R，2x＋1是奇數(shù)【解析】選C.A，B，D中都有存在量詞，是存在量詞命題，C中含有量詞“任意”，為全稱量詞命題．2．下列存在量詞命題是假命題的是()A．存在x∈Q，使2x－x3＝0B．存在x∈R，使x2＋x＋1＝0C．有的素?cái)?shù)是偶數(shù)D．有的有理數(shù)沒有倒數(shù)【解析】選B.x＝0∈Q，使2x－x3＝0成立，A是真命題；x2＋x＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))2＋eq\f(3,4)>0(x∈R)恒成立，因此不存在x∈R，使x2＋x＋1＝0，B是假命題；2是素?cái)?shù)，也是偶數(shù)，C是真命題；0是有理數(shù)，0沒有倒數(shù)，D是真命題．3．下列存在量詞命題中真命題的個(gè)數(shù)是()①?x∈R，x≤0；②至少有一個(gè)整數(shù)，它既不是合數(shù)，也不是素?cái)?shù)；③?x∈eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x是無理數(shù)))，x2是無理數(shù)．A．0B．1C．2D．3【解析】選D.①?x＝0∈R，使得x≤0為真命題；②至少有一個(gè)整數(shù)例如1，它既不是合數(shù)，也不是素?cái)?shù)，故②為真命題；③例如x＝π是無理數(shù)，π2仍然是無理數(shù)，從而可得?x∈eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x是無理數(shù)))，x2是無理數(shù)為真命題，從而可知真命題的個(gè)數(shù)為3個(gè)．4．下列命題中，既是存在量詞命題又是假命題的是()A．四邊形內(nèi)角和為360°B．有些梯形是平行四邊形C．?x∈R，3x＋2>0D．至少有一個(gè)整數(shù)m，使得m2<1【解析】選B.對于A，含有全稱量詞，故不是存在量詞命題；對于B，有些梯形是平行四邊形不是真命題，且是存在量詞命題；對于C，?x∈R，3x＋2>0，含有存在量詞，但是真命題；對于D，至少有一個(gè)整數(shù)m，使得m2<1，含存在量詞的命題，但是真命題．5．(2021·懷仁高一檢測)已知命題：“?x∈R，x2＋ax－4a＝0”為假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()A．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))－16≤a≤0)) B．{eq\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))－16<a<0}C．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))－4≤a≤0)) D．{eq\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))－4<a<0}【解析】選B.因?yàn)椤?x∈R，x2＋ax－4a＝0”為假命題等價(jià)于“方程x2＋ax－4a＝0無實(shí)根”，即Δ＝a2＋16a<0，解得：－16<a<0.易錯(cuò)點(diǎn)一判斷命題時(shí)忽略隱含的量詞1．下列命題含有全稱量詞的是()A．某些函數(shù)圖象不過原點(diǎn)B．實(shí)數(shù)的平方為正數(shù)C．方程x2＋2x＋5＝0有實(shí)數(shù)解D．素?cái)?shù)中只有一個(gè)偶數(shù)【解析】選B.“某些函數(shù)圖象不過原點(diǎn)”即“存在函數(shù)，其圖象不過原點(diǎn)”；“方程x2＋2x＋5＝0有實(shí)數(shù)解”即“存在實(shí)數(shù)x，使x2＋2x＋5＝0”；“素?cái)?shù)中只有一個(gè)偶數(shù)”即“存在一個(gè)素?cái)?shù)，它是偶數(shù)”，這三個(gè)命題都是存在量詞命題，“實(shí)數(shù)的平方為正數(shù)”即“所有的實(shí)數(shù)，它的平方為正數(shù)”，是全稱量詞命題，其省略了全稱量詞“所有的”，所以正確選項(xiàng)為B.2．下列四個(gè)命題中，既是存在量詞命題又是真命題的是()A．斜三角形的內(nèi)角是銳角或鈍角B．至少有一個(gè)實(shí)數(shù)x，使x3>0C．任一無理數(shù)的平方必是無理數(shù)D．存在一個(gè)負(fù)數(shù)x，使eq\f(1,x)>2【解析】選B.選項(xiàng)A，C中的命題是全稱量詞命題，選項(xiàng)D中的命題是存在量詞命題，但是假命題．只有選項(xiàng)B既是存在量詞命題又是真命題．【易錯(cuò)誤區(qū)】由于量詞有時(shí)會省略不寫，因此在判斷這類命題時(shí)，必須找出其中省略的量詞．易錯(cuò)點(diǎn)二判斷存在量詞命題真假時(shí)考慮不全(多選題)下列存在量詞命題是真命題的有()A．有的集合中不含有任何元素B．存在對角線不互相垂直的菱形C．?x∈R，滿足3x2＋2>0D．有些整數(shù)只有兩個(gè)正因數(shù)【解析】選ACD.由空集中不含任何元素，可得A正確；由菱形的對角線互相垂直，可得B錯(cuò)誤；由3x2＋2≥2>0，可得C正確；由素?cái)?shù)只有兩個(gè)正因數(shù)，所以D正確．【易錯(cuò)誤區(qū)】要判斷存在量詞命題“存在x∈M，p(x)”是真命題，只需在集合M中找到一個(gè)元素x0，使得p(x0)成立即可；如果在集合M中，使得p(x)成立的x不存在，那么這個(gè)存在量詞命題就是假命題．一、選擇題(每小題5分，共30分)1．下列命題是“?x∈R，x2>3”的另一種表述方式的是()A．有一個(gè)x∈R，使得x2>3B．對有些x∈R，使得x2>3C．任選一個(gè)x∈R，使得x2>3D．至少有一個(gè)x∈R，使得x2>3【解析】選C.由題意，命題“?x∈R，x2>3”為全稱量詞命題，所以該命題的另一種表述方式是“任選一個(gè)x∈R，使得x2>3”．2．下列命題中全稱量詞命題的個(gè)數(shù)為()①平行四邊形的對角線互相平分；②梯形有兩邊平行；③存在一個(gè)菱形，它的四條邊不相等．A．0B．1C．2D．3【解析】選C.①②滿足“對所有的…都成立”的特點(diǎn)，是全稱量詞命題，③含有“存在”，是存在量詞命題．3．下列是全稱量詞命題且是真命題的是()A．?x∈R，x2>0B．?x，y∈R，x2＋y2>0C．?x∈Q，x2∈QD．?x0∈Z，xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))>1【解析】選C.A選項(xiàng)，?x∈R，x2>0是全稱量詞命題，但當(dāng)x＝0時(shí)，x2＝0，所以是假命題；B選項(xiàng)，?x，y∈R，x2＋y2>0是全稱量詞命題，但當(dāng)x＝y(tǒng)＝0時(shí)，x2＋y2＝0，所以是假命題；C選項(xiàng)，?x∈Q，x2∈Q是全稱量詞命題，且是真命題；D選項(xiàng)，?x∈Z，x2>1是存在量詞命題．4．(多選)下列存在量詞命題中，是真命題的是()A．?x∈Z，x2－2x－3＝0B．至少有一個(gè)x∈Z，使x能同時(shí)被2和3整除C．?x∈R，|x|<0D．有些自然數(shù)是偶數(shù)【解析】選ABD.A中，當(dāng)x＝－1時(shí)，滿足x2－2x－3＝0，所以A是真命題；B中，6能同時(shí)被2和3整除，所以B是真命題；D中，2既是自然數(shù)又是偶數(shù)，所以D是真命題；C中，因?yàn)樗袑?shí)數(shù)的絕對值非負(fù)，所以C是假命題．5．(2021·錦州高一檢測)已知集合A＝{x|x>2}，B＝{x|x>3}，以下命題正確的個(gè)數(shù)是()①?x0∈A，x0B；②?x∈A都有x∈B；③?x∈B都有x∈A.A．0B．3C．2D．1【解析】選C.因?yàn)锳＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x>2}，))B＝\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x>3))))))，所以BA，對①，?x∈A，x≠B，如x＝eq\f(5,2)，故本命題正確；對②，?x∈A，沒有xB，如x＝eq\f(5,2)，故本命題錯(cuò)誤；對③，?x∈B都有x∈A，故本命題正確．6．(多選)下列命題中，是全稱量詞命題的有()A．至少有一個(gè)x使x2＋2x＋1＝0成立B．對任意的x都有x2＋2x＋1＝0成立C．對任意的x都有x2＋2x＋1＝0不成立D．存在x使x2＋2x＋1＝0成立【解析】選BC.A和D中用的是存在量詞“至少有一個(gè)”“存在”，屬于存在量詞命題；B和C用的是全稱量詞“任意的”，屬于全稱量詞命題，所以B，C是全稱量詞命題．二、填空題(每小題5分，共20分)7．命題“有些一元一次不等式的解集是空集”是________．(填“全稱量詞命題”“存在量詞命題”)【解析】原命題即是“存在一元一次不等式的解集是空集”．答案：存在量詞命題8．命題“存在一個(gè)實(shí)數(shù)x，使2x－x2不大于2”，用“?”或“?”符號表示為______________________．【解析】含有存在量詞“存在一個(gè)”，用符號“?”表示，“不大于2”就是“≤2”，因此命題用符號表示為“?x∈R，2x－x2≤2”．答案：?x∈R，2x－x2≤29．(2021·衡水高一檢測)已知命題p：?x∈R，x2＋2x＋a≤0是真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．【解析】若命題p：?x∈R，x2＋2x＋a≤0是真命題，二次函數(shù)y＝x2＋2x＋a的圖象與x軸有交點(diǎn)，即方程x2＋2x＋a＝0有根，則判別式Δ＝4－4a≥0，即a≤1.答案：a≤1【變式備選】“?x∈R，都有k≤x2＋1恒成立”是真命題，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是________．【解題思路】全稱命題為真命題，等價(jià)于k≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋1))min，解得k≤1.【解析】因?yàn)閤2＋1≥1，即x2＋1的最小值為1，要使“k≤x2＋1恒成立”，只需k≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋1))min，即k≤1.答案：k≤1Ｋ10．下列命題：①?x∈R，x2＋1>0；②?x∈N，x2≥1；③?x∈Z，x3<1；④?x∈Q，x2＝3；⑤?x∈R，x2－3x＋2＝0.其中所有真命題的序號是________．【解析】①?x∈R，x2＋1≥1>0；②?x∈N，x2≥0；③?x＝0∈Z，x3<1；④x2＝3x＝±eq\r(3)Q，；⑤x＝0時(shí)x2－3x＋2≠0.所以①③為真命題．答案：①③三、解答題11．(10分)(2021·太湖高一期中)已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(m＋1≤x≤2m－1))))，若命題p：“?x∈B，x∈A”是真命題，求m的取值范圍．【解析】由于命題p：“?x∈B，x∈A”是真命題，所以B?A，(1)B≠?，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＋1≤2m－1，,m＋1≥－2，,2m－1≤5，))解得2≤m≤3.(2)B＝?，則m＋1>2m－1得m<2.綜上，m的取值范圍是m≤3.【變式備選】已知函數(shù)y＝x2－2x＋5.(1)是否存在實(shí)數(shù)m0，使不等式m0＋x2－2x＋5>0對于任意x∈R恒成立，并說明理由．(2)若存在一個(gè)實(shí)數(shù)x0，使不等式m－(xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))－2x0＋5)>0成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【解析】(1)存在．理由：不等式m0＋x2－2x＋5>0可化為m0>－(x2－2x＋5)，即m0>－x2＋2x－5＝－(x－1)2－4.要使m0>－(x－1)2－4對于任意x∈R恒成立，只需m0>－4即可．故存